中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
一线三等角例题加答案
一线三等角例题问题描述给定一个等边三角形ABC，已知点D、E、F分别是BC、CA和AB的中点。
连接AD、BE和CF，求证：AD、BE和CF 是等边三角形的边。
证明要证明AD、BE和CF是等边三角形的边，我们需要证明三个长度相等的线段，即AD=BE=CF。
证明AD=BE连接线段AC，并延长线段BE交线段AC于点G，如下图所示：graph TDA((A)) -- AD --> D((D))A((A)) -- AC --> C((C))A((A)) -- AB --> B((B))B((B)) -- BE --> E((E))G((G)) -- BE --> E((E))C((C)) -- CF --> F((F))G((G)) -- CG --> C((C))三角形ACG和BEG，它们共有一条边AC，并且根据各边的定义，两个三角形的另外两条边DG和GE分别平行于AC和BE。
因此，根据平行线间的性质，有：AD/BE = DG/GE而根据题意，DG=AC，GE=BE，因此：AD/BE = AC/BE = 1所以，AD=BE。
证明AD=CF连接线段AB，并延长线段CF交线段AB于点H，如下图所示：graph TDA((A)) -- AD --> D((D))H((H)) -- CF --> F((F))A((A)) -- AC --> C((C))A((A)) -- AB --> B((B))B((B)) -- BE --> E((E))H((H)) -- AH --> A((A))三角形AHC和DFC，它们共有一条边AC，并且根据各边的定义，两个三角形的另外两条边AH和DF分别平行于AB和CF。
因此，根据平行线间的性质，有：AD/CF = AH/DF而根据题意，AH=AB，DF=CF，因此：AD/CF = AB/CF = 1所以，AD=CF。
全等模型(2)一线三等角 练习题(带答案
全等模型（2）一线三等角题集1.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为．【答案】【解析】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【标注】【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型2.如图，，，点在第一象限内．若、，则点的坐标为．【答案】【解析】做轴，轴，由三垂直模型可知，≌，∴设，则，∴，∴，∴．【标注】【知识点】辅助线综合运用3.如图，，，于，于，，，则的面积等于 ．【答案】【解析】∵，∴，∵于，∴，∴，又，，∴≌，∴，，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）4.如图，已知点是直线上的一个动点，在点运动的过程中，始终保持，并且于，于，．如图的位置时，请你判断线段、、之间的数量关系，并且证明你的结论．（2）（3）当直线绕点旋转到如图的位置时（），请你判断线段、、之间的数量关系是否有变化？并且证明你的结论．当直线绕点旋转到图的位置时（），试问：、、有怎样的数量关系？请直接写出这个数量关系．【答案】（1）（2）（3），证明见解析．有变化，，证明见解析．．【解析】（1）．∵，，∴，∴，∵，∴，（2）（3）∴．在和中，，∴≌（），∴，∴．．同（）可证明≌，∴，，∴．∴线段、、之间的数量关系有变化，．．同（）可证明≌，∴，，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）12（2）5.如图，，，于点，于点，其中．求证：≌．若，．求的长．连接，交于点，若，求的面积．【答案】（1）12（2）证明见解析．．．【解析】（1）12（2）∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在与中，，∴≌．∵≌，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型6.在中，直线经过点，且于，于，且，．（1）12（2）证明是等腰直角三角形．若，，，请你利用四边形的面积证明“”．若，、均为整数，试求出所有满足条件的值．【答案】（1）12（2）证明见解析．证明见解析．或．【解析】（1）1（2）∵于点，于点∴，∴，，与中有∴≌（），∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形．，，，∴2．四边形面积，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∵，、为整数，∴，且与均为整数，∴或或或解得：或故满足条件的值为或．【标注】【知识点】三垂直模型四边形（1）（2）7.解答下列各题：如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：．图（3）拓展：如图②，将（）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．图应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴，，（2）（3）∴．成立，仍为，理由如下：∵，在中，，，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，设的底边的高为，则的底边的高也为，∴，，∵，∴，∵，∴与的面积之和为．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角【知识点】三角形内角和的应用（1）8.解答下列问题．如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥直线，垂足分别为点、．证明：．图图（2）（3）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求证：．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）∵直线，直线，∴，又∵，11（2）（3）∴，，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∵，∴．∵，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．易证≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴．【标注】【知识点】一线三等角模型。
中考专题练习一线三等角
一线三等角(2 )当x何值时，y有最大值，最大值是多少？理论：略范例点睛1. 正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持/ APQ=90。
•当CQ=1时，写出线段BP的长3. (2007 •南京在梯形 ABCD 中，AD //BC,AB=DC=AD=6 ，/ABC=60。
，点 E、F 分别在线段AD、DC上(点E与点A、D不重合)，且/BEF=120。
，设AE=x , DF=y .(1 )求y与x的函数表达式；4. 女口图，Rt △ ABC 中,/ BAC=90 ° ,AB=AC=2 ，点D为BC边上动点(D不与B、C 重合)，/ ADE= 45 ° P E 交 AC 于点 E.(1)Z BAD与/ CD的大小关系为______ .请证明你的结论；(2)设 BD=x , AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当厶A是等腰三角形时，求 AE的长；(4)是否存在x，使△DC的面积是厶ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由.一.基础技能1. ( 2015?连云港)如图，在△ ABC中，ZBAC=60 ° ,Z ABC=90 °，直线I2//I3,丨1 与12之间距离是1 , 12与13之间距离是2 , 且l1 , l2 , l3分别经过点 A, B , C,则边 AC= .2. 如图，已知I1//I2//I3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina值是( )A. 1B. 6C._5D.J03 17 5 103. (2012 •苏州已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点 C1、曰、E2、C2、E3、曰、C3在x轴上.若正方形 A1B1C1D1的边6.如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B '处,点C恰好落在边 B'F上•若AE=3 , BE=5 ,___________________ __________________ I 则FC=长为 1，/B1C1O=60 ° , B1C1 //B2C2//B3C3, 则点A3到x轴的距离是（）4.如图，在边长为 9正三角形ABC中,BD=3，/ ADE=60。
一线三等角大题练习-答案
一线三等角大题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，23AB =，求点C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE的值． 2．【问题背景】（1）过等腰直角△ABC 的两个锐角顶点，分别向直角顶点C 所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D ，E ．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC =∠CEB =90°，AC =CB ，又由∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，得到∠ACD =∠CBE ，所以△ACD ≌△CBE ，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS ，SAS ，ASA ，AAS 或HL ）．图1【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A （-2，4），B （3，1），在直线AB 的上方，以AB 为边作等腰直角△ABM ，写出所有符合条件的点M 坐标：________．图23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝ ，BC ＝ ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； （2）【模型应用】①如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内任一点，点B 的坐标为（4，1）．若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标为 ．5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.参考答案：1．(1)见解析 (2)3(3)35 【解析】 【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求． (1)证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒， ∴90BCE ACD ∠+∠=︒． ∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒， ∴ACD EBC ∠=∠． 又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌． (2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴132AF BF AB === ∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒． ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠． 在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴()CAE ADF AAS ≌，∴3CE AF ==，即点C 到AB 边的距离为3． (3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠． ∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠， ∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽， ∴63105EF BE DE DM ===． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2． AAS （1，9），（6，6），（2，5） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC =∠CEB =90°，根据余角的性质得到∠ACD =∠BCE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）当∠M 1AB =90°，△ABM 1是等腰直角三角形，当∠M 3BA =90°，△ABM 3是等腰直角三角形，当∠AM 2B =90°，△ABM 2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD和△CBE中，ADC CEBACD EBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE（AAS），故答案为：AAS；（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，∴∠AEM1=∠AFB=90°，∵∠BAM1=90°，∴∠EAM1+∠F AB=∠F AB+∠ABF=90°，∴∠EAM1=∠ABF，∵AM1=AB，∴△AEM1≌△BF A（AAS），∴AE=BF，AF=EM1，∵点A（-2，4），B（3，1），∴AE=BF=5，AF=EM1=3，∴M1（1，9），当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，同理，M3（6，6）；当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，∴M11M2=BM2，∴M2是线段BM1的中点，∴M2（2，5），综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP =∠CPD ， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ； ②BC =12，点P 为BC 中点， ∴BP =PC =6， ·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BPPC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，△ABP ≌△PCD ， ∴PC =AB =10， ∴BP =BC -PC =12-10=2； 当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ， ∵∠APD =∠B =∠C ， ∴∠ADP =∠C ，不合题意， ∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ， ∵∠C =∠C ， ∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②3(2，5)2或5(2，3)2【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，根据余角的性质得到1B ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AH DM =，同理AH EN =，由此可得EN DM =，再由此证明DMG ENG △≌△，由全等三角形的性质得到DG EG =，于是得到点G 是DE 的中点；②分两种情况讨论，如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，根据余角的性质得到BAC AOD ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，于是得到结论，如图4，同理可得答案．