4.1.1圆的标准方程
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
解析答案
(2)求y－x的最大值和最小值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
|2－0＋b| 此时 2 ＝ 3.
即 b＝－2± 6.
故 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
解析答案
(3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
第四章 § 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及标准方程； 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标 准方程.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 圆的标准方程
新知探究 点点落实
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？ 答案 圆心和半径. 思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径 的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？ 答案 能. 1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标 准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
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好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
§4.1.1 圆的标准方程
作业： P124习题4.1 A组 2、3、4、5
2 2
两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的标准方程：
(x-a)2+(y-b)2=r2
若点 M ( x, y) 在圆上，由上述讨论可知， 点M的坐标适合方程；反之，若点 M ( x, y) 的 坐标适合方程，这就说明点M与圆心A的距离 为r,即点M在圆心为A的圆上。
圆心是A(a,b), 半径是r
解：设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 根据题意，可得 △ ABC 外接圆 (5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 的圆心是三边 2 2 2 垂直平分线的 (7 a ) (3 b) r (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 交点
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
8
练习
3.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程. y
C(8,3)
P(5,1)5) (3 1) 13
2 2 (x-8) +(y-3) =13
例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)， B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圆的方程.
§4.1.1 圆的标准方程
课件制作 广安二中
何 琥
我们知道，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定 一条直线。 思考 在平面直角坐标系中，如何确定一个 圆呢？ 问题1：你知道圆的定义吗？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合 (轨迹)是圆. 定点就是圆心, 定长就是半径。 显然，当圆心位置与半径大小确定后, 圆就唯一确定了。
解此方程组，得 a=2 , b=-3 , r2=25 所以， △ABC的外接圆的方程是 (x-2)2+(y+3)2=25
2019人教A版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》导入设计
y x0B A 2.74x y0r M(x,y)C 0xyr M(x,y)C(a,b)2019人教A 版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》导入设计（一）创设情境（启迪思维）问题一：已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？[引导] 画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝16（y ≥0）将x ＝2.7代入，得 ．即在离隧道中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
（二）深入探究（获得新知） 问题二：1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？ 答：x 2＋y 2＝r 22．如果圆心在，半径为时又如何呢？[学生活动] 探究圆的方程。
[教师预设] 方法一：坐标法如图，设M （x,y ）是圆上任意一点，根据定义点M 到圆心C 的距离等于r,以圆C 就是集合P={M||MC|=r} 由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为 ① 把①式两边平方，得(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2方法二：图形变换法方法三：向量平移法（三）应用举例（巩固提高）I ．直接应用（内化新知）问题三：1．写出下列各圆的方程（课本P77练习1）（1）圆心在原点，半径为3；（2）圆心在，半径为；（3）经过点，圆心在点．2．根据圆的方程写出圆心和半径（1）； （2）．II ．灵活应用（提升能力）问题四：1．求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程.[教师引导]由问题三知：圆心与半径可以确定圆.2．已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程．[学生活动]探究方法[教师预设]方法一：待定系数法（利用几何关系求斜率—垂直）方法二：待定系数法（利用代数关系求斜率—联立方程）方法三：轨迹法（利用勾股定理列关系式） [多媒体课件演示]方法四：轨迹法（利用向量垂直列关系式）3．你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：．III．实际应用（回归自然）问题五：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）．[多媒体课件演示创设实际问题情境]（四）反馈训练（形成方法）问题六：1．求以C（－1，－5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程.2．已知点A（－4，－5），B（6，－1），求以AB为直径的圆的方程.3．求圆x2＋y2＝13过点（-2，3）的切线方程.4．已知圆的方程为，求过点的切线方程.（五）小结反思（拓展引申）1．课堂小结：(1)圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：当圆心在原点时，圆的标准方程为：(2) 求圆的方程的方法：①找出圆心和半径；②待定系数法(3) 已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：(4) 求解应用问题的一般方法2．分层作业：（A）巩固型作业：课本P81-82：（习题7.6）1．2．4（B）思维拓展型作业：试推导过圆上一点的切线方程.3．激发新疑：问题七：1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程：的曲线是什么图形？。
人教版数学必修二4.1.1圆的标准方程
圆的基本要素:圆心 ,半径
半径为r,圆心为A的圆:
(a,b)
(x,y)
即:
两边平方
复习: 在平面直角坐标系中,如何确定一条直线?
1.直线上任意的两个不同点
2.直线上一点和倾斜角
3.直线上一点和斜率
标准方程:
圆心为A(a,b),半径为r 的圆
思考：1：方程 与圆是什么关系？2：当圆心为原点时，方程情势是什么？3：由圆的标准方程，能否直接求出其圆 心坐标和半径？4：确定圆的标准方程需要什么条件？
练习:圆 关于直线 对称的圆的方程是( ) B.C.D.
B
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：
数学必修2---4.1.1圆 的 标 准 方 程
虽然我的知识在你们看起来很高，但我认为人的学习就像一个圆，学的东西越多，则圆的周长越长，周长越长则接触外面世界的机会就越多。 ——爱因斯坦
教学目标：知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。过程与方法： 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生视察问题、发现问题和解决问题的能力。情感态度与价值观： 通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。教学重点：圆的标准方程及其求法教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
4.注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题.
