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中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)

—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4．如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。

CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。

5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。

初中数学专题训练一线三等角

专题训练－一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角．一线三等角模型经常出现在等腰三角形、等腰梯形、等腰直角三角形、等边三角形以及正多边形中．模型总结：引例：如下图，AB＝AC，∠B＝∠ADE＝α，AEαB C(1)求证：△ADE∽△ACD；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝α，∵∠B＝∠ADE＝α，∴∠C＝∠ADE＝α，又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD；(2)求证：△ABD∽△DCE；证明：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠α＋∠1＝∠α＋∠3，即：∠1＝∠3，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE；(3)AB＝AC＝m，BC＝2n，D点不与B，C重合，①求CE的最大值(用含m，n的代数表示)，②求CE的取值范围(用含m，n的代数表示)，当CE的值最大时，D点的位置在哪里？2n -y解析：设EC ＝x ，BD ＝y ，DC ＝2n －y ，由(2)知△ABD ∽△DCE ，AB BDDC EC =，2m y n y x=-， mx ＝2ny －y 2， y 2－2ny ＝－mx ， y 2－2ny ＋n 2＝－mx ＋n 2， (y －n )2＝－mx ＋n 2， ∵(y －n )2≥0， ∴－mx ＋n 2≥0， mx ≤n 2，x ≤2n m，又∵D 点不与B ，C 重合， ∴x ＞0，∴EC 的取值范围是0＜EC ≤2n m ，当取等号时，EC 的最大值为2n m，此时y －n ＝0，y ＝n ，即BD ＝n ＝12BC ，即D 为BC 的中点．引例：△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，且D 不与B ，C 重合，以D 为顶点作∠EDF ＝∠B ； (1)求证：△BDE ∽△CFD ；证明：∵∠EDC 是△EBD 的外角， ∴∠α＋∠1＝∠α＋∠3，即：∠1＝∠3，又∠B ＝∠C ， ∴△BDE ∽△CFD ；(2)当D 为BC 中点时，求证：①△BDE ∽△DFE ∽△CFD ；②DE 平分∠BEF ，DF 平分∠CFE ； ABC DFE证明：①由(1)知△BDE ∽△CFD ，BE DECD DF=，又∵D 为BC 中点时， ∴BD ＝DC ， ∴BE DE BD DF =，BE BDDE DF=，而∠EDF ＝∠B ， △BDE ∽△DFE ，又∵△BDE ∽△CFD ， ∴△BDE ∽△DFE ∽△CFD ； ②∵△BDE ∽△DFE ， ∴∠BED ＝∠FED ，即：DF 平分∠CFE ， ABC DFE ααα β β βγ γ γ∵△DFE ∽△CFD ， ∴∠CFD ＝∠EFD ，即：DE 平分∠BEF ；引例：如下图，AB ＝AC ＝m ，BC ＝2n ，∠B ＝∠ADE ＝α，ABCEα(1)当△DCE 为直角三角形时，求BD (用含m ，n 的代数表示)； ①当∠DEC ＝90°， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴∠DEC ＝90°＝∠ADB ，即：AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴由三线合一定理可知， BD ＝12BC ＝n ； ②当∠EDC ＝90°， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴∠EDC ＝90°＝∠BAD ，方法1：用相似求∵∠B ＝∠B ，∠AHB ＝∠DAB ＝90°， ∴△BAH ∽△BDA ，AB BH BD AB =，m nBD m =，解得2m BD n=，方法2：用三角函数求在Rt △ABH 中， cos B ＝BH nAB m=，在Rt △ABD 中， cos B ＝AB m nBD BD m==，解得2m BD n=，③当∠C ＝90°，△ABC 中就会有两个直角，×(2)当△ADE 为等腰三角形时，求BD (用含m ，n 的代数表示)；ABCDEα①当AD ＝AE 时， ∠ADE ＝∠AED ＝α，此时，点D 与点B 重合，点E 与点C 重合， ∴BD ＝0； ②当DA ＝DE 时， ∵△ABD ∽△DCE ， ∴△ABD ≌△DCE ， ∴AB ＝DC ＝m ， ∴BD ＝2n －m ； ③当EA ＝ED 时，设EA ＝ED ＝x ，∵△ADE ∽△ACD ，AD AE DEAC AD DC ==， x AEm x =， 2x AE m =，2x EC m m=-，∵△ABD ∽△DCE ，AB BD DC EC=，22m n xx x m m -=-， 2222m x nx x -=-， 22m nx =， 22m x n =；∴BD ＝222m n n-；练习题组：1．（9995）如图，等腰直角△ABC 的直角边长为3，P 为斜边BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，且∠APD ＝45°，则CD 的长为( ) A ．35；B ．3132-；C ．3123-；D ．53；2．（28838）如图，正六边形ABCDEF 的边长为3，P 为BC 上一点，BP ＝1，Q 为CD 上一点，若∠APQ ＝120°，则QD ＝( ) A ．73；B ．1；C ．23；D ．2； AB C DFQP※3．