线性规划常见疑问
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划问题的常见典型错误及应对策略
维 明灯 ，提 高其 学 习 的主 动 性 ，增 强 其 学 习 的信 心 ； 而原本 对数 学感 兴趣 的学 生 会 更加 热 爱 数 学 ，钻 研 精 神更 足．
参 考文献
［１］李吉宝．有关 函数概 念教学的若 干条 件 ［Ｊ］．数学教 育学 报 ，２００３，０２．
［２］徐 丹 阳，张维 忠．初 中数 学 概 念 课 教 学模 式 案 例 简 析 ［Ｊ］．中学数学教学参考 ，２００２，０７．
１
（ ）晌 云
曲 ‘
￡，
‘
＼
、 Ｎ
（口 ＋ｂ ） ｉ ＝÷． Ｊ
图 １
错因与应对策略 ：线性规划解决最优化问题 的
前提 必 须在 可行域 内，离开这 一先 决条 件 毫无 意义．
不少 学 生非 常盲 目、任 性 ，习惯性 地想 当然 以为任 何
情 况下 都是 点到直 线 间距 离就是 最小值．殊 不知 ，此
１
＝ １
。
＋
寺６＝＝＞。＋６＝２．
图 ２
错解在 于混淆 以下基 本两个 概 念 ：① 点 Ａ是 ＝０ —Ｙ取
图 ３
利 用 上 述 条 ， ●● ● Ｊ， 、● ● Ｌ 件 并 借 助 均 值 不 等 式 可 得 得 最 大值 时的最 优解 ； ＝ｏ —Ｙ取得 最 大值 的 唯
［３］杨 仁宽 ．加 强纵 横联系 ，挖 掘解题 功能 ［Ｊ］．中学数学 月 刊 ，１９９７，０８．
［４］罗福生．高 中数学教学 中培养 学生创 造性思维 能力 的理 论与实践研究 ［Ｄ］．江西师范大学 ，２００５．
线 性 规 划 问题 的 常见 典 型 错 误 及 应 对 策 略
福 建省厦 门第一 中学 （３６１００３） 王淼 生 李 寅童
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
线性规划的对偶理论和灵敏度分析 常见疑问解
第二章线性规划的对偶理论和灵敏度分析常见疑问解答1、研究线性规划对偶问题的经济意义何在？因为线性规划往往解决原料、设备、资金、人力等资源的最优配置问题，因此了解资源在最优配置下所创造的（边际）价值即机会成本或机会收益对于成本分析、资源计划、投资计划等都有较重要的作用。
此外，对偶规划也常和对资源的灵敏度分析联系在一起，对于更好地在变化环境中配置资源有一定的指导意义。
2、已知原线性规划问题如何写出其对偶问题？（1）如果原问题是MAX问题，则其对偶问题是MIN问题。
按下表可将其对偶问题写出。
（2）如果原问题是MIN问题，则其对偶问题是MAX问题。
按下表可将其对偶问题写出。
3、如何写出下述线性规划问题的对偶模型？min z=2x1+2x2+4x3x1+3x2+4x3≥22x1+x2+3x3≤3x1+4x2+3x3＝5x1≥0, x2≥0, x3无约束。
答：其对偶模型如下，max z=2y1+3y2+5y3y1+2y2+y3≤23y1+y2+4y3≤24y1+3y2+3y3＝4y1≥0, y2≤0, y3无约束。
4、如何快速求出以下只有一个约束方程的线性规划的对偶问题的最优解？Max Z=c1x1＋c1x2＋…＋c n x na1x1＋a1x2＋…＋a n x n≤bx1, x2,…, x n≥0a i, c i, b>0, i=1, 2, …, n.答：利用原问题与对偶问题间的相互转换关系，写出其对偶问题的模型如下，Min f=bya1y≥c1a2y≥c2……a n y≥c ny≥0因为，y≥, i=1, 2, …, n. 所以，其对偶问题的最优解y*=.5、如果原问题是如下所示的追求利润最大的生产计划问题，那么它的对偶问题中变量有何经济含义？原问题的模型形式如下。
其中，变量x j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的产量；c j, j=1, 2,…, n, 是每种产品的单位利润；b i, i=1, 2,…, m, 是每种资源的总量，a ij表示生产第j种产品一个单位所消耗的第i种资源的量，i=1, 2,…, m, j=1, 2,…, n.答：其对偶问题即有如下形式，对偶问题中的变量y k, k=1, 2,…, m, 可具有发现某种资源所创造的单位价值并对某种资源定价的经济含义。
