5.2特殊角的三角函数值的计算(2015年)
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
当堂练习
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( ) A．40° B．30° C．20° D．10°
2. 已知 sinA = 1 ，则下列正确的是
()
2
A. cosA = 2 2
C. tanA = 1
B. cosA = 3 2
D. tanA = 3
课堂小结
30°、45°、60°角的三角函数值
特殊角的三角 函数值
通过三角函数值求角度
1，快速计算 (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) 1csoi6sn600 ta1n30 ；
2. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15° 的值.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的知识，推导出30°、 45°、 60°角的三角函数值. (重点) 2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加
以运用. (难点)
导入新课
复习引入
sin
A
=
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC AB
.
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
AC AB
.
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
一 30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这
高中数学特殊角的三角函数值表
高中数学特殊角的三角函数值表三角函数是数学中非常重要的一个概念，而特殊角则是其中的一类特殊情况。
在高中数学学习中，特殊角的三角函数值表是必不可少的工具，通过掌握特殊角的三角函数值，我们可以简化计算，加快解题过程。
本文将给出高中数学中常见的特殊角的三角函数值表，希望读者能够掌握并灵活运用。
1. 弧度制与角度制的关系在学习三角函数值表之前，我们首先来了解一下弧度制和角度制之间的关系。
弧度制是一种角度的计量单位，常用符号为rad，而角度制则是另一种常用的角度计量单位，常用符号为°。
我们知道一个周角对应的弧度数是2π，而一个直角对应的弧度数是π/2。
所以特殊角的弧度值和三角函数值之间存在着特殊的对应关系。
2. 特殊角的三角函数值表下面给出一些高中数学中常见的特殊角的三角函数值表：2.1. 0°、90°、180°、270°•0°对应的弧度为0，sin(0)=0，cos(0)=1，tan(0)=0•90°对应的弧度为π/2，sin(π/2)=1，cos(π/2)=0，tan(π/2)=∞•180°对应的弧度为π，sin(π)=0，cos(π)=-1，tan(π)=0•270°对应的弧度为3π/2，sin(3π/2)=-1，cos(3π/2)=0，tan(3π/2)=∞2.2. 30°、45°、60°•30°对应的弧度为π/6，sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2，tan(π/6)=√3/3•45°对应的弧度为π/4，sin(π/4)=√2/2，cos(π/4)=√2/2，tan(π/4)=1•60°对应的弧度为π/3，sin(π/3)=√3/2，cos(π/3)=1/2，tan(π/3)=√32.3. 120°、135°、150°•120°对应的弧度为2π/3，s in(2π/3)=√3/2，cos(2π/3)=-1/2，tan(2π/3)=-√3•135°对应的弧度为3π/4，sin(3π/4)=√2/2，cos(3π/4)=-√2/2，tan(3π/4)=-1•150°对应的弧度为5π/6，sin(5π/6)=1/2，cos(5π/6)=-√3/2，tan(5π/6)=-√3/32.4. 210°、225°、240°•210°对应的弧度为7π/6，sin(7π/6)=-1/2，cos(7π/6)=-√3/2，tan(7π/6)=√3/3•225°对应的弧度为5π/4，sin(5π/4)=-√2/2，cos(5π/4)=-√2/2，tan(5π/4)=-1•240°对应的弧度为4π/3，sin(4π/3)=-√3/2，cos(4π/3)=-1/2，tan(4π/3)=-√3结语通过掌握特殊角的三角函数值表，我们可以更加轻松地处理三角函数的计算，解题时也能更加迅速地得出答案。
特殊角的三角函数值
同角之间的三角函数的关系
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
求证: sin2 A cos2 A 1.
a b 2 证明 : sin A , cos A , a b 2 c 2 , c c 2 2 a b a 2 b2 c 2 2 2 sin A cos A 2 1. 2 c c c c 即sin 2 A cos2 A 1.
cosA=sinB.
cotA=tanB.
sin 90 cos , cos 90 0 sin ,
0
tan 90 cot ,
0
cot 90 tan ,
0
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin30°等于多少?