（2580）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为( ) A ．32；B ．23；C ．12；D ．34；ADC P B60°※4．（11402）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝4，CE ＝43，则△ABC 的面积为( )A．B ．15；C．D． AEC B※5．（13171）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP ＝1，点D 为AC 边上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为( ) A ．12；B ．23；C ．34；D ．1；ABCD P60°※6．（26231）如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( ) A ．1；B ．2；C ．3；D ．4；ABDFCE7．（15227）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB ＋∠EDC ＝120°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为( ) A ．9；B ．12；C ．16；D ．18； ABCDE8．（22163）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则AE 的长为____________． ABDC E※9．（25060）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B＝α，DE 交AC 于点E ，且cos α＝45．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或252； ④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是____________．(把你认为正确结论的序号都填上)ABCEα※10．（9217）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，连接AD ，DE ，且∠1＝∠B ＝∠C ； (1)由题设条件，请写出三个正确结论：(要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明)答：结论一：____________；结论二：____________；结论三：____________． (2)若∠B ＝45°，BC ＝2，当点D 在BC 上运动时(点D 不与B 、C 重合)， ①求CE 的最大值；②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．(注意：在第(2)的求解过程中，若有运用(1)中得出的结论，须加以证明)ABDC E1AB备用图CE※11．（25092）△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B ；(1)如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．(2)如图(2)，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． (3)在图(2)中，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14时，求线段EF 的长．ABCD EM N图1A B CD EM N 图2FAB CD EM N 备用图F※12．（28455）如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在边BC 上移动(点D 不与点B 、C 重合)，E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝∠B ， (1)求证：△BDE ∽△CFD ；(2)如图2，当D 为BC 中点时，连EF ，求证：∠DFC ＝∠DFE ； ABCDE FA BC DF E答案1．（9995）C ．；∠1＋∠3＝135°，∠2＋∠3＝135°，∴∠1＝∠3，又∠B ＝∠C ＝45°，∴△ABD ∽△PCD ；2．（28838）A ．；解析：∠B ＝∠APQ ＝∠C ＝120°，由一线三等角模型可知，△ABP ∽△PCQ ，∴AB BPPC CQ=，312CQ =，CQ ＝23，QD ＝27333-=． 3．（2580）B ．；解析：△ABP ∽△PCD ；4．（11402）C ．；解：∵△ABC 是等边三角形，∠ADE ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝∠ADE ＝60°，AB ＝BC ，∵∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ，∠DEC ＝∠ADE ＋∠DAC ，∴∠ADB ＝∠DEC ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB BDDC CE=，∵BD ＝4，CE ＝43，设AB ＝x ，则DC ＝x －4，∴4443x x =-，∴x ＝6，∴AB ＝6，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt△ABF中，AF＝AB•sin60°＝6×32＝33，∴S△ABC＝12BC•AF＝12×6×33＝93．故选C．AECDB F5．（13171）B．；解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠APB＝∠P AC＋∠C，∠PDC＝∠P AC＋∠APD，∵∠APD＝60°，∴∠APB＝∠P AC＋60°，∠PDC＝∠P AC＋60°，∴∠APB＝∠PDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即312CD=，∴CD＝23．6．（26231）B．