在“线性规划”教学中应当讲清的问题
在“线性规划”教学中应当讲清的问题数学组 韩庆东“线性规划”这一部分是数学新教材中新增加的一个内容，由于线性规划这部分的特点，学习中出现了不少死记硬背、生搬硬套的现象.也有的老师不想在原理上下功夫，喜欢推出所谓的规律让学生记，客观上也助长了这种不良的学习习惯.实际上，在线性规划的教学中，就应当在“为什么”上下功夫，在关键问题上讲深讲透，使学生真正掌握，才能灵活应用知识，才能保证在考试中不出错，.通过这一部分的教学，我认为在线性规划教学中应当讲清三个问题：可行域问题、最优解问题、整数解问题.一、可行域问题：讲清可行域问题，首先就要讲清一个二元一次不等式>++C By Ax 或<++C By Ax 表示的平面区域.这里有的老师就教给学生分别在0,0,0=<>B B B 三种情况下两个不等式表示的是直线上方的平面区域，还是下方的区域。
我认为作为一个研究性的题目，可以留给学生去探索，但完全没有必要讲给学生，让学生记住.而应当让学生真正明白：“对直线0=++C By Ax 同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入CBy Ax++，所得到实数的符号相同.”因而只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00y x ，从CByAx ++0的正负即可判断两个二元一次不等式表示的是直线哪一侧的平面区域.在找不等式组表示的区域时，当然是取各不等式表示的区域的交集，这里应当注意的是，各条直线的位置要尽可能的准确，否则会影响下一步最优解的确定.二、最优解问题：例如：设yx z3+=，式中y x ,满足下列条件，，33042022≤--≥+-≥-+y x y x y x求Z 的最大值和最小值这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解。
但这一部分最容易出现照猫画虎，生搬硬套的现象.有的学生认为到时候把题中的几个交点都求出来，一一代到目标函数中，比较得数，就可得到的最大和最小值，这不仅仅是多试了几个点，浪费了时间的问题。
6种线性规划的常见问题
6种线性规划的常见问题
今天的内容是高二不等式部分的线性规划问题。
这个问题高考通常出现在选填题，虽然只考查5分，但难度不大，同学们要争取拿下！
问题一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
点评：本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题。
问题二：已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
点评：此题主要考查简单的线性规划问题，是一道基础题，要学会画图，理解目标函数的几何意义。
问题三：已知平面区域，考查约束条件
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答。
问题四：已知最优解，求约束条件中的参数
点评：如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
问题五：设计线性规划，求平面平面区域的面积
问题六：线性规划中的整点最优解问题
点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中。
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对《线性规划》中几个问题的探讨
重 要问 题 业 管 理 决— 策 中 将会 发 挥 越 来 越 大 的 作 用 最 优化 问 题
。
景
文
。
它 的 任务 是 用 定 量 化 的 数学 方 法 解决经 济管理 中 的
,
随 着 电 子 计 算机 技术 的 发 展 和 推 广
。
线 性 规 划 的 理 论 和 方 法 在企
又是 求 解标 准 化 L
。
尤 其对 初 学 者
L P M 的不 同 解 集的概 念及 其相 互 关
。
系较 易 混淆 步尝试 如下
1
.