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△． ∴AC DE =，BC AE =； 故答案为：DE ，AE ；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，BC AH ⊥，90BHA AMD ∴∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，12290B ∴∠+∠=∠+∠=︒，1B ∴∠=∠，在ABH 与DAM △中， 1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABH DAM AAS ∴△≌△，AH DM ∴=， BC AH ⊥，90CHA ANE ∴∠=∠=︒，90CAE ∠=︒，90CAH EAN CAH C ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAN C ∴∠=∠，在ACH 与EAN 中，CHA ANE C EAN AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACH EAN AAS ∴△≌△，AH EN ∴=，又∵AH DM =，EN DM ∴=，DM AH ⊥，EN AH ⊥，90GMD GNE ∴∠=∠=︒，在DMG △与ENG △中，DMG ENG MGD NGE DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DMG ENG AAS ∴△≌△，DG EG ∴=，∴点G 是DE 的中点；②如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===+，14AD AC x x OE ∴+=++==， 32x ∴=，512x +=， ∴点A 的坐标3(2，5)2； 如图4，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与BE 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===-，14AD AC x x OE ∴+=+-==，52x ∴=，312x -=， 又∵此时点A 在第四象限，∴点A 的坐标5(2，3)2， 综上所述，点A 的坐标为3(2，5)2或5(2，3)2， 故答案为：3(2，5)2或5(2，3)2． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．【详解】解：（1）AC=DE ，BC=AE ；故答案为：DE ，AE（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，∴1B ∠=∠，在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），∴AF DM =，同理AF EN =，∴EN DM =，∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，∴90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG ∆=（AAS ），∴DG EG =，∴点G 是DE 的中点；②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，∴∠M=90°，∵∠OBA=90°，∴∠ABM+∠OBN=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠OBN=∠BAM ，在△OBN 与△BAM 中，M ONB OBN BAM OB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBN ≌△BAM （AAS ），∴AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，∴ON= x+2，∴MB+NB=x+x+2=MN=4，∴x=1，x+2=3，∴点B 的坐标（3,1）；如图同理可得，点B 的坐标（-1,3），综上所述，点B 的坐标为()3,1，()1,3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
中考数学专题复习全等三角形之一线三等角模型
中考数学专题复习全等三角形（一线三等角模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边∠DPE ，连结BE ，则∠BDE 的面积为（ ）A ．43B ．2C ．4D ．632．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（ ）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 23．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（ ）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm4．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（ ）A ．3B ．2C ．94D ．925．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm评卷人 得分二、填空题 6．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果5BM =，3DN =，那么点M 和点N 之间的距离为_______．7．如图，直线l 1∠l 3，l 2∠l 3，垂足分别为P 、Q ，一块含有45°的直角三角板的顶点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、线段PQ 上，点O 是斜边AB 的中点，若PQ 等于72，则OQ 的长等于 _____．8．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ∠DE 于点D ，BE ∠DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．9．如图，在等腰Rt ABC 中，AC BC =，D 为ABC 内一点，且BCD CAD ∠=∠，若4CD =，则BCD △的面积为________．10．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．评卷人得分三、解答题11．（1）如图1，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．求证：∠ABD∠∠CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在∠ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD∠∠CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：∠DEF是等边三角形．12．已知∠ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为D ，E ．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD =2.5cm ，DE =1.7cm ，求BE 的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部，BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变，如图2，猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系，并给予证明．13．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ∠求证：ABP PCD △△∽；∠当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．14．在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．15．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图∠所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．16．问题背景：（1）如图∠，已知ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图∠，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB AC=，D，A，E 三点都在直线m上，并且有BDA AEC BAC∠=∠=∠，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图∠，在ACB△中，90ACB∠=︒，AC BC=，点C的坐标为()2,0-，点A的坐标为()6,3-，请直接写出B点的坐标．17．探究：（1）如图（1），已知：在∠ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE 之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在∠ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出∠DEF的形状是．18．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．【感知】（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，易证∠ADC∠∠CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为．【探究】（2）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE＝AD－BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．19．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD∠ED于D，过B作BE∠ED于E．求证：∠BEC∠∠CDA；（2）模型应用：∠已知直线y＝34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；∠如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P 是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若∠APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．20．（1）课本习题回放：“如图∠，90ACB∠=︒，AC BC=，AD CE⊥，BE CE⊥，垂足分别为D，E， 2.5cmAD=， 1.7cmDE=．求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图∠，点B，C在MAN∠的边AM、AN上，AB AC=，点E，F 在MAN∠内部的射线AD上，且BED CFD BAC∠=∠=∠．求证：ABE CAF∆∆≌．（3）拓展应用：如图∠，在ABC∆中，AB AC=，AB BC>．点D在边BC上，2CD BD=，点E、F在线段AD上，BED CFD BAC∠=∠=∠．若ABC∆的面积为15，则ACF∆与BDE∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）21．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，∠求证：∠ADC∠∠CEB；∠求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．22．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC∠AC于点C，过点D作DE∠AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到∠ABC∠∠DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC∠AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，∠AFD的面积为S1，∠DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）23．如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，∠求证：∠EAC＝∠BCF．∠猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）24．如图，在Rt ABC△中，90ABC∠=︒，点D在BC的延长线上，且BD AB=，过点B作BE AC⊥，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．（1）求证：ABC BDE△≌△．（2）求证：OC OE=．25．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，∠ADE是等腰三角形．26．如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a ﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B两点的坐标（2）已知∠ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标（3）已知AB＝10，试探究在x轴上是否存在点P，使∠ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D 不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．29．在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D点，BE MN⊥于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE AD BE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图∠、图∠的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．30．如图，等腰直角∠ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．