上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题+Word版含答案
华东师大二附中2018届阶段测试（数学）
（满分180分，时间120分钟）
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分
1. 已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，则A B ⋃=____________
2. 已知i 是虚数单位，复数z
满足()
11z ⋅=，则z =____________ 3. 函数()2cos sin sin 2cos x x f x x
x
=
的最小正周期为____________
4. 已知单位向量,i j 满足()
2i j i -⊥，则,i j 的夹角为____________
5. 将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为____________
6. 已知
()1y f x -=是
函数
()()arcsin 1f x x =-的反函数，则
()1f x -=____________
7. 将杨辉三角中的每一个数'n C 都换成
()1
1'n
n C +，就得到一个如下图所示的分数三
角形，成为莱布尼茨三角形。
令()22
1111111
3123060
1n n n
a nC n C -=
+++++
++，则1
lim 2
n n a →∞
=
____________
8. 已知()9,12A -，()16,12B --，()0,0O ，点D 在线段OB 内，且AD 平分∠OAB ，则点D 的坐标为____________ 9. 已知
{}
n a 为等比数列，且120171a a =，若
()2
21f x x =
+，则
()()()()123
2017
f a f a
f a
f a ++++=____________ 10. 在△ABC 中，60A ∠=︒，b=1，△ABC sin sin sin a b c
A B C
++++的值为
____________
11. 已知()f x 为定义在
()()
,00,-∞⋃+∞上的奇函数，且当0x >时，
()22,0251,2
x x f x x x ⎧-<≤
⎪=⎨
-->⎪⎩。
()()g x f x a =-。
记()S a 为函数()g x 的所有零点之和。
当
10a -<<时，()S a 的取值范围为____________
12. 现含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中{}12,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}12,,n C c c c =，若A 、B 、C 中的元
素满足条件：12n c c c <<
<，k k k a b c +=，（123,,
k n =）
，则称M 为“完并集合”。
对于“完并集合”{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是_____________
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分，有且只有一个正确答案
13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织布相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则
132931
242830
a a a a a a a a ++++++
++的值为（ ）
A.
165
B.
1615
C.
16
29
D.
1631
14. 设,,a b c R ∈，则“1abc =”是
“a b c ++≥的（ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
15. 定义{}
,m a x ,b ,a a b a
b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足的约束条件22x y ⎧≤⎪
⎨≤⎪⎩
，则
{}m a x 4,3z x y x y =+-的取值范围是（ ） A. []6,10-
B. []7,10-
C. []6,8-
D. []7,8-
16. 已知函数(
)f x =
，给出下列四个判断：
（1）()f x 的值域是[]0,2；（2）()f x 的图像是轴对称图形； （3）()f x 的图像是中心对称图形；（4）方程(
)f f x =⎡⎤⎣⎦
其中正确的判断有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题
17. 已知几何体A-BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形.
（1）求此几何体的体积V 的大小；
（2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值.
18. 华东师大二附中乐东黄流中学位于我国南海边，有一片美丽的沙滩和一弯天然的海滨浴场。
如图，海岸线MAN ，2A θ∠=，
02πθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭（海岸线MAN 上方是大海）
，现用长为BC 的栏网围成一个三角形学生游泳场所，其中,B MA C NA ∈∈.
（1）若BC l =，求三角形游泳场所面积最大值；
（2）若BC=600，23
A π
∠=
，由于学生人数的增加需要扩大游泳场所面积，现在折线MBCN 上方选点D ，现用长为BD ，DC 的栏围成一个四边形游泳场所DBAC ，使1000BD DC +=，
求四边形游泳场所DBAC 的最大面积.
2
2
13
y x -=的左、右焦
19. 已知1F 、2F 分别是双曲线
点，过1F 斜率为k 的直线1l 交双曲线的左、右两支分别于A 、C 两点，过2F 且与1l 垂直的直线2l 交双曲线的左、右两支分别于
D 、B 两点.
（1）求k 的取值范围；
（2）求四边形ABCD 面积的最小值.
20. 已知函数
()()()log 11a f x x a =+>，函数()g x 的图像与函数
)312y a =
+>的图像关于直线y x =对称. （1）求函数()g x 的解析式； （2）若函数()g x 在区间[]3,2m n m ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
上的值域为()()log 3,log 3a a p m p n ++⎡⎤⎣⎦，求实数p 的取值范围； （3）设函数()()()
()1f x g x F x a a -=>，试用列举法表示集合(){}|M x F x Z ==.
21.（1）已知集合*31
|1,2n S k k k N ⎧⎫-=≤≤∈⎨⎬⎩⎭
（2n ≥，且n N *∈），若存在非空集合12,,
,n S S S ，使得12n S S S S =⋃⋃
⋃，且()1,,i j S S i j n i j ⋂=∅≤≤≠，并任意
(),1,2,,,i x y S i n x y ∈=>，都有i x y S -≠，则称集合S 具有性质P ，()
1,2,,i S i n =称为集合S 的P 子集.
（1）当2n =时，试说明集合S 具有性质P ，并写出相应的P 子集12,S S ；
（2）若集合S 具有性质P ，集合T 是集合S 的一个P 子集，设{}
'3|n T s s T =+∈，求证：
任意,'x y T T ∈⋃，x y >，都有'x y T T -∉⋃； （3）求证：对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P.
