【个题研究】(全国1卷)(理20)从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法_邓军民
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．2-B ．1-C 2D ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 55．若221m n >>,则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ,b ,满足(3=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）S ＝S ＋⎰i ＋1i1x d x开始否 i ＜m ？ 结束是i ＝1，S ＝0 i ＝i ＋1输出SA．6 7B．335C．1135D．019．9．已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x=-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．函数()y g x=的最小正周期是πB．函数()y g x=的一条对称轴是π8x=C．函数()y g x=的一个零点是3π8D．函数()y g x=在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F的抛物线2:8C y x=的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当MAMF 取得最大值时,直线M A的方程为（）A．2y x=+或2y x=--B．2y x=+C．22y x=+或22y x=-+D．22y x=-+12．定义在R上的函数()f x满足()()22f x f x+=,且当[]2,4x∈时,()224,232,34x x xf x xxx⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax=+,对[]12,0x∀∈-,[]22,1x∃∈-使得()()21g x f x=,则实数a的取值范围为（）A．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U B．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC．(]0,8D．11,,48⎛⎤-∞-+∞⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x x ⎛++ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________．15.知变量x ,y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图,在ABC △中,3sin2ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,43BD =,则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分） 如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =u u u r u u u r,ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的任意一点,求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=（其中a ,b ,c 为正实数）,求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题答案解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示；当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=故选C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可排除选项A ,B ；32m =,1n =时,可排除选项C , 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确,故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ,且：()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面向量模的计算公式可得：3-===a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 第二次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018,故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病,事件B 为72h 发病,由题意可知：()0055P A =．,()019P B =．,则()0945P A =．,()081P B =．, 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确；当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确；当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,MAF ∠必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+,所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥；当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,故选D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得：7n =,73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得：6r =,令72112r -=可得：407r =,不是整数解,据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()1,2cos x y zθ-⋅===,其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π,目标函数z=故选C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=, 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=整理可得：22216620z x y +--=．①在ABC △中,由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=,则：2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=, 故9xy ≤,当且仅当x =,y 时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+,3n n b =；（2）223n n n S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得：2d =或0d =（舍）,所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++．．．