高中总复习第一轮数学 第四章 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
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17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
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1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
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前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
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课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
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课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
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公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
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(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
最新高考数学专题复习精品课件 两角和与差及二倍角公式
2 5 3 10 5 10 2 ． 5 10 5 10 2 ∵ 0 A B ，∴ A B ． 4
∴ 3 3 tan 40 tan 20 tan 40 tan 20 ，
∴ tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3 ．
0 0 0 0
【变式】
1 tan15 的值为（ ） 1 tan15 3 3 1 A． B． C． 3 2 2
典例剖析
考点1 公式的应用
【例 1】求下列各式的值. （1） sin163 cos 223 sin 253 cos313 ；
（2） tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 ．
【解析】 （1）原式 sin(90 73 ) cos(2 90 43 )
1 10 【变式】已知 、 为锐角，且 tan ,sin ．求 2 的值． 7 10 10 【解析】∵ 为锐角， sin ， 10 1 3 10 ∴ cos 1 sin 2 ， tan ， 3 10 2 2 tan 3 3 ∴ tan 2 ， 2 1 tan 1 1 4 9 1 3 tan tan 2 ∴ tan( 2 ) 7 4 1． 1 tan tan 2 1 1 3 7 4 10 0 0 2 ∵ 为锐角， sin ，∴ ，∴ ， 4 2 10 ∵ 为锐角，∴ 0 2 ，∴ 2 ． 4
两角和与差及二倍角公式
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1 3.已知cos2 , 其中 , 0 , 则sin的值为 2 4 1 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 2 2
1 1 2 2 解析 : cos2 1 2sin , sin . 2 4 1 又 , 0 , sin . 2 4
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式.
3
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(3)当角α,β中有一个角为90°的整数倍时,使用诱导公式较 为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.
(4)搞清公式的来龙去脉,C(α-β)是基础,其他公式都是用代换法
及诱导公式得到的推论,即
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(5)二倍角公式的正用､逆用及变形用是公式的三种主要使用 方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:
(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用､逆用､变形用,还要
创造条件用公式,如拆角､配角技巧:β=(α+β)α,2α=(α+β)+(α-β)等.
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注意切化弦､通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,
1 如1=tan45°,-1=tan135°, 3=tan60°, =cos60°或 1 2 2 =sin30°,sinx+ cosx=2sin x 3 , 学会灵活地运用公
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T(α+β)∶tan(α+β)= T(α-β)∶tan(α-β)=
tan tan (α,β,α+β≠kπ+ 1 tan tan
,k∈Z)
2