参考答案
1、{}1,2,3
2
3、π
4、3
π
5、27
6、1sin 2
2x x π
π⎛⎫
--
≤≤
⎪⎝⎭
7、12
8、8060,13
13⎛⎫--
⎪⎝⎭
9、2017
10
11、()2log 3,0- 12、{}6,10,11,12 13-16、BABB 17、（1）403
；（2）45
18、（1）
2
4tan l θ
；（2）
19、（1）
⎛
⋃ ⎝
⎭⎝；（2）18 20、（1）()()23=log 33
2a g x x x x ⎛
⎫-+> ⎪⎝
⎭
；（2）156,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）5
2,,22
⎧⎨⎩ 21、（1）{}{}121,4,23S S ==，；（2）略；（3）略。
2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师大第二附属中学高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.2．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t ty t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．没有对称轴【答案】C【解析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数，()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 3．．函数()y f x =是R 上的增函数，则0()()()()a b f a f b f a f b +>+>-+-是的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】又在R 上为增函数，则反之，若4．下列问题中,a b 、是不相等的正数,比较x y 、、z 的表达式,下列选项正确的是（ ） 问题甲:一个直径a 寸的披萨和一个直径b 寸的披萨,面积和等于两个直径都是x 寸的披萨；问题乙:某人散步,第一圈的速度是a ,第二圈的速度是b ,这两圈的平均速度为y ； 问题丙:将一物体放在两臂不等长的天平测量,放在左边时砝码质量为a (天平平衡),放在右边时左边砝码质量为b ,物体的实际质量为z . A ．x y = B ．x z =C ．y z =D ．x y 、、z 互不相同 【答案】D【解析】首先根据条件分别列出,,x y z 与,a b 的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】问题甲：根据圆的面积公式可知2222222a b x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2222a b x +=x ∴=问题乙：设每圈的长度为s ，则2syss a b=+ ，整理为：2aby a b=+； 问题丙：设天平左边的杠杆长为x ，右边的杠杆长为y ，则ax zyby zx=⎧⎨=⎩ ，可得2z ab =，即z =,a b R +∈，并且a b ¹，∴a b +>，2aba b∴<+， 根据不等式可知222a b ab +>，>，2ab a b>>+ ，x z y ∴>>.故选：D【点睛】本题考查合情推理以及基本不等式比较大小，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是用,a b 分别表示,,x y z .二、填空题5．已知集合{}|lg M x y x ==，{|N x y ==，则MN =_____________.【答案】(]0,1【解析】求出集合M 、N ，然后利用交集的定义求出集合M N ⋂. 【详解】{}|lg (0,)M x y x ===+∞，{|[1,1]N x y ===-，(0,)[1,1](0,1].M N ⋂=+∞⋂-=故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时与考查了具体函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.6．若△ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ．【解析】试题分析：由正弦定理有2a c =,所以2a c +=,2222231422cos 22a b ab a b c C ab ab+-+-==,由于223142a b +≥=,故cos C ≥,所以cos C的最小值是【考点】1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin A B C +=化为2a c =，再由余弦定理推论求出cos C 的表达式，还用到用均值不等式求出223142a b +≥=，再算出结果来.7．已知函数()3sin 2cos f x x x =+,若对任意x ∈R 均有()()f x f α≥,则tan α=______.【答案】32【解析】由题意可知()f α是函数的最小值，化简函数()()f x x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=，利用()22k k Z παϕπ+=-+∈ 求tan α. 【详解】()3sin 2cos f x x x =+()x ϕ=+（cos ϕ=，sin ϕ=， 由题意可知，()fα是函数的最小值，()()f ααϕ=+，当()22k k Z παϕπ+=-+∈时，函数取值最小值，22k παϕπ=--+，tan tan 2tan 22k ππαϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 32132sin 2cos 2πϕϕπϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .故答案为：32【点睛】本题考查三角函数的恒等变形以及三角函数性质的综合应用，属于中档题型，本题的关键是通过化简得到()22k k Z παϕπ+=-+∈，并且已知cos ϕ=，sin ϕ=8．设A 、B 、C 是2y x =图像上不同的三点,且OC OA OB λ=+，若A (1,-1),B (1,1),则λ的值为_______. 【答案】3【解析】首先设(),C x y ，根据条件代入坐标得11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，根据2y x =求λ.【详解】 设(),C x y ，OC OA OB λ=+，()()(),1,11,1x y λ=-+∴11x y λλ=+⎧⎨=-+⎩，2y x = ，()211λλ∴-+=+，解得：0λ=或3λ=.当0λ=时，点,A C 重合，故舍去. 故答案为：3 【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型. 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．【解析】试题分析：根据题意，由于球的半径为1，那么可知其体积公式为244133ππ⨯=，而圆锥的体积公式等于V=SH=3πh=43π，可知其高为4，那么利用母线长和底面的半径以及高勾股定理可知圆锥的母线长，故答案为。
上海市华东师范大学第二附属中学2018学年高一上学期期末考试数学试题
华师大二附中2018学年第一学期期末考试试卷高一数学（时间90分钟 满分100分）一、填空题（共40分）1． 已知扇形的圆心角为72︒，半径为5，则扇形的面积S =_________．2．若实数x ，y 满足1xy =，则223x y +的最小值为__________________．3．函数()lg 43x y x -=-的定义域是__________________．4．若函数()f x 的反函数()()120f x x x -=>，则()4f =_________．5．已知幂函数()f x x α=，1112,,,,2,3232α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭的图像关于原点对称，且当()0,x ∈+∞时单调递增，则α=_________．6．已知函数()29f x x =-，()3x g x x =-，那么()()f x g x ⋅=_________． 7．方程()()()222log 14log 23log 6x x x +++=++的实数解为_________．8．已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b +=_________．9若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围_________．10．已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是_________．二、选择题（共16分）11．设α是第三象限的角，且sin02α<，cos 02a >，则2α是（ ） A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角12．设a ，b ∈R ，则“a b >”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（ ）A ．奇函数，且在()0,1上是增函数B ．奇函数，且在()0,1上是减函数C ．偶函数，且在()0,1上是增函数D ．偶函数，且在()0,1上是减函数14．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）速度（km /h ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、解答题（共44分）15．（9分）已知cot 2α=-，求tan α，sin α，cos α．16．（9分）记不等式2111x x -+-≤的解集为M ，不等式216814x x -+≤的解集为N ，求M N ∩．17．（12分）已知函数()()22x x f x a a -=+⋅∈R ．⑴讨论函数()f x 的奇偶性；⑵若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求a 的取值范围．18．（14分）对于定义在区间D 上的函数()y f x =，若存在0x D ∈，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≥，则称函数()f x 在区间D 上有“下界”，把()0f x 称为函数()f x 在D 上的“下界”． ⑴分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由； ()()1120f x x x =->，()()21605f x x x x=+<≤．⑵请你类比函数有“下界”的定义，写出函数()f x 在区间D 上有“上界”的定义；并判断函数()()21605f x x x x=-<≤是否有“上界”？说明理由； ⑶若函数()f x 在区间D 上既有“上界”又有“下界”，则称函数()f x 是区间D 上的“有界函数”，把“上界”减去“下界”的差称为函数()f x 在D 上的“幅度M ”． 对于实数a ，试探究函数()23F x x x a =-+是否是[]1,2上的“有界函数”？如果是，求出“幅度M ”的值．。
上海市华东师大第二附属中学2018-2019学年高三上11月考数学试题(无答案)