,21572133333n n n S -+=++++．．．, 所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．, 所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人,2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人． （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为： X0 1 2 P 27 47 17 ()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（213 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥， 又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ，∴||cos,||||n CAn CAn CA⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r∵二面角F BE D--为锐角，∴二面角F BE D--．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB=u u u r u u u r，所以F到准线的距离即为三角形ABC△的中位线的长，所以2AC p=，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p==，BC=，122ABCS p=⋅⋅=△解得2p=，所以抛物线的标准方程为24x y=．（2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y 联立241x yy kx=+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y得2440x kx--=，得124x x=-，24xy=，'2xy=，设()11,M x y，()22,N x y，111:22l y y xx+=，222:22l y y xx+=，()22212212112121121212442,22,12444p p px xy y x x x x x x x x y x yx x x x⎛⎫-⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P点坐标21,12x xP+⎛⎫-⎪⎝⎭，由111:22l y y xx+=，得1,02xQ⎛⎫⎪⎝⎭，12QFkx=-，221141222lxkx x-==⋅=-，所以2QF lk k=，即2PQ l∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x的定义域为R．由()'10f x=≥，知()f x是实数集R上的增函数．（2）令()()(33lng x f x ax x x ax=-=--，则()2131'axg x--，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ． 因为θ∈R，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
作者：邓军民
来源：《广东教育·高中》2019年第10期
2019年高考數学命题以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力. 试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务. 今年全国？玉卷的导数压轴题也设置得很有特色，考查了函数零点问题，题目如下：。
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）
全国卷历年高考函数与导数解答题真题归类分析（含答案）（2015年-2019年，14套）一、函数单调性与最值问题1.（2019年3卷20题）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3a f x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；当0a =时，(,)-¥+¥区间上单调递增；当0a >时，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以，若0a <，(,)3a-¥区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+¥区间上单调递增；此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立. 若0a =，(,)-¥+¥区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1a b =ìí=-î. 若02a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af 而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+³，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f . 即322()()13321a a ab a b ì-+=-ïíï-+=î相减得32227a a -+=，即(33)(33)0a a a -+=，又因为02a <£，所以无解. 若23a <£，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +¥区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af而(0),(1)2(0)f b f a b f ==-+£，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f . 即322()()1331a a a b b ì-+=-ïíï=î相减得3227a=，解得332x =，又因为23a <£，所以无解. 若3a >，(,0)-¥区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a+¥区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =ìí-+=-î解得41a b =ìí=î.综上得01a b =ìí=-î或41a b =ìí=î. 【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、【小结】这是一道常规的利用函数导研究函数单调性、极值、最值问题，最值问题，最值问题，此类问题一般住现此类问题一般住现在第一问，在第一问，但但2019年高考3卷把该题放到第20题位置，难度也相应降低，因此，该题的第二问仍然这类问题，只不过多出一个参数。
2019-年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