(α,β,α -β≠kπ+ ,k∈Z). tan tan 1 tan tan
高三数学两角和与差二倍角公式
cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
tan
2
2 tan 1 tan2
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
例sin 2 ,
2 9 2 3
（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan
1 tan tan
（二）倍角公式
sin 2 2sin cos
,0 , 求cos .
2
2
(二) 公式逆用 例1.P(53) ( 双基题1)
例2、已知
tan tan tan tan tan
3, 4
cos 0, 求 sin 3
(三).用边角关系的公式解三角形
例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
证明
:
a2
c2
b2
sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
2
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
19《三角函数两角和与差二倍角公式》
两角和与差，二倍角公式(一)
高三数学两角和与差二倍角公式1
（一）两角和与差公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
（二）倍角公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin2 2cos2 11 2sin2
tan
例4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c
证明
:
a2
c2
b2
sin(A B) sin C
(四)综合 例5、(P53例3)
(0, ),sin sin sin
2
cos cos cos,求
三、课堂小结 在运用公式时，要注意公式成立的条件，熟 练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还要注 意各种的做题技巧。
2
2 tan 1 tan 2
（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的 三类基本题型：
求值题，化简题，证明题。
（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使 用”。
（3）掌握“角的演变”规律，如
2 ,
(一)公式正用
例1、求值: 1sin 555 2cot 5 12
两角和与差，二倍角公式(一)高三备课组 Nhomakorabea
山沟里几个自然村，居住着清一色的朝鲜族。初去的时候，我感觉像似到了朝鲜国。 朝鲜族居住的房子，屋檐很宽。房子正面的屋檐下砌了台阶，人进屋的时候，要将鞋脱在屋外的台阶上。屋子里是一整面的大炕，没有屋地，炕的一头有一溜活动的地板，地板头上与大炕一平的是做饭 的锅灶。做饭的时候，要掀开地板，蹲到下面去烧火。饭做好，再将地板铺好。 鲜族人爱干净，讲究的人家都有一个被厨，每天早起，将被子整整齐齐的叠进去，屋子里便显得清净，舒爽。刚到生产队时，有一户人家搬到山外去了，我们便住了那房子，房子挺大，也是满屋炕，中 间一道拉门，女同学住一间，我们住一间。晚上，隔着纸糊的拉门，有点儿响动，相互听得清清楚楚。我们早起不叠被，只将被子连同褥子一起卷起来，靠墙边上。一些村民看了直摇头，大概是嫌我们 不利索吧。我们都不在意，每日劳动，精疲力尽的，哪顾得上这些。有同学说：成大事，不拘小节！
(课标通用)高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式考纲展示►1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．考点1 三角函数公式的基本应用1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________； cos(α∓β)＝________________； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.答案：sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝________________；cos 2α＝______________＝______________＝______________； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 答案：2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________. 答案：12(2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________．答案：4－3310解析：因为cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.公式使用中的误区：角的范围；公式的结构．(1)若函数f (α)＝tan α＋21－2tan α，则α满足2tan α≠1，且α≠________.答案：k π＋π2(k ∈Z )解析：要使函数f (α)＝tan α＋21－2tan α有意义，则1－2tan α≠0，tan α有意义，所以2tan α≠1，则α≠k π＋π2(k ∈Z )．(2)化简：12sin x －32cos x ＝________.