专题练习一一线三等角
中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
全等三角形一线三等角典型例题
全等三角形一线三等角典型例题在数学的世界里，三角形就像是一个神秘的朋友，总是藏着许多秘密。
今天，我们就来聊聊全等三角形和它那有趣的“三线三等角”。
想象一下，三角形就像是一个聚会，大家都想找到志同道合的朋友。
全等三角形就好比是两个完全相同的朋友，他们不仅形状一样，大小也一模一样，连衣服颜色都不差分毫。
真是兄弟姐妹般的关系，对吧？说到三线，大家是不是想到了一条条的线呢？这里的“三线”指的是三条特别的线。
第一条是中线，它像是母亲的怀抱，把每个顶点的温暖传递给对面的边；第二条是高线，仿佛是努力向上的小伙伴，永远努力追求目标，直奔边缘；最后一条是角平分线，它就像是和谐的桥梁，把每个角的美丽分得恰到好处，简直是三角形里的调和剂。
当这三条线同时存在的时候，全等三角形就显得格外重要了。
大家都知道，如果两个三角形的三条边长度相等，那它们就是全等三角形，哇，简直是双胞胎！这就像是你和朋友一起吃饭，他点了和你一样的菜，真是同病相怜。
这个时候，你可以用“三线三等角”来检验这两个三角形的关系。
只要中线、角平分线、高线都画出来，简直一目了然，谁是谁，立马分清楚！有没有想过，为什么这三条线这么重要呢？它们就像是三位朋友，各有各的特点，又可以一起合作。
高线能告诉我们三角形的高低，角平分线让角度和谐，中线则是链接的纽带。
想象一下，如果没有它们，三角形就像失去了灵魂，变得无趣，没法和其他三角形玩耍了。
再说说全等三角形的应用吧！比如，在建筑设计中，建筑师就常常利用全等三角形的性质，确保每个角度都精准无误。
想象一下，如果你的家是一座由全等三角形构成的堡垒，那可真是太酷了！三角形的稳定性可是出了名的，它们相互依靠，像老朋友一样，能抵抗外界的风吹雨打，真是安稳又可靠。
嘿，你有没有想过，生活中的全等三角形也随处可见呢？比如说，你和朋友一起做手工，两个三角形的图案，剪出来的形状完全一样，那就是生活中的全等三角形啊！这种相似的形状也能拉近你们之间的距离，让你们在一起的时光更加美好。
中考专题练习一线三等角
一线三等角(2 )当x何值时，y有最大值，最大值是多少？理论：略范例点睛1. 正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持/ APQ=90。
•当CQ=1时，写出线段BP的长3. (2007 •南京在梯形 ABCD 中，AD //BC,AB=DC=AD=6 ，/ABC=60。
，点 E、F 分别在线段AD、DC上(点E与点A、D不重合)，且/BEF=120。
，设AE=x , DF=y .(1 )求y与x的函数表达式；4. 女口图，Rt △ ABC 中,/ BAC=90 ° ,AB=AC=2 ，点D为BC边上动点(D不与B、C 重合)，/ ADE= 45 ° P E 交 AC 于点 E.(1)Z BAD与/ CD的大小关系为______ .请证明你的结论；(2)设 BD=x , AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当厶A是等腰三角形时，求 AE的长；(4)是否存在x，使△DC的面积是厶ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由.一.基础技能1. ( 2015?连云港)如图，在△ ABC中，ZBAC=60 ° ,Z ABC=90 °，直线I2//I3,丨1 与12之间距离是1 , 12与13之间距离是2 , 且l1 , l2 , l3分别经过点 A, B , C,则边 AC= .2. 如图，已知I1//I2//I3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina值是( )A. 1B. 6C._5D.J03 17 5 103. (2012 •苏州已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点 C1、曰、E2、C2、E3、曰、C3在x轴上.若正方形 A1B1C1D1的边6.如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B '处,点C恰好落在边 B'F上•若AE=3 , BE=5 ,___________________ __________________ I 则FC=长为 1，/B1C1O=60 ° , B1C1 //B2C2//B3C3, 则点A3到x轴的距离是（）4.如图，在边长为 9正三角形ABC中,BD=3，/ ADE=60。
一线三等角大题练习-答案
一线三等角大题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，23AB =，求点C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE的值． 2．【问题背景】（1）过等腰直角△ABC 的两个锐角顶点，分别向直角顶点C 所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D ，E ．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC =∠CEB =90°，AC =CB ，又由∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，得到∠ACD =∠CBE ，所以△ACD ≌△CBE ，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS ，SAS ，ASA ，AAS 或HL ）．图1【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A （-2，4），B （3，1），在直线AB 的上方，以AB 为边作等腰直角△ABM ，写出所有符合条件的点M 坐标：________．图23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝ ，BC ＝ ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型； （2）【模型应用】①如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内任一点，点B 的坐标为（4，1）．若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标为 ．5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.参考答案：1．(1)见解析 (2)3(3)35 【解析】 【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求． (1)证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒， ∴90BCE ACD ∠+∠=︒． ∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒， ∴ACD EBC ∠=∠． 又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌． (2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴132AF BF AB === ∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒． ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠． 在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴()CAE ADF AAS ≌，∴3CE AF ==，即点C 到AB 边的距离为3． (3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠． ∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠， ∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽， ∴63105EF BE DE DM ===． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2． AAS （1，9），（6，6），（2，5） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC =∠CEB =90°，根据余角的性质得到∠ACD =∠BCE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）当∠M 1AB =90°，△ABM 1是等腰直角三角形，当∠M 3BA =90°，△ABM 3是等腰直角三角形，当∠AM 2B =90°，△ABM 2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD和△CBE中，ADC CEBACD EBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE（AAS），故答案为：AAS；（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，∴∠AEM1=∠AFB=90°，∵∠BAM1=90°，∴∠EAM1+∠F AB=∠F AB+∠ABF=90°，∴∠EAM1=∠ABF，∵AM1=AB，∴△AEM1≌△BF A（AAS），∴AE=BF，AF=EM1，∵点A（-2，4），B（3，1），∴AE=BF=5，AF=EM1=3，∴M1（1，9），当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，同理，M3（6，6）；当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，∴M11M2=BM2，∴M2是线段BM1的中点，∴M2（2，5），综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP =∠CPD ， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ； ②BC =12，点P 为BC 中点， ∴BP =PC =6， ·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BPPC CD =，即1066CD=， 解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，△ABP ≌△PCD ， ∴PC =AB =10， ∴BP =BC -PC =12-10=2； 当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ， ∵∠APD =∠B =∠C ， ∴∠ADP =∠C ，不合题意， ∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ， ∵∠C =∠C ， ∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②3(2，5)2或5(2，3)2【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，根据余角的性质得到1B ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AH DM =，同理AH EN =，由此可得EN DM =，再由此证明DMG ENG △≌△，由全等三角形的性质得到DG EG =，于是得到点G 是DE 的中点；②分两种情况讨论，如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，根据余角的性质得到BAC AOD ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，于是得到结论，如图4，同理可得答案．