（1）过点A作AD∠x轴，求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与∠OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使∠OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】要求BDE∆的面积，想到过点E作EF BC⊥，垂足为F，因为题目已知60ABC∠=︒，想到把ABC∠放在直角三角形中，所以过点D作DG BA⊥，垂足为G，利用勾股定理求出DG的长，最后证明GPD FDE∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E作EF BC⊥，垂足为F，过点D作DG BA⊥，垂足为G，在Rt BGD中，4BD=，60ABC∠=︒，30BDG∴∠=︒，122BG BD∴==，2223GD BD BG∴=-=，PDE∆是等边三角形，60PDE∴∠=︒，PD DE=，180120PDB EDF PDE∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC∠=︒，180120PDB BPD ABC∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF∴∠=∠，90PGD DFE∠=∠=︒，()GPD FDE AAS∴∆≅∆，23GD EF∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，14232=⨯⨯， 43=，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．2．A【解析】【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明∠DAC ∠∠ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∠∠DAC =∠ECB ，又∠AC =CB ，∠∠DAC ∠∠ECB （AAS ），∠CD =BE =2x cm ，∠222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∠()()222232220x x +=，∠220013x =， 故选A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3．C【解析】【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∠∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DE ＝CD +CE ＝3a +4a ＝7a ，∠a ＝8cm ，∠7a ＝56cm ，∠DE ＝56cm ，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．4．A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，推出∠BAD ＝∠CDE ，根据线段垂直平分线的性质得到AD ＝ED ，根据全等三角形的性质得到CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，即可得到结论．【详解】解：∠AB ＝AC ＝9，∠∠B ＝∠C ，∠∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∠∠BAD ＝∠CDE ，∠AE 的中垂线交BC 于点D ，∠AD ＝ED ，在∠ABD 与∠DCE 中，BAD CDE B CAD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （AAS ），∠CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∠CD ＝3BD ，∠CE ＝BD ＝3故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．5．B【解析】【分析】 根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：∠AB ∠BD ，ED ∠BD ，∠90ABC CDE ∠=∠=︒，∠∠ACE ＝90°，∠90ACB DCE ∠+∠=︒，∠90ACB BAC ∠+∠=︒， ∠BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝， ∠()ABC CDE AAS ≌，∠6cmAB CD==，2cmBC DE==，∠268cmBD BC CD=+=+=，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．6．8或2##2或8【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出∠ABM∠∠AND，进而求出MN的值，注意分类讨论．【详解】如图1，在正方形ABCD中，∠90NAD BAM∠+∠=︒，90ABM BAM，∠NAD MBA∠=∠，∠在ABM和DAN中，AMB ANDABM NADAB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN≌△△（AAS），∠3AM DN==，5BM AN==，∠358MN AM AN=+=+=，如图2，在正方形ABCD中，∠90DAN BAM ∠+∠=︒，90ABMBAM ，∠NAD MBA ∠=∠， ∠在ABM 和DAN 中，AMB DNA ABM NAD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN ≌△△（AAS ），∠3AM DN ==，5BM AN ==，∠532MN AN AM =-=-=，综上：8MN =或2．故答案为：8或2．【点睛】 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，将直线l 与正方形ABCD 的位置分类讨论是解题关键．7．6【解析】【分析】由“AAS ”可证∠ACP ∠∠CBQ ，可得AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，由“AAS ”可证∠APO ∠∠BHO ，可得AP ＝BH ，OP ＝OH ，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO ，并延长交l 2于点H ，∠l 1∠l 3，l 2∠l 3， ∠l 1∠l 3，∠APC ＝∠BQC ＝∠ACB ＝90°， ∠∠P AC +∠ACP ＝90°＝∠ACP +∠BCQ ， ∠∠P AC ＝∠BCQ ， 在∠ACP 和∠CBQ 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ， ∠∠ACP ∠∠CBQ （AAS ）， ∠AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∠PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ ＝72， ∠AP ∠BQ ，∠∠OAP ＝∠OBH ， ∠点O 是斜边AB 的中点， ∠AO ＝BO ，在∠APO 和∠BHO 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ， ∠∠APO ∠∠BHO （AAS ）， ∠AP ＝BH ，OP ＝OH ， ∠BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ， ∠PQ ＝QH ＝72， ∠∠PQH ＝90°，∠PH＝2PQ＝12，∠OP＝OH，∠PQH＝90°，PH＝6．∠OQ＝12故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．8．13【解析】【分析】先根据AD∠DE，BE∠DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明∠DAC∠∠ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【详解】解：∠AD∠DE，BE∠DE，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠DAC+∠DCA=90°，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∠∠DAC=∠ECB，∠∠DAC∠∠ECB（AAS），∠CE=AD=5，CD=BE=8，∠DE=CD+CE=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9．8【解析】由线段CD 的长求BCD ∆的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：12BCD S CD BE ∆=⨯⨯，再由题中的BCD CAD ∠=∠和等腰直角三角形ABC ，即可求证ACD CBE ∆∆≌，最后由4CD BE ==即可求解．【详解】解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E90ACB ∠=︒90BCD ACD ∴∠+∠=︒BCD CAD ∠=∠90ACD CAD ∴∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒BE CD ⊥90E ∴∠=︒90BCD CBE ∴∠+∠=︒ACD CBE ∴∠=∠AC CB =ACD CBE ∴∆∆≌4CD BE ∴== 1144822BCD S CD BE ∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 故答案是：8．【点睛】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 10．28【分析】作CD ∠OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D ，如图，∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB ，90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中， AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．11．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌； 解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°，∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，∠CAE ABD ∠=∠，∠()ADB CEA AAS ∆∆≌，∠AE BD =，∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∠FBD FAE ∠=∠，∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ），∠,FD FE BFD AFE =∠=∠，∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠∠DFE 是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12．BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【解析】【分析】如图1，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE ，BE =CD ，即可求解．【详解】解：如图1，∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ，∠∠BCE =∠CAD ， 在∠ACD 和∠CBE 中，BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，∠DE =1.7cm ，∠BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∠BE的长为0.8cm；如图2，DE=AD+BE，理由如下：∠∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∠∠BCE=∠CAD，在∠ACD和∠CBE中，BEC ADCBCE CADBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠CBE（AAS），∠AD=CE，BE=CD，∠DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．感知：（1）AEDE ；应用：（2）∠见解析；∠3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∠根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；∠根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∠∠ABC∠∠DAE，∠BC AC AE DE=，∠BC AE AC DE=，故答案为：AE DE； 应用：（2）∠∠∠APC =∠B +∠BAP ，∠APC =∠APD +∠CPD ，∠APD =∠B ，∠∠BAP =∠CPD ，∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，∠∠ABP ∠∠PCD ；∠BC =12，点P 为BC 中点，∠BP =PC =6，·∠∠ABP ∠∠PCD ，∠AB BP PC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，∠ABP ∠∠PCD ，∠PC =AB =10，∠BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ，∠∠APD =∠B =∠C ，∠∠ADP =∠C ，不合题意，∠AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∠∠C =∠C ，∠∠BCA ∠∠ACP ，∠BC AC AC CP =，即121010CP =， 解得：253CP =， ∠25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明∠ADC∠∠CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知∠ACD∠∠CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠BEC=90°，∠∠DAC+∠ACD=90°，∠∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠DAC=∠BCE，在∠ADC和∠CEB中，∠ADC BECDAC BCE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB；∠DC=BE，AD=EC，∠DE=DC+EC，∠DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如图2，∠∠ACB=90°，∠∠ACD +∠BCE =90°．又∠AD ∠MN 于点D ，∠∠ACD +∠CAD =90°，∠∠CAD =∠BCE ．在∠ACD 和∠CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD =BE ，AD =CE ，∠DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得∠ADC ∠∠CEB ，∠AD =CE ，DC =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ．【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．15．