2019年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析【题目叙述】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得´1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得´1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0“0，p8“1，p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q.假设α“0.5，β“0.8.（i）证明：t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【题目分析】本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。
命题人在命题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。
2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(全国1卷参考版)【含答案及解析】
2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。
2019年高考全国卷Ⅰ“函数与导数”试题分析与备考建议
8 福建中学数学 2020年第4期2019年高考全国卷I “函数与导数”试题分析与备考建议王 瑜 林梦雷闽南师范大学数学与统计学院（363000）本文对2019年全国理科卷“函数与导数”试题进行评析，并分析了近三年来全国卷“函数与导数”的命题特点，明确备考方向，最后提出备考建议．根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，“函数及其导数”相关知识属于选择性必修课程，可见其在高中课程中占了比较重要的地位，目的是提升学生数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理等核心素养．2019年全国理科卷对于“函数与导数”相关知识的考查，万变不离其宗，与前几年考查方式类似，考查内容仍然是函数的性质（包括函数单调性、奇偶性、对称性、周期性等），极值点和零点问题，但每次考查都会出现新奇之处!事实上，“函数”始终贯穿高中数学的函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想的教学主线，与“导数”结合可以很好地考查学生的数学思维能力和计算能力， 特别是考查学生的数学思维的严谨性与发散性，是选拔人才的重要保证．1 2019年全国理科I 卷“函数与导数”试题评析 题目1 （2019年高考全国卷I ·理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =−+，()f x ′为()f x 的导数，证明：（1）()f x 在区间π(1)2−，存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．评析 “函数与导数”是压轴题，有“拉差距”的作用，予以重点解析．2019年的“函数与导数”压轴题的表述与往年类似，简明不啰唆，不在题目表述上做文章，但要求学生有较好的函数与导数基本功．第一问不难，往年考查含参函数的问题，而2019年干脆直接是熟悉的函数．以下对第二问进行解法分析．解法 由（1）知0π(0)4x ∃∈，，使得0()0f x ′′=． 故()f x ′在0(1)x −，上单调递增，在0π()2x ，上单调递减．0()(0)0f x f ′′∴>=，π1()00π212f ′=−<+，10π()2x x ∴∃∈，使得1()0f x ′=．(10)x ∴∈−，，()f x 单调递减． 1(0)x x ∈，，()f x 单调递增； 1π()2x x ∈，，()f x 单调递减． 又(0)0f =，ππ()1ln(1)022f =−+>． π(1)2x ∴∈−，时，()f x 仅有一个零点，又π[π]2x ∈，时，1()cos 01f x x x ′=−<+，π()02f >，(π)0ln(π1)0f =−+<， π[π]2x ∴∈，，()f x 仅有一个零点，当[π)x ∈+∞，时，ln(1)ln(π1)1x +>+>，sin 1x ≤， 故()f x 无零点．综上所述，()f x 有且仅有两个零点．题目2 （2019年高考全国卷I ·文20）已知函数()2sin cos f x x x x x =−−，()f x ′为()f x 的导数．（1）证明：()f x 在区间(0π)，存在唯一零点． （2）若[0π]x ∈，，()f x ax ≥，求a 的取值范围． 评析 文科卷“函数与导数”题，与往年一样，是在理科卷的基础上降低了一些难度，本题与理科20题相比没有对数函数，只留下了学生较为熟悉的三角函数，在一定程度上降低了难度．第一小问与理科类似，只需证明存在唯一零点即可，不需判断是否极值点．以下对第二问进行多种解法分析．解法1 构造函数，直接讨论 设()()2sin cos h x f x ax x x x x ax =−=−−−，则()cos sin 1h x x x x a ′=+−−， 由（1）知()h x ′在π(0)2，上单调递增， 在π(π)2，上单调递减， max ππ()()122h x h a ′==−−，(0)h a ′=−，(π)2h a ′=−−，2020年第4期 福建中学数学 9并且(0)(π)h h ′′>，当π()02h ′≤即π12a ≥−时，()h x 在(0π)，单调递减，且(0)0h =，即()(0)0h x h <=，不合题意；当π()02h ′>即π12a <−时，若(π)0h ′≥，即2a ≤−时，()0h x ′≥，()h x 在[0π]，上单调递增，即()(0)0h x h ≥=，符合题意；若(0)0h ′≥，(π)0h ′<即20a −<≤时， π()02h ′> ，即1π(π)2x ∃∈，使得1()0h x ′=， ()h x ∴在1(0)x ，单调递增，在1(π)x ，单调递减，故()min{(0)(π)}0h x h h ≥=，，符合题意； 若(0)h ′<0即0a <时，由于π()02h ′>， 即2π(0)2x ∃∈，使得2()0h x ′=，()h x ∴在2(0)x ，单调递减， ∴当2(0)x x ∈，，()(0)0h x h <= ，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围为(0]−∞，． 解法2 缩小范围，减少讨论 由题可知(π)0f =，可得0a ≤．又由（1）得'()f x 在(0π)，只有一个零点， 设为0x ，并且当0(0)x x ∈，时，()0f x ′>； 当0(π)x x ∈，时，()0f x ′<，()f x ∴在0(0)x ，单调递增，在0(π)x ，单调递减， 又(0)0f =，(π)0f =，∴当[0π]x ∈，时，()0f x ≥，又当0a ≤，[0π]x ∈，时，()f x ax ≥． 因此，a 的取值范围是(0]−∞，．评析 以上是解决恒成立问题的通解通法，解法1直接对参数进行全面的讨论，做到不重不漏；解法2通过借助一些特征，将参数的取值范围先缩小，减少讨论过程．当然我们还可以运用特殊值与端点的方法，以及将等号两边看作两个函数，通过数形结合的思想来解题，但是后两种方法一般多用于选择、填空题，对于解答题采用前两种方法更为严谨些．2 备考建议（1）基础是成功的保障紧抓函数与导数两条主线，构建其知识结构框架．对于“基本函数的概念与性质”，熟练掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、等基本知识以及求解方法，做到灵活应用；对于“基本函数的图象与性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图象，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，会利用导数探讨函数图象的形状、探讨函数的零点及其性质．