第九章马尔可夫概型分析
马尔可夫分析法
马尔可夫分析法马尔可夫分析法是俄国数学家马尔可夫在1907年提出, 并由蒙特·卡罗加以发展而建立起的一种分析方法。
它主要用于分析随机事件未来发展变化的趋势, 即利用某一变量的现在状态和动向去预测该变量未来的状态及动向, 以便采取相应的对策。
1马尔可夫过程及马尔可夫链 [3]定义1设随机序列{X(n) ,n=0, 1, 2, …}的离散状态空间为E, 若对于任意m个非负整数n1,n2, …,nm(0≤n1<n2<…<nm) 和任意自然数k, 以及任意i1,i2, …,im,j∈E满足 [3]P{X(nm+k) =j|X(n1) =i1,X(n2) =i2, …,X(nm)=im}=P{X(nm+k) =j|X(nm) =im} (1) [3]则称X(n) ,n=0, 1, 2, …}为马尔可夫链。
[3]在式(1) 中, 如果nm表示现在时刻,n1,n2, …,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻, 那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im, 而与过去m-1个时刻n1,n2, …,nm-1所处的状态无关, 该特性称为马尔可夫性或无后效性。
式(1) 给出了无后效性的表达式。
[3]2齐次马尔可夫链和k步转移概率 [3]P{X(nm+k) =j|X(nm) =im},k≥1称之为马尔可夫链在n时刻的k 步转移概率, 记为Pij(n,n+k) 。
转移概率表示已知n时刻处于状态i, 经k个单位时间后处于状态j的概率。
若转移概率Pij(n,n+k) 是不依赖于n的马尔科夫链, 则称为齐次马尔可夫链。
这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关, 而与n无关。
此时,k 步转移概率可记为Pij(k) , 即 [3]Pij(k) =Pij(n,n+k) =P{X(n+k) =j|X(n) =i},k>0 (2) [3]式中,0≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=10≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=1。
如何利用马尔可夫模型进行网络数据分析(九)
马尔可夫模型是一种用来描述随机过程的数学模型，它可以用来预测未来的状态或事件。
在网络数据分析中，马尔可夫模型可以用来分析用户行为、网络流量、社交网络传播等方面。
下面将介绍如何利用马尔可夫模型进行网络数据分析，包括模型原理、应用案例和未来发展方向。
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型，它假设系统的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这种假设在网络数据分析中有着广泛的应用，比如在用户行为分析中，可以用马尔可夫模型来预测用户下一步的行为，从而提高推荐系统的准确度；在网络流量分析中，可以用马尔可夫模型来预测网络流量的变化趋势，从而优化网络资源的分配。
在实际应用中，马尔可夫模型通常分为有限状态马尔可夫模型和隐马尔可夫模型两种形式。
有限状态马尔可夫模型假设系统的状态是有限的，每个状态之间存在状态转移的概率；而隐马尔可夫模型假设系统的状态是不可观测的，只能通过观测到的结果来推断系统的状态。
这两种模型都在网络数据分析中有着重要的应用。
在用户行为分析中，可以利用有限状态马尔可夫模型来建模用户的行为轨迹，从而预测用户下一步的行为。
比如在电子商务网站中，可以根据用户的浏览、搜索、点击等行为来建立马尔可夫模型，从而根据用户当前的状态来预测用户下一步可能感兴趣的商品，从而提高推荐系统的准确度。
在这个案例中，用户的行为可以看作是系统的状态，而用户之间的行为转移可以看作是状态之间的转移概率。
在网络流量分析中，可以利用隐马尔可夫模型来建模网络流量的变化趋势，从而预测网络流量的未来状态。
比如在网络运营商中，可以根据历史网络流量数据来建立隐马尔可夫模型，从而根据当前的网络流量观测值来预测未来网络流量的变化趋势，从而优化网络资源的分配。
在这个案例中，网络流量的变化可以看作是系统的状态，而观测到的网络流量数据可以看作是系统状态的观测值。
总的来说，马尔可夫模型在网络数据分析中有着重要的应用，可以用来预测用户行为、网络流量变化等方面。
马尔可夫分析
1、 已知马氏链X 的状态空间I={0,1,2,3}及一步转移概率矩阵为1100221000120033110022⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其平稳分布 解：由=ππP 及31i i π==∑得001310222333011221123213201i i ππππππππππππ=⎧=++⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎩∑ 求解得012321,,0.33ππππ====2、 已知6月底，甲乙丙3种型号的某商品在某地区有相同的销售额。
7月份甲保持原有客户的60%，分别获得乙丙的客户15%和30%；乙保持原有顾客的70%，分别获得甲丙顾客的10%和20%；丙保持原有顾客的50%，分别获得甲乙顾客的30%和15%。
求8月份初各型号商品的占有率及稳定状态时的占有率。