（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥，⊥CN MN ，∠90AMB BNC ∠=∠=︒，∠90ABM BAM ∠+∠=︒，∠90ABC ∠=︒，∠90ABM CBN ， ∠BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，BM CN =，∠BN MB MN +=，∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∠AMB ABC ∠=∠， ∠MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，NC MB =，∠MN MB BN =+，∠MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN ∠=∠．16．（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：∠BD m ⊥，CE m ⊥，∠90ADB CEA ∠=∠=︒，∠90BAC ∠=︒，∠90BAD CAE ∠+∠=︒，∠90BAD ABD ∠+∠=︒，∠ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中 ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ADB CEA ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+ ，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∠180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠， ∠ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠ABD CAE ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ≌，∠3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∠1OF CF OC =-=，∠点B 的坐标为()1,4B ．【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．探究：（1）DE =BD +CE ；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）∠DEF 是等边三角形【解析】【分析】（1）根据BD ∠直线m ，CE ∠直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS ”可判断∠ADB ∠∠CEA ，则AE ＝BD ，AD ＝CE ，于是DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由AAS 就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC ＝120°，就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就有BD ＝AE ，进而得出∠BDF ∠∠AEF ，得出DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，而得出∠DFE ＝60°，即可推出∠DEF 为等边三角形．【详解】（1）解：如图1，∠BD∠直线m ，CE ∠直线m ，∠∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠∠BAC ＝90°，∠∠BAD +∠CAE ＝90°∠∠BAD +∠ABD ＝90°，∠∠CAE ＝∠ABD ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；故答案为：DE＝BD+CE（2）解：如图2，∠∠BDA ＝∠BAC ＝α，∠∠DBA +∠BAD ＝∠BAD +∠CAE ＝180°﹣α，∠∠DBA ＝∠CAE ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（3）证明：如图3，由（2）可知，∠ADB ∠∠CEA ，∠BD ＝AE ，∠DBA ＝∠CAE ，∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠∠ABF ＝∠CAF ＝60°，BF ＝AF ，∠∠DBA +∠ABF ＝∠CAE +∠CAF ，∠∠DBF ＝∠F AE ，∠在∠DBF 和∠EAF 中， BD AE DBF FAE BF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DBF ∠∠EAF （SAS ），∠DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，∠∠DFE ＝∠DF A +∠AFE ＝∠DF A +∠BFD ＝60°，∠∠DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（1）DE ＝AD ＋BE ；（2）见解析；（3）DE ＝BE －AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；【详解】解：（1）证明：∠AD ∠DE ，BE ∠DE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∠∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中 CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DC +CE =DE ，∠DE =AD +BE ．（2）证明：∠AD ∠MN ，BE ∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，又∠∠ACB ＝90°，∠∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∠∠CAD ＝∠BCE ．∠AC ＝BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ．∠CE ＝AD ， CD ＝BE ，∠DE ＝CE － CD ＝AD －BE ；（3）DE =BE -AD ，理由：∠BE ∠EC ，AD ∠CE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠EBC +∠ECB =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ECB +∠ACE =90°，∠∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）．【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．19．（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923()33， 【解析】【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理求出D的坐标．【详解】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC∠=∠=∠=︒，∠90EBC BCE BCE ACD∠+∠=∠+∠=︒，∠EBC ACD∠=∠，在BEC△和CDA中EBC ACDE DBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC CDA AAS≌；（2）过点C作CD x⊥轴于点D，如图2，在334y x=+中，令0y=可求得4x=-，令0x=可求得3y=，∠3OA=，4OB=同（1）可证得CDB BOA≌，∠4CD BO==，3BD AO==，∠437OD=+=，∠()7,4C-且()0,3A，设直线AC解析式为3y kx=+，把C点坐标代入可得734k-+=，解得17k=-，∠直线AC解析式为137y x=-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP △≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∠DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△， ∠6PF AE m ==-，8DF PE ==，∠D 点坐标为()14,8m m -+，∠()82145m m +=--，得5m =，∠D点坐标(913)，；如图4，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理可得ADE DPF△△≌，设(,25)D n n-，则DE PF n==，25OE n=-，AE DF=则256211DF AE n n==--=-，∠8DE DF EF OC+===∠2118n n+-=，解得193n=，23253n-=∠D点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923()33，．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．20．（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【解析】【分析】（1）利用AAS定理证明∠CEB∠∠ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明∠ABE∠∠CAF；（3）先证明∠ABE∠∠CAF，得到ACF∆与BDE∆的面积之和为∠ABD的面积，再根据2CD BD=故可求解．【详解】解：（1）∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E＝∠ADC＝90°，∠∠EBC＋∠BCE＝90°．∠∠BCE＋∠ACD＝90°，∠∠EBC＝∠DCA．在∠CEB和∠ADC中，E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC（AAS），∠BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∠DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∠DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∠BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∠∠1＝∠2，∠∠BEA＝∠AFC．∠∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∠∠BAC＝∠ABE＋∠3，∠∠4＝∠ABE．∠∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∠∠ABE∠∠CAF（AAS）．（3）∠BED CFD BAC∠=∠=∠∠∠ABE+∠BAE=∠F AC+∠BAE=∠F AC+∠ACF∠∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC=∠∠ABE∠∠CAF，∠ABE CAFS S=∠ACF∆与BDE∆的面积之和等于ABE∆与BDE∆的面积之和，即为∠ABD的面积，∠2CD BD=，∠ABD与∠ACD的高相同则13ABD ABCS S=△△=5故ACF∆与BDE∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（1）∠见解析；∠见解析；（2）见解析；（3）DE BE AD=-，证明见解析【解析】【分析】（1）∠根据角之间的关系可得，DCA EBC∠=∠，即可求证；∠根据全等得到线段之间的关系，即可求解；（2）根据等角的余角相等得到ACD CBE∠=∠，易得ADC CEB△≌△，得到AD CE=，DC BE=，所以DE CE CD AD BE=-=-；（3）DE AD BE、、具有的等量关系为：DE BE AD=-．证明的方法与（2）相同．【详解】解：（1）∠∠90ACB∠=︒，。
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案
人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案【模型说明】 C D E BA应用：通过证明全等实现边角关系的转化 便于解决对应的几何问题；【例题精讲】例1．（基本“K ”型）如图 一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°） 若OA ＝50cm OB ＝28cm 则点C 离地面的距离是____ cm ．【答案】28【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D 如图∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB 90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．例2.（特殊“K ”型）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1 当90α=︒时 猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2 当0180α<<︒时 问题（1）中结论是否仍然成立？如成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由；(3)应用：如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC =,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和． 【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立 理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】（1）解：DE ＝BD +CE 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90° ∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90° ∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴AD ＝CE BD ＝AE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴BD ＝AE AD ＝CE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴S △ABD ＝S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC ＝12BC •h ＝12 S △ABF ＝12BF •h∵BC ＝3BF∴S △ABF ＝4∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．例3.（“K ”型培优）已知：ABC 中 90ACB ∠=︒ AC CB = D 为直线BC 上一动点 连接AD 在直线AC 右侧作AE AD ⊥ 且AE AD =．（1）如图1 当点D 在线段BC 上时 过点E 作EH AC ⊥于H 连接DE ．