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△． ∴AC DE =，BC AE =； 故答案为：DE ，AE ；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，BC AH ⊥，90BHA AMD ∴∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，12290B ∴∠+∠=∠+∠=︒，1B ∴∠=∠，在ABH 与DAM △中， 1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABH DAM AAS ∴△≌△，AH DM ∴=， BC AH ⊥，90CHA ANE ∴∠=∠=︒，90CAE ∠=︒，90CAH EAN CAH C ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAN C ∴∠=∠，在ACH 与EAN 中，CHA ANE C EAN AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACH EAN AAS ∴△≌△，AH EN ∴=，又∵AH DM =，EN DM ∴=，DM AH ⊥，EN AH ⊥，90GMD GNE ∴∠=∠=︒，在DMG △与ENG △中，DMG ENG MGD NGE DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DMG ENG AAS ∴△≌△，DG EG ∴=，∴点G 是DE 的中点；②如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===+，14AD AC x x OE ∴+=++==， 32x ∴=，512x +=， ∴点A 的坐标3(2，5)2； 如图4，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与BE 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===-，14AD AC x x OE ∴+=+-==，52x ∴=，312x -=， 又∵此时点A 在第四象限，∴点A 的坐标5(2，3)2， 综上所述，点A 的坐标为3(2，5)2或5(2，3)2， 故答案为：3(2，5)2或5(2，3)2． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．【详解】解：（1）AC=DE ，BC=AE ；故答案为：DE ，AE（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，∴1B ∠=∠，在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），∴AF DM =，同理AF EN =，∴EN DM =，∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，∴90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG ∆=（AAS ），∴DG EG =，∴点G 是DE 的中点；②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，∴∠M=90°，∵∠OBA=90°，∴∠ABM+∠OBN=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠OBN=∠BAM ，在△OBN 与△BAM 中，M ONB OBN BAM OB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBN ≌△BAM （AAS ），∴AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，∴ON= x+2，∴MB+NB=x+x+2=MN=4，∴x=1，x+2=3，∴点B 的坐标（3,1）；如图同理可得，点B 的坐标（-1,3），综上所述，点B 的坐标为()3,1，()1,3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
初二数学专题训练：一线三等角模型及应用A班 (答案与解析)
一线三等角模型及其应用A 班（时间：60分钟 满分：100分）姓名： 得分：【知识点睛】“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图：二、“一线三等角”的基本性质：1.如果123∠=∠=∠，那么D CBE ∠=∠，ABD E ∠=∠.2.如果图中ABD ∆与CEB ∆中有一组对应边相等，则有ABD CEB ∆≅∆. 三、“一线三等角”的基本应用：对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60︒角和45︒角及一般的角. 四、“一线三等角”的用法：若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角. 五、“一线三等角”的三大模块（1）直角型“一线三等角”——“三垂直”直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊.（2）等边三角形中的“一线三等角” （3）等腰直角三角形中的“一线三等角”321132CEB DDCBEll1、（16分）如图，ABC ∆中，AB AC =，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠． （1）求证：BDE CEF ∠=∠；（2）当60A ∠=︒时，求证：DEF ∆为等边三角形．【解答】证明：（1）DEC ∠是BDE ∆的一个外角， B BDE DEF CEF ∴∠+∠=∠+∠，DEF B ∠=∠， BDE CEF ∴∠=∠；（2）由（1）可知BDE CEF ∠=∠， AB AC =，60A ∠=︒ 60B C ∴∠=∠=︒， 60DEF ∴∠=︒，在BDE ∆和CEF ∆中 B CBD CEBDE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BDE CEF ASA ∴∆≅∆，DE EF ∴=， DEF ∴∆为等边三角形2、（18分）探究：如图①，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ∆≅∆．应用：如图②，在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DE BD CE =+．【解答】证明：（1）BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， 90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90BAC ∠=︒90BAD CAE ∴∠+∠=︒， 90BAD ABD ∠+∠=︒， CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADB CEA AAS ∴∆≅∆；（2）设BDA BAC α∠=∠=，180DBA BAD BAD CAE α∴∠+∠=∠+∠=︒−， CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，AD CE =， DE AE AD BD CE ∴=+=+．3、（20分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD =，22ABC C α∠=∠=，点E 在AD 上，点F 在DC 上.（1）如图1，若45α=︒，BDC ∠的度数为 ；（2）如图2，当45α=︒，90BEF ∠=︒时，求证：EB EF =；（3）如图3，若30α=︒，则当BEF ∠= 时，使得EB EF =成立？请直接写出结果）【解答】（1） 解：45α=︒，22ABC C α∠=∠=，290ABC α∴∠==︒，45C ∠=︒， //AD BC ，AD AB =，1452ADB DBC ABD ABC ∴∠=∠=∠=∠=︒， 180454590BDC ∴∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：90︒． （2）证明：连接BD ，作//EM AB 交BD 于M ，90ABC ∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，//AD BC ， 90A ∴∠=︒，45EMD EDM ∴∠=∠=︒，90DEM A ∠=∠=︒EMD ∴∆是等腰直角三角形， DE EM ∴=，90DEM BEF ∠=∠=︒，90MEB DEF MEF ∴∠=∠=︒−∠， 45EMD EDM ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒， 135EMB EDF ∴∠=∠=︒，∴在EMB ∆和EDF ∆中MEB DEF EM EDEMB EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EMB EDF ASA ∴∆≅∆，EB EF ∴=．（3）解：当120BEF ∠=︒时，EB EF =成立， 理由是：连接BD ，作//EM AB 交BD 于M ，30α=︒，30C ∴∠=︒，260ABC C ∠=∠=︒， //AD BC ，120A ∴∠=︒，18030150EDF ∠=︒−︒=︒， //EM AB ，120DEM A BEF ∴∠=∠=︒=∠， 120MEB DEF MEF ∴∠=∠=︒−∠， 30EMD ABD ADB ∠=∠=∠=︒，18030150EMB EDF ∴∠=︒−︒=︒=∠，EM ED =，∴在EMB ∆和EDF ∆中MEB DEF EM EDEMB EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EMB EDF ASA ∴∆≅∆，EB EF ∴=，故答案为：120︒．