解：由于6月份甲乙丙有相同的销售额，故在市场的占有率为（1/3，1/3，1/3）；7月份的转移概率矩阵为0.60.10.30.150.70.150.30.20.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故8月初各商品的占有率为0.60.10.3111(,,)=0.150.70.15(0.350,0.333,0.317)3330.30.20.5p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦甲乙丙（，，）由=ππP 及31i i π==∑得1123212331231230.60.150.30.10.70.20.30.150.51πππππππππππππππ=++⎧⎪=++⎪⎨=++⎪⎪++=⎩ 解得 1230.359,0.327,0.314.πππ===3. 110.10.050.850.050.050.90.030.050.920.950.010.04R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4110.66860.18580.00.00040.01150.13370.89670.092000.00050.01080.95800.0417000.000.00030.98960.01040.0R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一年级学生四年内退学概率为0.1858 4.（1）初始概率矩阵稳态概率为（0.2778，0.3889，0.3333） （2）广告后的稳态概率（0.3333，0.3333，0.3333），（0.4375，0.25，0.3125） 5.0.40.30.30.30.50.20.20.30.5R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦平稳概率（0.2969，0.375，0.3281）6. 已知随机游动的质点构成一个马氏链，其状态空间为I={1，2，3，4，5}，而一步转移概率矩阵为11116231116231116231P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求质点从状态2出发，分别被吸收于状态1、状态5的概率。
马尔可夫性质
泊松过程与排队论应用
01
泊松过程在排队论中的角色
泊松过程是一种重要的随机过程，在排队论中广泛应用于描述顾客到达
的规律。
02
排队系统的性能指标
排队系统的性能指标包括平均队长、平均等待时间、系统利用率等，这
些指标可以通过泊松过程和其他随机过程进行建模和分析。
03
排队论在实际应用中的价值
排队论在实际应用中具有广泛的价值，如电信网络中的呼叫中心、交通
03
序列生成与预测
利用马尔可夫模型对序列数据的建模 能力，结合深度学习等技术，可以实 现更加准确的序列生成和预测。
THANKS
感谢观看
稳态概率分布求解
对于非齐次、非遍历性马尔可夫模型，如何求解稳态概率分布是一 个重要的问题。
深度学习等新技术融合创新
01
深度学习与马尔可夫 模型融合
利用深度学习强大的特征提取和表示 学习能力，可以改进传统马尔可夫模 型的性能。
02
强化学习与马尔可夫 决策过程
将强化学习算法与马尔可夫决策过程 相结合，可以实现更加智能的决策和 控制。
马尔可夫性质
汇报人： 2024-02-06
目录 CONTENTS
• 马尔可夫性质概述 • 马尔可夫链基本概念 • 马尔可夫性质在随机过程中应用 • 马尔可夫性质在信息科学中应用 • 马尔可夫性质在金融领域应用 • 马尔可夫性质挑战与未来发展
01
马尔可夫性质概述
CHAPTER
定义与基本思想
马尔可夫性质是指在给定现在状 态下，过去的信息与未来状态无 关，即未来只依赖于现在，而与
非线性、非高斯问题
复杂系统往往呈现出非线性和非 高斯特性，这使得基于线性高斯 假设的马尔可夫模型不再适用。
马尔可夫分析法
24
104
32
预计的人数供给量
40
62
120
110
68
马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人事变动的规律，以此来推断未来的人事变动趋势。
第一步：制作一个人员变动矩阵，表中的每一个元素表示从一个时期到另一个时期在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比。
某公司人力资源供给情况的马尔可夫分析
职位层次
人员调动概率
G
JSBiblioteka Y离职高层领导人（G）
0.80
0.20
基层领导人（J）
0.10
0.70
0.20
高级会计师（S）
0.05
0.80
0.05
0.10
会计员（Y）
0.15
0.65
0.20
某公司人力资源供给情况的马尔可夫分析
职位层次
初期人员数量
G
J
S
Y
离职
高层领导人（G）
40
32
8
基层领导人（J）
80
8
56
16
高级会计师（S）
120
6
96
6
12
会计师（Y）
第9章马尔可夫分析
9.3 马尔科夫分析在管理工作中的应用 Page 12
参考上面解题方法，对照教材例题，熟练掌握即可。其中 P172页例1和P173页例2为重点。
本章总结
Page 13
本章内容选择、填空和名词解释都会涉及（马尔科夫基本概 念、概率向量和概率矩阵特殊注意）；计算题考察主要有两 个知识点：1、预测下一周期或下二周期的市场份额；2、计 算最终的市场份额，本章9.3中例题特殊注意，考原题考过 若干次。
当
n
，必有：Pn
Hale Waihona Puke z1...z2 ...