求证：EH AC =； （2）如图2 当点D 在线段BC 的延长线上时 连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时 连接BE 交直线AC 于M 若25AC CM = 请求出ADB AEMS S △△的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【详解】证明（1）∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAH CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAH ADC ∴∠=∠在AHE 与DCA △中 90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHE DCA AAS ∴△≌△ EH AC ∴=； （2）如图2 过点E 作EN AC ⊥ 交CA 延长线于N∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS 则BM EM =； （3）如图 当点D 在线段BC 上时∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =由（1）得：AHE DCA △≌△ 则AH CD = 5===EH AC BC a由∠90EHM BCM ∠=∠=︒ BMC EMH ∠=∠ ∠MHE MCB △≌△（AAS ） ∠CM HM = 即2HM CM a == ∠522AH AC CM HM a a a a =--=--= ∠3AM AH HM a CD AH a ==5EH AC a == 4BD BC CD a =-= 11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EH a a ； 如图 点D 在CB 延长线上时 过点E 作EN AC ⊥ 交AC 延长线于N∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =∠EN AC ⊥ AE AD ⊥ ∠90ANE EAD ACB ∠=∠=∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= AN CD = 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ∠2==CM NM a 5NE BC AC a === ∠9AN AC CM MN a =++=7AM AC CM a =+= 9AN CD a == ∠4BD a = 11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a 点D 在BC 延长线上 由图2得：AC CM < ∠25AC CM =不可能 故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【变式训练1】如图 90,ABC FA AB ∠=⊥于点A 点D 在直线AB 上,AD BC AF BD ==．(1)如图1 若点D 在线段AB 上 判断DF 与DC 的数量关系和位置关系 并说明理由；(2)如图2 若点D 在线段AB 的延长线上 其他条件不变 试判断（1）中结论是否成立 并说明理由．【答案】(1)DF =DC DF ∠DC ；理由见解析；(2)成立 理由见解析【解析】（1）解：∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90ABC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．（2）∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90DBC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．【变式训练2】在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时．∠请说明ADC CEB △≌△的理由；∠请说明DE AD BE =+的理由；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出等量关系 并予以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)∠理由见解析；∠理由见解析(2)DE AD BE =- 证明见解析(3)DE BE AD =-【解析】(1)解：∠∠AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90ACB ∠=︒ ∠90ACD BCE ∠+∠=︒90ACD DAC ∠+∠=︒ ∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DC CE DE += ∠AD EB DE +=(2)结论：DE AD BE =-∠BE EC ⊥ AD CE ⊥∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90EBC BCE ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ACE BCE ∠+∠=︒∠ACD EBC ∠=∠∠ADC CEB △≌△∠AD EC = CD BE =∠DE EC CD AD EB =-=-(3)结论：DE BE AD =-∠90ACB ∠=︒∠90ACD BCE ∠+∠=︒∠BE MN ⊥ AD MN ⊥∠90ADC DEC ∠=∠=︒∠90ACD DAC ∠+∠=︒∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DE CD EC EB AD =-=-．【变式训练3】（1）如图1 在∠ABC 中 ∠BAC ＝90° AB ＝AC 直线m 经过点A BD ∠直线m CE ∠直线m 垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2 将（1）中的条件改为：在∠ABC 中 AB ＝AC D 、A 、E 三点都在直线m 上 并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α 其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立 请给出证明；若不成立 请说明理由．（3）拓展应用：如图3 D E 是D A E 三点所在直线m 上的两动点（D A E 三点互不重合） 点F 为∠BAC 平分线上的一点 且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形 连接BD CE 若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC 求证：∠DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立 理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：BD ⊥直线m CE ⊥直线m 90BDA CEA ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒ 90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立 理由如下：α∠=∠=BDA BAC180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒ ∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒ ∠CAE ABD ∠=∠∠()ADB CEA AAS ∆∆≌ ∠AE BD =∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∠FBD FAE ∠=∠∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ） ∠,FD FE BFD AFE =∠=∠∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∠∠DFE 是等边三角形．【课后作业】1．如图是高空秋千的示意图 小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低点B 最终荡到最高点C 处 若90AOC ∠=︒ 点A 与点B 的高度差AD ＝1米 水平距离BD ＝4米 则点C 与点B 的高度差CE 为（ ）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】B【详解】解：作AF∠BO于F CG∠BO于G∠∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ∠AOF+∠OAF=90° ∠∠COG=∠OAF在∠AOF与∠OCG中AFO OGCOAF COGAO OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOF∠∠OCG（AAS） ∠OG=AF=BD=4米设AO=x米在Rt∠AFO中 AF2+OF2=AO2即42+（x-1）2=x2解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．2．如图 ∠ABC＝∠ACD＝90° BC＝2 AC＝CD则△BCD的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图作DE垂直于BC的延长线垂足为E∠90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒ ∠BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中 ∠90BAC DCE ABC CED AC CD ∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∠()ABC CED AAS ≌ ∠2BC DE == ∠122BCD S BC DE =⨯⨯= 故答案为：2．3．如图 ABC 为等边三角形 D 是BC 边上一点 在AC 上取一点F 使=CF BD 在AB 边上取一点E 使BE DC = 则EDF ∠的度数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．70【答案】C 【详解】∠ABC 是等边三角形 ∠∠B=∠C=60°在∠EDB 和∠DFC 中 60BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠EDB ∠∠DFC ∠∠BED=∠CDF ∠∠B=60° ∠∠BED+∠BDE= 120° ∠∠CDF+∠BDE= 120°∠∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE ）=180°-120°=60°.故选C.4．已知∠ABC 中 ∠ACB =90° AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直 且垂足分别为D E ．学习完第十二章后 张老师首先让同学们完成问题1：如图1 若AD =2.5cm DE =1.7cm 求BE 的长；然后 张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部 BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变 如图2 猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系 并给予证明．【答案】BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【详解】解：如图1 ∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE =2.5cm BE =CD∠DE =1.7cm ∠BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ∠BE 的长为0.8cm ；如图2 DE =AD +BE 理由如下：∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90° ∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE BE =CD ∠DE =AD +BE ．5．如图 在ABC 中 AB BC =．（1）如图∠所示 直线NM 过点B AM MN ⊥于点M ⊥CN MN 于点N 且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示 直线MN 过点B AM 交MN 于点M CN 交MN 于点N 且AMB ABC BNC ∠=∠=∠ 则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由见解析【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥ ⊥CN MN∠90AMB BNC ∠=∠=︒ ∠90ABM BAM ∠+∠=︒∠90ABC ∠=︒ ∠90ABM CBN ∠+∠=︒ ∠BAM CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = BM CN = ∠BN MB MN += ∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立 理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∠AMB ABC ∠=∠ ∠MAB CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = NC MB =∠MN MB BN =+ ∠MN AM CN =+．6．如图 在∠ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线l 经过顶点C 过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时∠求证：∠EAC ＝∠BCF ．∠猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转 使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合） 请你探究直线l EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）∠证明见解析 ∠EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【详解】（1）证明：∠∵AE ⊥EF BF ⊥EF ∠ACB ＝90°∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°∴∠EAC +∠ECA ＝90° ∠ECA +∠FCB ＝90° ∴∠EAC ＝∠FCB∠EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中 AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△FCB （AAS ）∴CE ＝BF AE ＝CF∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF即EF ＝AE +BF ；（2）∠当AD ＞BD 时 如图①∵∠ACB ＝90° AE ⊥l 直线同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）又∵AC ＝BC BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE CE ＝BF∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF∴AE ＝BF +EF ；∠当AD ＜BD 时 如图②∵∠ACB ＝90° BF ⊥l 直线同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）又∵AC ＝BC BE ⊥l 直线 即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE BF ＝CE∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ∴BF ＝AE +EF ．