华东师大二附中2018-2019学年上学期高三11月考数学试卷一、填空题1.已知，i z -=则=2018z ________.2.定义在R 上的函数()x f 的值域是[]m m ，,那么函数()11-+x f 的值域是_____.3.掷两颗骰子掷到10点以上(不包括10点)的概率是________.4.函数()()11-+=＜，＞b a b a x f x 不经过第______象限.5.已知向量()()，，，，3432-==b a a 在b 上的投影是_______. 6.双曲线12222=-by a x 的一个焦点是(5,0),一条渐近线是043=-x y ,那么双曲线的方程是___________.7.行列式02E 16F 8Z 中元素2的代数余子式的值是________.8.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______.9.如果集合{}8321，，，，⋯=A 的子集B 满足:若，，*2N k B k ∈∈则，B k ∈+12,则称B 为A 的“好子集”,A 的“好子集”有_________个.10.已知数列{}n a 中,其中()，，11991199a n na a a -==那么=10099log a ______. 11. Lester shill 在1929年运用矩阵的原理发明了一种加密方法,称为希尔密码,其中每个字母均用数字来代替()，，，，2510=⋯==Z B A ,一串字母就可当成n 维向量,具体加密过程如下:假设明文M=“ABC ”,对应的向量就是(01=M 1 )2,加密矩阵 ⎝⎛=121A 302 ，⎪⎪⎪⎭⎫-1541加密过程就是(01=A M 1 ) ⎝⎛1212 302 (41541=⎪⎪⎪⎭⎫- 6 )，8如果计算出的数字超过26,则对26取余,例如34 mod 26=8,那么,最终的密文C 就是“EGI ”,假设加密矩阵仍为A,那么原文“EFZ ”的密文是________.12.定义“()301*≥∈=+n N n b a b ya xn n n n ，，＞＞”代表的曲线为“超椭圆”,设b a 、为常数,设超椭圆的周长为，n C ,那么=∞→n n C lim ________. 二、选择题13.设数列{}n a 是单调递增的等比数列,l k q p 、、、为正整数,则“l k q p ++＞”是 “l k q p a a a a ＞”的_______条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.若△ABC 是锐角三角形,三边为c b a 、、,则下列选项中可能不成立的是A.B A cos sin ＞B.B A cot tan ＞C.222c b a ＞+D.333c b a ＞+15.已知是三个不共线的向量,为给定向量,那么下列叙述中正确的是A.对任何非零实数λ及给定的向量均存在唯一的实数μ,使得μλ+=B.对任何向量及给定的非零实数μλ、,均存在唯一的向量,使得μλ+=C.，1=,则对任何实数λ,均存在单位向量和实数μ,使得μλ+=D.，1=,则对任何实数μ,均存在单位向量c 和实数λ,使得μλ+=16.设A 、B 是抛物线2x y =上两点,O 是坐标原点,OA ⊥OB,则下列命题中错误的是 A.2≥∙OB OA B.22≥+OB OAC.直线AB 过抛物线2x y =的焦点D.O 到AB 的距离不大于1三、解答题17.如图,在三棱锥ABCD P -中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点.(1)求证:PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 是棱BC 的中点,求异面直线PC 与AM 的夹角。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A．只有B．在直线上C．多于三个D．在第二象限【答案】C【解析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A．B．036162 C．3053234 D．3055252【答案】D【解析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、解答题5．如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.6．设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.7．如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列. （3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题10．设全集，若集合，，则______【答案】【解析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．计算：______【答案】【解析】设，求出，即得解. 【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知向量，，则________【答案】13【解析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．如果复数满足，那么________【答案】1【解析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．（）的反函数________【答案】（）【解析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．方程的解为________【答案】2【解析】由题得，即，解方程再检验即得解. 【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. 【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距. 【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】由题得，，再求其轴截面的面积. 【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题(含解析)
上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题（含解析）一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- ．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 ．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ． 6．（3分）已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 7．（3分）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim n n a →∞= ．8．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 ．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是 ．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 15．（3分）（2008•天津）设函数()1)1f x x x=<-的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325r r C x-，令10322r-=，解可得2r =， 则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40， 故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 既不充分也不必要 条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：1.75 1.771.762+=（米)． 故答案为：1.76．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 24 ．【解答】解：设球的半径为R ，由343R π=得R = 所以2a =，表面积为2624a =． 故答案为：246．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数1()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 (1] ．【解答】解：由题意22,1(1)(1)2,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x <当0x 时，221x x +，解得121x -，故得021x -综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(1]-∞-故答案为(-∞1]．7．（3分）（2008•天津）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim nn a →∞= 76 ．【解答】解：因为11221112111()()()1333n n n n n n n a a a a a a a a ----=-++++-+=++⋯++ 所以n a 是一个等比数列的前n 项和，所以11n n q a q -=-，且13q =．代入，所以2173lim 11613n n a →∞=+=-．所以答案为768．（3分）（2016•上海）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 【解答】解：可设ABC ∆的三边分别为3a =，5b =，7c =，由余弦定理可得，222925491cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，可得sin C ==可得该三角形的外接圆半径为2sin cC==．9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 {2} ．【解答】解：log log a a x y c +=，log a xy c ∴=c xy a ∴=得c a y x =，单调递减，所以当[x a ∈，2]a 时，11[,]2c c a y a --∈所以1122c c a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩⇒223a c log c +⎧⎨⎩，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}． 故答案为：{2}10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 1248【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法， ②，然后确定其余4个数字，其排法总数为46360A =，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法， 余下两个数字有2412A =种排法，所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法； 则有43121248⨯=种不同的排法， 故答案为：1248．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是528．【解答】解：从正八边形128A A A ⋯的八个顶点中任取两个，基本事件总数为2828C =．满足0i j OP OA OA ++=，且点P 落在第一象限，对应的i A ，j A ，为：4(A ，7)A ，5(A ，8)A ，5(A ，6)A ，6(A ，7)A ，5(A ，7)A 共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是528P =， 故答案为：528． 12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ②③ 【解答】解：①，可举反例：2,1()3,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩．23,0()3,012,1x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，,0()2,0x x h x x x -⎧=⎨>⎩．均不是增函数，但43,0()()3,0x x f x g x x x +⎧+=⎨+>⎩、,0()()4,013,1x x f x h x x x x x ⎧⎪+=<<⎨⎪+⎩、3,1()()4,1x x g x h x x x +<⎧+=⎨⎩均为增函数，故①错误；②()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+， 结合第三式可得：()()g x g x T =+，()()h x h x T =+， 同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是奇函数， ()()()()[()f x g x f x h x g x +++-、()]2()h x f x =是奇函数，即()f x 是奇函数，同理()g x 、()h x 均是奇函数，故③正确；④，由①可得()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ， 但()f x 、()g x 、()h x 值域均不为R 的函数，故④错误． 