4、（22分）如图，Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：EC CD DF +=； （2）如图2，连接BF 交AC 于G 点，若3AGCG=，求证：E 点为BC 中点； （3）当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若43BC BE =，则AGCG= （直接写出结果）【解答】（1）证明： 90FAD CAE ∠+∠=︒，90FAD F ∠+∠=︒，CAE AFD ∴∠=∠，在ADF ∆和ECA ∆中， ADF ECADFA CAE AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADF ECA AAS ∴∆≅∆， AD EC ∴=，FD AC =，CE CD AD CD AC FD ∴+=+==，即EC CD DF +=；（2）证明：如图2，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，则90ADF ECA ∠=︒=∠，90FAD AFD ∠+∠=︒ 90FAD CAE EAF ∠+∠=∠=︒， CAE AFD ∴∠=∠，在ADF ∆和ECA ∆中， ADF ECA DFA CAE AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADF ECA AAS ∴∆≅∆， FD AC BC ∴==，在FDG ∆和BCG ∆中，90FGD CGB FDG C FD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()FDG BCG AAS ∴∆≅∆， GD CG ∴=，3AGCG =，3AG CG ∴=，4AC AG CG CG ∴=+=，2AD AG DG AG CG CG =−=−= ∴2142AD CG AC CG ==， AD CE =，AC BC =∴12CE BC =， E ∴点为BC 中点；（3）解：过F 作FD AG ⊥的延长线交于点D ，如图3，43BC BE =，BC AC =，CE CB BE =+， ∴47AC CE =， 由（1）（2）知：ADF ECA ∆≅∆，GDF GCB ∆≅∆， CG GD ∴=，AD CE =，∴47AC AD =， ∴43AC CD =， ∴8132AC AD =， ∴113AG CG =． 同理，当点E 在线段BC 上时，53AG CG =． 故答案为：113或53．5、（24分）已知，等腰直角ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点C 在第四象限，且满足22412400a b a b +−++=．（1）求点C 的坐标；（2）若AC 交x 轴于M ，BC 交y 轴于D ，E 是AC 上一点，且CE AM =，连DM ，求证：AD DE BM +=；（3）在y 轴上取点(0,6)F −，点H 是y 轴上F 下方任一点，作HG BH ⊥交射线CF 于G ，在点H 位置变化的过程中，BHGH是否为定值，若是，求其值，若不是，说明理由．【解答】（1）解：如图1中，作CT y ⊥轴于T ．22412400a b a b +−++=，22(2)(6)0a b ∴−++=， 2(2)0a −，2(6)0b +，20a ∴−=，60b +=， 2a ∴=，6b =−，(0,2)A ∴，(6,0)B −， 2OA ∴=，6OB =，90AOB BAC ATC ∠=∠=∠=︒，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，90BAO CAT ∠+∠=︒， ABO CAT ∴∠=∠， AB AC =，()ABO CAT AAS ∴∆≅∆， 2CT OA ∴==，6AT OB ==， 4OT AT AO ∴===，(2,4)C ∴−．（2）如图2中，作CK AC ⊥交y 轴于K ．90BAM ACK ∠=∠=︒，AB AC =，ABM CAK ∠=∠，()ABM CAK ASA ∴∆≅∆， AM CK ∴=，BM AK =， CE AM =， CE CK ∴=，DC DC =，DCE DCK ∠=∠，()CDE CDK SAS ∴∆≅∆，DE DK ∴=，AD DE AD DK AK BM ∴+=+==． （3）结论：1BHHG=，其理由如下： 作AI AF ⊥交FB 的延长线于I ，作HJ BF ⊥于J ，HK GF ⊥于K ．(6,0)B −，(0,6)F −，OB OF ∴=， BOF ∴∆是等腰直角三角形， 45AFB ∴∠=︒，AI AF ⊥，45I AFI ∴∠=∠=︒，AI AF ∴=，90BAC IAF ∠=∠=︒， IAB FAC ∴∠=∠，AI AF =，AB AC =，()AIB AFC SAS ∴∆≅∆， 45CFA I ∴∠=∠=︒ 90BFC ∴∠=︒， 45BFC CFO ∠=∠=︒， 45GFH HFJ ∴∠=∠=︒， HK HJ ∴=，BFG BHG ∠=∠，HBF HGF ∴∠=∠，()HJB HKG AAS ∴∆≅∆， BH GH ∴=，∴1BHGH=．。
三角形全等几何模型(一线三等角)(精选精练)(专项练习)(教师版) 24-2025学年八年级数学上册
专题12.12三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE 是（）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．25cm2．如图所示，,,B C E 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则下列结论错误的是（）A ．A ∠与D ∠互余B ．2A ∠=∠C ．ABC CED △≌△D ．12∠=∠3．如下图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，90,ACB AC BC ∠=︒=．点()0,1B -，点()1,1C ．则点A 坐标为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()1,2-5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m 和1.8m ，90BOC ∠=︒．爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A ．1mB ．1.6mC ．1.8mD ．1.4m6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，则ABF DAE ≌的理由是（）．A ．SSSB ．AASC ．SASD ．HL7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在ABC 和CDE 中，点B ，C ，E 在同一条直线上，B E ACD ∠∠∠==，AC CD =，若2AB =，6BE =，则DE 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点()0,2A 处有一激光发射器，激光照射到点()1,0B 处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C 处的接收器上，若入射角45α=︒，AB BC =，则点C 处的接收器到y 轴的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，若点E 、B 、D 到直线AC 的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是()A ．50B ．44C ．38D ．3210．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，E ，F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥．若4CE =，3BF =，2EF =，则AD 的长为（）A ．3B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是cm ．12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA ⊥OC ，OA=OC ，若点A 的坐标为(4，1)，则点C 的坐标为13．（2022·四川成都·二模）如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =．14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AC 上一点，∠ABD ＝2∠BAC ＝45°，若AD ＝12，则△ABD 的面积为．15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90︒，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是秒．16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，CD 为AB 边上的高，3BC =，6AC =，点E 从点B 出发，在直线BC 上以每秒2cm 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD 于点F ，当点E 运动s 时，AB CF =．17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为．18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠<︒，点D 在边BC 上，2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC 的面积为9，则ABE CDF S S += ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，于点E AD CE ⊥，于点D ．BEC 与CDA 全等吗？请说明理由．20．（8分）如图，90ABC ∠=︒，FA AB ⊥于点A ，D 是线段AB 上的点，AD BC =，AF BD =．（1）判断DF 与DC 的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，点F 在点A 的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．21．（10分）如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图1，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒，求证：MN AM CN =+．（2）如图2，直线NM 过点B ，AM 交NM 于点M ，CN 交NM 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由！22．（10分）如图，在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．