因此
,
用集合 图 形 象地表 示不 同 的解案 及 其之 间 的关 系 是十 分有 益 的
我 们初
:
A
x
=
b 的 解集
,
为使 L
r
P M 有意义
我 们假 定
= =
:
(A )
,
p
g
r a
m m i
n
g
M
o
d
e
l
,
P M)
。
在数 学上
,
L P M的 意义 是 :
求 解一 组 非负变 量
束 ( 包 括 对变 量 的 非负 限 制 ) 的 条件下 优 值 ( 最大值 或 最 小 值 )
L P M 的一 般形 式为 :
。
— 能使 这 组变 量 的 一 个线 性 函数
+
n
决 策变量
可造 当把笑 话
于学 习
。
,
离 言融进去
,
让学生度过一 段愉快 的学 习时光
关于讲解线性规划问题时的常见问题及解决策略
握情况 的反思 ，总感觉 自己上高 中时的
老 师和 工作 后大 部分 老 师的 讲 解方 法 ， 学 生虽 然能理解 ，但学 生做题 时正确 率 却不高 ．怎样 改 变这 种会做 却做 不 对的
现状呢？
例 如 ： 设 ， Ｙ 满 足 约 束 条 件
ｆ ＋ ２ ｖ≥ ２
目标 函数 ｚ ＝ Ａ ｘ ＋ Ｂ ｙ的法 向量 为 （ Ａ， Ｂ） ，它是垂直于 目标函数的一个向量 ， 当
Ｓ Ｈ Ｕ Ｘ Ｕ Ｅ Ｉ Ｉ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ
５ ７
关 于 讲 解 线 性 规 划 问 题 时 的 常 见 问 题 及 解 决 策 略
■河北省新乐市第一中学 王振安
关键词 ： 法 向量 法 规 划 问题 尺规作 图 线性
小方向和 不等 式的 方向相 同， 则可行 域是
边界 线 的 上 方 ； 若 与 Ｏ的 大 小 方 向 和
类型为 ：
意义是在 Ｙ
） 。
Ｊ
如图 ２ ， 让 一个三角板 的一 个直角边 和 向量（ ３ ， 一１ ） 重合， 若 三角板 沿（ ３ ， 一１） 平移 ， 则另一 条
直 角 边 与 可 行 域 最 后 相 交 的 点即最大 值点 ； 若 三 角板 沿 （ ３ ，
｛ ２ ｘ ＋ ｙ ￣４
小值 ．
，求ｚ ＝ ３ ｘ － ｙ 的最大值和最
【 ４ — ｙ ≥ 一 １
目标 函数沿法 向量方 向移动 时 ， 目标函数 值 逐渐 增大 ， 在 与可行域最 后相交台 勺 点
取最 大值 ； 当目标函数沿法 向量相反方 向 解： 如 图 １， 作 出可行域 ， 将 目标 函数 移 动 时 ， 目标 函数值 逐 渐减小 ， 在 与可 只含 有两个 自变量的线性规划 ， 它的标准 ｚ ＝ 表示成直线 ｙ ＝ ，则 ｚ的几何 行域最后相交 的点取最小值． 简单 的线性规 划 问题是 指 目标 函数
线性规划建模的疑问处理及技巧
１ 线性规划模型的性质 ． ２
（） １ 比例性 ：每个决策变量 对 目 标函数 ， 和约束条件 ｇ （ ） “ （） 的 贡献”成正比。 （） ２ 可加性 ：各个决策变量Ｘ对 目标函数 ， 和约束条件 ｇ （） “ ｉ （） 的 贡献”与其他决策变量的取
值无 关 。
（） ３ 连续性 ：每个决策变量 的取值是连续的。
建立线性规划 （ ｉ ａ Ｐｏｒ Ｌｎ ｒ ｒｇａ 模型是经济学研究中常用的一种理性方法 。市场营销 、生产计划 、 ｅ ｍ）
物流管 理 、货物 贮存 、财政 和 会计 、工 艺流 程 、项 目选择 和评 价 、人 力资 源调 配 、城 市 管理 等都需 要常作为一个热点被纳入竞赛范畴 ，原因就在于 它与我们的经济生活息息相关 。在线性规划建模与求解过程中，经常会 出现模型不易求解或求解不成功
ｐｏ ｉｅ ． ｈ ａ ｄｒ ｒｕ ｇ ｎ ｆｉｅｒ ｒｇａ ｉ ｅｓ ａ ｎ ｓ ａｎｅａ ｃ． ｎ ｌｔｅｅｐｅｓ ｇ ｒｖ ｄ Ｔ ｅｓ ｎ ａｄｆ ｄ ｍｅ ｔ ｎａ ｏ ｒｍ ａｙｔ ｒ ｄａ ｄｅ ｙｔ ｍ ｉｔ ｎｅ Ａ ｄａ１ｈ ｘｒｓｉ ｄ ｔ ｏｊ ｏｌ ｐ ｓ ｏｅ ａ ｏ ｎ ｎ
ｖａ ｉｂｌ，ｉ ｑ ｔｏｎ ａ ｄ ｉ ｑ ｔｏ ｒ ｐ Ｓ ｏｃ ｅ ｔ ｅ ｕｌ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｏｄｅ ｒａ ｅ ｎｅ ｕａｉ ｎ ｎｅ ｕａｉ ｎ ｇ ｏｕ Ｏａｓｔ ｒ ａ ｅｕｓ ｆ ｔ ｅ ｔｃｍ ｍ ． Ｋ ｅ ｏ ｄｓ ｙ ｗ ｒ ：Ｌｉ ｅ ｏ ａ ；Ｉ ｅ ｕａ ｉｎ； ｗ ｏ ｖ ｌ ｒａ ｅ ｎ ａ ｐｒ ｇｒ ｍ ｎ ｑ ｔｏ Ｔ — ａｕｅｖａ ｉｂｌ；Ｍ ｏ ｋｉｌ ｒ ｄｅｓ ｌｓ
