上海交通大学2010-2末上海交大-高数试卷(a类)
上海交大高等数学高数(上)期末试卷分析与解答
(C) f ( x) 在点 x0 取极大值；
(D) f ( x) 在点 x0 某邻域单调增加。
【分析】典型题型 表面上条件稍复杂，但容易先推出二阶导数的
情况，从而得到结论
【解】由 f ′′′( x0 ) = 0 , f (4)( x0 ) > 0 导出 f ′′( x) 在 x0 取得最小值，在
x0 的邻域 f ′′( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) 单调增加，在 x0 左负右正，从而 f ( x) 在 x0 取极小值，故选 A。
【解】对变上限积分求导前，需要把积分号内的 x 移到积分号外
或者变换到积分限
f (x) = xli→m0 α xβ
xl= i→m0 x∫ 0sinαx sxinβ(t 2 )dt
lim
x→0
∫
sin x sin(t 2
0
α xβ −1
)dt
sin(sin2 x)cos x
x2
= xli→m= 0 α (β − 1)xβ −2 xl= i→m0 α (β − 1)xβ −2 1
(B) I1 < I3 < I2 ；
(C) I2 < I1 < I3 ；
(D) I3 < I1 < I2 。
【分析】基本题型 虽然几个积分形式似乎不是很简单，当利用
对称性后就十分容易比较了
π
π
【解】= I1 = 0 ， I2 ∫−2π cos4 x dx > 0 ， I3 = −∫−2π cos4 xdx < 0 ，
【分析】基本题型 利用乘法求导法则，注意其中的多项式是含有 因子 x，解此题的方法很多 【解】改= 写 f ( x) x[e2012x ( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012)] ，于是 = f ′(0) [e2012x ( x + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) + x[= **]′ |x=0 2012!
(整理)上海交通大学附属中学学高二下学期期末考试数学
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期末试卷（满分150分，120分钟完成。
答案一律写在答题纸上）命题：陈海兵 审核：杨逸峰一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 如果复数=z 421ii -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为__________。
2. 在二项式8)1(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是 （用数字作答）. 3. 顶点在原点，以x 轴为对称轴且经过点)3,2(-M 的抛物线的标准方程为____________．4. 双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是__________．5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。
则双曲线的方程为 。
6.则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）.7. 某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8. 把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11. △ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2 cm 、3 cm 、4 cm ，且A,B,C 在平面α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为___________。
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式042>+-x x的解集为_______________； 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、 行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
2010年全国高考文科数学试题及答案-上海(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m = 。
2.不等式204x x ->+的解集是 。
3.行列式cossin66sin cos 66ππππ的值是 。
4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。
6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 。
7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
12.在n 行m 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
高数上海交大试卷
《高等数学》第二学期期末考试参考标准一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设xoy 平面上区域(){}22,|1,D x y xy y x =+≤≥，1D 是D 在第一象限的部分，则32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （ ）（A ）122sin sin D x ydxdy ⎰⎰； （B ）132D xy dxdy ⎰⎰；（C ）1324(sin sin )D xy x y dxdy +⎰⎰； （D ）0.解 32(sin sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰32sin sin DDxy dxdy x ydxdy =+⎰⎰⎰⎰122sin sin D x ydxdy =⎰⎰答案：A 2. 设(){}222,,|1x y z xy z Ω=++≤，则三重积分xe dv Ω=⎰⎰⎰ （ ）（A ）2π； （B ）π； （C ）32π； （D ）2π. 解1 43xe dv dv πΩΩ>=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，排除答案A 、B ；猜：C 或D||:1 2.718x e →，34/ 1.12523ππ=，42/ 1.53ππ= 答案：D解2 222111x xy z x e dv dxe dydz -Ω+≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)xe x dx π-=-⎰1202(1)x e x dx π=-⎰ 1024x xe dx ππ=-+⎰ 244(1)2e e ππππ=-+--=答案：D解3 xze dv e dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21cos 2000sin d d ed ππρϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰1cos 2002sin d ed πρϕπϕρϕρ=⎰⎰1cos 2cos 220022[sin sin ]d e d e d ππρϕρϕππρρϕϕρϕϕ-=+⎰⎰⎰1cos cos 20022[||]d e e πϕρϕρϕϕπϕπϕπρρρ=-====-+⎰104(1)2e d ρπρρπ=-=⎰答案：D3. 