（1）当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=°，DEC ∠=°；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，ABD DCE △△≌，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数．若不可以，请说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．（1）如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为___________；（2）如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；（3）如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】由题意易得90ADC CEB ∠=∠=︒，则有BCE DAC ∠=∠，进而可证ADC CEB ∆∆≌，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，AD DE ⊥，BE DE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90ACD DAC ∠+∠=︒，∴BCE DAC ∠=∠，∵在ADC ∆和CEB ∆中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ∆∆≌；∴6cm EC AD ==，14cm DC BE ==，∴20(cm)DE DC CE =+=，故选C ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．2．D【分析】利用同角的余角相等求出2A ∠=∠，再利用“角角边”证明ABC 和CED 全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.【详解】∵90B E ∠=∠=︒,∴190A ∠+∠=︒,290D ∠+∠=︒,∵AC CD ⊥,∴1290∠+∠=︒,故D 错误；∴2A ∠=∠,故B 正确；∴90A D ∠+∠=︒,故A 正确；在ABC 和CED 中,2A B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≅ ,故C 正确；故选: D .【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件2A ∠=∠是解题的关键.3．C【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长．△BEC 和△CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和∠ACD 同为∠BCE 的余角，AC=BC ，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD ，BE=CD ，因此只需求出CD 的长即可．而CD 的长可根据CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE ，又AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ；∴EC=AD ，BE=DC ；∵DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是3cm ．故选C ．【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，于是得到90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，得到CAD BCE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到,AD CE CD BE ==，根据点()0,1B -，点()1,1C ，得到1,112BE CD AD CE ====+=，于是得到结论．【详解】解：过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，∴90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，∴90DAC ACD ACD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ACD 与CBE △中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACD CBE ≌，∴,AD CE CD BE ==，∵点()0,1B -，点()1,1C ，∴1,112BE CD AD CE ====+=，∴()1,2A -．故选：D ．5．D【分析】利用全等三角形判定()AAS ，证得OBD 与COE 全等，根据全等三角形性质可求出OE 和OD 的值，进而求出OA 的值，最后根据OA OE AE -=，即可求出问题答案．【详解】解：90BOC ∠=︒ ，90BOD COE ∴∠+∠=︒，90BDO ∠=︒ ，90CEO ∠=︒，90BOD OBD ∴∠+∠=︒，90COE OCE ∠+∠=︒，COE OBD ∴∠=∠，BOD OCE ∠=∠，又OB CO = ，()OBD COE AAS ∴≅ ，1.4m OE BD ∴==， 1.8m OD CE ==，1.8m 1m 1.4m 1.4m AE OA OE OD DA OE ∴=-=+-=+-=．故选：D ．【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．6．B【分析】由正方形的性质知，AB DA =，由同角的余角相等知，BAF ADE ∠=∠，又有90AFB DEA ∠=∠=︒，故根据AAS 证得ABF DAE ≌．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴90AB DA BAF DAE =∠+∠=︒，，∵90ADE DAE ∠+∠=︒，∵BAF ADE ∠=∠，在ABF △与DAE 中，BAF ADE AFB AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAE ≌△△．故选：B ．【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方法掌握并灵活运用．7．C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明()AAS ABC CED ≌ ，由DE BC BE AB ==-即可求出结果．【详解】解：180B ACB BAC ∠+∠+∠=︒ ，B E ACD ∠∠∠==，180ACD ACB BAC ∴∠+∠+∠=︒，180ACD ACB DCE ∠+∠+∠=︒，BAC DCE ∴∠=∠，在ABC 和CED △中，BAC DCE B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≌ ，,BC DE AB CE ∴==，2AB =，6BE =，∴624DE BC BE CE BE AB ==-=-=-=，故选：C ．8．C【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，证明ABO BCM ≌V V 得出2BM OA ==，进一步得出3OM =即可【详解】解：过点C 作CM x ⊥轴于点M ，如图，则90,CBM BCM ∠+∠=︒根据题意得90,ABC ∠=︒∴90,ABO CBM ∠+∠=︒∴,ABO BCM ∠=∠又,90,AB BC AOB BMC =∠=∠=︒∴,AOB BMC ≌V V ∴2,BVM AB ==∴123,OM OB BM =+=+=即点C 处的接收器到y 轴的距离为3，故选：C9．D【分析】由已知和图形根据“K ”字形全等，用AAS 可证△FEA ≌△MAB ，△DHC ≌△CMB ，推出AM =EF =6，AF =BM =3，CM =DH =2，BM =CH =3，从而得出FH =14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BM ⊥AM，∴∠F =∠AMB =∠EAB =90°，∴∠FEA +∠EAF =90°，∠EAF +∠BAM =90°，∴∠FEA =∠BAM ，在△FEA 和△MAB 中F BMA FEA BAM AE AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△FEA ≌△MAB （AAS ），∴AM =EF =6，AF =BM =3，同理CM =DH =2，BM =CH =3，∴FH =3+6+2+3=14，∴梯形EFHD 的面积=12EF DH FH + （）=126241⨯+⨯（）=56，∴阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC =11566322183322-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=32．故选D ．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．10．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．由AB CD ⊥可得90A D ∠+∠=︒，由CE AD ⊥，BF AD ⊥可得90CED AFB ∠=∠=︒，A B ∠∠=︒+90，从而B D ∠=∠，进而证得()AAS ABF CDE ≌，可得4AF CE ==，3BF DE ==，推出()AD AF DF AF DE EF =+=+-，代入数据即可解答．【详解】∵AB CD ⊥，∴90A D ∠+∠=︒，∵CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90CED AFB ∠=∠=︒，∴1801809090A B AFB ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴B D ∠=∠，∵AB CD =，∴()AAS ABF CDE ≌，∴4AF CE ==，3BF DE ==，∴()()4325AD AF DF AF DE EF =+=+-=+-=．故选：B11．28【分析】作CD ⊥OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ⊥OB 于点D，如图，∴90CDB AOB ∠=∠=︒∵ABC ∆是等腰直角三角形∴AB =CB ，90ABC ∠=︒∴90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∴ABO BCD∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中，AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABO BCD AAS ∆≅∆∴28cmCD BO ==故答案为：28．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．12．