7．（1）某学习小组在探究三角形全等时 发现了下面这种典型的基本图形．如图1 已知：在ABC 中 90BAC ∠=︒ AB AC = 直线l 经过点A BD ⊥直线l CE ⊥直线l 垂足分别为点D E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想 如果三个角不是直角 那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在ABC 中 AB AC = D A E 三点都在直线l 上 并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠= 其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立 请你给出证明；若不成立 请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神 并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3 过ABC 的边AB AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△ 则AEI S =△______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立 理由见解析；（3）3.5【详解】解：（1）证明：如图1中 ∠BD ∠直线l CE ∠直线l∠∠BDA =∠CEA =90°∠∠BAC =90°∠∠BAD +∠CAE =90°∠∠BAD +∠ABD =90°∠∠CAE =∠ABD在∠ADB 和∠CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中∠∠BDA =∠BAC =α∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α∠∠DBA =∠CAE在∠ADB 和∠CEA 中BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3 过E 作EM ∠HI 于M GN ∠HI 的延长线于N ．∠∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∠EM =GN在∠EMI 和∠GNI 中GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠EMI ∠∠GNI （AAS ）∠EI =GI∠I 是EG 的中点．∠S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．8．如图 在∠ABC 中 AB ＝AC ＝2 ∠B ＝∠C ＝40° 点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合） 连接AD 作∠ADE ＝40° DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时 ∠EDC ＝ ° ∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时 ∠BDA 逐渐变 ．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时 ∠ABD ∠∠DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中 ∠ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以 请直接写出∠BDA 的度数；若不可以 请说明理由．【答案】（1）35105︒︒， 小；（2）2 理由见解析；（3）110︒或80°【详解】（1）40B C ∠=∠=︒ 40ADE ∠=︒1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒BAD EDC ∴∠=∠ ADB DEC ∠=∠∴当∠BDA ＝105°时∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时 BAD ∠逐渐变大 180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 则∠BDA 逐渐变小故答案为：35105︒︒，小； （2）BAD EDC ∠=∠ ADB DEC ∠=∠当DC AB =2=时 ABD DCE ∴≌（AAS ） 2DC ∴=（3）∠ADE 的形状可以是等腰三角形 BDA ∠=110︒或80︒40B C ∠=∠=︒ 1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒∠当DA DE =时 ()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒ 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；∠当EA ED =时 ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠当AE AD =时 ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒100BAC ∠=︒∴此时D 点与B 点重合由题意可知点D 不与点B 、C 重合∴此种情况不存在综上所述当∠ADE是等腰三角形时BDA∠=110︒或80︒．9．如图线段AB=6 射线BG∠AB P为射线BG上一点以AP为边做正方形APCD且点C、D与点B在AP两侧在线段DP上取一点E使得∠EAP=∠BAP直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：△AEP∠∠CEP；（2）判断CF与AB的位置关系并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值若是请求出这个定值若不是请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）CF∠AB理由见解析；（3）是为16．【详解】解：（1）证明：∠四边形APCD 正方形 ∠DP平分∠APC PC=P A ∠APC=90°∠∠APE=∠CPE=45°在∠AEP与∠CEP中AP CPAPE CPEPE PE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AEP∠∠CEP（SAS）；（2）CF∠AB理由如下：∠∠AEP∠∠CEP ∠∠EAP=∠ECP∠∠EAP=∠BAP ∠∠BAP=∠FCP ∠∠APC=90° ∠∠FCP+∠CMP=90° ∠∠AMF=∠CMP ∠∠AMF+∠P AB=90° ∠∠AFM=90° ∠CF∠AB；（3）过点C作CN∠PB．∠CF∠AB BG∠AB ∠∠PNC=∠B=90° FC∠BN∠∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠P AB又AP=CP ∠∠PCN∠∠APB（AAS） ∠CN=PB=BF PN=AB∠∠AEP∠∠CEP ∠AE=CE∠∠AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．故∠AEF的周长是否为定值为16．。
(完整版)一线三等角专题训练
一线三等角问题一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。
求证：△ABC ∽△CEDB EADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）AB DCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．FD CD (备用图)（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。
变式练习1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。
变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ⋅=；FE CBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，42BC =，∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .\第18题EFDCBA例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为()1,3-（1） 求点B 的坐标；（2） 若抛物线c bx ax y ++=2经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。
部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm的等边ABCD中，D为BC上一点，且3BD cm=，E在AC上，60ADEÐ=°，则AE的长为( )cm．A．B．C．7D．6【解答】解：ABCDQ是等边三角形，9AB BC AC cm\===，60B CÐ=Ð=°，180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°，60ADEÐ=°Q，180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°，BAD EDC\Ð=Ð，ABD DCE\D D∽，\AB BD DC CE=，\9393CE=-，2CE\=，7()AE AC CE cm\===，故选：C．2．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若2BF cm=，则小正方形的面积等于2 ．【解答】解：Q正方形ABCD的边长为8cm，2BF cm=，6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°，90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为：2254cm ．三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC D ，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF D D ∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽；（2）2CD BD=Q \设1BD =，则2CD =，Q 翻折，\设ED AE x ==，DF AF y==3AB BC AC \===，3BE x =-，3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得：31x y x =+①由32x x y -=得：23x y x=-②由①②解得：75x =，74y =\45x y =\45ED DF =．4．如图有一块三角尺，Rt ABC D ，90C Ð=°，30A Ð=°，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C Ð=°Q ，30A Ð=°，6BC =，212AB BC \==，AC \=，Q 四边形AFED 是正方形，90F E \Ð=Ð=°，AF FE =，90FAC FCA \Ð+Ð=°，90C Ð=°Q ，90FCA BCE \Ð+Ð=°，FAC BCE \Ð=Ð，AFC CEB \D D ∽，\AFACCE CB =，\AFCE =，设AF x =，则CE x =，FC \=，222AF AC Q ，222)x x \+=，2268237x \=+，答：这个正方形的面积为：226837．5．已知：如图，ABC D 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE Ð=°．（1）求证：ABD DCE D D ∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC D Q 是等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，AB AC =，B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ，60B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE D D ∽，\BD CE AB DC=，设CD x =，则3BD x =-，\2333x x-=，1x \=或2x =，1DC \=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ^，交CD 于点E ．（1）判断ABP D 与PCE D 是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP D 与PCE D 相似，理由如下：Q 四边形ABCD 是矩形，90B C \Ð=Ð=°，90BAP BPA \Ð+Ð=°，PE AP ^Q ，90CPE BPA \Ð+Ð=°，BAP CPE \Ð=Ð，ABP PCE \D D ∽；（2）连接BD，如图所示：由（1）知ABP PCE D D ∽，\AB BP PC CE =，\AB PC BP CE=，//PE BD Q ，\CP CE CB CD =，\PC CB CE CD =，\AB CB BP CD=，Q 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB \==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ×\==．7．如图1，在ABC D 中，AB AC ==，cos B =，点D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B Ð=Ð，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE D D ∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，又ADE B Ð=ÐQ ，ADE B C \Ð=Ð=Ð，180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ，180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°，BED ADC \Ð=Ð，ACD DBE \D D ∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ^交AC 于点H ，AD CD =Q，AB AC ==，12CH AH AC \===，cos B =Q ，B C Ð=Ð，cos CH B CD\=，6cos CH CD B \===，6AD =，AF AD ^Q ，90FAD \Ð=°，ADE B Ð=ÐQ，6cos ADE DF \Ð==，DF \=，由（1）得ACD DBE D D ∽，\DE BD AD AC =，\6DE DE \=，过点A 作AM BC ^于点M ，cos BM B AB\=，\4BM \=，28BC BM \==，862BD BC CD \=-=-=，DE \==，EF DF DE \=-==，6AD \=，EF =（3）解：F Q 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上，F \点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF Ð=°，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF Ð=°，12F F 为F 点的运动路径，12F AF CAB \Ð=Ð，AC =Q，cos B =，ABC C Ð=Ð，1cos AC C CF \===，112CF \=，在1Rt ACF D中，1AF ==，ADF B Ð=ÐQ，2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==，=，212BF \=，2AF ==，21AF AF \=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB Ð=ÐQ ，△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形，\△12AF F ACB D ∽，\121F F AF BC AC =，由（2）得8BC =，\128F F，12F F \=\点F运动的路径长为．