边连通度
强乘积图的限制边连通度
和（ ２Ｙ ） 邻 当且 仅 当 ｚ — 且 ． ２ 者 １ ２ ｚ ， ２相 １ ２ ｙ ＥＥ 或 一 且 ｌ ∈Ｅ ． ２
定义 ２ 设 Ｇｌ ＶｌＥ ） Ｇ２ ， ） 两个无 向图 ， 中 Ｖ 一｛ ｌｚ ， ， ｝Ｖ 一｛ １Ｙ ， ， ｝ 一（ ， １ 和 （ Ｅ２为 ２ 其 １ ｚ ，２ … ｚ ， ２ Ｙ ，２… ．
图 的 限 制 边 连 通 度 的 一 个 上 界 ， 确 定 一 类特 殊 强 乘 积 图 的 限 制 边 连 通 度 ． 并
［ 键 词 ］ 强 乘 积 图 ； 制 边 连 通 度 ； 连 通 度 关 限 边
（ 章 编 号 ］ １ ７２ ２ ７（ ０１ ０ ０ ０ ０ ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ６ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ０２ ２ ０） ３ ０ ３ — ３ 中 ５ ． 文
引理 １ 设 Ｇ 和 Ｇ 是两个 连通 图 ， ｚ 阶分 别 为 ， ， 且 ≥ ２ ， ≥ ２ Ｆ一［ Ｘ］ Ｇ ， ｚ ， Ｘ， 是 的一 个最 小 边 割 ，Ｆ『 。则 ［ ×ｘ， ×ｘ］ Ｇ 因Ｇ 『 一 ， Ｖ。 Ｖｚ 是 ：的一 个边 割 ， 所含边 数为 （ 十２ Ｅ ｆ． 其 。） Ｊ 证 明 设 Ｇ＝Ｇ ［ ｚ ３ 是 Ｆ—Ｅ ］ ＮＧ ， ２ ： ｘ， 中任一 条边 ， 中 ＥＸ， ∈ ． 任意 Ｙ ，ｚ ， ∈Ｘ 其 。 对 ＥＶ。 （ 。 ） ×Ｖ ，ｘ ， ∈ｘ×Ｖ２且 （ ）ｚ ， ） Ｇ 因Ｇ ２ （２ ） ， ｚ ， （ｚ． 是 ｙ ｚ的一条边 ． 因此 ， ， （ ． ∈［ ×Ｘ， （ ） － ， ） 。 １ ｚ ｙ Ｖ ×ｘ］ 对 任 ． 意 Ｙ ２ ２ （ ｌ ） １ ， ） Ｅ ，ｘ ， （ ｌ ｘ Ｅ １ ｚ ２ Ｅ Ｘ×Ｖ２ （ ２ １ （ ， ） ，ｚ ， ） ２ ２ ＥＸ×Ｖ２ 且 （ １ ） ｚ ， ） （ ２ １ （ ， ２ 都 ， ｚ ， （１ １ ２ 和 － ， ） ２ Ｙ ） ｚ 是 Ｇ 因 的边 ， 因此 Ｊ ｘＸ， ２ ［ Ｖ ｘｘＪ ≤ （ 十２ Ｅ（ ２ Ｊ 』 』 Ｇ ）．
三阶限制边连通度的优化问题
三阶限制边连通度的优化问题设G=（V，E）是无向简单连通图，S（?）E是G的一个边割，如果G-S的每个连通分支至少有k个顶点，则称S是G的一个k阶限制边割。
若G的k阶限制边割存在，则把G的最小k阶限制边割所含的边数称为G的k阶限制边连通度。
k阶限制边连通度作为边连通度的推广，是计算机互连网络可靠性的一个重要度量。
k阶极大限制边连通性是比k阶限制边连通度更精确的一个网络可靠性指标。
一个图G是k阶极大限制边连通的，如果它的k阶限制边连通度等于它的k阶限制最小度，即λ<sub>k</sub>（G）=ξ<sub>k</sub>（G）。
本文主要研究了k阶限制边割的存在性和几类情形下图的3阶极大限制边连通性。
在第一章第一节我们给出本文将用到的图论方面的主要的术语、记号。
在第二节我们介绍了限制边连通度方面的基本概念和基本结论。
本文第二章研究了直径为2的图的k阶限制边割存在的一个充分条件，并证明一类特殊的图-完全图的k阶限制边割是存在的。
图的3阶极大限制边连通性在网络可靠性分析中有重要作用。
在本文的第三章中，我们先给出了后文将要用到的几个简单事实，并简略总结了直径为2的图的连通性方面的已有结论。
在第二节，直径为2的图是3阶极大限制边连通的几个充分条件被给出，具体是：（1）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，有|N（u）∩N（v）|≥4，且若u，v都在三角形中，有|N（u）∩N（v）|≥5，则G是三阶极大限制边连通的。
（2）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，若|N（u）∩N（v）|≥4，且G[N（u）∩N（v）]包含至少四条边，那么G是三阶极大限制边连通的。
（3）设G是一个λ<sub>3</sub>-连通图，满足ν≥38。
第3章 连通度问题
推论3.2.1 当ν ≥ 3时，图G为2-连通的⇔G的任 连通的⇔ 的任 推论 时 为 连通的 二顶点共圈。 二顶点共圈。
证明：由定理3.2 ，显然。
称边e被剖分 ⇔ 用连接e的两端点的长2为 的新路去替换e。 容易验证，当ν ≥ 3时，块的一些边被剖分后 仍然保持是块。
推论3.2.2 设ν ≥ 3，则G为块 ⇔ G连通且其任 推论 ， 为块 连通且其任 二边共圈。 二边共圈。
称G中极大不含割点的连通子图为G的块。 当一个图G有割点时，我们可沿G的割点将G 逐步划分为一些G的块。因此一个图是它的 块的边不重并。例如
划分 ⇒ G的块
图G
性质
(1) G的两个块之间至多有一公共顶点，它一定是G 的割点。 (2) G的任一割点至少是G的两个块的公共顶点。 (3) 含割点的连通图G中，至少有两个G的块每个恰 含G的一个割点，称之为endblock。 (4) G是它的块的边不重并。 (5)* 任一图 G中，易证，边之间的共圈关系是边集 合上的一个等价关系。它将E(G)划分为一些等价类 (E1 ,E2 ,...,Eq )，而每个 G[Ei ]都是G的块（其中q为 G的块数）。