（-1，4）【分析】过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，证明△COE ≌△OAD ，得到OE=AD ，CE=OD ，再根据点A 的坐标可得结果．【详解】解：过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，∵∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∠CEO=90°，则∠COE+∠OCE=90°，∴∠OCE=∠AOD ，在△COE 与△OAD 中，OCE AOD CEO ODA OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAD （AAS ），∴OE=AD ，CE=OD ，∵点A 的坐标为（4，1），∴OD=4，AD=1，∴CE=OD=4，OE=AD=1，∴点C 的坐标为（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，证明全等．13．7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．14．36．【分析】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，则∠DEB =90°-∠ABD =45°，证出AE =DE =DB ，通过证明△AEF ≌△BCD ，得出BC ==AF=12AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，如图所示：则∠DEB =90°-∠ABD =45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DB =DE ，∵∠ABD =2∠BAC =45°，∴∠BAC =22.5°，∴∠ADE =∠DEB -∠BAC =22.5°=∠BAC ，∴AE =DE =DB ，∵∠AFE=90°，∴F 是AD 中点，AF=FD ，又∵∠C=90°，∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，在Rt △AEF 和Rt △BCD 中A CBD AFE BCD AE BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴Rt △AEF ≌Rt △BCD （AAS ），∴AF=BC=12AD=6，∴△ABD 的面积S=12AD ×BC =12×12×6=36；故答案为：36．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．15．3【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得ACM BMD ≌．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在ACM 和BMD 中，A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACM BMD ≌，∴9BD AM ==米，1293BM =-=（米），∵该人的运动速度1米/秒，他到达点M 时，运动时间为313÷=（秒）．故答案为：3．16．1.5或4.5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵EF BC ⊥，∴90CEF ACB ∠=︒=∠，在CEF △和ACB △中，ECF A CEF ACB CF AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF ACB ≌，∴6CE AC ==，如图，①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()92 4.5s ÷=；②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()32 1.5s ÷=；综上所述，当点E 在射线CB 上移动4.5s 或1.5s 时，CF AB =，故答案为：1.5或4.5.17．4cm.【分析】过点E 作EF ⊥AN 于F ，先利用AAS 证出△ABC ≌△FCE ，从而得出AB=FC=8cm ，AC=FE ，然后利用AAS 证出△DCM ≌△EFM,从而求出CM 的长.【详解】解：过点E 作EF ⊥AN 于F ，如图所示∵AN ⊥AB ，△BCE 和△ACD 为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE ，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE ，在△ABC 和△FCE 中BAC CFE ABC FCE BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△FCE∴AB=FC=8cm ，AC=FE∴CD=FE在△DCM 和△EFM 中90DMC EMF DCM EFM CD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△DCM ≌△EFM∴CM=FM=12FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS 证两个三角形全等是解决此题的关键.18．6【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．证明ABE ≌CAF V ，推出ABE 与CAF V 面积相等，可得结论．【详解】解：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，2CD BD =，ABD ∴ 与ADC △等高，底边比值为1:2，ABD ∴ 与ADC △的面积比为1:2．ABC 的面积为9，ABD ∴ 与ADC △的面积分别为3和6，BED CFD ∠=∠ ，AEB AFC ∴∠=∠．BED ABE BAE ∠=∠+∠ ，BAE CAF BAC ∠+∠=∠，BED BAC ∠=∠，BAC ABE BAE ∴∠=∠+∠，CAF ABE ∴∠=∠．在ABE 和CAF V 中，AEB AFC ABE CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE CAF ∴ ≌，ABE ∴ 与CAF V 面积相等，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为ADC △的面积，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为6．故答案为：6．19．全等，理由见解析【分析】首先证明CAD BCE ∠=∠，即可证明CDA BEC ≌V V ，即可解题．【详解】全等，理由如下：BE CE ⊥，E AD CE ⊥，，90ACB ∠=︒∴90BCE DCA ∠+∠=︒，90DAC DCA ∠+∠=︒．∴CAD BCE ∠=∠；在BEC 和DAC △中，90BCE DAC BEC CDA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AAS BEC DAC ≌V V ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．20．(1)CD DF =，CD DF⊥(2)成立，见解析【分析】（1）根据题意可直接证明AFD BDC ≌ ，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明过程推出ADF BCD ≌ ，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，90A B ∠=∠=︒，在AFD △与BDC 中，AF BD A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AFD BDC ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，在Rt BDC 中，90BDC BCD ∠+∠=︒，∴90BDC ADF ∠+∠=︒，∴90FDC ∠=︒，∴CD DF ⊥，综上可知CD DF =，CD DF ⊥；（2）解：成立，理由如下：AF AB ⊥，∴90DAF ∠=︒，在ADF △和BCD △中，AF DB DAF CBD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADF BCD ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，90BCD CDB ∠+∠=︒，∴90ADF CDB ∠+∠=︒，即90CDF ∠=︒，∴CD DF ⊥；∴（1）中结论仍然成立．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．21．(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导CBN BAM ∠=∠，最后证明(AAS)≌AMB BNC ，直接可证．（2）利用AMB ABC ∠=∠及ABN ∠是ABM 的外角，可以推出MAB CBN ∠=∠，再利用AAS 可以判定(AAS)≌AMB BNC ，再利用全等的性质导边即可证明．【详解】（1）证明：∵AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ；∴90AMB BNC ∠=∠=︒；∴90MAB ABM ∠+∠=︒；∵90ABC ∠=︒，∴90ABM NBC ∠+∠=︒；∴MAB NBC ∠=∠；在ABM 和BCN △中，AMB BNC MAB NBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+．（2）MN AM CN =+成立．理由如下：设AMB ABC BNC α∠=∠=∠=；∴180ABM BAM ABM CBN α∠+∠=∠+∠=︒-；∴BAM CBN ∠=∠；在ABM 和BCN △中；BAM CBN AMB BNC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+；故MN AM CN =+成立．22．(1)25；115；小(2)当2DC =时，ABD DCE≌△△(3)可以；BDA ∠的度数为110︒或80︒【分析】（1）由已知平角的性质可得180EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠，再利用三角形内角和定理进而求得DEC ∠，即可判断点D 从B 向C 运动过程中，BDA ∠逐渐变小；（2）当2DC =时，由已知和三角形内角和定理可得140DEC EDC ∠+∠=︒，140ADB EDC ∠+∠=︒，等量代换得ADB DEC ∠=∠，又由2AB AC ==，可得()AAS ABD DCE ≌△△；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801802540115DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25；115；小．