... ...
zn
称作平衡（固定）概率矩阵
...
z1
z2
...
zn
9.2 马尔科夫分析问题的要求
Page 5
1、马尔科夫问题的阶：一阶马尔科夫过程在确定事件周期 的选择概率时，只考虑前一周期的选择情况，二阶马尔科夫 过程在确定事件周期的选择概率时，考虑前两 周期的选择 情况。 2、转移概率：某个销售者保持、获得或失去消费者的概率。 3、转移概率矩阵：把转移概率排列成矩阵。 4、未来市场份额的确定★ 设第一周期的市场份额为T1,转移概率矩阵为P, 则第二周期的市场份额为T2=T1*P,以此类推可以得出任意 周期的市场份额。
C.迭代过程
D.渐趋过程
Page 16
5、（09年7月）下列矩阵属于概率矩阵的是（ B ）
6、（09年4月）任意一个方阵，如果其各行都是概率向 量，则该方阵称之为( D )
Page 10
【答案】由已知的该问题的转移概率矩阵为：
0.75 0.10 0.15
0.20 0.05
0.60 0.05
0.20 0.90
设最终这三种品牌服装的市场占有率分别为X1,X2,X3
案例九马尔科夫预测
案例九 马尔科夫预测一、 市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。
分别用1，2，3表示。
去年12月份对2000名消费者进行调查。
购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。
同时得到转移频率矩阵为：3202402403601806036060180N ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品。
转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。
N 的第二行与第三行的含义同第一行。
（1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。
（2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。
解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。
用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =⋅=1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P ===3k =时,()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P 是正规矩阵，因此P 有唯一的均衡点μ。
马尔科夫分析法
特殊预测法：马尔可夫分析法定义：马尔可夫分析法是应用俄国数学家马尔可夫发现系统状态概率转移过程规律的数学方程，通过分析随机变量的现时变化情况，预测这些变量未来变化趋势及可能结果，为决策者提供决策信息的一种分析方法。
•单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
•市场占有率的预测可采用马尔可夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔可夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
•在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
•马尔可夫分析法的一般步骤为：•1、调查目前的市场占有率情况；•2、调查消费者购买产品时的变动情况；•3、建立数学模型；•【•4、预测未来市场的占有率。
例一：一个800户居民点，提供服务的A、B、C三家副食品店，从产品、服务等方面展开竞争，各自原有稳定的居民户购买者开始出现了变化。
经过调查获得上月与本月三家商店的居民资料如表1；两个月中三商店都失去一些客户，同时也都赢得了一些客户，其转移变化资料如表2。
用马尔科夫法预测稳定状态下三商店的市场占有率。
表1表2例二：假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一块香皂，并且只购买A牌、B牌、C牌。