故答案为：②③． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解答】解：22()cos ()sin ()44f x x x ππ=+-+1cos(2)1cos(2)2222x x ππ++-+=-sin 2x =-所以T π=，且为奇函数． 故选：A ．15．（3分）（2008•天津）设函数()1)f x x =<的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0【解答】解：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，1()f x -∴单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，1()f x -∴最小值为0 故选：D ．16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列，则1423a a a a +=+，但11a =，22a =，34a =，45a =时，1423a a a a +=+，但1a ，2a ，3a ，4a 依次不构成等差数列，故1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；若{}n a 是等比数列，公比为1-，则若21{}k a -和2{}k a 是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.则2120k k k b a a -=+=，可得{}k b 不是等比数列，即（2）不正确.若a ，b ，c 依次成等差数列，2b a c =+，则22()()()b a c a c a b b c ++=+=+++，即a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．故（3）正确.（4）若{}n a 为等比数列，则数列{}n b 显然也是等比数列，但若{}n a 是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则{}n b 显然也是等比数列，故数列，*)n N ∈构成等比数列的充分为必要条件是{}n a 构成等比数列．故（4）正确. 三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结DF ，OF ，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，FD FB ∴=，FA FC =，AC 与BD 交于O 点，O ∴是AC 中点，且O 是BD 中点， FO AC ∴⊥，FO BD ⊥， ACBD O =，FO ∴⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为的点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则平面AFC 的法向量(0n =，1，0)，(0F ，03)，(0B ，1，0)，(3C -，0，0)，(0FB =，1，3)-，(3FC =-，0，3)-，设平面FBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则30330m FB y z m FC x z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩，取1x =，得(1m =，3-，1)-， 设二面角A FC B --的平面角为θ，则||315cos ||||5m n m n θ===．∴二面角A FC B --的余弦值为15．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．【解答】解：（1）在1Rt COA ∆中，12cos CA θ=，2tan CO θ=，⋯（2分）122(3sin )3322tan 2(0)cos cos 4y CA CB θπθθθθ-=+=+-=+<<⋯（7分） （2）222cos (3sin )(sin )3sin 1/22cos cos y θθθθθθ-----==， 令0y '=，则1sin 3θ=⋯（12分）当1sin 3θ>时，0y '>；1sin 3θ<时，0y '<，sin y θ=在[0,]4π上是增函数∴当角θ满足1sin 3θ=时，y 最小，最小为422+；此时22BC m =- ⋯（16分）19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．【解答】解：（1）()0)n f x x a n =⇒=为正整数），21()(0)4x f x x -=所以数列{}n a 的反数列为{}n b 的通项2(4n n b n =为正整数）（2分）（2）对于（1）中{}n b ，不等式化为2221log (12)..1222a a n n n ++⋯+>-++（3分） 222122n T n n n=++⋯+++，1222220212(1)12122n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n T 单调递增，（5分）所以，要是不等式恒成立，只要11log (12)2a a >-．（6分）120a ->，∴102a <<，又212,01a a a -><< 所以，使不等式对于任意正整数n 恒成立的a的取值范围是1)..（8分）（3）设公共项k p n t c d ==，k 、p 、q 为正整数， 当λ为奇数时，121,(1)2n n c n d n =-=+（9分）121(1),432p p q p -=+=-，则（表示{}n 是{}n b 的子数列），21n t n =-所以{}n t 的前n 项和2..n S n =（11分）当λ为偶数时，3n n=，3log n d n =（12分）33log q q =，则33pq =，同样有，3n n t =所以{}n t 的前n 项和3(31)2n n S =-（14分）21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【解答】解：（1）[,]22k A k k ππππ=-+，k Z ∈；（2）1()(1)arcsin k kg x x k π-=-+，k Z ∈； （3）1((2019))(1)(6432019)k kg g k ππ-=--+，1((2019))k g g -没意义，因为2019[1∉-，1]．。
2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷
2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷 一、填空题1. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 ． 【答案】4π2.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π3.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】 2log 3x =4. 抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】 （0，14） 5. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cos αβγ++= ．【答案】 16. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 【答案】17-7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）． 【答案】 12π8. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．【答案】2-9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()n n a a a a +⋅⋅⋅++=∞→542lim ，则q = ．【答案】21-510. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是 ．【答案】 1x =-或12x =11. 给出下列函数：①1y x x=+；①x x y +=2；①2x y =；①23y x =；①x y tan =；①()sin arccos y x =；①(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】3712. 已知非零向量OP 、不共线，设m m OP m OM 111+++=，定义点集 }|||||{FQ FP F A ==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为▲________． 【答案】 34二．选择题12. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是（）【A 】.10 【B 】．11【C 】．12【D 】．13【答案】B14.设0ab >且c da b>，则下列各式中，恒成立的是（ ） 【A 】ad bc <【B 】.ad bc > 【C 】.d b c a > 【D 】. d b c a <【答案】B15.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ）【A 】.4； 【B 】 5； 【C 】 7； 【D 】 8. 【答案】B16．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ） 【A 】不存在．．．a 和n 使得2015n S = 【B 】不存在．．．a 和n 使得2016n S =【C 】不存在．．．a 和n 使得2017n S = 【D 】不存在．．．a 和n 使得2018n S = 【答案】A三．解答题18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和向量()1,()b f x =，而且a ①b 。
精品解析：【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B. 036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B.036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题
绝密★启用前2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知平面直角坐标系中不垂直于x 轴的直线l ，则“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分又不必要条件2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．方程ln3ln4ln5x x x +=正实数解的个数为（ ）. A ．0个B ．1个C ．3个D ．多于3个4．某作图软件的工作原理如下：给定()0,0.01δ∈，对于函数()y f x =，用直线段链接各点()()55,,n f n n n Z δδδδ⎛⎫-≤≤∈ ⎪⎝⎭，所得图形作为()y f x =的图象.因而，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合.若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则ω不可能等于（ ）A ．1999B ．1001C ．999D ．101第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明5．设x ∈R ，则不等式103x x +<-的解集为______. 6．()31x f x x+=的反函数为()1f x -=______. 7．已知向量(7,1,5)a =-r，(3,4,7)b =-r，则||a b +=________8．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是3，首项12a =，则其公比q =______.9．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________10．方程()()515log 1log 31x x +--=的解为x =______.11．在62x ⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项等于______.12．