（2）阅读是必备的能力常言道“读书破万卷，下笔如有神”，也就说，想要出口成章，阅读是最基础、最重要、最直接也是最有效的手段．而随着中、高考的改革，阅读的重要性也越来越凸显．在未来，阅读能力直接影响分数，如果阅读能力不过关，连卷子都做不完，考试更是会吃大亏！这可不是危言耸听，这是“部编本”教材总主编温儒敏在公开演讲中的原话．不仅仅是语文，从今年高考改革的形式来看，数学也同样需要较好的阅读能力．所以，想要学得好，考得好，一定要重视阅读能力的培养，尤其是多涉猎一些数学史相关的书籍．（3）素养是前进的动力近几年全国卷“函数与导数”的试题内容 充分体现高考命题强调“以素养立意”的指导思想，全国高考卷对“函数与导数”的考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，综合考查用函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想， 还综合考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，并且是多种素养同时考查．自从《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出六大核心素养以来，一直成为比较热的话题，素养的培养实际上外在表现就是学生能力的培养，因此，要始终围绕六大数学核心素养来备考，是永远不会偏离路线的，它是学生乃至教师前进的动力所在．参考文献 [1]冯海容．“函数与导数”高考复习专题[J]．中学教研（数学），2019（05）：42-47[2]舒华瑛．“导数与函数”高考题解题策略探析[J]．延边教育学院学报，2019，33（01）：128-130，134 [3]任冲．导数工具巧应用 函数零点妙解决——以一道高考题为例[J]．中学数学教学参考，2019（Z3）：135-136[4]李晓波，方德兰．2018年高考全国Ⅰ卷“函数与导数”试题分析与备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2018（17）：33-36[5]冯建国．2018年高考“函数与导数”专题命题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：20-25[6]周志国．2018年高考“函数与导数”专题解题分析[J]．中国数学教育，2018（Z4）：26-32 [7]黄如炎，林晴岚．2018年高考函数与导数综合题探析和教考建议[J]．中10 福建中学数学 2020年第4期学数学杂志，2018（07）：50-54[8]李志敏．2017年高考函数与导数试题分析与2018年高考备考建议[J]．中学数学研究（华南师范大学版），2017（17）：23-28 [9]黄玫婷．一道高考“函数与导数”压轴题的讲评[J]．福建中学数学，2017（08）：22-24[10]逄玲玲．高考函数与导数综合题的探究与教学构想[J]．数学学习与研究，2017（15）：136[11]龙正武．从一道高考真题谈函数导数压轴题的备考[J]．数学通报，2017，56（05）：48-51[12]李立美．高考函数导数压轴题分析及应对策略[J]．中学数学，2017（03）：82-84（本文系福建省教育教学科研项目《核心素养视角下大学生数学教学改革研究》（立项批准号：FBJG20180021）研究成果）厦门市2019年高一期末质检数学第10题的探究李若璕 福建省厦门实验中学（361000）1 试题呈现试题 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A B ，的距离之比为(1)λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(20)A −，，(40)B ，，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 的轨迹为C ．下列结论正确的是（ ）．A ．C 的方程为22(4)9x y ++=B ．在x 轴上存在异于A B ，的两定点D E ，，使得||1||2PD PE = C ．当A B P ，，三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = 2 教材背景题目1 （人教A 版必修2第124页B 组习题）已知点M 与两个定点(00)O ，，(30)A ，的距离之比为12，求点M 的轨迹方程． 解析 设动点()M x y ，，由题意知||1||2||||2MO MA MO MA =⇒=，化简得22230x y x ++−=， 即22(1)4x y ++=．所以22(1)4x y ++=为点M 的轨迹方程， 是以(10)−，为圆心，2为半径的圆．题目2 （人教A 版必修2第140页[信息技术应用]）已知点(20)P ，，(80)Q ，，点M 与点P 的距离是它与点Q 的距离的15，用《几何画板》探究点M 的轨迹，并给出轨迹的方程．根据题意，在《几何画板》中作出点(20)P ，，(80)Q ，，以及点M ，测量点M 与点P 的距离以及点M 与点Q 的距离，使得||5||MQ MQ =．当点M 移动时，||5||MQ MQ =保持不变，点M 运动形成轨迹，猜想点M 的轨迹是圆，进而用“坐标法”证明猜想成立，点M 的轨迹方程为22725()416x y −+=．题目3 （人教A 版必修2第144页B 组习题）已知点()M x y ，与两个定点12M M ，距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）上述问题将前两个结论进一步推广到比值为m 的讨论，引导学生们发现，当1m ≠时，动点轨迹是圆．由此得到：在平面内，到A B ，两点距离之比等于常数λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是一个圆．此结论为古希腊数学家阿波罗尼斯发现，相应的轨迹称为阿波罗尼斯圆．图1 图23 阿波罗尼斯圆（1）从代数的角度探讨 题目4 动点()C x y ，到定点(0)(0)A c B c −，，，的距离之比为λ（c λ，为正常数），求()C x y ，的轨迹方程． ， 则2222222(1)(1)2(1)(1)0x y c x c λλλλ−+−+++−=，P AB QCP ABQC。
无数学不兄弟之2019全国高考数学理科压轴题解析
⇒
44π 100
≤
ωπ 10
+
π 5
<
69π 100
69π
而
>π
，结合
f
( x) = sin t 图像
∴（3）错误
100 2
再判断（1）（2）是否正确？
∵= f ( x)
sin
ω
x
+
π 5
= ∴ f ' ( x)
ω
cos
ω
x
+
π 5
令 g ( = x) cos t=,t ω x + π ∴ π ≤ t ≤ π + 2ωπ
0,
a 3
单调递减，在
a 3
,
+∞
单调递增
当
a
<
0
时，
f
(x)
在
−∞,
a 3
单调递增，在
a 3
,
0
单调递减，在 (0, +∞)
单调递增
（2）由（1）可知：当 a ≤ 0 ， f '( x) ≥ 0 恒成立，因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增
π 2
使得
h(m)
=
0
因此
f
'(x)
在
(0,
m)
单调递增，在
m,
π 2
单调递减，
因此
f
'(x)
在区间
−1, π 2
存在唯一极大值点；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
责任编辑 廖宇红
20 广东教育·高中 2019 年第 10 期
且当 x∈（0, β）
时，
f′（x）>0；
当 x∈（β,
π） 2
时，
f′（x）<0.