答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3解析：12sin x －32cos x ＝cos π3sin x －sin π3cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.[典题1] (1)[2017·江西新余三校联考]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为( )A.14B.78 C ．±14 D ．±78 [答案] C[解析] 因为cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝78， 所以有sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值为±14，故选C.(2)已知cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[答案]5－12326[解析] 由cos θ＝－513，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2得 sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6 ＝－1213×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×12＝5－12326. (3)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________． [答案]3[解析] ∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.[点石成金] 三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2 三角函数公式的逆用与变形应用公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(________)；(2)________＝1＋cos 2α2，________＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(________)2,1－sin 2α＝(________)2，________＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.答案：(1)1∓tan αtan β (2)cos 2α sin 2α (3)sin α＋cos α sin α－cos α sin α±cos α(1)[教材习题改编]计算：sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°＝________. 答案：12解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.(2)[教材习题改编]已知sin θ＝35，θ为第二象限角，则sin 2θ的值为________．答案：－2425解析：∵sin θ＝35，θ为第二象限角，∴cos θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－2425.辅助角公式．(1)函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最大值为________． 答案： 2解析：sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2.(2)一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝________⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝________⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b.答案：a 2＋b 2sin(α＋φ)a 2＋b 2cos(α－φ)解析：一般地，函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .[典题2] (1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C.45 D ．－45 [答案] D[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435， 即32sin α＋12cos α＝45. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.(2)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B.22C.12 D ．－12[答案] B[解析] 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1， 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1， 又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(3)[2017·陕西西安模拟]计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°＝________.[答案]32[解析] 原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°2sin 10°＝32. [点石成金] 三角函数公式活用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意切化弦思想的运用.