已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为______. 13．已知a 、b C ∈，集合{}{}2,,1a b a b =+，则⋅=a b ______.14．沙沙从写有数字05的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录这3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为______（结果用最简分数表示）.15．已知ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，P 是ABC ∆内一点，使得530PA PB PC ++=.设PD 垂直BC 于D ，PE 垂直CA 于E ，则PD PE ⋅=______.16．若函数4y a x a x=-+-在区间[]1,4上的最小值是4，实数a 的取值范围是______. 三、解答题17．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =，M 是11C A 的中点.装…………○……线…………○……_姓名：___________班级：装…………○……线…………○……（1）求四面体1MA AB 的体积；（2）求异面直线MB 与1AA 所成角的大小. 18．设a 、0b >，函数()xxf x a b =+.（1）若()f x 是偶函数，求ab 的值；（2）若2b =，求()()1f x f x +>时x 的取值范围（用a 表示）.19．如图，某校机器人社团需要制作一种四边零件ABCD ，要求90A ∠=，30BDC ∠=o ，AD 长10厘米，DC 长20厘米.（1）若65ADB ∠=，求BC 的长（结果精确到0.01厘米）； （2）若要求C ADC ∠=∠，求CBD ∠的大小（结果精确到1）. 20．已知()()2,0P t tt >是抛物线2y x=上一点，过原点O 作直线OP 的垂线l ，设点A 的坐标为()0,a ，其中(]0,1a ∈，直线PA 交l 于点Q .（1）当1t =时，求原点O 到直线PA 的距离（用a 表示）； （2）若当P 在抛物线上运动时，Q 点的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值. 21．设*m N ∈，若无穷数列{}n x 满足：对所有整数121d m ≤≤-，都成立2m d d x x -=，则称{}n x “m -折叠数列”.*n（2）给定常数*P N ∈，是否存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值？证明你的结论； （3）设递增数列{}i a 满足()**i a Ni N ∈∈.已知如果对所有*m N ∈，{}n x 都是ma-折叠数列，则{}n x 的各项中至多只有k 个不同的值，证明：()1211m m a k -≤-+.参考答案1．C 【解析】 【分析】由反正切函数的值域以及充分必要条件的判定可得出正确选项. 【详解】当0k ≥时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k . 当k 0<时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k π+. 反之，若直线l 的倾斜角为arctan k ，则直线l 的斜率为()tan arctan k k =. 因此，“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的必要非充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查了反正切函数的应用，同时也考查了必要不充分条件的判断，在判断时要熟悉直线倾斜角的取值范围以及反正切函数的值域，考查推理能力，属于中等题. 2．B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系 3．B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质先证明出log log b b caac=，可将原方程变形为ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再利用复合函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性，即可得出原方程解的个数. 【详解】先证明log log b b c a a c =，设log b c a m =，log b a c n =，两个等式两边同时都取以b 为底数的对数得log log log b b b m c a =⋅，log log log b b b n c a =⋅，则log log b b m n =，m n =∴，即log log b b c a a c =.由ln3ln 4ln5x x x +=，可得ln ln ln 345x x x +=，0x >，等式两边同时除以ln 5x 得，ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数ln 35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln 45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则函数ln ln 3455xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,∞+上单调递减，当ln 2x =时，即当2x e =时，有2234155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程的解只有一个. 故选：B. 【点睛】本题考查方程解的个数的判断，注意利用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性来判断解的唯一性，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．D 【解析】 【分析】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，可得出()20,0.01k πδω=∈，可得出ω所满足的不等式，即可得出ω的取值范围，进而得出正确选项. 【详解】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，则()20,0.01k πδω=∈，即20.01k πω<，200628k ωπ∴>>. 因此，ω不可能的取值为101. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出δ与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．()1,3- 【解析】 【分析】 解不等式103x x +<-即可得出该不等式的解集. 【详解】 解不等式103x x +<-得13x -<<，因此，不等式103x x +<-的解集为()1,3-. 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 6．()133x x ≠- 【解析】 【分析】 由31x y x+=，解出x ，可得出函数()1y f x -=的解析式，并求出该函数的定义域. 【详解】 由31x y x+=得31xy x =+，即()31x y -=，得13x y =-. 因此，()()1133fx x x -=≠-. 故答案为：()133x x ≠-.本题考查反函数解析式的求解，解题时还应求出反函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 7．13 【解析】 【分析】先求出向量a b +=（4，3，12），由此能求出|a b +|． 【详解】∵向量()715a =-，，，()347b =-，，， ∴a b +=（4，3，12），∴|a b +|==13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．13【解析】 【分析】利用无穷等比数列各项和公式可求出q 的值. 【详解】由题意可知，无穷等比数列{}n a 的各项的和为12311a q q ==--，解得13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列公比的计算，利用无穷等比数列各项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 9．4- 【解析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论． 【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16， ∴m ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 10．4 【解析】 【分析】利用对数的运算性质得出()()5log 131x x ⎡⎤+-=⎣⎦，然后将对数式化为指数式，结合真数大于零可解出x 的值. 【详解】()()()()()()515555log 1log 3log 1log 3log 131x x x x x x +--=++-=+-=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1030135x x x x ⎧+>⎪->⎨⎪+-=⎩，解得4x =.因此，方程()()515log 1log 31x x +--=的解为4x =.故答案为：4. 【点睛】本题考查对数方程的解，解题时要充分利用对数的运算性质，还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题. 11．154【解析】 【分析】求出二项展开式通项，利用x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得出所求常数项.62x⎛⎝展开式通项为6136666226662=22kkk kk k k k k kxC C x x C x------⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭.令3602k-=，解得4k=，因此，62x⎛⎝的二项展开式中常数项为42611521544C-⋅=⨯=.故答案为：154.【点睛】本题考查利用二项展开式通项求常数项，考查运算求解能力，属于中等题.12．12【解析】【分析】设球的半径为r，可得出圆锥的高和底面半径，然后计算出圆锥的体积和球的体积，即可得出圆锥与球的体积之比.【详解】设球的半径为r，则圆锥的高为2r，底面半径为r，则圆锥的体积为3212233rr rππ⨯=，球的体积为343rπ，因此，圆锥与球的体积之比为33241:332r rππ=.故答案为：12.【点睛】本题考查圆锥与球体体积的计算，要明确各几何量之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.13．1-【解析】【分析】根据题意得出21a b b a =+⎧⎨=⎩，解此方程组，即可计算出⋅a b 的值. 【详解】1b b ≠+，且21a b b a =+⎧⎨=⎩，解得1212a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.当12a =+，12b =-时，1112222a b i i ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当122a =-，122b i =--时，1112222a b ⎛⎫⎛⎫⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，1a b ⋅=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时也考查了实系数方程虚根的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14．320【解析】 【分析】列举出事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件，并计算出所有的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件有：()1,3,5、()2,3,4、()0,1,2，共3个，所有的基本事件个数为3620C =.