图的连通度问题
图的连通度问题研究1．图的连通度的定义图要么是连通的，要么是不连通的。
但对于任意连通图来说，它们的连通程度也可能是不同的。
为了精确地体现连通的程度，下面将引入两个概念：边连通度和顶点连通度。
设G = (V, E)是一个n阶图。
如果G是完全图K n，那么我们定义它的顶点连通度为κ(K n) = n– 1否则，定义它的顶点连通度为κ(G) = min{|U| : G v-u是非连通的}即最小顶点数，删除这些顶点便是非连通图。
图G的边连通度定义为从图G中删除边而使G非连通的最小边数，用λ(G)表示。
这里的图G=(V, E)代表无向图或有向图，且没有自环和重边。
下面将主要讨论无向图的边连通度，有向图的边连通度和顶点连通图可以以此类推。
2．无向图的边连通度在无向图G中，令顶点v的度数deg(v)表示与顶点v相连的边的数目。
无向图G的最小度δ(G)定义为：δ(G) = min{deg(v) | v属于G}。
考虑有向图G中，v 的入度表示为in-deg(v)，v的出度表示为out-deg(v)，相应的最小度为：δ(G) = min{in-deg(v), out-deg(v)| v属于G}。
在整篇文章中，图的点数用n表示，边数用m表示。
另u和v表示图G中的一对不相同的点。
定义λ(u, v)表示从图G中删除最少的边，使得u和v之间不存在任何路径。
在有向图G中，λ(u, v)表示从G中删除最少的弧(有向边)，使得不存在任何从u到v的有向路径。
注意到，在无向图中，有λ(u, v) =λ(v, u)，在有向图中却不符合这个等式。
显然，λ(u, v)就是图中u和v的最小割。
求两点之间的最小割，根据最大流最小割定理，可以用最大流算法求解：令u为网络的源点，v为网络的汇点，每条边的容量为1，u到v的最大流便是u和v之间的最小割。
预流推进算法可以在O(nm)时间复杂度下求出最大流。
另外，每条边的容量都为1，可以用Hoproft算法在)O的时间复杂度下求出单位容量网络的最大流。
超图的限制边连通度与最优限制边连通
2020年12月Dec., 2020运筹学学报O p e r a t i o n s R e s e a r c h T r a n s a c t i o n s第24卷第4期V o l.24N o.4D O I:10.15960/j.c n k i.i s s n.l007-6093.2020.04.013超图的限制边连通度与最优限制边连通*童林肯*1单而芳2，t摘要设W == (V，E)是顶点集为V，超边集为£的连通超图。
对//的边子集S，若\ 5不连通而且不含孤立点，则称S是只的一个限制边割。
把i f中最小限制边割的基数称为//的限制边连通度，记为对边e，其边度是指在好中与e相交的超边的数目，//中最小边度记为$(孖)。
如果丑）=■?(//)，那么称超图孖是最优限制边连通的，简记为A'-最优。
研宄超图丑的限制边连通度和A'-最优，推广了图上关于限制边连通度和A'-最优的一些结论。
关键词超图，限制边连通度，最优限制边连通性中图分类号02212010数学分类号05C40T h e r e stric te d e d g e-co n n ectiv ity and A^optim alityo f hypergraphs*T O N G Linken1SH AN Erfang2^Abstract L e t H = (V,E)b e a c o n n e c t e d h y p e r g r a p h c onsisting of a v e r t e x set Va n d a n e d g e set E.F o r5 C£■(//), 5 is a restricted e d g e-c u t,if // \ 5 is d i s c o n n e c t e da n d t h e r e a r e n o isolated vertices in H\ S.T h e restricted e d g e-connectivity, d e n o t e db y(H)^ is d e f i n e d a s t h e m i n i m u m cardinality o v e r all restricted edge-cuts. T h e e d g e-d e g r e e dn(e) of a n e d g e e G E(H) is defined as t h e n u m b e r o f e d g e s a d j a c e n t to e, a n d t h em i n i m u m e d g e-d e g r e e o f H is d e n o t e d b y^(H).T h e h y p e r g r a p h H is called A^o p t i m a l,if 入’（//) =《(//). I n this p a p e r,w e c o n s i d e r t h e restricted e d g e-c o n n e c t i v