北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
九年级数学上册 第四章 图形的相似知识归纳 北师大版
图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）
图形的相似专题练习1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶9 B．1∶25C．9∶25 D．3∶52．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()图2A．4∶9 B．2∶5C．2∶3 D．2∶ 33．如果3A＝2B(AB≠0)，那么下列比例式中正确的是()A．ab＝32B．ba＝23C．a2＝b3D．a3＝b24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥B C．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为()图4A．3 B．6C．9 D．125．在下面的图形中，相似的一组是(),A) ,B),C) ,D)图56．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(),A) ,B),C) ,D)图67．为测量某河的宽度，小在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()图7A．120 m B．67.5 mC．40 m D．30 m8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(),A) ,B),C) ,D)图89．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB ＝32，AC ＝10，那么EC ＝________．图910．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．图1011．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2 cm ，则AB 的长为_________ cm.图1112．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为__________．图1213．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．图1314．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．图1415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC ＝90°.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．图1516．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．图1617．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.图1718．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．图1819．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．图1920．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC 相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．,图1),图2),图3)图20参考答案【过关训练】1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D 9．__4__10．__10__11．_9.6__12．_1＋52__13．(－2，0)_14．解：(1)如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；(2)如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为(－4，2)．15．[解：(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BE C．(2)∵△ADE∽△BEC，∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32，∴BE＝3 2，∴AB＝AE＋BE＝7 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCG＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△GB C．(2)∵△ABF∽△BG C．∴ABBG＝AFBC.∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝BC2＋CG2＝5，∴25＝AF2，解得AF＝45 5.17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠BDC＝∠DGC＝90°，∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，∴∠GDC＝∠DBC，∴△BDG∽△DCG，∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝ADAB，即AE1.5＝1.22，解得AE＝0.9 m，∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF＝CBAH，DGHG＝DEAH，∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，解得x＝24.则旗杆AH的高度为24 m.20．__△APD∽△CDQ__解：(2)成立，如答图．理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴APCD＝DPDQ.∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，∴APAD＝DPDQ，即APDP＝ADDQ.又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，∴△APD∽△DPQ.(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，∴∠A＝∠C＝α.∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，∴∠APD＝∠CDQ.又∵∠A＝∠C，∴△APD∽△CDQ.。
北师大版九年级数学上册 第四章《图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解
图形的相似》全章复习与巩固——知识讲解【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似含答案
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图1，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，EF⊥AB于点E，将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，则在图2中，以下说法：①FD＝AE；②∠AEB＝135°；③S△AEB ：S△DFB＝1：2；④AE∥BF，正确结论的序号（）A.①②B.①③C.②③D.③④2、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A. B. C. D.3、下列判断正确的是A.所有等腰三角形都相似B.所有直角三角形都相似C.所有菱形都相似D.所有等边三角形都相似4、△ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A. B. C. 或 D.5、下列各组长度的线段（单位：）中，成比例线段的是（）A.1，2，3，4B.1，2，3，5C.2，3，4，5D.2，3，4，66、如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则等于（）A.6B.8C.9D.127、已知，a+2b=16，则c的值为（）A. B. C.8 D.28、已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）个A.1个B.2个C.4个D.无数个9、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE~△ECH；其中，正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10、如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，DE=，∠EDF=90°，则DF长是（）A. B. C. D.11、如图，ΔABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与ΔABC相似的三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12、两个相似多边形的面积比是9:16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )A.48cmB.54cmC.56cmD.64cm13、如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．A.1B.2C.3D.414、如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A.甲B.乙C.丙D.丁15、如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A.不存在B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、填空题(共10题，共计30分)16、在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（2，﹣1）、（3，0），以原点O为位似中心，把线段AB放大，点B的对应点B′的坐标为（6，0），则点A的对应点A′的坐标为________17、如图，小明将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，点E恰好落在AC上，EG交AD于点F.若AB＝3，tan∠ACB＝，则FG的长为________.18、如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为________.19、如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝________．20、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD的面积等于________．21、如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为________.22、如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是________ m2．23、如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，E是BC的延长线上一点，AE 交⊙O于点F，若要使△ADB∽△ACE，还需添加一个条件，这个条件可以是________ ．24、如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为________25、已知，则的值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、已知=k，求k2-3k-4的值.27、如图，在中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且.求证：∽.28、如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于， .求的长.29、如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度?30、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件
=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理 两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式 如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点， 且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定 方法
应用
黄金分割
角角 边角边 边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适． 利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位 置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′
北师大版 初三数学九年级上册第4章《图形的相似》ppt复习课件
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
例3 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下， 发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种 测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使 自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度 恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m， CE＝0.8 m，CA＝30 m（点A、E、C在同一直线上）． 已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB（结果 精确到0.1 m）．
【解析】设A，B两地间的实际距离为x cm,则 即x=900,又900 cm=9 m. 答案：9
例2 如图，△ABC是等边三角形，CE是 外角平分线，点D在AC上，连结BD并 延长与CE交于点E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB=6，AD=2CD，求BE的长. 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°． ∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°． ∴∠BAC＝∠ACE． 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD∽△CED．
解：矩形ADFE与矩形ABCD 相似,
上册第四章第13课图形的相似单元复习-北师大版九年级数学全一册课件
解：由题意可得，△DEF∽△DCA，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5米， DC＝20米，
解得AC＝10. ∴AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米）. 答：旗杆的高度为11.5米．
15. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯 光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向 走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米， 如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高 度.
cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的 （2，2） D.
如图，在△ABC中，DE∥BC，
DE=4，则BC的长是（ ）
第13课 图形的相似单元复习
端点时，就停止运动. 设运动时间为t s. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长
10. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，
-2），以原点O为位似中心，相似比为
，把
△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ D ）
A. （-2，1）
B. （-8，4）
C. （-8，4）或（8，-4）
D. （-2，1）或（2，-1）
11. 在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9， 则AD= 6 .
CB向点B方向运动，如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.
向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向 第13课 图形的相似单元复习
已知△ABC∽△A′B′C′，且
则S△ABC：S△A′B′C′为（ ）
如图，在△ABC中，DE∥BC，
(北师大版数学九上)第四章 图形的相似讲义
第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
北师大版九年级数学第四章《图形的相似》4.6 利用相似三角形测高
4.6 利用相似三角形测高
教学目标 1. 通过测量旗杆的高度，理解利用相似三角形测高的几
种方法．(重点) 2. 能选择适当的方法并借助相似三角形解决测量高度
问题．(难点) 3. 通过理解利用相似三角形解决测高问题，体会建模的
数学思想．
课前预习
(一)知识探究 利用相似三角形测高的方法有：利用 阳光下的影子子 、 利用 标标杆杆 、利用 镜子的反射 ．
代入数据可得 DC2＝24， 解得 DC＝2 6米， 即树的高度是 2 6米．
【归纳总结】从实际问题抽象出相似三角形，利用相似 三角形的对应边成比例列出方程并求解，得到树的高度，体 现了方程的思想．
知识点 2 借助标杆测高度 例2 在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测 量方法是：拿一根高 3.5 米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C 处(如图)，然 后沿 BC 方向走到 D 处，这时目测旗杆顶部 A 与竹竿顶部 E 恰好在同一 直线上，又测得 C，D 两点间的距离为 3 米，小芳的目高为 1.5 米，利用 她所测数据，求旗杆的高．
知识点 3 借助镜面反射测高度 例3 如图，小明和大伟想利用所学的几何知识测量学校 操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：两次利用镜子， 第一次把镜子放在 C 点，人在 F 点正好在镜子中看见旗杆顶 端 A；第二次把镜子放在 D 点，人在 H 点正好在镜子中看见 旗杆顶端 A.已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，
4. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7 m 宽的 亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC＝8.7 m， 窗口高 AB＝1.8 m，求窗口底边离地△DCB，∴BACC＝CEDC. ∵EC＝8.7 m，ED＝2.7 m，∴CD＝6 m. ∵AB＝1.8 m，∴AC＝(BC＋1.8)m，∴BCB＋C1.8＝86.7， 解得 BC＝4 m，即窗口底边离地面的距离 BC 为 4 m.
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北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．知识点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.知识点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.【答案与解析】∵a:b:c=3:5:7设a=3k, b=5k, c=7k∵2a+3b-c=28∴6k+15k-7k=28，∴k=2∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解.举一反三【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】B.类型二、相似三角形2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案与解析】(1)135°，(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因为，，所以.又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．举一反三：【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．【答案】B.3.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．【答案与解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG•BE=AF•AE，∴FG•BE=CE•AE．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．4.（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．【答案与解析】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．举一反三【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF ：S△EBF：S△ABF=（）.A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 【答案】D.5. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案与解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.因为，，所以，所以y与x的函数解析式是.(2)，所以当时，y有最大值，最大值为.【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B 出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.类型三、位似6. 将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．【答案与解析】变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A 1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)，显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．第11页共11页。