或求解结果不符合实际等困境 ，诸种情况颇让人费解 。本文就以建模及求解 中常遇见疑难 问题做一些分
探究线性规划中疑难问题的突破策略
·50·当代教育实践与教学研究线性规划实在线性约束条件下求解最值的数学问题，在运算过程中约束条件、目标函数以及决策变量是最主要的三个因素，然而在实际运算过程中却存在较多疑难点。
学生认为整点问题、直线平移、条件转化等均为线性规划中比较突出的几个困难点，本文对这些疑难问题进行了归纳总结，并提出了集中突破方法。
一、线性规划中的疑难问题线性规划常见的疑难问题通常出现在对题目的理解、方法的转化、方程的解答以及综合运算方法的掌握程度等方面，学生的综合数学能力不足且基础运算能力不够熟练时往往会对线性规划的题目无从下手，找不出问题的关键，无法对各种约束条件进行灵活转换，造成了解题困难。
二、线性规划疑难问题的突破策略1.灵活变换，摸索规律。
绝对值不等式的变换作为不等式变换中的难点也给学生的解题带来了较大的阻碍，对|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|不等式进行转化时可通过分类、换元或数形结合的方法来探索其数学规律，找到解题关键。
例1，解答不等式||x+3|-|x-3||＞3。
对该式进行转化时，如何去掉绝对值是解题的关键。
一般的处理方法有：分区间去绝对值；平方法去绝对值。
解法1： ，可得出x ＜-3， ，可得出x ＞3/2，x ＜-3/2，且 ，故原不等式的解为x ＞3/2或x ＜-3/2。
解法2：原式两边同时平方得：（|x+3|-|x-3|）2＞9，即2x2+9＞2|x2-9|，再将两边同时平方，同时在进行因式分解，可得x2＞9/4，最终可得x ＞3/2或x ＜-3/2。
2.把握细节，正确作图。
精准的作图可以帮助学生快速解答线性规划中的问题，在平面作图中的难点较为复杂的约束条件。
例2，求解z=600x+1000y 的最大值。
10x+4y ≤300，5x+4y ≤200，4x+9y ≤360，x ≥0，y ≥0。
首先，做出直角坐标系，原点为O。
其次，当10x+4y=300时，有C、E 两点；当5x+4y=200时，有G、F 两点；当4x+9y=360时，有D、H 两点。
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第一章线性规划常见疑问解答1.线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁？这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。
1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。
但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。
1975年，康托洛维奇与T . C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。
1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。
Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。
今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。
2.线性规划模型的形式是什么？目标函数和约束条件都是线性的。
3.线性规划模型的三要素是什么？就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。
其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。
只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。
4.线性规划模型的经济意义何在？简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。
它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。
不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。
