全等三角形与相似三角形
三角形的相似性和全等性质
三角形的相似性和全等性质在数学中，三角形是一个重要的概念。
从几何角度来看，三角形是一个有三条边和三个内角的图形。
研究三角形的性质对于解决几何问题和证明数学定理都具有重要的意义。
本文将重点讨论三角形的相似性和全等性质，探讨它们的定义、判定方法以及一些重要的性质。
一、相似性的定义和判定方法相似性是指两个或多个图形在形状上具有相似的特点。
对于三角形来说，我们经常讨论的是三角形的相似性。
两个三角形相似的条件有两种：AAA相似条件和AA相似条件。
1. AAA相似条件当两个三角形的三个内角分别相等时，它们是相似的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的内角A等于内角D、内角B等于内角E、内角C等于内角F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似条件当两个三角形的两个对应角分别相等时，它们是相似的。
也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D且角B等于角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
通过上述相似条件，我们可以方便地判定两个三角形是否相似。
相似的三角形具有一些重要的性质，例如边长比例相等、角度相等、面积比例相等等，在几何问题中广泛应用。
二、全等性的定义和判定方法全等性是指两个图形在形状和大小上完全相等。
对于三角形来说，全等性也是一个重要的性质。
两个三角形全等的条件有三种：SSS全等条件、SAS全等条件和ASA全等条件。
1. SSS全等条件当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF、边CA等于边FD，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
2. SAS全等条件当两个三角形的两个对应边和对应夹角分别相等时，它们是全等的。
也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF且夹角B等于夹角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
3. ASA全等条件当两个三角形的两个对应角和对应边分别相等时，它们是全等的。
初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定
初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定初中数学知识归纳: 相似与全等三角形的判定在初中数学中，相似与全等三角形的判定是常见的几何问题。
通过对相似与全等三角形的认识和判定，我们可以解决很多与三角形有关的问题。
本文将对相似与全等三角形的判定进行归纳总结，并提供一些相关的例题分析。
通过阅读本文，希望可以帮助大家更好地理解和应用这一重要的数学知识点。
一、相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：1. AAA相似判定法当两个三角形的对应角度相等时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个内角相对应分别相等，即三个对应角度分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE, ∠BAC = ∠EDF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似判定法当两个三角形的两个对应角度相等，并且它们的对应两边成比例时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的两个对应角分别相等，并且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠BAC = ∠DFE，并且 AB/DE =BC/EF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似判定法当两个三角形的对应边的比值相等时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
二、全等三角形的判定全等三角形是指形状和尺寸都完全相同的两个三角形。
全等三角形的判定条件主要有以下几种：1. SSS全等判定法当两个三角形的三个对应边的长度完全相等时，我们可以判定它们为全等三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个对应边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
三角形的相似与全等教案
三角形的相似与全等教案一、概述在初中数学中，学习三角形的相似与全等是非常重要的一部分。
相似与全等是在研究几何形状与尺寸关系时常用的概念。
本教案将详细介绍三角形的相似与全等的定义、判定条件以及相关的性质。
二、三角形的相似1. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的长度成比例。
2. 相似三角形的判定条件（1）AAA相似判定：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
（2）AA相似判定：如果两个三角形的两个对应角相等，并且对应边的长度成比例，则它们是相似的。
（3）SAS相似判定：如果两个三角形的一个对应角相等，并且另外两边的对应边长度成比例，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质（1）对应边的长度成比例。
（2）对应角度相等。
（3）面积比为边长比的平方。
三、三角形的全等1. 全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同形状与尺寸的三角形。
2. 全等三角形的判定条件（1）SSS全等判定：如果两个三角形的三条边的长度分别相等，则它们是全等的。
（2）SAS全等判定：如果两个三角形的两边及夹角分别相等，则它们是全等的。
（3）ASA全等判定：如果两个三角形的两个角和一条对应边相等，则它们是全等的。
3. 全等三角形的性质（1）对应边的长度完全相等。
（2）对应角度完全相等。
（3）面积相等。
四、应用举例1. 相似三角形的应用（1）三角形的比例问题：已知两个相似三角形的一个边的长度与另一个边的长度的比为3:4，求两个三角形的面积比。