故 f（x）在
（0, β）
单调递增，
在
（β,
π 2
）
单调递减. 又 f（0）
=0，
f（
π 2
）=1-ln（1+
π 2
）>0，
所 以 当 x∈(0, π ] 时 ， f（x）>0. 所 以 f（x）在 (0, π ] 没 有
义思想的偏差， 媒体新闻稿件说的是 “美丽乡村” 建设中缺 乏专业规划， 盲目跟风模仿方面的政策和行为偏差。 材料的 立意角度很多， 如 “科学合理规划” “求真务实创新” “长 效管理机制” “保护文化传统” 以及 “发展理念” “责任担 当” “形式主义” “铭记乡愁” 等。 写作时一定要以剧本的 形式表达自己的观点， 表现主题。
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， f（x）=sin2x- | ln（x+1）|<0 显 然
恒成立，
此时 f（x）无零点；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
（3） 当 0<x≤ π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
令 g（x）=sin2x-x
（0<x≤
π 4
），
g′（x）=2（cos2x-
（3） 当 x∈(0, π ] 时， f′（x）=cosx- 1 ，
2
1+x
f
″（x）=-sinx+
1 （1+x）2
，
f
苁（x）=-cosx-
2 （1+x）3
<0，
此时 f ″（x）
递减，
而 f ″（0）>0，
f
″（
π 2
）<0，
所以存在唯一
的 α∈（0, π ）， 使得 f ″（α）=0， 2
所以 f′（x） 在 （0, α） 递增， 在 （α, π ） 递减， 而 f′（0）= 2
ln（x+1）， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， g（x）=f′（x）=cosx- 1 ， 1+x
g′（x）=-sinx+
1 （1+x）2
>0，
而 g（0）=0，
此时 g（x）=f′（x）<0；
此时
f（x）无 零 点 ；
（2） 当 x=0 时， f（0）=0；
所 以 h（1）＝e－3<0， h（2）＝e2－3－ 姨 2 >0， 所 以 h（1）h（2）< 0，
所以函数 h（x）在区间 (1， 2) 上有零点.
(2) 解析： 由(1) 可 知 h（x）＝f（x）－g（x）＝ex－1－ 姨 x -x. 由
g（x）＝ 姨 x ＋x 知 x∈[0， ＋∞)， 而 h（0）＝0， 则 x＝0 为 h（x）的 一
0， f′（ π ）<0， 2
所以存在 β∈（α,
π ）， 2
使得 f′（β）=0，
A： 外面传来脚步声。 秀才抬起头。 班长、 小尚上 B： 惊讶地 C： 考试又不只考作文 D： 小尚打断秀才 E： 终日明星崇拜， 失去自我 二、 诊断报告 ①没有性别。 添加 “性别： 男/女”。 ②无西医诊疗方法， 与 “中西医结合” 不对应。 可添加 “透视” “血样化验” “基因鉴定” 等方法。 ③治疗方法 1 太实， 且与病症不对应。 可改为 “由于患者体内的 ‘自负’ 血液与其他血液不容， 因 此必须换血， 在患者体内输入大量的 ‘纳谏’ ‘请教’ ‘商 讨’ 等血液”。 ④无医师签名。 补上。 【命题训练】 写作提示 一、 剧本 这是一道有关 “美丽乡村” 建设的写作命题， 重在引导 考生对 “美丽乡村” 建设中出现的问题进行思考。 习总书记 强调的是对 “传统村落、 民族村寨、 传统建筑” 保护的问题， 乡镇宣传标语表露出 “美丽乡村” 建设中整齐划一、 教条主
应考方略 语 数文学揭有秘数
从 2019 年高考理科导数压轴题 看函数零点问题的解题方法
■ 广州市第二中学 邓军民
2019 年 高 考 数 学 命 题 以 全 国 教 育 大 会 精 神 为 指 引 ， 认 真
贯彻 “五育并举” 教育方针， 突出数学学科特色， 着重考查
考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、
趋势， 观察图像与 x 轴的位置关系， 利用数形结合的思想方
法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. 通过等价变形，
可 将 “函 数 F（x）＝f （x）－g （x） 的 零 点 ” 与 “ 方 程 f （x）＝g （x） 的
解” 问题相互转化. 高考对函数零点的考查主要有的个数
GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG
（4）
当
π 4
<x≤
3π 4
时，
f（x）=sin2x-ln（x+1），
f
′（x）=2cos2x-
1 x+1
<0，
所以 f（x）递减，
而 f（ π ）>0， f（ 3π ）<0， 此时 f（x）有且仅有 1 个零点；
4
4
（5） 当 x> 3π 时， f（x）=sin2x-ln（x+1）， 4
2
2
零点.