5.线性规划的标准形式是怎样的？线性规划的标准形式有三个特点：a)约束条件都是等式；b)等式约束的右端项为非负的常数；c)每个变量都要求取非负数值。
下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的？线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点？要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－”非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。
8.如何将下述一般形式的线性规划问题转化为标准形？Min Z=x1＋2x2＋3x3s.t. －2x1＋x2＋x3≤ 9－3x1 ＋x2＋ 2x3≥ 43x1 － 2x2－ 3x3＝－6x1 ≤0, x2 ≥0, x3任意。
答：令x1' =－x1，则x1=－x1'（新变量替换），且x1' ≥0；令x3 = x3' －x3”（两个新变量替换），且x3' ，x3” ≥0；在第一和第二个不等式约束中分别引入松弛变量：x4，x5，且x4，x5≥0；同时将第三个约束条件的两边同时乘以(－1)，以将右边常数项“－6”转化为“6”。
由此，上述线性规划的一般形式转化为标准形。
Max Z ' =x1'－2x2－3 (x3' －x3")2x1'＋x2＋ (x3' －x3")＋x4 = 93x1'＋x2＋2( x3' －x3") －x5 = 43x1'＋ 2x2＋3 ( x3' －x3") = 6x1', x2 , x3', x3" , x4, x5≥0 .9.线性规划求解所需的基本概念，包含哪些？包含可行解、可行域、最优解、基、基向量、基变量、非基变量、基解、基本可行解、退化的基本可行解、可行基、最优基等，且概念间存在紧密的关系。
10.什么是可行解？满足所有约束条件的解被称为可行解。
11.什么是可行域？所有可行解的集合被称为可行域。
12.什么是最优解？使目标函数值取得最优的可行解被称为最优解。
13.基的定义是什么？基是由系数矩阵A中的线性无关的列向量构成的可逆方阵。
14.什么是基向量？用来构成基的列向量称为该基的基向量。
15.一个线性规划模型的基是唯一的吗？一般不是。
只要构成基的列向量不完全相同，基就不同。
因此，基一般可能有多个，但数目最多不超过.16.仅有列向量排列顺序不同的那些基是否被视为相同的基？是的。
仅有列向量排列顺序不同的那些基被视为相同的基。
17.什么是基变量？一个线性规划模型的系数矩阵A中的每个列向量实际上是每个变量在所有约束条件中的系数排成列构成的。
当某个基被选定之后，这个基所含的系数矩阵的列向量所对应的那些变量就被称为这个基的基变量。
18.什么是非基变量？当某个基被选定之后，这个基所含的系数矩阵的列向量所对应的那些变量就被称为这个基的基变量，而其余的变量就被称为这个基的非基变量。
19.什么是基解？在一个线性规划模型的标准型下，当某个基被选定之后，这个基对应的非基变量值都被令为0，此时这个线性规划模型标准型的约束条件部分就成为了一个仅包含基变量的线性方程组，求解这个线性方程组就可以把此时该基对应的基变量的值求出来。
这种做法求出的所有变量的值，被称为该基对应的基解。
一般地，也常将这种做法得到的该基所有基变量的值称为基解。
20.什么是基本可行解？当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
21.什么是可行基？如果某个基对应的基解是基本可行解，则该基被称为可行基。
22.什么是退化的基本可行解？当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
如果这个基本可行解中某个基变量的值＝0, 则此基本可行解被称为退化的基本可行解。
23.什么是退化的可行基？如果某个基对应的基解是退化的基本可行解，则该基被称为退化的可行基。
24.什么是最优基？如果某个基对应的基解是基本可行解，且是使目标函数值取得最优的最优解，则该基被称为最优基。
25.基、基变量、基解间的关系如何？基、基变量、基解间具有一一对应的关系。
当某个基被确定下来后，该基对应的那些基变量和非基变量就被确定下来，它们在这个基下的取值，即基解，也被确定下来。