8．在ABC D 中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC =，120A EDF Ð=Ð=°（1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC Ð，求证：2CD CF CB =×；②若213CFBF =，则ADCD =（2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，ABDFm AC DE ==，37BEEF =，求m 的值．【解答】解：（1）①Q 1ABm AC ==，AB AC \=，BD Q 平分ABC Ð，ABD DBF \Ð=Ð，BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且120A BDF Ð=Ð=°，ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð，且C C Ð=Ð，CDF CBD \D D ∽，\CD CF BC CD=，2CD BC CF \=×；②如图1，过A 作AG BC ^于G ，过F 作FH BC ^，交AC 于H ，30C Ð=°Q ，2CH FH \=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，Q 213CF BF =，BC \=，CG =Q ，152AG a \=，15AC a =，11AH a \=，120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ，18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，ABD FDH \Ð=Ð，ABD HDF \D D ∽，\AB AD HD FH =，即152a AD DH a=，设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x \=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ^于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =Q ，37BE EF =，\37CF EF =，//FG ED Q ，\37CF CG EF DG ==，\设3CG a =，7DG a =，Q AB DF m AC DE==，120A EDF Ð=Ð=°，ABC DFE \D D ∽，DEC C \Ð=Ð，10DE DC a \==，//FG DE Q ，GFC DEF C \Ð=Ð=Ð，3FG CG a \==，同理由（1）得：EHD DFG D D ∽，\ED DH DG FG =，即1073a DH a a=，307a DH =，Rt DHM D 中，60DHM Ð=°，30HDM \Ð=°，11527a HM DH \==，DM =，657EM a \===，651550777EH a a a \=-=，5017302107a AB EH m AC CH a a \====+．9．已知：在EFG D 中，90EFG Ð=°，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG =（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN Ð=Ð；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =×．【解答】（1）解：90EFG Ð=°Q ，90AFE DFG \Ð+Ð=°，90AEF AFE Ð+Ð=°Q ，AEF DFG \Ð=Ð，又90A D Ð=Ð=°Q ，EF FG =，()AEF DFG AAS \D @D ，2AE FD \==，FG \==EG \==，；（2）证明：延长EA、NF 交于点M ，Q点F为AD的中点，\=，AF DFQ，AM CD//Ð=Ð，\Ð=Ð，MAD DM DNF\D@D，MAF NDF AAS()\=，MF FN^Q，EF MG\=，ME GE\Ð=Ð；MEF FEN（3）证明：如图，过点G作GP AD^交AD的延长线于P，\Ð=°，P90D@D，AEF PFG AAS同（1）同理得，()=，\=，PF AEAF PGQ，=AE AD\=，PF AD\=，AF PD\=，PG PDQ，Ð=°P9045PDG \Ð=°，45MDG \Ð=°，在Rt EFG D 中，EF FG =，45FGE \Ð=°，FGE GDM \Ð=Ð，GMN DMG Ð=ÐQ ，MGN MDG \D D ∽，\MG MN DM MG=，2MG MN MD \=×．10．在ABC D 中，BA BC =，(0180)ABC a a Ð=°<<°，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60a =°时，如图1，直接判断BP CQ 的大小；（2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90a =°，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ D 面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =Q ，60ABC a Ð==°，ABC \D 是等边三角形，60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°，Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，60APQ ACQ \Ð=Ð=°，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB \Ð=Ð=°，APQ \D 是等边三角形，AP AQ \=，60PAQ Ð=°，BAC PAQ \Ð=Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，()BAP CAQ SAS \D @D ，BP CQ \=，\1BP CQ=；（2）BP k CQ =，理由如下：如图2，连接AQ ，BA BC =Q ，ABC a Ð=，1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=，QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，APQ ACQ a \Ð=Ð=，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=，1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ，ABP ACQ \D D ∽，\AB BC BP k AC AC CQ===；（3）17AC AP =<=Q ，\点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，7CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，23CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；综上所述：PCQ D 面积为1052或3452．11．如图，在ABC D 中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF D @D ，将DEF D 与ABC D 重合在一起，ABC D 不动，DEF D 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM D D ∽；（2）当DE BC ^时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF D 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，AEF B \Ð=Ð，AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，CEM BAE \Ð=Ð，ABE ECM \D D ∽；（2）①当DE BC ^时，AB AC =Q ，BAE EAM \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，B DEF \Ð=Ð，ABE AEM \D D ∽，\AB AE AE AM=，90AME AEB Ð=Ð=°，5AB AC ==Q ，DE BC ^，6BC =，132BE EC BC \===，在Rt ABE D 中，4AE ===，\544AM=，165AM \=，169555CM AC AM \=-=-=；②在Rt AEM D 中，125EM ===，11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=，\重叠部分的面积为9625；（3）①当AE EM =时，ABE ECM D @D ，5CE AB ==Q ，651BE BC EC \=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA Ð=Ð，MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð，即CAB CEA Ð=Ð，C C Ð=ÐQ ，CAE CBA \D D ∽，\CE AC AC CB=，\2256AC CE CB ==，\2511666BE BC EC =-=-=；③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形；1BE \=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO Ð的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC Ð=°时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =．即点D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．\1OD BO ==．\tan DO ABO BOÐ==．60ABO \Ð=°．（2）过点A 作AE x ^轴，垂足为E ，如图所示．设点A 坐标为：(m ．且0m >．OE m \=，AE =//DO AE Q ．BDO BAE \D D ∽．\BO DOBE AE=．即：11m =+1m \=或2m =-（舍)．\A ．\4AB ==．即：4AB =．（3）过C 作60CFO Ð=°，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ^于H 点，如图所示．设(C a，0a >．\OH \4CF a ==．\2HF a =．\2OF a a=+．AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ，且AOF Ð是ABO D 一内角的外角．BAO COF \Ð=Ð．ABO OFC \D D ∽．\AB BOOF CF =即：4124a a a=+．\a=．Q．a>\a\C．^交BC 13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE∽．（不需要证明）于点F．易证：AED BFED D^交BC于点【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DEF．D D∽．（1）求证：AED BFE（2）若10AD=，E为AB的中点，求BF的长．AB=，6AB=．E为AB边上一点（点E不与【应用】如图③，在ABCACB=，4D中，90Ð=°，AC BC点A、B重合），连结CE，过点E作45D为等腰三角形时，BECEFÐ=°交BC于点F．当CEF的长为 【解答】【探究】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，90A B\Ð+Ð=°，ADE AED90^Q，DE EF\Ð=°，DEF90\Ð+Ð=°，BEF AED90\Ð=Ð，ADE BEFQ，又A BÐ=Ð\D D∽；AED BFEQ为AB的中点，（2）解：E\==，AE BE5∽，由（1）知AED BFED D\AD AEBE BF =，即655BF=，256BF \=；【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE Ð=Ð=°，90ECF Ð=°，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意，②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°，EFC ÐQ 为BEF D 的外角，EFC B BEF \Ð=Ð+Ð，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，45A B \Ð=Ð=°，67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°，ACF BEF \Ð=Ð，又A B Ð=ÐQ ，CE EF =，()AEC BFE AAS \D @D ，BE AC \=，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，4AB =，AC \==，BE \=；如果CF EF =，则45CEF ECF Ð=Ð=°，90CFE \Ð=°，在BEC D 中，45B BCE Ð=Ð=°，90BEC \Ð=°，CE AB \^，又AC BC =Q ，\点E 为AB 的中点，122BE AB \==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接FC ，观察并猜测tan FCN Ð的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN Ð的值．【解答】解：（1）tan 1FCN Ð=，理由是：如图1，作FH MN ^于H ，90AEF ABE Ð=Ð=°Q ，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90FEH AEB Ð+Ð=°，FEH BAE \Ð=Ð，在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EHF ABE AAS \D @D ，FH BE \=，EH AB BC ==，CH BE FH \==，90FHC Ð=°Q ，tan 1FHFCH CH\Ð==；（2）如图（2）作FH MN ^于H ．