（4） 当 x∈( π , π] 时， f′（x）=cosx- 1 <0 显然成立，
2
1+x
所以 f（x）在
(
π 2
,
π）
单调递减，
而
f（
π 2
）>0，
f（π）<0，
所以 f（x）在 ( π , π] 有且仅有唯一零点. 2
（5） 当 x∈(π, +∞） 时 ， ln（x+1）>1， f（x）<0 显 然 恒 成 立 ，
| ln（x+1）|， 画出两个函数的图像， 观察图像可知交点个数为2，
函数 f（x）有 2 个零点.
上 述 解 法 对 解 答 题 y= | ln（x+1）| y
来说， 并不严谨， 仅仅
适 合 做 客 观 题 找 答 案 用 ， y=sin 2x
如果要把这个题目研究
Oπ
x
透彻， 探求严谨的解法，
那就得以上图为参考， 分段讨论， 严谨地证明零点的个数.
1 2
），
显然当 x∈（0,
π 6
）
时，
g′（x）>0，
当
x∈（
π 6
,
π 4
）
时，
g′（x）<0.
而 g（0）=0， g（ π ）>0， ∴ g（x）>0， ∴ sin2x>x （0<x≤ π ），
4
4
而熟知： ln（x+1）≤x， 所以 f（x）=sin2x-ln（x+1）>x-x=0，
此时 f（x）无零点.
判断函数零点的个数问题， 解题的基本思想是 “数形结
合”， 即通过研究函数的性质 (单调性、 极值、 函数值的极限
位置等)， 作出函数的大致图像， 然后通过函数图像得出其与
x 轴交点的个数， 或者两个相关函数图像交点的个数， 基本步
骤是 “先数后形”.
【例 1】 已知二次函数 f（x）的最小值为 －4， 且关于 x 的不
得到有效的完全突破.笔者感觉这道高考题设置得非常漂亮，
在认真研究之余， 得到一个变式如下：
【2019 年高考全国Ⅰ卷第 20 题变式】 已知函数 f（x）=sin2x
-| ln（x+1）|， 证明： f（x）有且仅有 2 个零点．
【分析】 化简 f（x）=sin2x- | ln（x+1）|， 令 f（x）=0， 得 sin2x=
个零点. 又 h（x）在 (1， 2) 内有零点，
因此 h（x）在 [0， ＋∞) 上至少有两个零点.
h′（x）＝ex－
1
-
x
1 2
－1，
记
φ（x）＝
ex－
1
-
x
1 2
－1，
则 φ′（x）＝ ex＋
2
2
1
-
x
3 2
.
4
当 x∈(0， ＋∞) 时 ， φ′（x）>0， 因 此 φ（x）在 (0， ＋∞) 上 单
广东教育·高中 2019 年第 10 期 21
应考方略 语 数文学揭有秘数
又因为 g（x）在 (3， ＋∞) 上单调递增， 因 而 g（x) 在 (3， ＋∞) 上 只 有 1 个 零 点 ， 故 g（x) 仅 有 1 个零点. 点评： 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1) 构建函数 g（x) (要求 g′（x) 易求， g′（x) ＝0 可解)， 转 化确定 g（x) 的零点个数问题求解， 利用导数 研 究 该 函 数 的 单 调性、 极值， 并确定定义区间端点值的符号 (或变化趋势) 等， 画出 g（x) 的图像草图， 数形结合求解函数零点的个数. (2) 利用零点存在性定理： 先用该定理判断函数在某区间 上有零点， 然后利用导数研究函数的单调性、 极值 (最值) 及 区间端点值符号， 进而判断函数在该区间上零点的个数.