；解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD＝AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF＝AE：EF，∴AB：BD＝CD：CF，即9：3＝(9－3)：CF，∴CF＝2．7．（15227）A．；8．（22163）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120°∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则AB DC BD CE=，即963CE =，解得：CE ＝2，故AE ＝AC －CE ＝9－2＝7．9．（25060）①②③④；解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ；故①结论正确，②AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cos α＝45，∴BC ＝16，∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDEB CAB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△DCE (ASA )．故②正确，③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ，∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cos α＝45．AB ＝10，BD ＝8．当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°，∵∠B ＝α且cos α＝45．AB ＝10，∴cos ∠B ＝AB BD ＝45，∴BD ＝252．故③正确．④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ， ∴AB BDDC CE =， ∴1016yy x =-，整理得：y 2－16y ＋64＝64－10x ，即(y －8)2＝64－10x ，∴0＜y ≤8，0＜x ≤6.4．故④正确．10．（9217）解：(1)AB ＝AC ；∠AED ＝∠ADC ；△ADE ∽△ACD ；(2)①∵∠B ＝∠C ，∠B ＝45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴AC ＝2BC ＝2×2，∵∠1＝∠C ，∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，∴AD ：AC ＝AE ：AD ，即AD 2＝AE •AC ，∴AE ＝2ADAC 22•AD 2，当AD 最小时，AE 最小，此时AD ⊥BC ，AD ＝12BC ＝1，∴AE 的最小值为2×12＝2，∴CE －2＝2；②当AD ＝AE 时，∴∠1＝∠AED ＝45°，∴∠DAE ＝90°，∴点D 与B 重合，不合题意舍去；当EA ＝ED 时，如图1，AB D CE1图1∴∠EAD ＝∠1＝45°，∴AD 平分∠BAC ，∴AD 垂直平分BC ，∴BD ＝1；当DA ＝DE 时，如图2，AB D CE1图2∵△ADE ∽△ACD ，∴DA ：AC ＝DE ：DC ，∴DC ＝CA ，∴BD ＝BC －DC ＝2∴当△ADE是等腰三角形时，BD 的长的长为1或211．（25092）解：(1)图(1)中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE ．证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD ，又∵∠MDN ＝∠B ，∴△ADE ∽ABD ，同理可得：△ADE ∽△ACD ，∵∠MDN ＝∠C ＝∠B ，∠B ＋∠BAD ＝90°，∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∠B ＝∠MDN ，∴∠BAD ＝∠EDC ，∵∠B ＝∠C ，∴△ABD ∽△DCE ，∴△ADE ∽△DCE ，(2)△BDF ∽△CED ∽△DEF ，证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°，又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE ，由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED ， ∴BD ECDF DE =．∵BD ＝CD ， ∴CDECDF DE =．又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF ．(3)连接AD ，过D 点作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H ．AB C D EMN FG H∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6．在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8∴S △ABC ＝12BC •AD ＝12×12×8＝48．S △DEF ＝14S △ABC ＝14×48＝14．又∵12AD •BD ＝12AB •DH ， ∴DH ＝AD BDAB ⋅＝8610⨯＝245，∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ， ∴DH ＝DG ＝245．∵S △DEF ＝12×EF ×DG ＝14，∴EF ＝1212DG＝5．12．（28455）解：(1)在△BDE 中，∠1＋∠2＋∠B ＝180°，而∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠B ＝∠3＋∠4，又∵∠B ＝∠3，∴∠1＝∠4，又∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD ； AB C D EF12 3 4(2)由(1)知，△BDE ∽△CFD ， ∴DEBDDF FC =，又∵D 为BC 中点， ∴BD ＝DC ，∴DE DCDF FC =，又∵∠3＝∠B ＝∠C ， ∴△DEF ∽△CDF ， ∴∠DFC ＝∠DFE ； AB C D FE。