由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°，结合（1）易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð，又G Q 在射线CD 上，90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°，在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EFH AGD AAS \D @D ，BAE FEH Ð=ÐQ ，ABE FHE Ð=Ð，EFH AEB \D D ∽，EH AD BC n \===，CH BE \=，\EH FH FHAB BE CH==，\在Rt FEH D 中，tan FH EH nFCN CH AB mÐ===，\当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN mÐ=．15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ^，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x …… ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；x¼2345678¼y¼22183m32182¼（3）结合图象，指出M 、N 在运动过程中，当CN 达到最大值时，BM 的值是 ；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，908B C AB CD \Ð=Ð=°==，90BAM AMB \Ð+Ð=°，AM MN ^Q ，90AMN \Ð=°，90AMB CMN \Ð+Ð=°，BAM CMN \Ð=Ð，ABM MCN \D D ∽，\AB MCBM CN=，\810x x y-=，21584y x x \=-+，10BC =Q ，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x \……，故答案为：010x ……；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-´+´=，故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+Q ，2215125(5)8488y x x x \=-+=--+，108a =-<Q ，\当5x =时，y 最大258=，\当CN 达到最大值时，BM 的值是5；Q2525284´=，\在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254，故答案为：5，254．16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ^，BD l ^，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA D D ∽．【尝试应用】（2）如图2，在ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD Ð=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED Ð=°，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90BCD ACE \Ð+Ð=°，AE CE ^Q ，90AEC \Ð=°，90ACE CAE \+Ð=°．BCD CAE \Ð=Ð．BD DE ^Q ，90BDC \Ð=°，BDC AEC \Ð=Ð．BDC CEA \D D ∽．（2）解：过点E 作EF BC ^于点F ．由（1）得EDF DACD D∽．\DE DF DA AC=．AD DE^Q，4tan5BADÐ=，20AC=，\4520DF =，16 DF\=．BE DE=Q，BF DF\=．232BD DF\==．（3）解：过点A作AM BC^于点M，过点D作DN BC^的延长线于点N．90AMB DNC\Ð=Ð=°．Q四边形ABCD是平行四边形，//AB CD\，AB CD=．B DCN\Ð=Ð．()ABM DCN AAS\D@D．BM CN\=，AM DN=．AB AE=Q，AM BC^，BM ME\=，Q43 BEEC=，设AM b=，4BE a=，3EC a=．2BM ME CN a\===，5EN a=．90AEDÐ=°Q，由（1）得AEM EDN D D ∽．\AM ENME DN =，\25b aa b=，\b =，Q CD =22(2)14a b \+=，1a \=，b =．\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°，由12180BAD Ð+Ð+Ð=°，2180D AED Ð+Ð+Ð=°，可得1D Ð=Ð；又因为90ACB AED Ð=Ð=°，可得ABC DAE D D ∽，进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC D 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B Ð=Ð．①求证：ABP PCD D D ∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD D 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE D D Q ∽，\BC ACAE DE =，\BC AEAC DE=，故答案为：AEDE；（2）①证明：AB AC=Q，B C\Ð=Ð，APC B BAPÐ=Ð+ÐQ，APC APD CPDÐ=Ð+Ð，APD BÐ=Ð，BAP CPD\Ð=Ð，B CÐ=ÐQ，ABP PCD\D D∽；②解：12BC=Q，点P为BC中点，6BP PC\==，ABP PCDD DQ∽，\AB BPPC CD=，即1066CD=，解得： 3.6CD=；（3）解：当PA PD=时，ABP PCDD@D，10PC AB\==，12102BP BC PC\=-=-=；当AP AD=时，ADP APDÐ=Ð，ADP B CÐ=Ð=ÐQ，ADP C\Ð=Ð，不合题意，AP AD\¹；当DA DP=时，DAP APD BÐ=Ð=Ð，C CÐ=ÐQ，BCA ACP\D D∽，\BC ACAC CP=，即121010CP=，解得：253CP=，25111233BP BC CP\=-=-=，综上所述：当APDD为等腰三角形时，BP的长为2或113．。
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—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H .（1）求证：CED ∆∽ADH ∆； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ；②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.C PEA B F PE AF H ABCDEF7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．8. 已知：如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，8=AB ，12=AD ，34tan =C ，AM ∥DC ，E 、F 分别是线段AD 、AM 上的动点（点E 与A 、D 不重合）且AMB FEM ∠=∠，设x DE =，y MF =.（1）求证：DM AM =；（2）求y 与x 的函数关系式并写出定义域；（3）若点E 在边AD 上移动时， EFM ∆为等腰三角形，求x 的值；CA EFDBMC9. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．10. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ．（1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； EDCBA P（第25题图） EDCBA （备用图）CM答案：1. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠ADC =∠ADE +∠CDE =∠B +∠BAD ∴∠BAD =∠CDE ∴△ABD ∽△DCE （2）∵△ABD ∽△DCE ∴ABCDBD CE =∵x BD =，y AE =，x DC -=10∴y x x -=-8108∴845812+-=x x y )100(<<x（3）∵AC AB =，D 是BC 的中点∴AD ⊥BC ∴∠DAE+∠ADE=90°∵DE AE ≠∴△ADE 是直角三角形2. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠BED +∠DEF =∠C +∠EFC =90°又∵B DEF ∠=∠∴∠BED =∠EFC ∴△FCE ∽△EBD（2）∵BD =x ，BE =x 35，x EC 356-= ∵△FCE ∽△EBD ∴2)(BDEC S S BED FEC =∆∆若EBD FCES S ∆∆=4∴4)356(2=-xx∴1118=x ∴31136356>=-x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB =AC ∴∠B =∠C∵∠DPC =∠DPE +∠EPC =∠B +∠BDP ∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD ∽△DCE（2）∵∠DPE =∠B ≠90°若∠PDE=90°，在Rt △ABH 和Rt △PDE 中 ∴cos ∠ABH =cos ∠DPE =53==PE PD AB BH ∴53==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴512=BD 若∠PED=90°在Rt △ABH 和Rt △PDE 中∴cos ∠ABH =cos ∠PED =53==PD PE AB BH ∴35==PC BD PE PD ∵PC =4 ∴5320>=BD （舍去） 综上所述，BD 的长为512 4. 解：（1）244)6(4+-=-=x x y 、x y 4= P EABDHCP EABDHA若∠PFE =90°，在Rt △ABH 和Rt △PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH ∴5312=y y ∴535245434=+-x x ∴1727=x 若∠PEF =90°，在Rt △ABH 和Rt △PFE 中∴cos ∠ABH =cos ∠FPE =53==PE PF AB BH∴3512=y y ∴355245434=+-x x ∴3=x 5. 解：（1）△PEB ∽△EPC（2）∵PC =x ∴x PF 34=，)6(54x PE -=，)6(251654x EP EH -== ∴)6(7532)6(2516342121x x x x EH PF y -=-⋅⋅=⋅⋅=即x x y 256475322+-=)30(≤<x （3）当PE =PF 时，△EPC ≌△PEB ，PC =BE =x ，536=-x x ∴49=x当PE =EF 时，x PF PH 3221==，cos ∠EPH =cos B ，53)6(5432=-x x∴43108=x当FE =PF 时，)6(5221x EP PM -==， cos ∠FPM =cos B ，5334)6(52=-x x ∴2=x 综上所述，PC 的长分别为49=x 、43108、26. 解：（1）∵AB BC =,∴A C ∠=∠∵CDE EDF A H ∠+∠=∠+∠又EDF A ∠=∠,∴CDE H ∠=∠CED ∴∆∽ADH ∆（2）①∵CED ∆∽ADH ∆，∴CE CDAD AH=∵D 是AC 的中点，6AC =，∴3AD CD ==，又 ∵,4CE x AB ==∴当H 点在线段AB 的延长线上时，334x BH =+，∴94BH x=- 当H 点在线段AB 上时，334x BH =-，∴94BH x=-②过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G∴12DG CG CD AB BC AC ===，∴2,2DG BG == CPE A BFH CP E A B FG H M∴当H 点在线段AB 的延长线上时，∴BH BF GD GF=，∴9422y x y -=-∴18890924x y x x -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭ 当H 点在线段AB 上时，∴BH BFGD GF=，∴9422y x y -=+ ∴81894924x y x x -⎛⎫=≤< ⎪-⎝⎭7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -= 解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴DQAPPD AB = 即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．8. 证明：（1）过点M 作AD MG ⊥交AD 于G∵AM//DC ∴C AMB ∠=∠∵8AB ,90B =︒=∠ ∴BM AB C AMB ==∠tan tan ∴BM834=∴6B M = ∵AD//BC ，AB//MG ∴AG=BM=6∵AD=12 ∴AG=GD ∴AGM ∆≌DGM ∆∴AM=DM(2) ∵A MB FEM ∠=∠ A FE A MB ∠=∠∴EFM ∽∆∆AEM ∴FMEMEM AM =∵22226)-(8EM 1086AM x +==+=∴y x x 2222)6(8)6(810-+=-+∴1056101y 2+-=x x 定义域为：120<<x (3) ∵FEM AEF MAE EFM ∠>∠+∠=∠∴EM ≠FM ∴若EFM ∆为等腰三角形，则EF =EM 或EF =FM ① 当EF =EM 时,12-x =10∴x =2②当EF =FM 时∵MA E F F ∠=∠=∠EM ME ∴AE =EM ∴226)-(x 8x -12+=∴311x = 9. 证明：（1）∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B =∠CBPEB C DAB PQE(2)①FPC EPF BEP B EPF ∠+∠=∠+∠=∠ 又∠EPF =∠C=∠B ，∴FPC BEP ∠=∠ ∴△BEP ∽△CPF ，∴CF BPCP EB =∴462+=-y x x ∴43212-+-=x x y （42<<x ） ②当点F 在线段CD 的延长线上时∠FDM =∠C=∠B ， FMD FPC BEP ∠=∠=∠，∴△BEP ∽△DMF BEP DMF S S ∆∆=49，∴xy BP DF ==23 又43212-+-=x x y ，∴0832=+-x x ，Δ＜0，∴此方程无实数根， 故当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使BEP DMF S S ∆∆=49当点F 在线段CD 上时，同理△BEP ∽△DMFBEP DMF S S ∆∆=49，∴x y BP DF ==23，又∴△BEP ∽△CPF ∴CFBPCP EB =，∴y x x -=-462 ∴43212+-=x x y ，∴0892=+-x x ，解得 11=x ，82=x 由于82=x 不合题意舍去，∴1=x ，即BP =1 所以当BEP DMF S S ∆∆=49时，BP 的长为1． 10. 解：（1）△CMF ∽△BEM ，△MEF ∽△BEM ．证明如下：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠C ． 又∵∠EMF +∠FMC =∠B +∠BEM ，∠EMF =∠B ，∴∠FMC =∠BEM ．∴△CMF ∽△BEM ． ∴CM BEFM EM =． 又∵CM =BM ，∴BMBEFM EM =．∵∠EMF =∠B ，∴△MEF ∽△BEM ． （2）∵△CMF ∽△BEM ，∴CFCMBM BE =． ∵BM =CM =2，∴y x 22=．∴所求函数的解析式为xy 4=，（41≤≤x ）。