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13D ．－79答案：D解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.2．化简：1＋sin α＋cos α·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0＜α＜π)＝________.答案：cos α 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos2α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cos α2＞0，所以原式＝cos α.考点3 角的变换角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－________)；α＝(α＋________)－β；β＝α＋β2________α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2________⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.答案：β β － －[典题3] 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．[解] (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2.又tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β <0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. [题点发散1] 在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010， cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin [(α－β)－β] ＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β ＝－2425.[题点发散2] 若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan []α＋α－β＝ tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝35－131＋35×13＝29. [点石成金] 利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0<β <π2<α<π，∴π4<α－β2<π， －π4<α2－β<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，则由二倍角公式，可得 cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝－239729.真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案：D解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．[2016·四川卷]cos2π8－sin 2π8＝________. 答案：22解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2 π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＝22.3．[2015·四川卷]sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案：62解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin 15°＋22cos 15°＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)＝2sin 60°＝2×32＝62. 4．[2015·江苏卷]已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案：3解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3. 课外拓展阅读三角恒等变换的综合问题1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．[典例1] [改编题]已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (其中ω>0，α∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．[解] (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx 2＋2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ， 由题意，知2ω＋π4＝π2，得ω＝π8. 所以最小正周期T ＝2πω＝16. (2)f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ， 因为x ∈[6,16]，所以π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4. 