因此，沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为320. 故答案为：320. 【点睛】本题考查利用古典概型概率的计算，解题关键就是求出所求事件所包含的基本事件数，一般利用列举法或者计数原理来得出，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．17596-【解析】 【分析】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，求出点A 、B 的坐标，结合530PA PB PC ++=求出点P 的坐标，再由0PE CA ⋅=求出点E 的坐标，由此可计算出PD PE ⋅的值. 【详解】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图：在ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，得2536163cos 2564BCA +-∠==⨯⨯，则sin BCA ∠=，9,22A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，()5,0B ，()0,0C ， 设点()P m n ,，则4515755,522PA m n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()3153,3PB m n =--，(),PC m n =--.由题意得45515302530m m m n n n ⎧-+--=⎪⎪---=，解得256m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩256P ⎛ ⎝⎭.设92CE CA λλ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，则92526PE CE CP λ⎛=-=-- ⎝⎭.由92590262PE CA λ⎛⎫⋅=-⨯+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5572λ=. 3548PE ⎛∴=- ⎝⎭，0,PD ⎛= ⎝⎭，因此，5717596PD PE ⎛⋅==- ⎝⎭.故答案为：17596-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，建立坐标系求出相应点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于难题.16．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意得出函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -，利用双勾函数的单调性得出函数4y x x=+在区间[]1,4上的最大值为5，最小值为4，然后对a 分4a ≤、5a ≥、45a <<三种情况分类讨论，结合函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -求出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4，构造函数()4f x x a x=+-， 则函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -， 由双勾函数的单调性可知，函数4y x x=+在区间[)1,2上单调递减，在区间(]2,4上单调递增，min 4y ∴=，max 5y =.①当4a ≤时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，则()()m a x154f x f a a ==-≠-，不合乎题意；②当5a ≥时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()max 24f x f a ==-，合乎题意；③当45a <<时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，如下图所示：则()()(){}{}max95,42max 1,2max 5,494,52a a f x f f a a a a ⎧-<<⎪⎪==--=⎨⎪-≤<⎪⎩.综上所述，当92a ≥时，函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4.因此，实数a 的取值范围是9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为: 9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值函数的最值问题，同时也考查了双勾函数单调性的应用，解题时应充分利用绝对值变换，利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．（1；（2）arctan . 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，可得BG ⊥平面11ACC A ，然后以BG 为高计算四面体1MA AB 的体积；（2）连接MG ，则有1//AA MC ，可知异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，然后在Rt BMG ∆中，利用锐角三角函数的定义可求出tan BMG ∠，由此可得出异面直线MB 与1AA 所成角的大小.【详解】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，在正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，点G 为AC 的中点，则BG AC ⊥，1AA ⊥底面ABC ，BG ⊂平面ABC ，1BG AA ∴⊥， 1AA AC A =，BG ∴⊥平面11AAC C .1AA M ∆的面积为1111114222AA M S A M AA ∆=⋅=⨯⨯=，BG ==因此，四面体1MAA B 的体积为11112333B AA M AA M V S BG -∆=⋅=⨯=； （2）连接MG ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//A C AC . M 、G 分别为11A C 、AC 的中点，则1//A M AG ，∴四边形1AA MG 为平行四边形， 1//MG AA ∴，则异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，在Rt BMG ∆中，BG =14MG AA ==，tan BG BMG MG ∴∠==，BMG ∴∠=MB 与1AA所成的角为【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，同时也考查了异面直线所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，利用作差法并利用因式分解法可求出ab 的值；（2）将2b =代入函数()y f x =的解析式，由()()1f x f x +>可得出21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出不等式的解. 【详解】 （1）函数()xxf x a b =+是偶函数，则()()()()xxxx f x f x a bab ----=+-+()()()()()1111x x xxx x x xx xx x a b a b a b a b a b ab ab ⎡⎤+⎛⎫=+-+=+-=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()10xxx xab ab ab ⎡⎤+-⎣⎦==对任意的x ∈R 恒成立， 则()10xab -=对任意的x ∈R 恒成立，因此，1ab =； （2）2b =Q ，()2xxf x a ∴=+，则()1112x x f x a+++=+，由()()1f x f x +>，得1122x x x x a a +++>+，可得出222x x x x a a a ⋅+⋅>+，即()21xxa a >-⋅，不等式两边同时除以x a 得21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. ①当10a -≤时，即当1a ≥时，原不等式恒成立；当10a ->时，即当01a <<时，则22a >，指数函数2xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数， 由21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭可得()2log 1a x a >-.因此，当1a ≥时，x 的取值范围是R ；当01a <<时，x 的取值范围是()2log 1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性的定义求参数，同时也考查了指数函数的单调性解不等式，解题时注意底数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．（1）11.84厘米；（2）53. 【解析】 【分析】（1）在R t A B D ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，然后在BDC ∆中利用余弦定理求出BC ；（2）设CBD x ∠=，利用x 表示图中各角，在ABD ∆中，利用锐角三角函数的定义得出()10sin 30BD x =-，然后在BCD ∆中，利用正弦定理得出关于角x 的三角方程，解出sin x的值，即可得出角x 的值. 【详解】（1）在Rt ABD ∆中，10AD =，65ADB ∠=，90A ∠=，10=23.66cos65cos65AD BD ∴=≈.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos30BC BD CD BD CD =+-⋅⋅2223.6620223.6620140.21322=+-⨯⨯⨯≈，因此，11.84BC ≈（厘米）； （2）设CBD x ∠=，由三角形的内角和定理得150ADC C x ∠=∠=-，120ADB ADC BDC x ∠=∠-∠=-，9030ABD ADB x ∴∠=-∠=-，由题意知012090x <-<，得30120x <<. 在Rt ABD ∆中，由锐角三角函数的定义得()()10sin 30sin 30AD BD x x ==--，在BCD ∆中， 由正弦定理()20sin sin 150BD x x =-，即()20sin 150sin x BD x-=，即()()20sin 15010sin sin 30x xx -=-，化简可得24sin 2sin 10x x --=，解得sin 0.809x =≈，可得53x ≈，因此，CBD ∠的大小约为53. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，解题时要结合三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．（1；（2）23. 【解析】 【分析】（1）求出直线PA 的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点O 到直线PA 的距离； （2）求出直线l 的方程与直线PA 的方程，联立两直线的方程求出点Q 的坐标，然后将点⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入点Q 的坐标，即可求出实数a 的值. 【详解】（1）当1t =时，()1,1P ，()0,A a ，则直线PA 的斜率为1a -， 所以，直线PA 的方程为()1y a x a =-+，即()10a x y a -+-=， 因此，原点O 到直线PA=；（2）直线OP 的斜率为t ，则直线l 的方程为x y t =-，则直线PA 的方程为2t ay x a t-=+，联立两直线方程2x y t t a y x at ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得2211at x t a a y t a ⎧=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩.由于点Q 的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，可得223111at t a a t a ⎧-=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，解得233a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，23a =. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线的交点，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.21．（1）0或±1；（2）存在，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义，列方程讨论q 的取值可得出结果；（2）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{}n x 的图象有无数条对称轴，可联想三角函数；（3）结合（2）的结论利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）要使通项公式为()nn x qn N *=∈的数列{}nx 是“3-折叠数列”，只需6dd qq -=.①当0q =时，0n x =，显然成立； ②当0q ≠时，上式可化为621dq -=，则()231d q -=，{}1,2,3,4,5d ∈，1q ∴=±.综上所述，0q =或±1；（2）对于给定的p ，{}n x 都是“pm -折叠数列”，故数列{}n x 的图象有多条对称轴，其中n pm =都是数列{}n x 的图象的对称轴， 设cosn nx pπ=，由()nm m Npππ*=∈，得对称轴为n pm =，且数列{}nx 的周期为2p ，满足给定常数p N *∈，使得对所有的m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，{}n x ∴是周期数列，且周期为2p ，在(]1,2p 这个周期内，n p =为对称轴，故(]1,2n x p ∈对应的项的个数与[],2n x p p ∈对应的项的个数相等，[],2n x p p ∈，[],2n x pπππ∈，n x ∴在[],2p p 上单调递增，p N *∈，故{}n x 各项中共有1p +个不同的取值.综上所述，给定常数p N *∈，存在数列{}n x ，使得对所有m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的取值； （3）由（2）知，(),m a pm p N m N **=∈∈且1k p +=，即1k p =-.故要证原不等式成立，只需证121m pm p -≤+，只需证112m m p-≤+. ①当1m =时，不等式112m m p -≤+显然成立； ②假设当m k =时，有112k k p-≤+成立， 则当1m k =+时，()11111111121222k k k k k p p p+----+≤++<++=+， 故当1m k =+时，不等式成立. 综上所述，()1211m m a k -≤-+.【点睛】本题主要考查了数列、三角函数、不等式证明等知识，考查了分类讨论思想、函数思想，解题时还应注意对新定义的理解与迁移，属于难题.。
2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷
2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷一、填空题1．设x∈R，则不等式＜0的解集为．2．f（x）＝的反函数为f﹣1（x）＝．3．已知向量，，则||＝．4．已知无穷等比数列{a n}的各项的和是3，首项a1＝2，则其公比q＝．5．如果双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m＝．6．方程1og5（x+1）﹣（x﹣3）＝1的解为x＝．7．在（+）6的二项展开式中，常数项等于．8．已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为．9．已知a，b∈C，集合{a，b}＝{a2，b+1}，则a?b．10．沙沙从写有数字0～5的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为（结果用最简分数表示）．11．已知△ABC中，BC＝5，CA＝6，AB＝4，P是△ABC内一点，使得5+3+＝，设PD垂直BC于D，PE垂直CA于E，则?＝．12．若函数y＝a﹣在区间[1，4]上的最小值是4，实数a的取值范围是．二、选择题13．已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又不必要条件14．设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a 的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）15．方程x ln3+x ln4＝x ln5正实数解的个数为（）A．0个B．1个C．3个D．多于3个16．某作图软件的工作原理如下：给定δ∈（0，0.01），对于函数y＝f（x），用直线段连接各点（nδ，f（nδ））（，n∈Z），所得图形作为y＝f（x）的图象．因而，该软件所绘y＝sin（2001x）与y ＝sin x的图象完全重合，若其所绘y＝cos（ωx）与y＝cos x 的图象也重合，则ω不可能等于（）A．1999B．1001C．999D．101三、解答题17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M是C1A1的中点．（1）求四面体MA1AB的体积；（2）求异面直线MB与AA1所成角的大小．18．设a，b＞0，函数f（x）＝a x+b x．（1）若f（x）是偶函数，求ab的值；（2）若b＝2，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围（用a表示）．19．如图，某校机器人社团需要制作一种四边形零件ABCD，要求∠A＝90°，∠BDC＝30°，AD长10厘米，DC长20厘米．（1）若∠ADB＝65°，求BC的长（结果精确到0.01厘米）；（2）若要求∠C＝∠ADC，求∠CBD的大小（结果精确到1°）．20．已知P（t，t2）（t＞0）是抛物线y＝x2上一点，过原点O 作直线OP的垂线l，设点A 的坐标为（0，a），其中a∈（0，1]．直线P A交l于点Q．（1）当t＝1时，求原点O到直线P A的距离（用a表示）；（2）若当P在抛物线上运动时，Q点的轨迹经过点（），求a的值．21．设m∈N*，若无穷数列{x n}满足：对所有整数1≤d≤2m﹣1，都成立x2m﹣d＝x d，则称{x n}“m﹣折叠数列”（1）求所有的实数q，使得通项公式为x n＝q n（n∈N*）的数列{x n}是3折叠数列；（2）给定常数P∈N*，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，且{x n}的各项中恰有P+1个不同的值？证明你的结论；（3）设递增数列{a i}满足a i∈N*（i∈N*）．已知如果对所有m∈N*，{x n}都是a m﹣折叠数列，则{x n}的各项中至多只有k个不同的值，证明：．2018年上海市浦东新区华师大二附中高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设x∈R，则不等式＜0的解集为（﹣1，3）．【分析】不等式可化为：，或，解得答案．【解答】解：若，则，或，解得：（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，将其转化为整式不等式组，是解答的关键．2．f（x）＝的反函数为f﹣1（x）＝．【分析】先把y当已知，反解x＝，然后x与y对调，即得．【解答】解：设y＝，则x＝，∴f（x）的反函数f﹣1（x）＝，故答案为：【点评】本题考查了反函数的求法．属基础题．3．已知向量，，则||＝13．【分析】先求出向量＝（4，3，12），由此能求出||．【解答】解：∵向量，，∴＝（4，3，12），∴||＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知无穷等比数列{a n}的各项的和是3，首项a1＝2，则其公比q＝．【分析】根据题意，由等比数列的前n项和公式可得＝3，解可得q的值，即可得答案．【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项的和是3，必有|q|＜1，又由首项a1＝2，则有＝3，解可得：q＝，故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的前n项和的计算，关键掌握等比数列的前n项和公式，属于基础题．5．如果双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m＝﹣4．【分析】将双曲线的标准方程，焦点在y轴上，焦距为8，列出方程，即可得到结论．【解答】解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则﹣m﹣3m＝16，∴m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．6．方程1og5（x+1）﹣（x﹣3）＝1的解为x＝x＝4．【分析】先由对数的运算法则将等式左侧转化为log5[（x+1）（x﹣3）]，只要真数相等即可．还要注意到对数函数的定义域．【解答】解：＝log5（x+1）（x﹣3）＝1＝log55∴解得x＝4故答案为：x＝4【点评】本题考查对数方程的求解、对数函数的定义域和对数的运算法则，属基本运算的考查．7．在（+）6的二项展开式中，常数项等于．【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式的常数项．【解答】解：（+）6的二项展开式中，通项公式为T r+1＝??＝??，令6﹣＝0，解得r＝4，∴展开式的常数项为T5＝?＝．故答案为：．【点评】本题考查了二项式展开式应用问题，是基础题．8．已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为1：2．【分析】设出球的半径，根据条件求出圆锥的体积，球的体积，求出体积之比．【解答】解：设球的半径为r，所以圆锥的体积为：×π×r2×2r＝πr3．球的体积：πr3．∴圆锥与球的体积之比是：1：2故答案为：1：2．【点评】本题考查圆锥的体积，球的体积，考查计算能力，是基本知识的考查．9．已知a，b∈C，集合{a，b}＝{a2，b+1}，则a?b＝﹣1．【分析】根据{a，b}＝{a2，b+1}，得到两个集合元素之间的关系，解方程即可求得a值．【解答】解：∵{a，b}＝{a2，b+1}；∴；解得或∴a?b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了集合相等的条件，考查了复数的运算，是基础题．10．沙沙从写有数字0～5的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为（结果用最简分数表示）．【分析】基本事件总数n＝＝20，利用列举法求出他在抽取一次之后，记录的数等于3包含的基本事件有4个，由此能求出他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率．【解答】解：从写有数字0～5的6枚卡片中不放回地抽取3张，基本事件总数n＝＝20，若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录3张卡片上数字之和，他在抽取一次之后，记录的数等于3包含的基本事件有：（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4），（0，1，2），共4个，∴他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知△ABC中，BC＝5，CA＝6，AB＝4，P是△ABC内一点，使得5+3+＝，设PD垂直BC于D，PE垂直CA于E，则?＝．【分析】以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求得A，B的坐标，设P（m，n），结合5+3+＝求得P的坐标，再由数量积为0求解，则?可求．【解答】解：以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，在△ABC中，由BC＝5，CA＝6，AB＝4，得cos，∴sin，∴C（0，0），B（5，0），A（，），设P（m，n），则，，，由5+3+＝，得，即P（）．设，则＝，由＝0，得．∴＝（﹣，），而，∴?＝（﹣，）?