（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：40C ∠=︒ ，140DEC EDC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=︒ ，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠，又 B C ∠=∠，2AB DC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形；理由：110BDA ∠=︒ 时，70704030ADC EDC ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，，40C ∠=︒ ，70DAC ∴∠=︒，304070AED C EDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，DAC AED ∴∠=∠，∴ADE V 是等腰三角形；80BDA ∠=︒ 时，100ADC ∴∠=︒，40C ∠=︒ ，40DAC ∴∠=︒，DAC ADE ∴∠=∠，∴ADE V 的形状是等腰三角形．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明(AAS)AMF BNF ≌，由全等三角形的性质可得出AF BF =；（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：由题意可知ABC CDE △≌△，AB CD ∴=，BC DE =，故答案为：CD ，DE ；（2）证明：如图1，过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N，ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，90ACF ECG ECG E ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌，AM CG ∴=；同理可得：BCN CDG ≌．BN CG ∴=，AM BN ∴=，在AMF 和BNF 中，AFM BFN AMF BNF AM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AMF BNF ∴ ≌，AF BF ∴=，∴点F 是AB 的中点．（3）解：如图，当点N 在x 轴正半轴上时，由【模型呈现】可知MEN NDP ≌，5EM DN ∴==，DP EN =，514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．24．(1)BD AE CE AD==，(2)DE BD CE=+(3)12t x ==，或928,49t x ==【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得CAE ABD ∠=∠，再利用AAS 证明ABD CAE ≌， 得BD AE CE AD ＝，＝；（2）由（1）同理可得ABD CAE △△≌，得BD AE CE AD ==，，可得答案；（3）分DAB ECA ≌ 或DAB EAC ≌△△两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【详解】（1）解：∵BDA AEC BAC ∠=∠=∠，∴BAD CAE BAD ABD ∠+∠=∠+∠，∴CAE ABD ∠=∠，∵BDA AEC BA CA ∠=∠=，，∴ABD CAE AAS ≌（） ，∴BD AE CE AD ==，，故答案为：BD AE CE AD ==，；（2）DE BD CE =+，由（1）同理可得ABD CAE AAS ≌（） ，∴BD AE CE AD ==，，∴DE BD CE =+；（3）存在，当DAB ECA ≌ 时，∴2,7AD CE cm BD AE cm ====，∴1t =，此时2x =；当DAB EAC ≌△△时，∴ 4.5,7,AD AE cm DB EC cm ====∴924AD t ==，928749x =÷=，综上：12t x ==，或928,49t x ==．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。
中考专题练习一线三等角(1)
一线三等角理论：略范例点睛1.正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，写出线段BP 的长2.如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x何值时，y有最大值，最大值是多少？4. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．（１）∠BAD与∠CDE的大小关系为．请证明你的结论；（２）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（３）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；（４）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD 面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．本王闯关一.基础技能1.（2015连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC= ．2.如图，已知321////lll，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina值是（） A.31 B.176 C.55 D.10103.(2012·苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x 轴的距离是（）4.如图，在边长为9正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE= ．5.（2012·宁波）如图1是由边长相等小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。
专题4.38+相似三角形几何模型-一线三等角(基础篇)(专项练习)
专题4.38 相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ．作PE ⊥AP ，PE 交CD 于点E ．若AB ＝6，点P 为BC 的中点，则DE ＝（ ）A. 32 B. 92 C. 12 D. 532. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，ABE DEF △△∽，AB ＝6，DE ＝2，DF ＝3，则BE 的长是（ ）A. 12B. 15C.D. 3. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝4，P 是边AB 上一点，BP ＝32，D 是边BC 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ ＝60°，DQ 交边AC 于点Q ．若CQ ＝a ，满足条件的点D 有且只有一个，则a 的值为（ ）A. 52 B. 83 C. 2 D. 34. 如图，在 ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝3，AE ＝2，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 35 B. 32 C. 43 D. 345. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，下列说法错误的是（ ）A. AD CE BD DE⋅=⋅ B. ADE ACD C. ABD DCE △△ D. AD DE=6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝6，AE ＝，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 5.57. 如图，在等边三角形ABC 中，P 为边BC 上一点，D 为边AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则ΔABC 的边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 如图，D 是等边三角形ΔABC 边上的点，AD ＝3，BD ＝5，现将ΔABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 点F 分别在边AC 和BC 上，则CE CF的值为( )A. 1113 B. 35 C. 45 D. 899. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（ ）A. 4B. 133 C. 143 D. 510. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5AB =米，同时量得2BC =米，10CD =米，则旗杆高度DE 为（ ）A. 7.5米B. 403米C. 7米D. 9.5米二、填空题11. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12. 如图，在边长为a 的正方形中，E 、F 分别为边BC 和CD 上的动点，当点E 和点F 运动时， AE 和EF 保持垂直．则①△ABE ∽△FCE ；②当12BE a =时、梯形ABCF 的面积最大；③当点E 运动到BC 中点时Rt ABE ∽Rt △AEF ；④当Rt ABE ∽Rt △AEF 时cos ∠AFE =12其中正确结论的序号是 ．13. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且:1:4CF CD =，给出下列结论：①ABE ECF ∽；②ABE AEF ∽；③AE EF ⊥；④ADF ECF ∽．其中正确结论的序号为________．14. 如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．15. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，4AB =，8AD =，3CF =，若ABE △与以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则BE 的长为______．16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝60°，（1）写出和∠CDE 相等的角：______；（2）若AB ＝3，BD ＝1，则CE 长为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB =3，AE =4，DE =1.2，则EF =_____．18. 如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：1DB=：2，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，且ABCCE：CF的值为______．