专题相似三角形一线三等角模型(老师版)

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

微专题一线三等角

【结论】①△CAP∽△PBD； ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD.
模型应用
1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F，若CE＝2，求DF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCE＝∠EDF＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°，
∴ AE = AF , DC DE
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6F的长为5.
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF＋∠F＝90°.
∵EF⊥CE，
∴∠CED＋∠AEF＝90°， ∴∠CED＝∠F，
第2题图
∴△AEF∽△DCE；
(2)解：由(1)知，△AEF∽△DCE，
微专题一线三等角(2017、2013、2011年23题)
方法分析一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，来证明三角形全等或相似，当证明三角形全等时必须还有一组对应边相等. 常见基本图形如下： (1)两个三角形在直线同侧，点P 在线段AB上．
锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
已知：∠1＝∠2＝∠3.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似．
【结论】①△CAP∽△PBD； ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD.
(2)两个三角形在直线异侧，点P在AB(或BA)的延长线上．
锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
已知：∠1＝∠2＝∠3.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似．

专题：“一线三等角”模型与全等

12.2(8)专题：双垂图（直角三角形及斜边上的高）与全等一．【知识要点】1.“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等或相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，也称为“一线三等角”。

2.【方法归纳】利用垂直相等作垂线构造全等三角形，实现坐标与线段的转化.若遇等腰直角弯：过两端点向直角顶点所在直线（水平线，铅垂线）作垂线构造全等三角形。

如图：二．【经典例题】1．(1)如图(1)，已知：在△ABC中，△BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD△直线m, CE△直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．2.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直线L 经过顶点C.过A,B 两点别作L 的垂线AE,BF ,垂足分别为点E,F.(1)当直线L 不与底边AB 相交时,求证:EF=AE+BF.(2)如图2所示,将直线L 绕点C 顺时针旋转,使L 与底边AB 交于点D,请你探究直线L 在如下位置时,EF,AE,BF 之间的关系.①图2中,AD>BD;②图3中,AD=BD;③图4中,AD<BD.3.在△ABC 中，AB=BC,90ABC ∠=︒,△AB C 在平面直角坐标系中的位置如图所示。

（1）如图1,已知A(0,-4) ,B(1,0),求点C 的坐标（2）如图2,已知A(0,0) ,B(3,1),求点C 的坐标 (3)如图3,已知A(3,1),B(0,3),求点C 的坐标4.如图,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,D为CB延长线上一点,AE=AD,且AE⊥AD,BE与AC的延长线交于点P.(1)求证:BP=PE;(2)若AC=3PC,求DBBC的值.5.己知△ABC中,AB=AC,直线l 是过点A 的一条直线,点B,C 在直线l 同侧.(1)如图1,若∠BAC=90°,过B,C 两点分别向直线l 作垂线BD,CE,垂足为D,E,求证:DE=BD+CE;(2)如图2,若∠BAC=60°,∠BDA=∠AEC=60°,请写出BD,CE,DE 之间的数量关系、并证明； (3)如图3,若∠BAC=90°,BF的垂直平分线DE 经过点A 并交FC 于点E,且AD 请直接写出ABD AECSS的值.三．【题库】【A 】1.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B 、C 作经过点A 的直线的垂线BD 、CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝ .2.如图，已知，垂足为，，垂足为，，，则＝_________．3.如图（1），AB ⊥AD ，ED ⊥AD ，AB ＝CD ，AC ＝DE ，试说明BC ⊥CE 的理由；如图（2），若△ABC 向右平移，使得点C 移到点D ，AB ⊥AD ，ED ⊥AD ，AB ＝CD ，AD ＝DE ，探索BD ⊥CE 的结论是否成立，并说明理由．4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于点E ；（1）若B 、C 在DE 的同侧（如图所示）且AD ＝CE ．求证：AB ⊥AC ；（2）若B 、C 在DE 的两侧（如图所示），且AD ＝CE ，其他条件不变，AB 与AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．AB BD ⊥B ED BD ⊥D AB CD =BC DE =ACE∠5.已知AC=BC,AC⊥BC,过C点任作直线l,过点A、B分别作l的垂线AD、BE,垂足分别为D,E.若AD=2,BE=4.(1)如图1,若直线l在△ABC外部,求DE的长;(2)如图2,若直线l与AB相交,求DE的长.【B】1.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.2.（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线,MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