则下底BC的长为 __________．
A 30° B D 60° C
【答案】10
24 4.计算： 2(2 cos 45 sin 60) 4 2 3 2 6 原式 2(2 ) 【解析】 2 2 4
6 6 2 2 2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °的特殊三角函数值及推导 方式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
(2)cos30°等于多少? (3)tan30°等于多少? (4)cot30°等于多少?
45° 45° ┌ 60°
30°
┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
(5)sin45°,sin60°等于多少? (6)cos45°,cos60°等于多少?
《特殊角的三角函数值》 说课稿
《特殊角的三角函数值》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的题目是《特殊角的三角函数值》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“特殊角的三角函数值”是人教版九年级下册第二十八章锐角三角函数中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了锐角三角函数的定义，为本节课的学习奠定了基础。
本节课主要介绍了 30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦、正切值，并要求学生能够熟练记忆和运用这些值进行计算。
特殊角的三角函数值在数学中有着广泛的应用，不仅在解决几何问题、物理问题等方面发挥着重要作用，也是后续学习解直角三角形的必备知识。
同时，通过对特殊角三角函数值的探究和记忆，有助于培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
二、学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于三角函数这一概念的理解可能还不够深入。
在学习本节课之前，学生已经掌握了直角三角形的相关知识和锐角三角函数的定义，这为学习特殊角的三角函数值提供了有利条件。
然而，由于三角函数值的计算较为抽象，学生在记忆和应用这些值时可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、分析和归纳来理解和掌握特殊角的三角函数值，同时通过适量的练习来巩固所学知识。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）能够推导并熟记 30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
（2）能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数式的值。
2、过程与方法目标（1）通过对特殊角三角函数值的推导，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。
（2）通过对三角函数值的应用，提高学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）在探究特殊角三角函数值的过程中，让学生体验数学的乐趣，激发学生的学习兴趣。
(完整版)特殊角的三角函数值的巧记
特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。
1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是3掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：0013sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶12，那么，就不难记住：002sin 45cos 452==，00tan 45cot 451==。
这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ →30˚→45˚ →60˚ →90˚变化；值从0→21→22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°==tan45°=13=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧
高中数学中的三角函数利用特殊角值简化计算的技巧三角函数是数学中的重要概念，而在高中数学中，我们经常会遇到需要计算三角函数值的情况。
为了简化计算过程，我们可以利用特殊角值的技巧，来快速得到结果。
本文将介绍一些常见的特殊角值，并说明如何利用这些特殊角值简化计算。
一、特殊角值的定义在三角函数中，我们通常会用到正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
而特殊角值指的是一些特定角的函数值，这些值具有简单的表达式，可以方便我们进行计算。
下面是一些常见的特殊角值及其函数值：1. 0度：sin 0° = 0，cos 0° = 1，tan 0° = 02. 30度：sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√33. 45度：sin 45° = √2/2，cos 45° = √2/2，tan 45° = 14. 60度：sin 60° = √3/2，cos 60° = 1/2，tan 60° = √3以上是一些常见的特殊角值，我们可以将它们牢记于心，以便在计算过程中使用。
二、利用特殊角值简化计算的技巧1. 利用特殊角的三角关系在三角函数中，存在一些特殊的角之间的关系，如30度角、45度角、60度角之间的关系。
通过利用这些关系，我们可以推导出其他角的函数值，从而简化计算。
以30度角为例，我们已知 sin 30° = 1/2，cos 30° = √3/2，tan 30° = 1/√3。
利用这些已知值，我们可以得到其他角的函数值：- sin 60° = sin (2 * 30°) = 2 * sin 30° * cos 30° = √3/2- cos 60° = cos (2 * 30°) = cos² 30° - sin² 30° = 1/2- tan 60° = tan (2 * 30°) = 2 * tan 30° / (1 - tan² 30°) = √3通过这种方法，我们可以快速得到其他角度的三角函数值，从而简化计算过程。