⊥交19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AEDC于点F．若4BC=，则DF的长为______．AB=，620. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC 的中点，则线段ED'的长为_____．三、解答题21. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．22. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE B∠=∠．（1）证明：ADB AED ∆∆ ；（2）若3AE =，5AD =，求AB 的长．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．25. 在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AP DE的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；（2）如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．专题4.38相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P为BC中点，∴BP=PC=12AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴AB PCBP CE=，即633CE=，∴32 CE=，∴DE=CD-CE=39622 -=，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．【2题答案】【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABE DEF ∽，∴AB AE DE DF=，∴623AE =，∴9AE =，∵矩形ABCD 中，∠A =90°，∴BE ===故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE 的长后利用勾股定理求解．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】先证明△BPD ∽△CDQ ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD 的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∴∠BPD +∠BDP =180°-∠B =120°，∵∠PDQ =60°，∴∠BDP +∠CDQ =120°，∴∠BPD =∠CDQ ，∵∠B =∠C =60°，∴△BPD ∽△CDQ ，∴BP BD CD CQ=，∴324BD BD a=-，∴2BP 2-8BP +3a =0，∵满足条件的点P 有且只有一个，∴方程2BP 2-8BP +3a =0有两个相等的实数根，∴△=82-4×2×3a =0，∴a =83．故选：B ．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由等边对等角可得∠B =∠C ，即得出∠C =∠AED ．再结合题意易证△EAD ∼△CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知AB =AC =3，∴∠B =∠C ，∵∠B =∠AED ，∴∠C =∠AED ，又∵∠EAD =∠CAE ，∴△EAD ∼△CAE ，∴AD AE AE AC =，即223AD =，解得：43AD =,故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据AB AC =和ADE B ∠=∠，可证得△ABD ∽△DCE ，△ADE ∽△ACD ，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠ADC =∠ADE +∠CDE ，ADE B ∠=∠，∴∠BAD =∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，故C 正确，不符合题意；∴AD BD DE CE=，∴AD CE BD DE ⋅=⋅，故A 正确，不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵ADE B ∠=∠，∴∠ADE =∠C ，∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，故B 正确，不符合题意；∴AD DE AC CD=，∠AED =∠ADC ，∵点D 是边BC 上一点，∴AC 不一定等于CD ，∴∠ADC 不一定等于∠DAC ，∴∠AED 不一定等于∠DAC ，∴AD 不一定等于DE ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由等边对等角可得B C ∠=∠，即得出C AED ∠=∠．再结合题意易证EAD CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知6AB AC ==，∴B C ∠=∠．∵B AED ∠=∠，∴C AED ∠=∠．又∵EAD CAE∠=∠，∴EAD CAE，∴AD AEAE AC==解得：3AD=．故选A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出AB BPCP CD=，代入求出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴AB BP CP CD=∵23CD=，CP=BC-BP=x-1，BP=1，∴1213 xx= -解得：AB=3．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴1113 DE AE AD DEDF BD DF BF++==++，∴1113 CE DECF DF==，故选A．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH 是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3∴EF==如图：过G作GH⊥DE垂足为H，∵DE⊥EF，EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形∴HG=EF∵矩形ABCD∴∠A =∠B =90°∴∠AED +∠ADE =90°∵DE ⊥EF∴∠AED +∠BEF =90°∴∠BEF =∠ADE又∵∠A =∠B =90°∴△EBF ∽△DAE同理：△DAE ∽△GHD∴△EBF ∽△GHD∴DG HG EF BE =,=,解得DG =133. 故选B .【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠ 再证明,ABC EDC ∽再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠90,ABC EDC ∠=∠=︒,ABC EDC ∴ ∽,AB BC DE CD∴= 1.5AB =米，2BC =米，10CD =米，1.52,10DE ∴= 解得：7.5DE =，经检验：符合题意，∴ 旗杆高度DE 为7.5米.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.二、填空题【11题答案】【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．【12题答案】【答案】①②③【解析】【分析】如图，证明∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠CEF ，得到①正确；证明S 梯形ABCF22111222,a a λλ=-++由12-＜0，得到当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大，得到②正确；证明AB AE BE EF=，由∠B ＝∠AEF ＝90°，得到Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；证明cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为正方形，且AE ⊥EF ，∴∠B ＝∠AEF ＝∠C ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝∠AEB +∠CEF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△FCE ，故①正确；设BE ＝λ，则EC ＝a ﹣λ；∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE CE CF =，故2,CF aλλ=-+∴S 梯形ABCF ＝21()2a a aλλ-++22111222,a a λλ=-++∵12-＜0，∴当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大．故②正确．∵△ABE ∽△ECF ，∴AB AE CE EF=；若点E 为BC 的中点，则BE ＝CE ，∴AB AE BE EF =，而∠B ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；∴∠AFE ＝∠AEB ，∴cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．故答案为①②③．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是解本题的关键【13题答案】【答案】①②③【解析】【分析】容易证明①△ABE ∽△ECF ；利用①可得90AEB FEC ∠+∠= ，，可得③AE ⊥EF ；且可得2AE AB EF EC ==，可证得②△ABE ∽△AEF ，而AD DF CE CF ≠，所以④不正确．【详解】∵E 为BC 中点，CF :CD =1:4，∴2AB BE CE CF==， 且∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴①正确；∴∠BAE =∠FEC ,且90BAE AEB ∠+∠= ，∴90AEB FEC ∠+∠= ，∴90AEF ∠= ，∴AE ⊥EF ，∴③正确；由①可得2AE AB EF EC ==， ∴AB EC BE AE EF EF==,且90ABE AEF ∠=∠= ， ∴△ABE ∽△AEF ，∴②正确；∵2,3DA DF CE CF==， ∴AD DF CE CF ≠， ∴△ADF 和△ECF 不相似，∴④不正确，综上可知正确的为：①②③，故答案为①②③.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆ ，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．