2.点和圆的位置关系:
点: 圆:
圆外：圆上：圆内：
3.求圆的标准方程的方法：
必修二4.1.1圆的标准方程
复习与作业： 复习与作业：
1.复习初中有关点与圆的位置关系 直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置 复习初中有关点与圆的位置关系 关系,圆与圆的位置关系有关内容 圆与圆的位置关系有关内容. 关系 圆与圆的位置关系有关内容 2.课本习题 课本习题4.1 A组第 、3题. 组第2、 题 课本习题 组第
得： 整理得： 整理得：
( x − 0) + ( y − 0) = r
2 2
2
x +y =r
2 2
2
典型例题
半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 A(2,−3) ，半径长等于 的圆的 方程， 方程，并判断点 M 1 (5,−7) ， M 2 ( − 5 ,−1) 是否在这 个圆上． 个圆上． 解：圆心是 A(2,−3) ，半径长等于5的圆的标准 半径长等于 的圆的标准 方程是： 方程是： 2 2
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为 的圆的方程是什么？ 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 因为圆心是原点 ， ＝ ， ＝ 和半径 带入圆的标准方程： 带入圆的标准方程：
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心 (a,b)之间的距离能 与圆心A 圆上任意点 与圆心 之间的距离能 用什么公式表示？ 用什么公式表示？ 根据两点间距离公式： 根据两点间距离公式： 则点M、 间的距离为 MA = 间的距离为： 则点 、A间的距离为： 即：
(x − a )2 + ( y − b )2 .
p ={M | M |= r} A
( x − a ) + ( y − b) = r
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
(2)(方法一)由题意,得线段 AB 的垂直平分线的方程为
3x+2y-15=0.
由
3������ + 2������-15 = 0, 解得 3������ + 10������ + 9 = 0,
������ = 7, ������ = -3.
所以圆心 C 的坐标为(7,-3).
求圆的标准方程时,一般先从确定圆的两个要素入手,即先求出圆 心的坐标和半径,再写出圆的标准方程.
②确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间的距离公式,
有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中 垂线的交点为圆心”等.
(2)待定系数法,步骤是:
①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0); ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.
������
������
<
-
5 2
.
-12-
4.1.1 圆的标准方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求圆的标准方程
【例2】 求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,-1),且过点(5,2); (2)经过A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心C在直线l:3x+10y+9=0上. 解:(1)(方法一)由题意知圆的
-11-
4.1.1 圆的标准方程
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求
高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。
内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。
其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。
圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。
学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。
也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。
从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。
2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
4.1.1圆的标准方程
(1) x2+y2=9
(2) (x+3)2+(y-4)2=5
理论迁移
例1 写出圆心为 A(2, 3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1 (5, 7) ，M2 ( 5, 1)是否在这个圆上．
解：圆心是 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的标准 2 2 方程是：( x 2) ( y 3) 25
知识探究
例1 写出圆心为 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1 (5, 7) ，M2 ( 5, 1) 是否在这 个圆上． 解：圆心是 A(2, 3) ，半径长等于5的圆的标准 2 2 ( x 2) ( y 3) 25 方程是：
y
M2
o
A M1
x
知识探究
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程.
知识探究
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将a＝0，b＝0和半径 r 代入圆的标准方程：
( x a )2 ( y b)2 r 2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
例2 ABC 的三个顶点的坐标分 别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求 它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可 以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
理论迁移
解：设所求圆的方程是 ( x a )2 ( y b)2 r 2 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐 标都满足方程（1）．于是
即： p M / | MA | r
( x a)2 ( y b)2 r
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例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
探究： 点M ( x0 , y0 )在圆内的条件是什么 ？ 在圆外的条件又是什么 ？
小结：P
( x0 , y )与圆
0
2
( x a)
2
2
2
( y b) r
y
r c o
M
x
2
② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。
点Ｍ适合的条件可表示为: ①式两边平方，得 ( x a) ( y b) r
2
图⑴ (xa) ( y b) ＝r ①
2
2
a 0, b 0 ，那么 特别的，如果圆心在原点，这时 2 2 2 x y r 圆的方程是
1 1 3 y (x ) 2 3 2
即 x-3y-3=0
l
A O C B X
圆心C的坐标是方程组 X-3y-3=0 X-y+1=0
的解
解此方程组,得: X=-3 y=-2
C O
l
A X B
所以圆心C的坐标是(-3,-2). 圆心为C的圆的半径长
r AC (1 3) 2 (1 2) 2 5
2
2
的关系判断：
⑴ ( x0 a) ( y 0 b) r ，P在圆外，
⑵ ( x0 a) ( y 0 b) r ，P在圆上，
2
(3) ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r , P在圆内 。
例２
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
⑴ x32 y 22 4 ; 2 2 ⑵ x4 y 2 7 ; ⑶ x y 1 16.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)
和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0 上,求圆心为C的圆的标准方程.
分析:如图所示,确定一 个圆只须确定圆心位 置与半径大小. 圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2,-2),由于圆 心C与A,B两点的距离 相等,所以圆心C在线段 ' AB的垂直平分线 l上 Y