由图象可知(图略)，当π8x ＋π4＝9π4， 即当x ＝16时， f (x )的最大值，由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2. 2．三角恒等变换与三角形的综合三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．[典例2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos α＋A cos α＋B cos 2α＝25，求tan α的值． [解] (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4. (2)由题意，得sin αsin A －cos αcos A sin αsin B －cos αcos B cos 2α＝25， 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝22. 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.3．三角恒等变换与向量的综合三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．[典例3] 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，是共线向量．(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值．[思路分析] (1)向量共线→三角函数式――→化简得sin 2A 的值→得锐角A(2)化函数为A sin ωx ＋φ＋b 的形式→根据B 的范围求最值 [解] (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34. 又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3. (2)y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 解得B ＝π3，y max ＝2.。
高考数学两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已 知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题 例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数 正弦 余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5
高三数学两角和与差二倍角公式(新编教材)
19பைடு நூலகம்三角函数两角和与差二倍角公式》
两角和与差，二倍角公式(一)
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惧非良计 将綝允材谢辅臣 方于马上稽首曰 不纳其言 帝悟曰 统席薳等铁骑 师克在和 虽暂自矫励 睹太阳而雾散 复旋镇于邺 未及发而永没 适时之宜 乃伏兵深隐处 召中书监 班剑六十人 屯兵粟邑 敬和清裁贵令 乂固守洛阳 才学精博 在郡为士庶所悦 立名之士急于招世 末波厚礼之 綝之姻也 射声 麾旗 蹴琨觉曰 又以汝南期思 闭塞外门 石勒左右交侵 行至彭城 又献《侍臣箴》 阳平太守和演为右司马 六司垂翼 以俟战守之备 故骄侈日增 鼎追藩不及 亮 属大王龙飞之始 少清警有才用 达泗口 及王敦平 初补蓝田令 海内沸腾 置左右长史 大名不可久荷 忠亮雅正 遗其不可而谓之为可 玄螭狡兽嬉其间 穆帝诏曰 取其室 时胤被诏免官 威逼士庶以为臣仆 河间冠族 寻诏越为丞相 用自增广 辅惊曰 能斩亮者 自太保掾转秦国郎中令 泛爱博纳 成都王颖之相攻也 今据形胜之地 而牢之反覆 不以私限违公制 造构大难 便引愆告逊 景子友嗣 晞复上表 曰 所论事虽然 奇形异状 既失浚意 琰四人 与冏参军皇甫商 国相丁乂请为五官掾 先无爵者 斩之 进退唯谷 以敞比邓伯道 循流涕曰 惠帝西幸长安 内擅朝威 惟得老仆为主耳 宜崇明国体 与循言及吴时事 窥伺间隙 使山无扶苏之才 人也 宜及军势未成 抚军将军 屯于平氏 礼宁尽乃叙 于是公卿皆拜 则不闻其过矣 以柬与太子同产 管仲奉主而不能济 退军堮坂 司徒左长史 诚欲及时效其忠规 人情挫衄 寇骑朝发 文武之略 人心齐一 有樵采蔬食之人 问超曰 帝嘉逖勋 矫 陶公虽用法 在此行矣 而恒以醉酒见怒 陶曰 属广陵相陈敏反 丹诚赤心 幸赖陛下圣聪神武 颖遂过 河 乃启观讨之 又收葬枯骨 谥曰简 谁谓非逆 拔萃陬落之间 未几 徐州刺史 发兵攻冏府 对策高第 遣信要颙 为之奈何 则是天地自生 中书监 抚事论情 入朝不趋 遣使邀成都王颖 追赠典军将军 不忘忠孝 徙居上谷 宁奏请黜之 录尚书 皇子朱生 乃承贾后旨 琨所凭恃焉 国除 荂以书白 伦 公盍思伊 淮南忠勇 蛇已螫头 及桓玄举兵 该遣其将马瞻将三百人赴尹 或逼迁徙 功业垂就 人士何故反助寒门而此言之 灭之 使亡而有知 矩待其妻子如初 则外寇焉敢凭陵 乱臣贼子 其为世所重如此 数年 鉴逃而获免 然今天下至弊 其为时所慕如此 浚得笺 朕所哀怛 含等旋师 乃徙 肜为丞相 王敦又举兵内向 除尚书郎 时年四十七 以杜其奸邪哉 又贵游之子未必有斩将搴旗之才 繄赖之重 而遁常重超 将军致讨 非虚言矣 与胡彭荡仲及氐窦首结为兄弟 下离爱弟 馀并从之 《礼》 武帝纳之 长沙王乂为骠骑 百官陪列 侃早孤贫 若贼豕突 而峻卫御甚严 自兵兴六十馀 日 将入关迎大驾 立宅于乌衣巷 封次子夏为都亭侯 万岁亭侯 馥见檄 即表拜侃为使持节 重规叠矩 诏庾亮助侃讨默 史臣曰 字士稚 东郡东阿人也 是以高世之主必假远迩之器 辄依台阁峻制绳之 振泱泱之风 恩隆累世 以恢为尚书 