8月份使用A牌香皂居民有500户，使用B 牌居民有200户，使用C牌居民有300户。
据调查9月份使用A牌香皂仍在使用的有360户，50户表示要改买B牌，90户表示要改买C牌；在使用B牌的用户中，120户仍在使用B牌，表示改买A牌的有40户，改买C牌的有40户；在使用C牌的用户中，表示仍在使用的有230户，有30户表示改买A牌，有40户表示改买C牌。
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0
p(k ) ij
1；
p(k ) ij
1。
j 1
因而有
p(2)
[
p(2) ij
]mm
p(2) 11
p(2) 21
p(2) 12
p(2) 22
p(2) m1
p(2) m2
p(2) 1m
p(2) 2m
p(2) mm
m
p p (1) (1) 1k k1
p p (1) (1) 22 22
p p (1) (1) 23 32
j 1
0.4 0.5 0.4 0.4 0.2 0.6 0.36
16
9.4遍历定理与极限分布 马尔可夫链遍历性的直观意义是：不论从哪个初始状 态Ei出发，当转移步数k充分大后，它到达状态Ej的概率 是一个不随时间变化的常数pj。
2
1949年，维斯捷列马斯在研究复式沉积层形成问题时， 首先应用了马尔可夫链。1984年，在莫斯科举行的第27 届国际地质会议上，维斯短列乌斯、阿柑特伯格 (F．P．Agterbers)等数学地质学家发表了莫斯科宣言，其 基本思想是；随机型模型应作为数学地质模型的基础，并 且肯定了马尔可夫过程(特别是马尔可夫链)在地质学中应 占有特殊的地位。
1251454524543541343423545454231454 545
9
解： 首先由上面的状态序列统计出转移频数矩阵[nij] 如下
1 2 3 4 5 列和ni·
1 2
0 0
1 0
1 2
2 1
0 1
n1 4 n2 4
3 4
1 1
0 2
0 2
2 0
2 8
n3 5 n4 13
{xt ,t 0,1, 2, }
马尔可夫链适用于时间离散、状态离散的时间序列。 但是，在研究地质过程时，有时能直接确定过程在时间 上的先后顺序，有时则只能间接地以空间上的上下、前 后、左右关系宋代替；也就是说，在地质过程研究中， 有时可以挨到确定的时间序列，有时只能间接地用距离 来代替时间参数：但是，只要空间序列有类似于马尔可 夫性质的关系存在，则仍然可以应用马尔可夫链对这种 序列进行研究。在此，我们将既适用于时间序列又适用 于空间序列的马尔可夫概率模型统称为“马尔可夫概 型”。
目前，常用马尔可夫概型分析研究沉积旋回，进行 地层对比，查明火山岩系的喷出顺序和侵入杂岩体中 各个侵入体形成的先后顺序，划分矿床的成矿期和成 矿阶段、揭示各个成矿阶段的空间分布等。
到目前为止，研究随机型地质过程所涉及的数学 方法也仅限于马尔可夫概型分析。
3
9.2马尔可夫概型
随机过程是概率论的基本概念之一，它是依赖于参数t 的一族随机变量，记为
p(k)
[
p(k ij
)
]mm
p(k) 11
p(k) 21
p(k) 12
p(k) 22
p(k) m1
p(k) m2
p(k) 1m
p(k) 2m
p(k) mm
称为K阶转移概率矩阵，其中
13
p(k ) ij
Ei后的第k步是E
的次数
j
Ei出现的次数
m
且有性质
6
若马尔可夫过程的转移概率随着时间的推移而发生变 化，则称其为非齐次或非乎稳马尔可夫过程，转移概率不 随时间而变的马尔可夫过程就称为齐次或平稳马尔可夫过 程。目前在地质研究中，主要是应用平稳马尔可夫过程。
7
9.3马儿可夫链的转移概率
设马尔可夫链中可列个发生状态转移的时刻为t1， t2，…tn，…，在已知时刻t＝tn时随机过程xi所处状态为i 的条件下，把经过一步转移，即在时刻t＝tn+1(tn+1＞tn)转 移到状态j上的概率记为pij，
由条件分布律的性质，知转
p (1)
p (1) 11
p (1) 21
p (1) m1
p (1) 11
p (1) 22
p (1) m2
p(1) 1m
p (1) 2m
p(1) mm
移概率有如下性质：
