最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.3相似多边形

北师大版九年级数学上册
4.3 相似多边形
观察以下两个多边形,并回答如下问题:
(1)在下图两个多边形中,是否有相等的内角?设法验证.
(2)在下图两个多边形中,相等内角的两边是否成比例?
A1 A F E D B C F1
B1
C1
E1
D1
A
B C
在图中，六边形ABCDEF和六边形 A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形.且 ∠A与∠A1， ∠B与∠B1，∠C与∠C1，
2.如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是( )
8 4
X
A.2 cm2
B.4 cm2
C.8 cm2
D.16 cm2
【解析】选C.设阴影部分的宽为x cm,因为两个矩形相似，所以 8 = 4 ,则x=2 cm，则留下的矩形的面积S=2×4=8（cm2）.
A. 2 ∶1
B.4∶1
C.2∶1
D.1.5∶1
【解析】选A.设整张报纸的长为x,宽为y，对折后的报纸长为y，宽为 1 x，因为对折后的半张报纸与整张报
2 1 2 y x AB AD 2 纸相似，所以，即 = .所以y = x ,所 = 2 1 AE AB x y x 2 2 = 以 .故选A. y 1
因为 AB 300 20 ， EF 300 2 7.5 21
BD 150 10 ， FH 150 2 7.5 11 因为 AB BD , EF FH
所以矩形ABDC和矩形EFHG不相似.
1.如图，小聪将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，则整张报纸的长与宽的比是( )
4 x
3.一个五边形的边长分别是2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最短边长为6，则这个五边形的最长
边长为____.
【解析】设这个五边形的最长边长为x，则有
2 6 = ， 6 x
解得x=18.
答案：18
4.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，
△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长.
A
B C
E A1
D B1 C1
E1
D1
注意：在书写两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应位置上. 相似比与叙述的顺序有关.
【做一做】
若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成
比例. 例：已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1:3，（1）若∠D＝135°，则∠D′=_______. 135° （2）若A′B′=15cm，则AB= 5cm .
C）
3、【基础题】以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新
正方形，求新正方形与原正方形的相似比.
1: 2
4、已知矩形草坪长20 m，宽10 m，沿草坪四周外围有1 m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
A
观察,思考,感悟是能否进入数学大门,领 150 略数学奥妙的关键.
C
G
300
B
F
150 7.5 2
H
D
解: 边框的内外边缘所成的矩形不相似.理由如下：因为矩形的每个内角都等于90°，所以∠A=∠E=90°, ∠B=∠F= 90°, ∠D =∠H= 90°,∠C=∠G= 90°，所以它们的对应角相等.
【议一议】
判断下列每组图形是否相似,为什Байду номын сангаас?
10 10 (1)任意两个菱形一定相似吗？
12
菱形
12
10
正方形 10
长方形 12
8
(2)任意两个矩形一定相似吗？
解:(1)不相似.因为正方形,菱形的四条边都相等,所以它们的对应边一定成比例，又因为正方形的四个内角均为直角,而菱形的内角有钝角有锐角，所以它们的对应角不相
1、下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ A、两个等边三角形 C、两个正方形
D）
B、有一个角是35°的两个等腰三角形
D、两个圆
2、【综合题】下列各组图形中相似的图形是（ A、对应边成比例的多边形 B、四个角都对应相等的两个梯形 C、有一个角相等的两个菱形 D、各边对应成比例的两个平行四边形
等，所以这一组图形不相似.
(2)不相似.因为正方形和矩形的四个内角都是直角，
所以它们的对应角相等；
又因为对应边 5:6≠5:4，
所以对应边不成比例，
所以这一组图形不相似.
【做一做】
一块长3m,宽1.5m的矩形黑板如图,镶在其外围的木质边框
宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?
E
300 7.5 2
9
2 X
6
【解析】因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠D=90°，
又因为AE=9，AB=6. 所以在Rt△ABE中，由勾股定理得： BE=
AE 2 +AB2 = 92 +62 =3 13.
因为△ABE∽△DEF，所以 AB = BE ，即 6 = 3 13
DE EF
2 EF
所以EF= 13 .
所以这两个正方形的对应边的比相等(即对应边成比例).
相似多边形的定义：各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1 对应边 AB:A1B1=1:2， F1 因此，六边形ABCDEF与六边形 A1B1C1D1E1F1的相似比k1=1:2，六边形A1B1C1D1E1F1 与六边形ABCDEF 的相似比 k2=2. F
B E
A
C
解:因为正三角形每个角都等于60°,
D
F
所以∠A =∠D = 60°, ∠B =∠E = 60°,∠C =∠F = 60°, 所以这两个正三角形的对应角相等. 又因为正三角形三边相等，所以
AB BC CA . DE EF FD
所以这两个正三角形的对应边的比相等(即对应边成比例).
F
E A1 D
∠D与∠D1， ∠E与∠E1，∠F与∠F1，
分别对应相等，称为对应角； AB︰A1B1， CD︰C1D1， BC︰B1C1， DE︰D1E1， EF︰E1F1， FA︰F1A1，的比都相等，称为对应边.
B1
F1
C1
E1
D1
【例题】
下列每组图形形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢? (1)正三角形ABC与正三角形DEF;
(2)正方形ABCD与正方形EFGH.
E A B F
D
C H G
解:因为正方形每个角都等于90°,
所以∠A =∠E = 90°, ∠B =∠F = 90°, ∠C =∠G = 90°, ∠D =∠H = 90°, 所以这两个正方形的对应角相等；又因为正方形的四边相等，所以
AB BC CD DA . EF FG GH HE