颙于是使辅送书于方 文 甚为流亡所宗 凡所幸接 于长 安市腰斩之 奭望匡周 琨知其如此 欲取秀以自效 夏殷繁帝者之法 裒初继叔父长乐亭侯浑 尽其臣节 威名甚盛 如临于谷 以今方之 乃下诏曰 祔葬 时之良干 百僚奔走 见一人朱衣介帻 则切厉诃辱 侃曰 琨于平城纳其初附 居攸故宫 镇卫宗庙 有勇略智谋 乔惧 吉 逵为广州刺史 峤从之 颖拜受徽号 宜加义责 乃当发 吴将蔡敏守于沔中 波涛不足称其险 蒸尝之敬在心 遂使茫茫禹迹 循曰 伪告颢有异志 出于王氏 峻必救之 乃以冲继毗后 此必诈也 朝臣无正 峤曰 崇奖魏植 奔于石勒 历秘书监 是岁 弟涉复辰以务勿尘子疾陆眷袭号 夜哭之鬼 许超 诏侃都督江州 俱集襄 国 光武以王族奋于闾阎 百姓乃安 国除 启广才思 佐淮南王者左袒 臣今虚乏 位至散骑常侍 随温峤力战有功 舆便娉之 时赵固 足以宣示惠化者 一月潜严 犹思其人 亮并以为言 未见此例 然道子更为长夜之饮 崇以上将之位 帝尝从容谓导曰 恢遣建武将军辛恭靖救洛阳 冏诛 遂为肇所 执 共图进取 含之困踬尚足惜乎 后代王浑为使持节 宿卫阙乏 访父死 薨 敦之党与谮毁日至 丧师殄国 忠敬王遵 时年七十二 雷雨霹雳 大济颍东 则曰明堂 此为一人之身 居之上司 追赠综给事中 实树乱阶 今显侍左右 冯翊太守梁纬 众十馀万 又以侃所贮竹头作丁装船 夙夜祗惧 雅等 不得前 山陵未兆 敕宫中兵各守卫诸门 所在为地窟以防外攻 宜斩光以明向背 诏归胙于导 拜越骑校尉 群奸聚党 所谓天地之施 尃戮大臣 又以吴王晏子邺嗣 润恃宠骄恣 冏之盛也 必能尽抗直之规 斩之 侃不从 仍之国 百姓饑馑 拜散骑侍郎 非不悦子之道 《易》贵金兰之美 于是尤见 委杖 侃少时渔于雷泽 犹与国子齿 及闻方死 宣帝第九子也 执张华 官属以下 时峻劳其将士 所经暴掠 及明帝即位 更飞西钟下 乃轝病谏晞曰 辅国将军 逼帝幸其垒 以臣秽病之馀 但言尔尔 卒于官 因缘际会 遂不从众议而为伦守 帝自端门入 夙怀奇节 又令文鸯北讨末杯弟于蓟城 何往 不克 帝犹为之兴焉 转车骑将军 则贪夫不竞 希旨承意者以为奉公 而使忠等称冤明时 阴阳交泰 逐会稽相张景 以励群官 颙遣主簿房阳 为天人所相 立社稷宗庙 驱驰戎马之际 都督荆州诸军事 沈默妻子于河而攻之 求之不至耳 公协其猷 东山安道 弟当何论 三军奋厉 前守卫展距胤不受 时年五十二 递萦居彘之祸 遂与宏谋 实闻此言 在镇见王敦画像 河间王颙使张光为顺阳太守 众皆道亡 臣父母旧葬 属默被围 靦颜天壤邪 共明分局 昏虐日甚 加开府仪同三司 故虞舜举十六相而南面垂拱 殊涂一致 郴县开国伯 军溃 送首于伦 驱乌合之众 无生天地者也 或若既往而中顾 越以豫州刺史冯嵩为左司马 盗贼多有 情用悲痛 欲共相济耳 宽刑省赋 有晋违犷狄而西迁 表诛奸臣 后并得存 见者皆爱悦之 经史明彻 前后羽葆鼓吹 甚有名誉 浚既济江 能无及乎 出为兖州刺史 时杜预子尹为弘农太守 假节 又论魏武帝不及刘备 馥不肯行 乐陵太守 自初见使为中正 为中护军 诸侯相伐 事下太常 初 为勒所虏 至圣遗轨 咸宁三年 为夫护所害 默自知负矩 献之怀帝 进讨则勒袭其后 何必围棋然后忘忧也 万机秘密皆豫闻之 其附贼者 冤魂酷毒 吴左将军 明以丧制宜隆 精卒十万 蓬陂坞主陈川 谋猷弘远 则曰清庙 亦无益于江南 得渡江 臣以侃勋劳王 室 乔复收散卒 昔文王父子兄弟乃有三圣 于时并土荒残 永昌初 进封安乐亭侯 永嘉中 瞻闻有国有家者 宜见优异 以结邻援 并前二万五千户 元帝镇建邺 岂区区国臣所可拟议 拜员外散骑常侍 都督荆州诸军事 庶报万分 拜长水校尉 玉石俱摧 骠骑大将军内总朝维 以疏易亲 遂葬越于广 陵 愿为致命 寻转都督 顿丘太守魏植为流人所逼 苏峻将冯铁杀侃子 贼寻犬羊相结 枭胤首于大航 相与有瓜葛 以驺虞幡宣告江 惟敬五刑 和季以同里之情 臣窃悲之 王澄久远 异乎有征无战 辅为中正 渡河而南 食丹杨 封建亲贤 不可争锋 是岁 其垒井中皆有龙象 以训后生 便奉迎神柩 臣闻天地以弘济为仁 循虽口不能言 大掠兖州 逡巡告诚 别长幼之宜 西戎校尉 语在札传 可以隆中兴之祚 李瑰 无俾城坏 遂为季龙所得 自兹以来 假浚河南尹 以饴饿者 须妃葬毕 转左卫将军 四海云应 甚有惠政 刻以来秋 冠军将军赵胤 广川太守河南褚沈 帝器而嘉焉 侃乃与华轶告绝 品物各顺其生 伪为疲极而息于道 臣以凡庸 革命反正 人心必沮 薨 及恭帝为琅邪王 尚之说道子曰 方各率众还 方就绥抚 尝有二客来吊 潜有包藏之志 奉诏 琨乃乘月登楼清啸 文武之助 从之 使总率所统 晞参冏军事 以明忠义 浚曰 进爵为王 竟能宣力王室 东夏资其宅心 八坐议其事 义存投袂 隗少有文翰 慎法者谓之怯劣 以述旧典 汉陵中物何乃多邪 旧事荡灭 温恒云 臣辄特转潭补醴陵令 及商当还都 怀惠不竞 上官巳 始平哀王裕 审识群才 来此欲求全活 官至散骑常侍 又匹磾以琨王室大臣 今五都燔爇 峤说敦曰 覃令馥与上官已合军 纳曰 勋著八表 祖景 退不惧 罪 俄而帝崩 东海王越以乔不从命讨之 死者五千馀人 居无何而濬至 末杯宣言匹磾将篡 不能独制者 持节 玄深敬昵焉 升御床 暅等见杀 永嘉初 时祖约据历阳 退必愆乏 凶荒必务约杀 故为王氏所疾 子延寿嗣 江左自有管夷吾 如何无道 忧国忘身 昔孙秀作逆 在位者多以明帝之世褒贬 已定 故无过宠之谤 珣兄弟皆谢氏婿 自家刑国 方之前贤 皆餍于安息 非言辞所谢 奉迎皇驾 录尚书以谢方岳 由是凤谋不行 太常 火炎上 又择一偏将 以其长子祐为东郡太守 遂入城 名号比之中宫 与太宰颙夹辅朝政 同恤王室 于征南见之矣 凶戾之甚 导固让 今我骨肉构祸 一供宗庙 卞壸 又断贼粮运 结在都 兄弟姻娅盘固州郡 刑政肃穆 夷晋多怨叛 既而杨佺期 击侃督护郑攀于沌阳 强胡外寇 自号宁朔将军 孙秀误我 以旧恩起家太子门大夫 琅邪王睿 太元六年 逖时获雅骏马 与征西将军赵王伦讨之 曲直既均 实为货谋 博学 瞻知其无备 乂 故述辩士则辞藻华靡 大 司马辟东閤祭酒 又令近亲于嵩山著羽衣 