设F yi zj xk =++,则 rot F = （ ）（A ）i j k ++； （B ）()i j k -++； （C ）i j k -+； （D ）i j k -+-.解 (1,1,1)ij k rot F x y z yzx∂∂∂==---∂∂∂ 答案：B 4. 幂级数211nn x n ∞=-∑在收敛域[1,1)-上的和函数()s x = （ ）（A ）ln(1)x -； （B ）ln(1)x --； （C ）ln(1)x x--； （D ）ln(1)x x --. 解 12022211()11xn n n n n n x x x x x dx n n ∞∞∞--=====--∑∑∑⎰01()ln(1)1xx dx x x x==---⎰ 答案：D5. 设函数1,02()45,2x f x x x ππππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩展开成正弦级数，其和函数1()sin n n s x b nx ∞==∑，则9()2s π-= （ ） （A ）1-； （B ）2-； （C ）1； （D ）2. 解 913()()()22222s s s πππ+-=-=-=-=- 答案：B二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设uz =+则()div grad u = . 解 ()div grad u div =x yx y=++++22==7. 设()f x 是连续函数，2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，()F t '= .解 220()22()tF t f d πρρρ=⋅⋅⎰，()F t '=()224t f t π8. 设C 为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上对应于t 从0变到2的这段弧，则曲线积分2221Cds x y z=++⎰. 解=⎰该积分==⎰)21e --9. 全微分方程(1)()0y x y dx e x dy +-++=的通解为 . 解1 (1)()0y x y dx e x dy +-++=⇒ (1)()0y x dx ydx xdy e dy -+++=⇒ 2(1)()()()02y x d d xy d e -++=⇒ 通解：2(1)2y x xy e C -++=解2 (,)(0,0)(1)()x y y u x y dx e x dy =+-++⎰00(1)()xyy x dx e x dy =-++⎰⎰2(1)12y x xy e -=++-⇒ 通解：2(1)12y x xy e C -++-=10.级数n ∞=∑的敛散性为 .解112n nu u +===，收敛三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分）11. 设z 是方程zx y z e +-=所确定的,x y 的隐函数，求2zx y∂∂∂.解1111z z z x e e ∂=-=∂--+， 1111z z z y e e∂=-=∂--+ 2223(1)1()1(1)(1)(1)z z z y y y z z z z e e z z e x y e e e e '+∂'==-=-=-∂∂++++12. 计算曲面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和229x y +=之间部分的面积.解=I 2219x y ≤+≤=⎰⎰2301d πθ=⎰⎰3232112(14)|12r π=⋅+3322(375)6π=-四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13. 计算曲线积分sin 1()()2y Cx e dy y dx +--⎰，其中C 是位于第一象限中的直线1x y +=与位于第二象限中的圆弧221x y +=构成的曲线，方向从A (1,0)经过B (0,1)，再到C (1,0)-.解 L ：0y =，方向从(1,0)-到(1,0)， 并记C L +所围区域为D ，则所求曲线积分 C LLI +=-⎰⎰11122Ddxdy dx -=-⎰⎰⎰1122ππ=+-=14. 试求参数λ，使当曲线C 落在区域(){},|0D x y y =>时，曲线积分222222()()Cx x x y dx x y dy y y λλ+-+⎰ 与路径无关，并求2(,)22222(0,1)(,)()().x y x x u x y x y dx x y dy y yλλ=+-+⎰解 记()22x P x y yλ=+，()2222x Q x y yλ=-+，则()()12222222xy x y x x y P yyλλλ-+-+∂=∂()()122322222x x y x xyQxyλλλ-+++∂=-∂P Qy x∂∂=⇒∂∂ 22232()20xy x x y x λλ+++=12λ⇒=-解1 ()u u y x ϕ∂=⇒=+∂2u y ∂=∂ 及 ()0,101u u =⇒=- 解2 2(,)(0,1)(,)x y u x y =-⎰100yxdy =+⎰⎰1=15. 求22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为z =与z =所围立体表面的外侧.解 记∑所围立体为Ω，则22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰222222228x y z x y z zdzdxdy dxdy +≤+≤-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22202(8)8z z dz z dz πππ=⋅+⋅-=⎰⎰五、（本题10分） 16. 将函数243()232x f x x x -=--展开为1x -的幂级数. 解 4321()(21)(2)212x f x x x x x -==++-+- 212(1)3(1)1x x =+-+-- 2112(1)31(1)13x x =⋅----+ 0022(1)(1)33nnn n n x x ∞∞==⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∑∑ ()()1021113n n nn x +∞=⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，02x <<六、（本题8分）17. 设()2(1)()(1)!nnn f x x n ∞=-=-∑，求()0(1)n n f ∞=∑.解 ()()()()011!nn n f f x x n ∞==-∑()()()11!kk fk -=，()0,1,2,k =()()101(1)!kn n k f e k ∞∞-==-==∑∑七、（本题8分）18. 设()f x 在(1,1)-内具有三阶连续导数，且(0)0f '''≠，证明：级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n∞='---∑绝对收敛.证明 ()()()202'0lim x f x f x f x x→---()()()32'0limx f x f x xf x →---=()()()22'0lim3x f x f x f x →''+--=()()lim6x f x f x x →''''--=()()()0'''0lim063x f x f x f →''''''+-==>()()112'0'''0lim 03n n f f f f n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→=>故由级数201k n∞=∑收敛，可知级数111{[()()]2(0)}n n f f f n n ∞='---∑绝对收敛.。