初三相似三角形之一线三等角专题

相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。

若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。

2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版

《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)

专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

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全等三角形专题复习
————“一线三等角”型
【教学目标】
1、会用 “一线三等角”的基本图形解决全等中的相关问题
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解
题能力
【重点】
运用“一线三等角”全等型的基本图形解题。
【难点】
“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用
【教学方法】
合作探究、小组讨论
【教具准备】
三角尺，多媒体．
【教学过程】一．类比探究，问题导入：
（ 1）如图，已知∠ A=∠ BCD=∠E=90°， BC=CD图, 中有没有
全等三角形并说明理由。
△BAC≌△ CED
B
D
AC
E
（ 2）如图，已知∠ A=∠ BCD=∠E=60°， BC=CD，图中有没
有全等三角形并说明理由。
△ABC≌△ ECD
常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。（ 2 ）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问题的手段和方法。（ 3 ）几何的学习中，要注重图形的运动和变化，总结和发现图形之间的内在联系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
五、课堂作业
αα
AC
α
E
总结规律：顺口溜： “一线三等角，两头对应好，互补导等角，全等轻易找” 三．运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠ 1=∠ 2=∠3，请你想一想再补充一组条
件，快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的全等三角
形（要求对应的顶点写在对应的位置）
A
A
D
E
1
2

F
G
3 C
2 1 B
D
E
3 C
A F
二、抽象模型，揭示实质
如图，已知∠ A=∠ BCD=∠E=α°，BC=CD图, 中有没有全等三
角形，并写出证明过程 .
结论：图中△ ABC≌△ ECD
理由：∵∠ BCE=∠ A+∠ B =∠ BCD+∠ DCE
B
D
又∵∠ A=∠BCD ∴∠ B=∠DCE ∵∠ A=∠ E,BC=CD ∴△ ABC≌△ ECD
追问：三个图形有什么共同点
（引入“一线三等角” 的概括性名称）
AC
（ 3）如图，已知∠ A=
∠ BCD=∠ E=120°， B
BC=CD图, 中有没有全
等三角形并说明理
由。 △ BAC≌△ CED
AC
E
D E
二、抽象模型，揭示实质
抽象模型的目的是让学生的认识从 “特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
1
B
D
2 3
E
C
（3）
A 1
F
ED 23
B
C
（ 4）
总结规律：（学生会用自己的语
言总结出规律，老师应适当给予肯定，然后总结出顺口溜）顺口溜：“一线三等角，两头对应好，互补导等角，全等轻易找” 这里通过口诀来总结规律，学生兴趣盎然，形象易记。
三．运用新知，看图作答
通过前面的学习，为了让学生学以致用，设置一组题例让学生跃跃欲试，慧眼识“一线三等角”相似型。比一比，看谁说得又快又准
B
D
C
课堂作业是基础题，重在检查整体学生的掌握情况；
五、课堂作业
教后反思：一线三等角
1.如图，已知等边△ ABC的边长为 6，D 是 BC边上一动点，
∠ EDF=60°,DE=DF。
A
（ 1）求证：△ BDE≌△CFD；
（ 2）当 BD=2时，求 BE的长。
E
F
两头对应好互补导等角全等轻易找
B
D
设计意图
一、导入新课 ,揭示目标情景：（ 1）师生解读学习目标（ 2）三个问题呈现提供了同类
全等三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。
注意：这里要求学生提炼“一线三
等角的基本图形，说出两个全等三角形即可，要求对应的顶点写在对应的位置。
四、小结收获交流归纳
本节课的所学知识小结起来很明确，贵在让学生悟到几何学习中的基本图形和相关应用，从学习的方法来进行总结。
四、小结收获交流归纳（ 1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到全等三角形，熟悉这类题经