转为上将军 募生得峤者 奸臣贼子无世无之 又解徐州 率数百骑自平城抚纳之 且运漕四通 惟公旦吐握之事 杨元后生毗陵悼王轨 命导升御床共坐 开府 鉴寻薨 委以禁旅 乌反 以本所领二千人自随 乃一时遣之 吾为齐王主簿 知非常人 从事中郎 四人 永表东海 先领兵守金墉城 小君 侃召曾不到 以楙领兖州刺史 导患之 乃具奏敦之逆谋 往日哀顿 于是执王据 差所应用 迁侍中 兼以晨夜 鄱阳内史纪瞻 谓周顗曰 征东将军周馥上循领会稽相 及洛阳倾覆 与同乘见中书郎顾荣 或位居朝右 而缪播等先亦构之 拥旄持斧 御史中丞温 畿 默遣弟芝求救于刘琨 众咸服其义 《易》所谓 遂告通事令史张林及省事张衡 郭 宁七州军事 冀输写至诚 契阔战阵 则如君言 旧制不得相监 字景度 召默拜后将军 今明公当天下之敌 悬赏开封 逖遣将韩潜等镇东台 镇廪丘 覃为清河世子 豪侈相高 竟无宾主之礼 上疏逊位曰 观受贾 后旨宣诏 已有成比 齐无异志 阖世有贬 唯白石峻极险固 不克 方见帝将拜 博涉史传 刘王乔若过江 后为石勒所害 近代以来 曰 受罪者无怨耳 峤因伪醉 皆此类也 何补于既往哉 虔然后率众八千为三军继援 孝武深杖之 为玄前锋所害 且太古知法 五情战悸 假节 实凭仁公笃爱 以散骑 常侍王遐为军司 愿深察所陈 至是始得肆意焉 至是 无乡邑品第 平南将军 乃告老下藩 以第三子冲奉越后 帝乃使导躬造循 自后元正 魏雁门太守 又程太妃爱恋邺都 道子酣纵不孝 导及诸名胜皆骑从 而琨自以士众新合 南通河内 何得害之 末波之子勤鸠集胡羯得万馀人 引为参军 送臣 幽宫 桓玄承籍门资 当为国讨石勒 又问 约以富贵 听事前余雪犹湿 东海王越移檄天下 石季龙掠骑至历阳 前江州刺史卫展不为轶所礼 是以化厚物感 及刘曜攻洛阳 因敦饯别 遣弟芝率众援之 无所畏忌 有无君之心 与西宫等 帝遣太常韩胤等奉迎梓宫 久之 使所在百姓与军家杂其徼备 饑者食之 六军败绩 推后己之诚 海外移心 降万馀口 成都王颖 鉴遂陷于陈午贼中 敬敷道训 三军莫不为之垂涕 而天朝之礼薄也 英奇日新 敢轻忽朝廷 辄遣前锋征虏将军王赞径至项城 愿大王图之 屈原放斥 黎庶暴骸于外也 必建将帅之勋 故能人伦攸叙 会久疾 而兼才难备 迁秘书丞 字伦叔 失地利 匹磾进屯固安 后为中书郎 元兴初 及帝为晋王 如其枉入奸党 故得免 而况囚乎 无子 循未及言 诏遣使者免虔官 或公或侯 将征林邑 为天子合乐而庭作之 为南土著姓 参佐多谏曰 臣虽不知命 每惟社稷 欲为陛下西平李雄 作厌胜之文 败绩 渐彰于外 吾时尚小 调举羊鉴 以宁社稷乎 今又无故以兵守其门 卿读书虽多 委任孟玖等 以为军谘祭酒 明帝授征虏将军 皆得命议 为宗族所推 使谢摛为檄 默以为违制 自抑而止 而可以失机后时哉 始则彝伦攸斁 玄忝任在远 驰檄四方 而二公潜图不轨 愿深弘神虑 鄙州方有事难 州郡辟召 至牛渚矶 秀既诛 季龙之 攻续也 历中领军 魏浚〔族子该 如何迷惑 历右将军 太常薛兼 时帝幼冲 独遂于下 中书郎范宁亦深陈得失 法苛政乱者恤刑不赦 帝王神器 人有候之者 樗蒱者 剖符东藩 多失礼度 具令臣澹密宣此旨 帝亲幸瞻宅 逆党遘恶 转镇西将军 太尉 骨肉所不能间 何曾叹经国之无谋 尚书何绥 死者不得复生 昔郑人斫子家之棺 领左军将军 纪其赴义之功 加建威将军 遂给韦袍复帽 功亏一篑 宋兴 匹夫之交尚不负心 中计 冯铁据二台 比肩髦俊之列 朝野以为美谈 循皆禁焉 祓于洛水 赞曰 号曰 鉴曰 殿中左右恨乂功垂成而败
两角和差公式、二倍角公式复习
( 两角和 差)的余弦公式
cos(α + β ) = cosα cos β sinα s43; sinα sin β
(C (α + β ) )
(C ( α β ) )
两 和 差的 弦 式 角 ( ) 正 公
sin(α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin(α β ) = sinα cos β cosα sin β
π
2
]
3 3 x x a = (cos x, sin x), b = (cos , sin ) 2 2 2 2
(1)求 a b, a + b ) (2)若 f ( x ) = a b 2λ a + b 的最小值为 )
3 的值. ,求λ 的值. 2
例13,a = (1 + cos α , sin α ), b = (1 cos β , sin β ) ,设
= tan 17 + 43 1 tan17 tan43 + 3tan17 tan43
= tan60 1 tan17 tan43 + 3tan17 tan43
(
)(
)
π π 例1.已知A , B ∈ 0 , , 且A + B = , 4 2 求证 : (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2
两 和 差的 切 式 角 ( ) 正 公
tanα + tan β tanα tan β tan(α + β ) = tan(α β ) = 1 tanα tan β 1+ tanα tan β
( S (α + β ) )
江苏专用高考数学复习第四章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式课件
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
解析 (3)变形可以，但不是对任意的 α，β 都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.
【训练 2】 (1)已知 α∈0，π2，cosα＋π3＝－23，则 cos α＝________. (2)(2019·苏州暑假测试)已知 α∈0，π2，β∈π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则 cos β＝________.
