一模专题：一线三等角
相似专题：一线三等角模型
由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各 种各样的变式，但万变不离其宗： 都是构造相似三角形列比例式解决问题.
常见类型
考题赏析：
考题赏析
应用举例
应用举例.
2、当等角所对的边相等时的两个三角形全等. 如图，当CE=ED时，易得△AEC≌△BDE.
3、“中点型一线三等角”的特殊性质
如图，当∠1=∠2=∠3且D是BC中点时， △BDE∽△CFD∽△DFE.
四、一线三等角的常见构图（以等腰三角形为例）
A与E重合时如图所示
也可以在射线上
点D也可以在线段 BC外面
练习中的问题：
相似专题复习 ：
合肥实验学校 孙红涛
引例
已知相邻两条平行线间距离相等，若等腰直角三角形顶 点分别在三条平行线上，则sinα =
C
a
B
起源
二、“一线三等角”的两种基本类型
1.三等角都在直线的同侧
2.三等角分居直线的两侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下，由∠1=∠2=∠3易得△AEC∽△BDE.
探究重点模型“一线三等角”
探究重点模型“一线三等角”在各省市的中考考点中，“一线三等角”一直都被命题人所青睐，它是构造全等三角形与相似三角形的众多重点模型之一。
所谓“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上，这样总能在图形上找到至少一对全等三角形或相似三角形。
为此，我们做出如下研究：在锐角等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE≌CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角在锐角非等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE≌CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角在直角等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE≌CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角在直角非等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE∽CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角在钝角等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE≌△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交、则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE≌CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角在钝角非等腰三角形ABC中①过点A作不平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF②过点A作平行BC的直线MN则可知：∠AEB=∠BAC=∠CFA,△ABE∽△CAF③过点A作不平行BC的直线MN且与BC相交、则可知：∠BAC=∠BEM=∠CFM.△ABE∽CAF，若将图形平放，则有异侧一线三等角总结：以上情况我们相当于根据一条直线上的一个角又构造了两个一模一样的角，从而组成一线三等角，包括同侧的，异侧的；或者是一线三锐角，一线三直角，一线三钝角。
一模专题一线三等角
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
67
9 2
(9 ,9 3 ) 22
93
9
2
思考：若把Hale Waihona Puke tanBAO3 3
改为tanBAO1 ，解法是否一样？
2
2a
9
a 9 2
9 2a
9
a
2
9 2
a 9 2
2
9 2a 1
a 27 10
A '( 2 7 , 3 6 ) 55
一线三直角在几何综合题中的应用
2012年奉贤二模25题
构造一线三直角可以解决所有问题
（1）
2 45
3
45
2
45
22
32
3
26
45
1
5
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3
3 x2 4 2
3 x
y 1 x 2 4 3x 2 4 3 x 2 3 (0 x 3 )
2
2
4
（2）
3x
2
一线三等角全等模型结论
一线三等角全等模型结论
一线三等角全等模型是指在一个三角形中，如果其中一条边与另外两条边的夹角分别相等，则这个三角形是全等的。
具体结论如下：
1. 如果一个三角形的两条边分别相等，且它们夹角相等，则这个三角形是全等的。
2. 如果一个三角形的两个夹角分别相等，且它们夹角对应的边相等，则这个三角形是全等的。
3. 如果一个三角形的两个夹角分别相等，且它们夹角对应的边相等，则这个三角形是全等的。
这些结论是根据一线三等角全等模型的定义得出的。
在几何学中，全等是指形状和大小都完全相同。
因此，根据这个模型，只要满足上述条件，就可以确保三角形是全等的。
一线三等角专题
一线三等角专题
通过探究“一线三等角”型的基本图形，学生能够解决全等中的相关问题。
通过抽象模型、图形变换和变式类比等方法，能够提高综合解题能力。
在教学过程中，首先通过三个问题的提出，引入了同类全等三角形的概念，并要求学生说出证明过程，以培养学生的直观经验。
接着通过抽象模型的讲解，让学生从特殊到一般，从而更好地理解“一线三等角”型的基本图形的本质。
最后，通过口诀来总结规律，让学生易于记忆和理解。
教学方法主要是合作探究和小组讨论，教具准备包括三角尺和多媒体。
总体来说，这样的教学设计能够让学生更好地理解“一线三等角”型的基本图形，提高他们的解题能力。
情况和巩固所学知识。
请同学们完成以下题目：
1.在下列图形中，找出所有的一线三等角，并标出对应的顶点。
2.画出一个一线三等角的基本图形，并说明其特点。
3.在下列图形中，找出所有的全等三角形，并标出对应的顶点。
4.用“一线三等角”的知识，证明以下两个三角形全等：
图略）
5.请同学们自己设计一个图形，使其中包含一个一线三等角和两个全等三角形。
完成作业后，请同学们互相交流和讨论，共同提高。
专题 全等三角形六种基本模型(学生版)
专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。
三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A．3B．5C．2D．1B (1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不．．．同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE V 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE V 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．上一点，轴9,23A．()9,3B．()3．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．分别在边6．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形分别在线段AD、DC上（点E与点A、CD=，在BC边上取中点E，连接DE，过点E 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，4做EF ED⊥与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG的面积．⊥交AB于点M，9．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，点E是边AD上一点，EM EC∠=∠．(1)求证：AE是AM和AN的比例中项；(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上（如图），且ANE DCE长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．的两个等腰直角三角形，(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．312．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，连接BB '；②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE ADC ∠=∠，1BE CE ==，3CD =，2=AD AB ，求BD 的长．14．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA =，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90︒，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ∠-∠=︒，求点E 的坐标．九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在BC=．点E是线段AD上的动点（点E不与18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
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难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2020/3/18
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
最特殊
考到概 率最大
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
2012年奉贤二模25题
构造一线三直角可以解决所有问题
（1）
2 45
2 45 2 2
3 45
32
26 1
5
3 45
2020/3/18
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3
3 x2 4 2
3 x
y 1 x2 4 3 x2 4 3 x2 3 (0 x 3)
2
2
4
2020/3/18
（2）
3x
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
2020/3/18
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题；
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9,9 3) 22
93
9
2
思考：若把 tan BAO
3 3
改为tan BAO 1 ，解法是否一样？ 2
2020/3/18
2a
9 a9
2
9 2a
9
a
2
9 2
2020/3/18
a9 2
2
9 2a 1
a 27 10
A'( 27 , 36) 55
一线三直角在几何综合题中的应用
60°
60° 60°
“一线三等角”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
中点型“一线三等角”模型
中点型：
至少有三
对相似三
β
角形
2020/3/18
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
2020/3/18
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD P轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式；
方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
一线三等角在直角坐标系中的应用