所以，当谈到某个基变量或非基变量时，一定要指出是哪个基下的基变量或非基变量，同样地，当谈到某个基解时，一定要指出是哪个基下的基解。
26.求基解可以利用公式是什么？求基解可以利用公式是X B =B－1b, 其中B是选定的基（矩阵），B－1是选定基的逆矩阵， b是线性规划模型的资源向量，即模型约束条件的右端常数项形成的列向量。
这个公式可以求出所选定的基对应的基变量向量X B的值。
27.求基解的公式X=B－1b中，基变量向量X B中各分量的排列顺序必须与B所对应的基B中各基向量的排列顺序一致吗？必须保持一致。
如基B= (P1 P5 P2), 则基变量向量X B= ( x1x5x2 )T .的值吗？28.基解仅指基变量（向量）XB严格地说，基解指的是某个基对应的所有基变量和非基变量及其取值。
由于，非基变量的值都被设定是0，故为简便，基解也常指基变量（向量）X B的值。
29.退化的基本可行解和基本可行解有何区别？基本可行解只要求基解X B = B－1b≥0. 若某个基解X B = B－1b≥0，但X B = B－1b≯0，即存某基变量的值为0，则此时的基解被称为退化的基本可行解。
同时，此基解对应的基被称为退化的可行基。
30.线性规划的几何意义何在？线性规划的几何意义体现在如下几点，a)线性规划的可行域是凸多面体，是凸集。
b)线性规划的任意一个可行解对应于可行域中的某个点。
c)线性规划的基本可行解一一对应于可行域的顶点。
d)如果线性规划的可行域有界，则线性规划的可行域中的任意一个（点），都可用顶点的凸组合线性表示。
e)若线性规划有最优解，则最优解一定可在某个基本可行解上取得，也即在可行域的某个顶点（极点）上取得。
31.图解法适应于哪种线性规划问题？图解法适应于那种仅包含两个变量的线性规划问题。
32.用图解法求解线性规划问题的步骤是怎样的？a)首先，按约束条件在已建立的坐标轴上绘出该线性规划问题的可行域；如果可行域不存在，则该线性规划问题无可行解，图解法停止，否则转到步骤b；b)画出目标函数值z=cx=0 时的目标函数等值线；c)判断使目标函数值得到改进的目标函数等值线的移动方向；d)沿所判断的改进方向，将目标函数等值线平行推移至可行域的边界，且任何继续推移将使可行域无点在等值线上时停住。
此时，目标函数等值线上与可行域相切的哪些点，就对应着该线性规划问题的最优解，转到步骤e；如果沿所判断的改进方向，平移目标函数等值线的过程永无止境，则意味着该线性规划问题目标函数值无界，它没有最优解，图解法停止；e)观察或计算出最优解。
33.如何用图解法求解如下线性规划模型？Max Z=2x1＋x2x1 ≤3 ①3x1＋x2 ≤12 ②x1＋x2 ≤5 ③x1, x2≥0答：a)首先，按约束条件在已建立的坐标轴上绘出该线性规划问题的可行域，如下图阴影区域ABCD所示；b)画出目标函数值z= 2x1＋x2 =0 时的目标函数等值线；c)由目标函数 Z=2x1＋x2做等价变形得到x2 = －2x1＋Z, 知，目标函数值Z即是目标函数等值线的纵截距。
在可行域寻求目标值Z取最大，即寻求目标函数等值线的纵截距取最大。
当目标函数等值线从过原点的位置(Z=0, 2x1＋x2=0)向右移动时，其对应的纵截距从0开始增大；d)这个过程直到目标函数等值线到达可行域的顶点B为止。
e)B点对应的坐标(3, 2), 即是该线性规划问题的最优解。
34.如何实现求最大值的线性规划问题与求最小值的线性规划问题的相互转化？一般而言，只须将求最小值的线性规划问题的目标函数系数反号，并将符号“MIN”转换为“MAX”就可将其转化为求最大值的线性规划问题。
反之，只须将求最大值的线性规划问题的目标函数系数反号，并将符号“MAX”转换为“MIN”就可将其转化为求最小值的线性规划问题。
35.如何求一个线性规划问题某个基B下的检验向量？利用公式c B B－1A－c来求。
其中，A是系数矩阵，c是价值向量，c B是该基基变量的目标函数系数所形成的行向量。
36.当求一个线性规划问题某个基B下的检验向量时，如何写出公式c B B－1A －c 中的c B 向量？c B是该基基变量的目标函数系数所形成的行向量，其分量排列顺序必须与所对应的基B 中各基向量的排列顺序一致，也即与此时基变量向量X B中各分量的排列顺序一致。
如基B= (P1 P5 P2), 则基变量向量X B= ( x1x5x2 )T, c B= ( c1c5c2 ).37.求最大值和求最小值的线性规划问题，其最优判别定理有何区别？其区别主要体现在检验向量上。