0
p(1) ij
1
m
p(1) ij
1
也就是说，无论初始状态如何，经过若干步转移以后， 系统将处于平衡状态，因而当k充分大时，可用pj作为pij（k） 的近似值。
遍历性可以解决当k很大时高阶转移概率的计算问 题。pj称为马尔可夫链的极限概率。
遍历性需要确定的中心问题在什么样的条件下，转移
概率的极限才是存在的；极限概率是否构成一个概率分布；
F (xn；tn / xn1；tn1)
则称x(t)为马尔可夫过程,条件分布函数
F(xn；tn / xn1；tn1) P{x(tn ) xn / x(tn1) xn1} (tn tn1)
是马尔可夫过程的概率模型,上式为马尔可夫过程的转移
概率。
马尔可夫过程又称为“无后效随机过程”。所谓无后
p
0.74 0.74
0.26 0.26
20
如果从公式P（k）=（P（1））k出发，计算其高阶转移概率
p (1) 25
0
0
0.25 0.25 0.5 0
0
0.5
0.25
0.25
p (1)
p (1) 31
p (1) 41
p (1) 32
p (1) 42
p (1) 33
p (1) 43
p (1) 34
p (1) 44
p (1) 35
p (1) 45
0.2 0.077
p(2) 21
p(2) 12
p(2) 22
p(2) m1
p(2) m2
p(2) 1m
p(2) 2m
p(2) mm
这个矩阵称为二阶转移概率矩阵，其中元素pij可以 由实际资料统计出来，即
12
p(2) ij
Ei后的第二步是E
的次数
j
Ei出现的次数
更一般地，由状态Ei经k步转移到状态Ej，的概率pij称 为k阶转移概率，其转移概率矩阵
i 1
m
在满足条件pj>0，
p (1) j
1
时的唯一解
i 1
18
例，有一马尔可夫链，其转移状态有两种：E1，E2。 经计算得出它的一阶转移概率矩阵为
p(1)
0.79 0.59
0.21 0.41
当s=1时，对一切i，j，pij（1）〉0满足遍历性定理，故有。 而pj可由方程组
x(t),t T
这里的参数t一般是时间，T是它的变化范围，随机变
量x(ti)也称作随机过程 x(t)在t＝ti ∈T时的状态。
当随机过程在时刻t1所处的状态x(t1)为已知的条件下， 若随机过程在时刻t(t＞t1)所处的状态x(t)与随机过程在t1 时刻之前发生的状态无关，那么这样的随机过程就称为
链的一个重要问题。转移概率在理论上是条件概率，而实
际应用时则是以转移频率nij/ni．作为条件概率的估计值，
即
pˆ ij
nij ni
例：一地层段由五种岩性状态组成，以1表示砾状砂岩
和粗砂岩，2表示细砂岩，3表示粉砂岩，4表示粘土岩，
5表示灰岩，下面列出了自下而上的岩性状态转移序列，
求其转移概率。
求出
p
j
m i 1
pi
p(1) ij
( j 1, 2,
, m)
m
j 1
pj
1
( p j 0)
19
对于本例为
p1 p2
0.79 p1 0.21p1
0.59 0.41
p2 p2
p1 p2 1
( p1, p2 0)
最后得到p2=0.26，p1=0.74。所以，其极限概率矩阵为
p(1) k1
p p (1) (1) mk k 2 k 1
k 1
p(1) mk
p(1) km
14
从而，对于高阶转移概率矩阵有
m
p(k ) ij
p p (r ) (k r ) ij ij
i 1
也就是说，从状态Ei出发经过k步到达状态Ej这一过 程，可以看作它是先经过r(o＜r＜k)步转移到某一状态
0 0.154
0 0.154
0.4 0
0.4 0.615
p (1) 51
p (1) 52
p (1) 53
p (1) 54
p (1) 55
0.1
0.1
0 0.8 0
如果过程的状态不是5种而是m种，即E1，E2，…，
Em ,那么由状态Ei经过一步转移到状态Ej的一阶转移概率
矩阵为
j 1
(i 1, 2,
, m)
11
二、高阶转移概率
如果马尔可夫链有，m 种状态EI，E2，…，Em，从状 态Ei出发经两步转移到状态Ej的概率(不管第一步是什么状 态)称为二阶转移概率，记为此pij(2)，用二阶转移概率排成 的矩阵为
p(2)
[
p(2) ij
]mm
p(2) 11