马尔可夫链的定义
第六章 马尔可夫链
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8
第六章 Markov链
第一节 基本概念
1. 转移概率
２. Chapman-kolmogorov方程
3. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarkov链的分布
4.齐次Markov链
５.Markov 链举例
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第一节 基本概念
1. 转移概率
定义 设 {Xn,n0}是马尔可夫链,称条件概率
p i ( j k ) ( n ) @ P ( X n k jX n i ) ,i ,j S ,n 0 ,k 1
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 3）绝对分布
Q
q(n) j
P(Xn
j)
U P( (X0i),Xnj)
i
U P( (X0i,Xnj)
i
P(X0i,Xnj) i
P (X 0 i)P (X njX 0 i) i
q i(0 )p i(jn )(0 . ) n 0 ,i,j S i
第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
2）有限维分布
P ( X 0 i ) P ( X t 1 i 1 X 0 i ) P ( X t 2 i 2 X 0 i ,X t 1 i 1 ) i L P ( X t n i n X 0 i ,X t 1 i 1 , L ,X t n 1 i n 1 )
i
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第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布 2）有限维分布 又因为马尔可夫链的k步转移概率由一步转移概率所 完全确定. 所以马尔可夫链的有限维分布由其初始分布和 一步转移概率所完全确定.
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第一节 基本概念
3.马尔可夫链 {X n , n 0}的分布
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
第四章马尔可夫链
i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
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马尔可夫链
三.有限维概率分布 马尔可夫链{ X ( t ), t t
0
, t 1 , t 2 , }在初始时刻t 0 的概率
分布:
p j ( t 0 ) P { X ( t 0 ) j },
j 0 ,1, 2 ,
称为初始分布. 初始分布与转移概率完全地确定了马尔可夫链的 任何有限维分布.下面的定理二正是论述这一点. 不妨设齐次马尔可夫链的参数集和状态空间都是 非负整数集,那么有如下定理。
P { X ( k 1 ) j1 , X ( k 2 ) j 2 , , X ( k n ) j n }
p i ( 0 ) p ij1 1 p j1 j22
(k )
( k k1 )
p j n n1 j n n 1
(k k
)
i0
(13.9)
例6 在本节例5中,设初始时输入0和1的概率分别为 1/3和2/3,求第2、3、6步都传输出1的概率.
t 2 t n t n 1
和 S 内任意 n 1 个状态
j1 , j 2 , , j n , j n 1 , 如果条件概率
P { X ( t n 1 ) j n 1 | X ( t 1 ) j1 , X ( t 2 ) j 2 , , X ( t n ) j n }
二：马尔可夫链的分类 状态空间 S 是离散的(有限集或可列集),参数集 T 可为离散或连续的两类. 三：离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链{ X ( t ), t 中,条件概率 P { X ( t
m 1
t 0 , t 1 , t 2 , , t n , }
1
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
马尔可夫链的应用与特性
马尔可夫链的应用与特性马尔可夫链是一种常见的数学模型，基于对随机事件的观察和统计，它可以用来描述系统状态的演化和变化过程，具有广泛的应用和重要的理论意义。
本文将介绍马尔可夫链的一些基本概念和重要特性，以及它在实际问题和学术研究中的一些应用案例。
一、基本概念和定义马尔可夫链指的是一类离散的随机过程，具有无后效性和可数的状态空间。
其转移概率矩阵是一个满足非负性和单位根性质的矩阵，表示了从一个状态到另一个状态的概率分布。
换句话说，如果当前处于某个状态，那么下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种“不记忆”的特性使得马尔可夫链可以用来模拟很多随机现象，如天气、股票价格等。
马尔可夫链的状态可以是离散的或连续的，但必须满足可数性和 Markov 性质。
其中可数性是指状态空间的元素个数是可数的，而 Markov 性质则是指状态转移概率只与当前状态有关，而与时间和历史状态无关。
这是马尔可夫链的核心特性，也是它具有可解性和可控性的基础。
二、重要特性和性质马尔可夫链具有一些重要的数学特性和性质，为理解和应用它提供了一些基础知识。
1. 不可约性：如果系统中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链就是不可约的。
这意味着该系统可以在任意一个状态之间自由转移，并且有可能出现循环或周期性行为。
不可约性是马尔可夫链分析的一个基本假设，它保证了系统的完整性和稳定性。
2. 非周期性：如果系统中任意一条从状态 i 到状态 i 的路径长度都是有限的，那么该马尔可夫链就是非周期的。
这意味着该系统不存在任何循环或周期性结构，而是呈现出一种无规律的变化过程。
非周期性是马尔可夫链的又一重要属性，它保证了系统的随机性和平稳性。
3. 遍历性：如果系统中从任意一个状态出发，都可以到达该系统中的任意一个状态，那么该马尔可夫链就是遍历的。
这意味着该系统具有完整的状态空间和多样的状态转移方式，可以满足更多的需求和条件。
遍历性是马尔可夫链的又一重要保证，它保证了系统具有全局性和可展性。
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。