（2）三角形形状的变换：通过相似变换，将一个三角形按比例放大或缩小。
2. 全等三角形的应用（1）建筑规划：在建筑规划中，通过测量确定全等三角形的边长，用以确定建筑物的比例尺。
（2）解决几何问题：利用全等三角形的性质，可以解决一些实际问题，例如求解角度、边长等。
五、总结三角形的相似与全等是研究几何形状与尺寸关系的基础。
全等三角形和相似三角形的判定定理
全等三角形和相似三角形的判定定理示例文章篇一：哎呀呀，亲爱的小伙伴们，你们知道啥是全等三角形和相似三角形不？今天我就来和你们好好唠唠！咱先来说说全等三角形。
全等三角形就像是一对双胞胎，长得那叫一个一模一样！每一条边、每一个角都完全相同。
那怎么才能判断两个三角形是不是全等呢？这可得好好说道说道。
比如说“边边边”定理，就是如果两个三角形的三条边都对应相等，那它们就是全等三角形。
这就好比你有两双一模一样长的筷子，那不就是完全一样嘛！再比如“边角边”定理，要是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，那这两个三角形也全等。
这就像你有两个形状一样的风筝，骨架长度一样，中间的夹角也相同，那能不一样嘛？还有“角边角”定理，两个三角形的两个角和它们夹的边对应相等，那就是全等三角形啦！这就好像你有两个同样的三角板，角的大小一样，夹着的边也一样长，能不全等嘛！说完全等三角形，咱再聊聊相似三角形。
相似三角形就像是表兄弟，长得有点像，但大小可能不一样。
判断相似三角形也有几个厉害的定理呢！“两角对应相等的两个三角形相似”，这就好比两个小伙伴笑起来的样子很像，那整体感觉不就像了嘛！还有“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，这就好像两根粗细不一样的橡皮筋，长度的比例一样，中间弯曲的角度也相同，能不相似嘛？“三边对应成比例的两个三角形相似”，这就跟三把不同长度的尺子，它们的长度比例都一样，那能不相似嘛？在学习这些定理的时候，我一开始也有点迷糊，但是多做几道题，多和小伙伴们讨论讨论，慢慢地就搞清楚啦！我觉得呀，数学虽然有时候有点难，但只要咱们肯用心，就一定能战胜它！所以说，小伙伴们，只要咱们认真学，这些定理都不在话下，你们说对不对？示例文章篇二：嘿，同学们！今天我来和大家聊聊全等三角形和相似三角形的判定定理，这可有意思啦！你们想啊，三角形就像我们身边各种各样的东西。
全等三角形呢，就好比两个一模一样的玩具人偶，哪儿哪儿都相同。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似与全等是几何学中三角形重要的概念之一。
通过研究三角形的相似与全等性质，可以帮助我们解决各种问题，例如测量未知长度、计算面积、进行几何证明等等。
本文将介绍相似与全等的定义、性质和应用，并通过几个例子来说明它们在实际问题中的用途。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF有以下对应关系：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ∼三角形DEF。
相似三角形具有一些重要性质：1. 边比例关系：对应边的长度之比相等。
即，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的边比例关系。
2. 高比例关系：对应高的长度之比也相等。
即，如果h₁/h₂ =h₃/h₄ = h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别是三角形ABC和DEF的高，那么我们也可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的高比例关系。
3. 面积比例关系：对应面积之比等于边比例关系的平方。
即，如果S₁/S₂ = AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²，其中S₁和S₂分别是三角形ABC和DEF的面积，那么我们可以推断∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的面积比例关系。
二、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，那么它们就是全等的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足以下对应关系：AB = DE，BC = EF，AC = DF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ≌三角形DEF。
相似三角形和全等三角形
相似三角形和全等三角形相似三角形和全等三角形是初中数学中的重要知识点，本文将分别介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形1. 定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
即两个三角形的对应角度相等，但对应边长不相等。
2. 性质相似三角形有一些重要的性质：(1) 相似三角形的对应边成比例。
(2) 相似三角形的对应高线、中线、角平分线也成比例。
(3) 相似三角形的面积成比例的平方。
(4) 相似三角形的周长成比例。
(5) 相似三角形的内角和相等。
3. 应用相似三角形在实际应用中有着广泛的用途。
比如：(1) 制图时，可以利用相似三角形的性质，根据已知图形的大小比例绘制出所需图形。
(2) 在建筑工程中，可以通过相似三角形的性质，测量出高度、距离等。
(3) 在计算机图形学中，利用相似三角形的性质，可以将一个图形放大或缩小。
二、全等三角形1. 定义全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
即两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等。
2. 性质全等三角形有一些重要的性质：(1) 全等三角形的对应角度相等。
(2) 全等三角形的对应边相等。
(3) 全等三角形的对应高线、中线、角平分线也相等。
(4) 全等三角形的面积相等。
(5) 全等三角形的周长相等。
3. 应用全等三角形在实际应用中也有着广泛的用途。
比如：(1) 在建筑工程中，可以利用全等三角形的性质，确定角度、距离等。
(2) 在制图时，可以利用全等三角形的性质，绘制出所需图形。
(3) 在计算机图形学中，利用全等三角形的性质，可以进行图形变换，如旋转、平移等。
相似三角形和全等三角形在数学和实际应用中有着广泛的用途。