【详解】设CN x =，则6DN x=- MN 垂直平分DE∴6NE ND x==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又∵E 是BC 中点∴3CE =2223(6)x x ∴+=-解得94x =又∵EF EN⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN∴FB CE BE CN∴=3934FB ∴=4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．【15题答案】【答案】26，或327【解析】【分析】设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x=-，解方程即可．【详解】解：设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-整理得28120x x -+=，解得1226x x ==，，经检验都符合题意，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x =-，解得327x =．经检验符合题意，故答案为26，或327．【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．【16题答案】【答案】 ①. ∠BAD ②. 23【解析】【分析】(1) 根据△ABC 是等边三角形,得到∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又因为∠ADC =∠B +∠BAD ，∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD 就得到∠EDC =∠BAD(2) 因为∠EDC =∠BAD ，∠C =∠B 得到△ABD ~△DCE ，得到AB BD CD EC= ，即可求出EC ；【详解】(1) 证明: ∵△ABC 是等边三角形,∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又∵∠ADC =∠B +∠BAD∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD又∵∠ADE =∠B =60°∴∠EDC =∠BAD所以和∠CDE 相等的角为：∠BAD故答案为：∠BAD(2) ∵∠EDC =∠BAD∴∠C =∠B△ABD ~△DCE ，AB BD CD EC ∴= 3,1BC AB BD ===又312CD BC BD =-=-=312EC∴= 解得：EC =23故答案为：23；【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD ~△DCE 是解答此题的关键．【17题答案】【答案】2【解析】【分析】由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得ABDE=BEEF，进而求出EF的长．【详解】解：在矩形ABCD中∠A=90°∵AB=3，AE=4∴BE=5∵△ABE∽△DEF∴ABDE=BEEF∴31.2=5EF解得EF=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．【18题答案】【答案】4 5【解析】【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF ＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．【详解】解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由△CEF折叠得到△DEF，得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED 与△BDF 的相似比为4：5，∴CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k 的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．【19题答案】【答案】74【解析】【分析】结合矩形的性质证明BAE CEF ∆∆ 可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，BAE CEF ∴∆∆ ，::AB CE BE CF ∴=，E 是BC 的中点，6BC =，3BE CE ∴==，4AB = ，4:33:CF ∴=，解得94CF =，97444DF CD DF ∴=-=-=．故选：74．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF ∆∆ 是解题的关键．【20题答案】【答案】94【解析】【分析】根据折叠的性质可得'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，由线段中点可得''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，利用勾股定理可得'5A M =，4MB =，利用相似三角形的判定定理及性质可得''A BM ECA ，'''A E AC A M BM =，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：将长方形纸片ABCD 沿着MN 折叠，使点A 落在BC 边上点'A 处，∴'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，∵'A 是BC 的中点，∴''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，'22'2A B BM A M +=，即()22239+-=x x ，解得：5x =，∴'5A M =，4MB =，∵''90MA B EAC ∠+∠=︒，''90A EC EAC ∠+∠=︒，∴''MA B A EC ∠=∠，∵'90B ACE ∠=∠=︒，∴''A BM ECA ，∴'''A E ACA M BM=，即'354A E=，∴'15 4A E=，∴'''''159 644ED A D A E AD A E=-=-=-=，故答案为：9 4【点睛】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．三、解答题【21题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．【22题答案】【答案】（1）见解析（2）CD的长为2 3【解析】【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD可得BP ABCD PC=，从而可以求出线段CD的长．【小问1详解】证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；【小问2详解】解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，BP ABCD PC=，∴132 CD=，∴CD=23．答：CD的长为23．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．【23题答案】【答案】（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD=，则可得出答案．【小问1详解】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．【小问2详解】∵△ADB∽△AED，∴AD AB AE AD=，∵AE=3，AD=5，∴535AB =，∴253 AB=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．【25题答案】【答案】（1）2 3（2）3 2【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD =∠ABC =90°，再由折叠的性质可得APB AED ∠=∠．可证得ABP △∽DAE △．即可求解；（2）过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，由折叠的性质可得HED HDE ∠=∠，从而得到EH DH =．然后设EH DH x ==，则6AH x =-，由勾股定理可得103DH =，从而得到83AH =．再证得AEH △∽BFE △，即可求解．【小问1详解】解：在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ABC =90°，∴90BAP APB ∠+∠=︒，由折叠性质得：AP DE ⊥，∴90BAP AED ∠+∠=︒，∴APB AED ∠=∠．∵90EAD ABP ∠=∠=︒，∴ABP △∽DAE △．∴4263AP AB DE AD ===．【小问2详解】解：过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，∵EH DF ∥，∴HED EDP ∠=∠．∵由折叠性质得HDE EDP ∠=∠，∠DPE =∠A =90°，∴HED HDE ∠=∠，∴EH DH =．设EH DH x ==，则6AH x =-，∵E 是AB 的中点，∴2AE =，∵AE 2+AH 2=EH 2，∴()22226x x +-=，解得：103x =，即103DH =，∴83AH =．∵EH DF ∥，∴∠HEP =90°，∴∠AEH +∠BEF =90°，∵∠A =∠B =90°，∴∠AEH +∠AHE =90°，∴∠AHE =∠BEF ，∴AEH △∽BFE △，∴AE AH BF BE =，即8232BF =，解得32BF =，∴BF 的长为32．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【26题答案】【答案】（1）DE ，AE ；（2）AC ．证明见详解．【解析】【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．【小问1详解】解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；【小问2详解】证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，∵90MAN ∠=︒，∴∠CAM +∠NAG =90°，∵BM ⊥l ，∴∠MCA =90°，∴∠M +∠CAM =90°，∴∠M =∠NAG ，∵NG l ⊥，∴∠AGN =90°，在△MCA 和△AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCA ≌△AGN （AAS ），∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，∴NG =DE ，在△NGP 和△DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NGP ≌△DEP （AAS ）∴NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．。