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北师大版九年级上册数学课件：4.3相似多边形1(共40张PPT)

相似比为: AB 2
EF 1
LOGO
LOGO
E
H
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°
F
∴ 它们的对应角相等.
B
G
C
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
∴ EH:AD≠EF:AB.
∴ 它们的对应边不成比例.
∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似.
LOGO
3 你能找出其中的相似多边形吗？ C 相似多边形对应对角线的比等于相似比。
D
H
5
I
五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。
解:（1）相似比=CD : HI=3 : 5 相似多边形面积的比等于相似比的平方。
（1）任意两个矩形都是相似图形（）一块长 3m，宽1.
（7）两个相似多边形，对应边成比例（） ∴ 它们的对应边不成比例. 各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形. 解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm, 两个图形的形状 ________，但图形的大小位置 __________，这样的图形叫做相似图形。
两个图形相似，其中一个图形可以看（5）两个全等三角形是相似多边形（）
（°2）若A′B′=15cm，则AB= ___5___。
3. 一个多边形的边长分别是2、 3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为__1_8___ 。
LOGO
4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？

北师版初三九年级数学(上册)第四章相似图形知识点讲解

九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）基本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似4.3相似多边形(教案)

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似多边形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的图形？”比如，我们家里的电视遥控器和教室的黑板，它们的形状是相似的，但大小却不同。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似多边形的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似多边形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似多边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.培养学生的数学建模意识：将相似多边形应用于解决实际问题，让学生了解数学建模的过程，培养建模意识。
5.提高学生的数学运算与数据分析能力：在练习与巩固环节，使学生熟练掌握相似多边形的性质和判定方法，提高解题能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解相似多边形的定义：学生需要掌握相似多边形的概念，即对应角相等，对应边成比例的多边形。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似多边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如相似多边形在建筑设计中的应用。

数学九年级北师大版 4.3 相似多边形

A1
B1
A
B
F
C
E
D
F1 E1
C1 D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形
状相同的多边形，其中∠A与∠A1, ∠B与 ∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E与∠E1, ∠F与∠F1分别相等,称为对应角;AB与 A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与 E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称为对应边.
1、五边形ABCDE∽五边形 A´B´C´D´E´，则∠ E＝＿80°,
∠ A´＝＿11＿8°, C´D´＝＿4＿
A
B 3 118°
E B´
五边形A´B´C´D´E´与五边形 ABCDE的相似比为＿2:＿1
C
D
2
C´
．
2、下面的两个矩形相似吗？说说你的理由.
3
A´
6
E´
80°
D´
2
3
4.5
3.如图,一个矩形广场的长为60m,宽为40m，广场内两条纵向小路的宽都为1.5m,如果设两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
A
B
E
F
D
CH
G
解：（2）由于正方形的每个角都是直角，所以
A E90 , B F90 ,
C G90 , D H90 由于正方形四边相等，所以
ABBCCDDA EF FGGH HE （3）任意两个正n边形呢？
2.图（1）中的两个图形相似吗？为什么？
10
正方形
8
矩形
10 （1）
12
答：不相似.因为虽然它们对应角相等，但它们对应边不成比例.