（0，）＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查计算能力，利用坐标法求解是关键，属难题．12．若函数y＝a﹣在区间[1，4]上的最小值是4，实数a的取值范围是[4.5，+∞）．【分析】运用对勾函数的单调性，求得y＝x+的最小值为4，最大值为5，再由最值的取得在顶点或区间的端点处取得，分别计算可得a 的取值范围．【解答】解：由y＝x+在[1，2）递减，[2，4]递增，可得y＝x+的最小值为4，最大值为5，函数y＝a﹣的最值在顶点或区间的端点处取得，若f（1）取得最小值4，即a﹣|5﹣a|＝4，可得a＝4.5，即有f（x）＝4.5﹣|x+﹣4.5|，且此时f（1）＝f（2）＝f（4）取得最小值，成立；若f（2）取得最小值4，即a﹣|4﹣a|＝4，即有a≥4；此时f（1）＝a﹣|a﹣5|，f（4）＝a﹣|a﹣5|，f（2）＝4，由f （2）≤f（1），解得a≥4.5；当f（4）取得最小值4，即a﹣|5﹣a|＝4，解得a＝4.5，成立．综上可得a的范围是[4.5，+∞）．故答案为：[4.5，+∞）．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，以及最值求得的位置，考查运算能力和推理能力，属于中档题．二、选择题13．已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线l，则“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又不必要条件【分析】由反正切函数的值域及充分必要条件的判定得答案．【解答】解：当k≥0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于arctan k，当k＜0时，由l的斜率等于k，可得l的倾斜角等于π﹣arctan k，反之，l的倾斜角等于arctan k，则直线l的斜率为tan（arctan k）＝k．∴“l的斜率等于k”是“l的倾斜角等于arctan k”的必要非充分条件．故选：C．【点评】本题考查反三角函数的值域，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．14．设常数a∈R，集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B＝{x|x≥a﹣1}，若A∪B＝R，则a 的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a＝1时，易得A＝R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A＝（﹣∞，1]∪[a，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a＝1时，易得A＝R，此时A∪B＝R；当a＜1时，A＝（﹣∞，a]∪[1，+∞），B＝[a﹣1，+∞），若A∪B＝R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．15．方程x ln3+x ln4＝x ln5正实数解的个数为（）A．0个B．1个C．3个D．多于3个【分析】运用对数的运算性质先证a log bc＝c log ba，可得原方程为3lnx+4lnx＝5lnx，x＞0，可得（）lnx+（）lnx＝1，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到解的个数．【解答】解：先证a log bc＝c log ba，可令a log bc＝m，c log ba＝n，两边取b为底的对数，可得log b m＝log b c?log b a，log b n＝log b a?log b c，则log b m＝log b n，可得m＝n，即a log bc＝c log ba，则x ln3+x ln4＝x ln5即为3lnx+4lnx＝5lnx，x＞0，可得（）lnx+（）lnx＝1，由于y＝（）lnx，y＝（）lnx在R上递减，可得y＝（）lnx+（）lnx在R上递减，又lnx＝2时，即x＝e2时，有（）2+（）2＝1，则原方程的解有且只有一个．故选：B．【点评】本题考查方程的解的个数，注意运用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．16．某作图软件的工作原理如下：给定δ∈（0，0.01），对于函数y＝f（x），用直线段连接各点（nδ，f（nδ））（，n∈Z），所得图形作为y＝f（x）的图象．因而，该软件所绘y＝sin（2001x）与y ＝sin x的图象完全重合，若其所绘y＝cos（ωx）与y＝cos x 的图象也重合，则ω不可能等于（）A．1999B．1001C．999D．101【分析】依题意，该软件所绘y＝sin（2001x）与y＝sin x的图象完全重合，说明给定的δ恰好为y＝sin（2001x）周期的k（k∈N*）倍．故要想满足y＝cos（ωx）与y＝cos x 的图象也重合，只须验证，δ是否为的k（k∈N*）倍即可．【解答】解：给定δ∈（0，0.01），若其所绘y＝cos（ωx）与y＝cos x的图象也重合，则δ＝k∈（0，0.01），故ω＞＞628，故选：D．【点评】本题难点在于将软件所绘y＝sin（2001x）与y＝sin x 的图象完全重合转化为δ为函数y＝sin（2001x）周期的整数倍．属于中档题．三、解答题17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M是C1A1的中点．（1）求四面体MA1AB的体积；（2）求异面直线MB与AA1所成角的大小．【分析】（1）取AC的中点G，可得BG⊥平面ACC1A1，则四面体MA1AB的体积V＝即可计算．（2）接MG，则有AA1∥MG，则∠BMG就是异面直线MB与AA1所成的角．在直角三角形BMG中，求得tan．即可【解答】解：（1）取AC的中点G，连接BG，在正三角形ABC 中，BG⊥AC，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ACC1A1⊥平面ABC，∴BG⊥平面ACC1A1．四面体MA1AB的体积V＝＝＝．（2）接MG，则有AA1∥MG，则∠BMG就是异面直线MB与AA1所成的角．在直角三角形BMG中，GB＝，∴MG＝4，即tan．∴异面直线MB与AA1所成角的大小为arctan．【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积、异面直线所成角的计算，属于中档题．．18．设a，b＞0，函数f（x）＝a x+b x．（1）若f（x）是偶函数，求ab的值；（2）若b＝2，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围（用a表示）．【分析】（1）根据f（﹣x）＝f（x）恒成立可求得ab＝1；（2）代表达式后，对1﹣a分两种情况讨论即可．【解答】解（1）因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x）恒成立，所以a﹣x+b﹣x＝a x+b x恒成立，即（a x+b x）[1﹣]＝0恒成立，∴1﹣＝0，∴（ab）x＝1恒成立，∴ab＝1；（2）b＝2时，f（x）＝a x+2x，f（x+1）＝a x+1+2x+1，∴a x+1+2x+1＞a x+2x，（）x＞1﹣a，当1﹣a≤0即a≥1时，不等式恒成立，解集为R；当1﹣a＞0，即0＜a＜1时，x＞log综上：a≥1时，x的取值范围是R；0＜a＜1时，x的取值范围是（log（1﹣a），+∞）【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19．如图，某校机器人社团需要制作一种四边形零件ABCD，要求∠A＝90°，∠BDC＝30°，AD长10厘米，DC长20厘米．（1）若∠ADB＝65°，求BC的长（结果精确到0.01厘米）；（2）若要求∠C＝∠ADC，求∠CBD的大小（结果精确到1°）．【分析】（1）利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理建立关系即可求解；【解答】解：（1）在Rt△DAB中，∵AD＝10，∠ADB65°，∴BD ＝＝≈2.366，在△BDC中，由余弦定理得：BC2＝BD2+DC2﹣2×BD×DC cos30°＝2.3662+202﹣2×2.366×20×≈323.64，BC≈17.99（2）由题意∠CBD＝x；则x﹣30°＜90°．∴x＜120°．在△ABD中，正弦定理：可得：在△DBC中，正弦定理：，∴＝化简可得4sin2x﹣2sin x﹣1＝0，可得sin x＝≈0.809可得x≈53°即∠CBD的大小约为53°．【点评】本题考虑了正弦定理、余弦定理在四边形中的灵活应用．属于中档题．20．已知P（t，t2）（t＞0）是抛物线y＝x2上一点，过原点O作直线OP的垂线l，设点A 的坐标为（0，a），其中a∈（0，1]．直线P A交l于点Q．（1）当t＝1时，求原点O到直线P A的距离（用a表示）；（2）若当P在抛物线上运动时，Q点的轨迹经过点（），求a的值．【分析】（1）P（1，1），A（0，a），直线P A的方程为y＝（1﹣a）x+a，利用点到直线的距离公式即可得出原点O到直线P A 的距离．（2）k OP＝t，直线l的方程为y＝﹣，直线AP的方程为y＝x+a，联立两直线方程可得交点坐标，根据Q点的轨迹经过点（），代入即可解出．【解答】解：（1）P（1，1），A（0，a），直线P A的方程为y＝（1﹣a）x+a，原点O到直线P A的距离为＝．（2）k OP＝t，直线l的方程为y＝﹣，直线AP的方程为y＝x+a，联立两直线方程可得x＝﹣，y＝，Q点的轨迹经过点（），可得﹣＝﹣，1＝，消去t，解得t＝﹣，a＝．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．设m∈N*，若无穷数列{x n}满足：对所有整数1≤d≤2m﹣1，都成立x2m﹣d＝x d，则称{x n}“m﹣折叠数列”（1）求所有的实数q，使得通项公式为x n＝q n（n∈N*）的数列{x n}是3折叠数列；（2）给定常数P∈N*，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，且{x n}的各项中恰有P+1个不同的值？证明你的结论；（3）设递增数列{a i}满足a i∈N*（i∈N*）．已知如果对所有m∈N*，{x n}都是a m﹣折叠数列，则{x n}的各项中至多只有k个不同的值，证明：．【分析】（1）根据给出的定义，列方程讨论q的取值即可得到结果（2）存在性问题，只须举出例子即可证明，结合定义，{x n}有无数对称轴，想到三角函数（3）结合（2）的结论用数学归纳法即可证出【解答】解：（1）要使通项公式为x n＝q n（n∈N*）的数列{x n}是3折叠数列只须q6﹣d＝q d①q＝0时，x n＝0，显然成立．②q≠0时，上式可化为q6﹣2d＝1?（q3﹣d）2＝1，（d∈{1，2，3，4，5}），∴q＝1或q＝﹣1，综上q＝0或q＝1或q＝﹣1（2）对给定的p，{x n}都是pm﹣折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n}的对称轴设x n＝cos，由＝mπ（m∈N*）得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p 满足给定常数P∈N*，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm ﹣折叠数列x n是周期函数，周期为2p，在（1，2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈（1，2p]对应函数值的个数与x n∈[p，2p]对应的函数值个数相等x n∈[p，2p]，∈[π，2π]，∴x n∈在[p，2p]上单调递增，p∈N*故x n各项中共有p+1个不同的值．综上，给定常数P∈N*，存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，且{x n}的各项中恰有P+1个不同的值（3）由（2）知，a m＝pm（p∈N*，m∈N*）且k＝p+1即k ﹣1＝p故要证原不等式成立，只须证：pm≤2m﹣1p+1，只须证：m≤2m﹣1+①显然当m＝1时，1≤21﹣1+成立；②假设当m＝k时，有k≤2k﹣1+成立则当m＝k+1时k+1≤2k﹣1++1＜2k﹣1+1+21﹣1+＝2（k+1）﹣1+故当m＝k+1时不等式成立综上：．【点评】本题主要考查了数列，三角函数，不等式的证明等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题，做题时还要注意对新定义的理解和迁移．。