数学九年级人教版特殊角的三角函数值(教案)
2.通过探索特殊角的三角函数值规律，提高学生数学建模和直观想象的能力；
3.学会运用特殊角的三角函数值解决实际问题，发展学生数学运算和数据分析的综合运用能力；
4.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高学生的团队合作意识和问题解决能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，演示特殊角三角函数值的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊角的三角函数值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
6.最后，我认识到教学过程中的评价和反馈对于学生的学习至关重要。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，给予每个学生充分的鼓励和指导，帮助他们克服学习中的困难，提高学习效果。
a.利用图像、口诀等方法加深学生记忆，如“三六九，正弦一；四六八，余弦一；五五五，正切一”；
b.通过实际例题，引导学生运用特殊角的三角函数值进行计算，从而加深记忆；
c.组织学生进行小组讨论，交流记忆方法，培养学生的合作意识和自主学习能力。
在解决实际问题时，学生可能难以建立数学模型，教师应通过以下方法引导学生：
2.在新课导入环节，通过提问方式引导学生思考生活中的实际应用，激发了学生的兴趣。但在实际操作过程中，我发现部分学生对于将理论知识与实际应用相结合仍感到困惑。为了更好地帮助学生理解，我计划在后续的教学中增加更多实际案例的分析，让学生在实际问题中感受特殊角的三角函数值的作用。
3.学生在小组讨论环节表现出较高的积极性，能够主动提出自己的观点并与小组成员进行交流。但在讨论过程中，我发现部分学生对于问题的分析仍不够深入，容易停留在表面。针对这一问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，提出更具启发性的问题，帮助学生深入思考。
25.2.2学生特殊角的三角函数值及计算
义务教育 九年级 数学（华师版） 课型 新授 主备人张永强 组长 年级主任 使用时间 13年11月14日25.2.2特殊角的三角函数值及计算姓名： 小组： 评价：【学习目标】:1、会求出30°、45°、60°角的三角函数值。
并能简单运算。
2、在学习中渗透普遍存在的相互联系、相互转化观点，逐步培养学生观察、分析、比较、概括的思维能力。
3、感受推理的合理性，养成科学的学习态度。
学习重点：推导并熟记特殊角30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
学习难点：会用特殊角的三角函数值进行计算。
预习一．学法指导：1、旧知链接：如图在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
（1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ，∠A+∠B= 。
（2）sinA= ca ，cosA= tanA= ; sinB= ， cosB= ，tanB= 。
（3）若A=30°，则ca= __ 。
（4）sinA 和cosB 有什么关系?____________________；2、新知预习 : ① 独立阅读课本90-91页本节内容，对重点内容做好圈点勾画。
②结合课本的基础知识和例题，完成相关练习。
3、预习检测（课件）探究探究一：推导特殊角的三角函数值[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?请用逻辑推理的办法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢? cot30°呢？[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?请完成下表：★学法指导：：（1）图形记忆（2）列表记忆（3）规律记忆观察上表，我们是否发现，对于同名三角函数，当角度发生变化时，函数值有什么变化？例1：求下列各式的值．（1）sin30°+cos45° (2)sin 260°+cos 260°-tan45° （3）cos 45sin 45︒︒-tan45°30° 45° 60° sin α cos α tan α cot αb A B Ca ┌c┌┌300600450450阳光高效课堂导学稿探究二：利用特殊角的三角函数值求角。
九年级数学上册《特殊角的三角函数值》教案、教学设计
3.课后反思：布置反思性作业，引导学生思考如何将所学知识运用到其他学科领域。
-作业：“请同学们思考一下，特殊角的三角函数值在其他学科领域有哪些应用？下节课我们来分享。”
五、作业布置
为了巩固学生对特殊角三角函数值的学习，提高他们的实际应用能力，特布置以下作业：
-展示图片：“请大家看这张图片，这是一座等腰直角三角形形状的建筑。如果我们知道了其中一个角的度数，如何求出其他角的度数以及边长呢？这就需要用到我们今天要学习的特殊角的三角函数值。”
3.提出问题：引导学生思考特殊角三角函数值的特点及记忆方法。
-提问：“特殊角的三角函数值有什么特点？如何记忆这些值呢？”
4.引导学生总结学习方法，形成知识体系，提高自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学美的感受，激发他们对数学学科的兴趣。
2.培养学生勇于探索、积极思考的精神，使他们具备解决问题的信心和能力。
3.培养学生团结协作、互帮互助的品质，增强他们的集体荣誉感。
4.引导学生认识到数学在生活中的重要作用，提高他们的数学素养。
3.鼓励学生自主完成作业，培养独立思考的能力，遇到问题时，可向同学或老师请教。
4.家长要关注学生的学习进度，适时给予指导和鼓励，共同促进学生成长。
5.教师要及时批改作业，给予反馈，关注学生的学习情况，为下一节课的教学做好准备。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角函数的概念有初步的了解。在此基础上，他们对特殊角的三角函数值的学习将更具挑战性和实际意义。学生在此阶段，抽象逻辑思维逐渐发展，具备了一定的观察、分析、归纳能力。但个体差异仍然存在，部分学生对数学学习缺乏兴趣，对特殊角三角函数值的记忆和应用能力较弱。因此，在教学过程中，应关注以下方面：
人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计2