北师大版九年级数学上册 (相似多边形)图形的相似课件

A
B
F
C
ED
A1 F1
E1
B1 C1
D1
图中的六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的多边形，
其中∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1，∠E 与∠E1，
∠F 与∠F1 分别相等，称为对应角；
AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DE 与 D1E1，EF 与 E1F1，FA
例2 一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
F B
(1.5+0.075×2) m
C G
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
解：
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似
比k＝ 2 , ∴
AB 2 , BC
2 ,
3 AB 3 BC 3
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
归纳
A1 F1
B1 C1
AB
F
C
E1
D1
E
D
要点归纳 ◑相似多边形的定义：
相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
◑相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似相似多边形课件

3. 若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为 8或2 ．
4. 已知如图所示的两个多边形相似，则边x，y的长度分别为 27，31.5 ， ∠C的度数为 83° .
5. 如图，在长为16 cm，宽为12 cm的矩形ABCD中，截去了一个矩形EFCD（即图中的阴影部分）,使留下的矩形AEFB 与原矩形相似，求矩形AEFB的面积.
第四章图形的相似
3 相似多边形
1. 各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.“相似”用符号“ ∽ ”来表示.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2. 相似多边形对应边的比叫做相似比 . 3. 如果两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例 .
解：(1)因为OA=10，OC=8，矩形OABC∽矩形DEFG，相似比为2，所以矩形DEFG 的对应边DE=5，DG=4.由点的坐标的意义,知所求坐标分别为B（10，8），E （8，2），F（8，6），G（3，6）. （2）设直线AC的函数解析式为y=kx+b.因为点A（10，0）和点C（0，8）在直线AC上，则有
4. 把一个边长为2的正方形的各角都去掉，得到的一个图形仍是一个正方
形，则这个小正方形的边长为，小正方形与原正方形的相似比为 .
【提升训练】 5. 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝ ; （2）求边x,y的长度．
6. 已知四边形ABCD ∽ 四边形A1B1C1D1且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14, 四边形ABCD的周长为40.根据这些条件求四边形ABCD各边的长.
【基础训练】 1. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( B )

九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形教学课件新版北师大版

由题意得AB=315，BC=165
∴ AB CD 315 21
A1B1 C1D1 300 20
BC DA 165 11 B1C1 D1 A1 150 10
∴
AB A1 B1

CD C1 D1
≠ BC
B1C1

DA D1 A1
∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． •通过本节课的学习，同学们经历从特殊到一般探究过程，认识到全等图形是相似比于1的相似图形，相似图形是全等图形的进一步的推广，理解了相似多边形的概念既是性质又是判定，运用性质时对应顶点字母写在对应的位置上，同时知道相等角所对边是对应边，对应边所对角是对应角．体会了相似比是有顺序要求．
因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比
k1

4 5
五边形
A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比
k2

5 4
(4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相
似图形特殊情况.
(1)观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？图（2）中的两个图形呢？为什么？你从中得到什么启发？与同桌交流.
• （2）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？
强调说明：
•在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1， ∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1，分别相等，称为对
应角；
•AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA 与F1A1的比都相等，称为对应边．

九年级数学上册北师大版精品教学课件4.3-相似多边形

6 9
3
2
5
b
a
7.5
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
a 7.5 ， b 7.5 ， 6 7.5 ， 9 7.5 ， 25 35 c5 d 5 解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6. 所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
例2：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，
EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若 AD=3，BC=4，求AE:EB的值.
解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
∴ AD EF .
EF BC
∴EF2=AD·BC=3×4=12,
A
D
∴EF= 2 3.
E
F
∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
∴AE:EB=AD:EF=3: 2 3 = 3 :2. B
5
α= 90°；
╮125°
α╭
(2) 如图②是两个相似的矩形，
y 图①
3
x= 22.5 .
20
x
30
15
图②
6. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形
ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求BC长；解：∵ E 是 AD 的中点，
A
E
D
∴ AE 1 AD 1 BC .
2
2
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF
相似，AB=1，
B
F
C
∴ AB BC ，∴ AB2 = AE·BC， AE AB
∴ 12 1 BC BC . 解得 BC 2. 2
(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.

北师大版九年级数学上册课件：4.3 相似多边形(用)

达标
1、如果四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1
相似，且∠A=68o, 则∠A1= 68o
.
2、一个多边形的边长分别是2、3、4、5、
S
例下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF
A D
B
C
E
F
解：（1）∵△ABC和△DEF都是等腰三角形
A D 60,B E 60,C F 60
∵正三角形三边相等，
AB BC CA DE EF FD
边数相同的两个正多边形一定相似。
当相似比k =1时，相似图形即是全等图形。全等是一种特殊的相似。
1.观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？为什么？
10 正方形
12 （1）
菱形
10
12
答：不相似。因为虽然它们对应边是成比例的，但它们的对应角不相等。
图（2）中的两个图形相似吗？为什么？
做相似多边形。
相似比概念：相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。
B
B1
E
C
E1
D
C1
∠∠AEBFAD与与与AE∠∠记11BFD作11A1，，,1：∠BF，六CA“E与与∠与边∽BF∠形11与”CAE11A读，的1∠B,作比CC∠BDD1“都与FE，与相相CF1∠∠∽D似等1C，F六于，与1分D边”称∠E别与形。为C相1DA对1，1E等B应1，1，C边1D。D11E1F1

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