掌握它们的定义、性质和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
三角形全等与相似判定
三角形全等与相似判定
三角形全等：完全重合
判定
1、三组对应边分别相等(SSS或“边边边”) 这一条也是三角形具有稳定性的原因 2．有两边及其夹角对应相等(SAS或“边角边”)
3．有两角及其夹边对应相等(ASA或“角边角”) 4．有两角及一边对应相等(AAS或“角角边”)
பைடு நூலகம்
5．直角三角形全等条件：斜边及一直角边对应相等 (HL或“斜边，直角边”)
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB， BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
4.四边形ABCD是平行四边形，点E 在BA 的延长线上， 且BE=AD ，点F 在AD上，AF=AB, 求证：△AEF≌△DFC
1.如图，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD， 连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB 至点D，使DB=AB，连结CD，以CD为直角边作等腰直 角三角形CDE，其中∠DCE=90°，连结BE （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）若AC=3cm，则BE=__________cm
三角形相似：对应角相等，对应边成比例。
(1)平行于三角形一边的直线，截三角形其他两边 或延长线所得的三角形与原三角形相似。(简叙为 两角对应相等两个三角形相似). (2)两边夹角相等 （SAS） (3)三条边对应成比例 （ SSS） (4)两个角分别对应相等（AA）
直角三角形相似的判定定理: 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和 原三角形相似.
三角形的相似与全等的判定与计算方法
三角形的相似与全等的判定与计算方法三角形的相似与全等判定与计算方法三角形是几何学中最基本的图形之一，研究三角形的相似与全等关系对于几何学的学习和应用非常重要。
在本文中，我们将探讨三角形的相似与全等的判定与计算方法。
1. 相似三角形的判定与计算方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1.1 AA相似判定法如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的某一个角相等，且两个三角形中的另一个角也相等，则这两个三角形相似。
利用AA相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的两个角分别为∠A与∠D，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF1.2 SSS相似判定法如果两个三角形的三条边的对应边长成比例，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
利用SSS相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的三条边分别为AB与DE、BC与EF、AC与DF，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF1.3 SAS相似判定法如果两个三角形的两个边的比例相等，且这两个边夹角的度数相等，则这两个三角形相似。
利用SAS相似判定法，我们可以计算相似三角形之间的边长比。
设两个相似三角形分别为△ABC与△DEF，已知它们对应的两个边分别为AB与DE、BC与EF，并且∠BAC = ∠EDF，则可以通过以下公式计算它们的边长比：AB/DE = BC/EF = AC/DF2. 全等三角形的判定与计算方法全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
判定两个三角形是否全等可以使用以下方法：2.1 SSS全等判定法如果两个三角形的三条边的对应边长相等，则这两个三角形全等。
全等三角形和相似三角形
全等三角形和相似三角形
1.全等三角形：
-定义：如果两个三角形的对应边相等，对应角也相等，那么这两个三角形就称为全等三角形。
换言之，两个三角形经过平移、旋转或翻折后能完全重合，我们就称它们全等。
-符号表示：通常用“≌”表示全等，例如△ABC≌△DEF。
-判定方法：主要有SSS（三条边对应相等）、SAS（两边夹一角对应相等）、ASA（两角夹一边对应相等）和AAS（两角及其中一角的对边对应相等）四种判定方法。
2.相似三角形：
-定义：如果两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例（即长度比相同），那么这两个三角形就称为相似三角形。
-符号表示：通常用“∽”表示相似，例如△ABC∽△DEF。
-判定方法：主要有AAA（三个角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例但不等长，因为全等三角形也是一种特殊的相似三角形）三种判定方法。
-相似三角形的性质：对应高的比等于对应边的比；对应中线的比等于对应边的比；对应角平分线的比也等于对应边的比；周长比等于对应边的比；面积比等于对应边的比的平方。
全等三角形强调的是形状和大小完全相同，而相似三角形强调的是形状相同但大小不一定相同，两者之间的关系是全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，当相似比为1时，相似三角形就变成了全等三角形。
数学知识点归纳相似与全等三角形的判定
数学知识点归纳相似与全等三角形的判定数学知识点归纳：相似与全等三角形的判定三角形是数学中一个重要的几何形状，而相似与全等三角形的判定是三角形的关键概念之一。
在本文中，我们将详细讨论相似与全等三角形的判定方法，以及其应用。
Ⅰ. 相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但是不同大小的三角形。
相似三角形具有一些重要的性质，如边长比例相等、对应角度相等等。
要判断两个三角形是否相似，可以使用以下方法：1. AAA判定法AAA判定法是指两个三角形的对应角度相等，即三个角度分别相等。
例如，如果三角形ABC的三个角度分别与三角形DEF的三个角度相等，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. AA判定法AA判定法是指两个三角形的两个对应角度相等，并且两个对应边之间的比例相等。