人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级下册《特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值》这一章节是在学生已经掌握了锐角三角函数的定义、正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系的基础上进行学习的。
通过这一章节的学习，使学生能运用所学的锐角三角函数的定义，求特殊角的三角函数值；会使用科学计算器测量角的三角函数值，提高学生动手操作能力，培养学生的创新意识和探索精神。
二. 学情分析学生在八年级时已经学习了锐角三角函数的定义、正弦、余弦、正切函数的定义及它们之间的关系，为本节课的学习打下了基础。
但学生在学习过程中，可能对特殊角的三角函数值记忆不牢，对科学计算器的使用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固特殊角的三角函数值，同时，教会学生如何使用科学计算器求角的三角函数值。
三. 教学目标1.知识与技能目标：掌握特殊角的三角函数值，能运用所学的锐角三角函数的定义，求特殊角的三角函数值；会使用科学计算器测量角的三角函数值。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生的创新意识和探索精神。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的动手操作能力，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 教学重难点1.重点：特殊角的三角函数值。
2.难点：如何使用科学计算器求角的三角函数值。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过自主学习、合作交流，发现知识规律。
2.示范法：教师示范使用科学计算器测量角的三角函数值的方法。
3.练习法：学生通过练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、科学计算器。
2.学具：学生科学计算器、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式复习特殊角的三角函数值，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（5分钟）教师通过多媒体课件展示特殊角的三角函数值，引导学生观察、思考，发现其中的规律。
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1. (2015 内蒙古兴安盟) 计算：2sin45°+（﹣2）2﹣
+（2015﹣π）0
．
答案：解：原式=2×
+4﹣+1=5．
2. (2015 黑龙江省绥化市) 先化简 ，再求值。
x x x x x x x 444122x 22-÷⎪⎭
⎫
⎝⎛+----+ ， 其中 x =tan 600+2。
答案：解：原式=[﹣
]•=•=•=，
当x=tan60°+2=
+2时，原式=．
3. (2015 四川省南充市) 计算
的结果是＿＿＿＿＿．
答案：答案
解析
试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2－2×=.
4. (2015 山东省淄博市) 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
答案：
分析：先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．
解答：解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°=0，cos45°=，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°=0，tan60°=，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选B．
点评：本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
5. (2015 江苏省无锡市) tan45º的值为（）
A．1
2
B．1 C．
2
2
D． 2
答案：】．
分析：根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可．
解答：解：tan45°=1，
即tan45°的值为1．
故选：B．
点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
6. (2015 湖南省湘西市) 】．计算：32﹣20150+tan45°．
答案：】．
分析：分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并．
解答：解：原式=9﹣1+1
=9．
点评：本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
7. (2015 黑龙江省大庆市) sin60°=（）
A． B． C． 1 D．
答案：
分析：原式利用特殊角的三角函数值解得即可得到结果．
解答：解：sin60°=，
故选D
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
8. (2015 甘肃省武威市) 已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= ．
答案：
分析：根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．
解答：
解：∵|sinα﹣|+=0，
∴sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
9. (2015 甘肃省庆阳市) 在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（）
A．45°B．60°C．75°D．105°
答案：分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．
解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，
则∠A=30°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选D．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．。