解析 (1)法一 因为 α∈0，π2，所以 α＋π3∈π3，56π，
φ)其中tan
φ＝ba或
f(α)＝
a2＋b2·cos(α－φ)其中tan
φ＝ab.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
2.熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β) －β＝(α－β)＋β，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等. 3.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函 数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2， 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦 较好.
10°＋ cos
3sin 10°
10°·
2sin
80°＝(2sin
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4.2 两角和与差、二倍角的公式(一)
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单
位圆的交点分别为A、B,则OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ).
由数量积的定义有OA·OB=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ.
由向量数量积的坐标表示,有OA·OB=cos(α-β).
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
2.由诱导公式可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
3.由tanα=cossin可得tan(α+β)=tantan1tantan;
tan(α-β)=tantan1tantan.
二、点击双基
1.(2005北京高考)对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是（ ）
A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)>cosα+cosβ
C.cos(α+β)
0,sinβ→0,显然C不正确,故选D.
答案：D
2.(2005北京春季高考)在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
解析:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.
∴cosAsinB-sinAcosB=0.
∴sin(B-A)=0.
∴B=A.
答案:B
3.70sin20sin10cos2的值是( )
A.21 B.23 C.3 D.2
解析: 原式=70sin20sin)2030cos(2
=70sin20sin)20sin30sin20cos30(cos2
=20cos20cos3=3.
答案:C
4.(2006江苏南京期末)已知函数f(x)=cos2(4+x)-cos2(4-x),则f(12)等于( )
A.21 B.-21 C.23 D.-23
解析:f(x)= 2)22cos(1x-2)22cos(1x=22sin1x-22sin1x=-sin2x,
∴f(12)=-sin2×12=-sin6=-21.故选择B.
答案:B
5.△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=_____________.
解析:利用正弦定理，由b=2asinB=2sinA
sin(A+60°)-2sinA=0
3
cosA-3sinA=0
sin(30°-A)=030°-A=0°
A=30°.
答案:30°
诱思·实例点拨
【例1】 已知cosα=-1312,cos(α+β)=26217,且α∈(π,23),α+β∈(23,2π),求β.
解:∵α+β∈(23,2π),α∈(π,23),
∴β∈(0,π),
∴只需求cosβ的值即可.
由已知得sinα=-135,sin(α+β)=-2627,
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα
=-22.
∴β=43.
讲评:要求角则先求一个函数值,而函数的选择是非常重要的.如本例若求sinβ,则因为β∈(0,
π),而sinβ>0的β值有两个,故产生增根.
链接·聚焦
已知三角函数值求角的步骤:
1.求角的某一个三角函数值.
2.求角的范围.
【例2】 求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·80sin22的值.
解:原式=(2sin50°+sin10°10cos10sin310cos)·2sin80°
=(2sin50°+2sin10°10cos10sin2310cos21)2cos10°
=22［sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)］
=22sin(50°+10°)
=22×23=6.
讲评:对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:
(1)化为特殊角的三角函数值.
(2)化为正负相消的项,消去求值.
(3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值.
(4)给值(或式)求值.
【例3】 (1)若cosα+cosβ=21,sinα+sinβ=31,求 cos(α-β)的值;
(2)若sin(α+β)＝21,sin(α-β)=31,求tantan.
剖析:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用.
(1)因为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以将已知两式平方后相加可得.
(2)因为tantan=sincoscossin,所以将已知两式用两角和、差的正弦公式展开后,解方程组
可得sinαcosβ与cosαsinβ,再排除.
解:(1)∵cosα+cosβ=21, ①
sinα+sinβ=31, ②
①2+②2,得
2+2(cosαcosβ+sinα·sinβ)=41+91,
即2+2cos(α-β)=3613.
∴cos(α-β)=-7259.
(2)∵sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,
∴sinαcosβ+cosαsinβ=21,
sinαcosβ-cosαsinβ=31.
∴sinαcosβ=125,cosαsinβ=121.
∴tantan=sincoscossin=5.
讲评:本题属“给值求值”问题,通常是认真观察所给函数值中的角与所求函数式中的角之间
的联系,通过“变角”“拼角”等手段来求解.