例如，如果三角形ABC的两个角度与三角形DEF的两个角度相等，并且两个对应边的长度比例相等，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS判定法SSS判定法是指两个三角形的三个对应边的长度比例相等。
例如，如果三角形ABC的三个边和三角形DEF的三个边的长度比例相等，那么可以得出三角形ABC与三角形DEF是相似的。
Ⅱ. 全等三角形的判定全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
全等三角形的判定方法与相似三角形有所不同，我们可以使用以下方法：1. SSS判定法SSS判定法同样适用于全等三角形的判定。
如果两个三角形的三个对应边的长度相等，那么可以得出这两个三角形是全等的。
2. SAS判定法SAS判定法是指两个三角形的两个对应边的长度相等，并且夹角也相等。
如果两个三角形的一个夹角和两个对应边的长度相等，那么可以得出这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法ASA判定法是指两个三角形的一个角度和两个对应边的长度相等。
如果两个三角形的一个角度和两个对应边的长度相等，那么可以得出这两个三角形是全等的。
Ⅲ. 相似与全等三角形的应用相似与全等三角形的判定在实际问题中具有广泛的应用。
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全等三角形与相似三角形的判定及位似图形
一、全等三角形
1、全等三角形的判定（符号：“≌”）
a、(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
b、( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
c、(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
d、(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等；
直角三角形全等判定定理：斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以回推到SSS）；
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等
练习一
1、如图，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌________，且DF=______
2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（）
（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC 3、已知：如图，AB=AC，DB=DC．F是AD的延长线上一点．
求证：(1) ∠ABD＝∠ACD (2)BF=CF
4、（2013嘉兴、舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠
A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB＝50º，求∠EBC的度数？
5、（2012•衢州）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
6、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
二、相似三角形B
A
C
D
F
2
1
E
1、相似三角形的判定
判定定理1 两角对应相等，两三角形相似
判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似
直角三角形相似判定定理:
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形常见模型：.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
（不能直接用，要证明一下）
*若△ABC与△A’B’C’相似，且△A’B’C’与△A”B”C”相似，则△ABC也与△A”B”C”相似
2、性质○1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
○2.相似三角形周长及对应角的比等于相似比。
○3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
练习二
1、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
1
2 CD AB
2、（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：3，EF⊥CE，求EF：EG的值．
3．（2012嘉兴、舟山）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下五个结论：
①AG/AB =FG /FB ； ②∠ADF=∠CDB ； ③点F 是GE 的中点； ④AF=
3
2
AB ； ⑤S △ABC=5S △BDF ，其中正确结论的序号是_________
三、相似多边形
1、形似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比也叫做相似比
2、性质：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方
练习三
1．下列说法正确的是( )
A．所有的三角形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似
2、四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为( )
A．5:6 B．6:5 C．5:6或6:5 D．8:15
那么，四边形ABCD与四边形A2B2C2D2面积之比为________
四、位似
1、如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似图形是相似图形的特殊情况，其相似比也叫做位似比）
2、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
3、若原图上点的坐标为（x,y)，像与原图形的位似比为k，则像上的对应点坐标为（kx , ky）或（-kx,-ky）
练习四。