i t y a n d入o p t i m a l i t y o f h y p e r g r a p h s a n d generalize s o m e results o n t h e restricted e d g e-c o n n e c t i v i t ya n d A^o p t i m a l i t y o f g r a p h s to h y p e r g r a p h s.Keywords h y p e r g r a p h, restricted e d g e-c o n n e c t i v i t y,入’-o p t i m a lChinese Library ClassificationO 157.52010M athem atics Subject Classification 05C40对于连通图G，它的边连通度定义为所有边割中的最小边数。
边连通度 多项式算法
边连通度多项式算法边连通度多项式算法边连通度是图论中一个重要的概念，用来描述图中边的连通性。
在某些应用中，我们需要知道图的边连通度，以便做出相应的决策或优化。
边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
边连通度多项式算法基于图的边连通性，将其转化为一个多项式的问题。
具体的算法步骤如下：1. 输入：给定一个无向图G，其中包含n个顶点和m条边。
2. 初始化：设F(x)为边连通度多项式，初始值为1。
设E(x)为边多项式，初始值为x。
3. 迭代计算：从1到n的顶点依次进行以下操作：a. 对于当前的顶点v，计算它的度数d(v)，即与v相关联的边的数目。
b. 更新边多项式E(x)为E(x) * (x - d(v))。
c. 更新边连通度多项式F(x)为F(x) * E(x)。
4. 输出：边连通度多项式F(x)。
边连通度多项式算法的关键在于将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。
算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别为图的顶点数和边数。
边连通度多项式算法的应用非常广泛。
例如，在网络设计中，我们希望设计一个具有较高边连通度的网络，以提高网络的可靠性和稳定性。
通过计算边连通度多项式，我们可以评估不同网络拓扑结构的边连通度，并选择最优的拓扑结构。
在社交网络分析中，边连通度多项式算法可以用于评估社交网络中人与人之间的关系强度。
通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同人之间的关系强度分布，从而帮助我们了解社交网络的结构和演化规律。
边连通度多项式算法还可以应用于电路设计、交通网络规划等领域。
在这些领域中，我们需要考虑边的连通性，以便优化设计或规划方案。
通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同方案的边连通度，并选择最优的方案。
边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。
它将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。
该算法在网络设计、社交网络分析、电路设计等领域有着广泛的应用。
彼得松图的点连通度和边连通度
彼得松图的点连通度和边连通度
彼得松图是一种被广泛应用于多种用途的数据结构，它的点连通度和边连通度也拥有其独特性。
首先，彼得松图的点连通度是指图中任意两个顶点之间的链接性能，高点连通度意味着任意两个节点都是互通的，可以彼此联系，这个联系有可能是距离非常近的，也有可能跨越很多中间节点，总之，任意两点可以相互联系。
当然，这并不是说点连通度越高越好，比如对欧拉网而言，它具有很高的点连通度（每个顶点可以用一条边与另一个顶点相连），但它的边连通难以实现，因此，彼得松图可以解决这一问题，既满足了高点连通度，又保持了较高的边连通度。
此外，彼得松图的边连通度是指图中任意两个边之间的实现性能，也就是说任意两边都可以被链接起来，当边连通度较高的时候，网络的容量将大大提高，并且由于节点数量较少，因此整个网络负载会减轻，有效避免了多重路由的出现，以及在一定的范围内服务的一致性得到了改善，这对于用户友好性和服务质量的提高是非常重要的。
总而言之，彼得松图的点连通度和边连通度给网络行业带来了极大的便利，它更合理地组织数据，改善了整体的负载性能，提升了服务质量，不仅仅满足了用户的需求，而且也为网络的发展和运营者的利益提供了有益的补充。
图的点连通度边连通度总结
图的点连通度边连通度总结点连通度的定义：一个具有N个点的图G中，在去掉任意k-1个顶点后（1<=k<=N）,所得的子图仍然连通，去掉K个顶点后不连通，则称G是K连通图，K称作图G的连通度，记作K（G）。
独立轨：A，B是图G（有向无向均可）的两个顶点，我们称为从A到B的两两无公共内顶点的轨为独立轨，其最大的条数记作p(A,B)。
在上图中有一个具有7个定点的连通图，从顶点1到顶点3有3条独立轨，即p(1,3)=3; 1—2—3 , 1—7—3 , 1—6—5—4—3如果分别从这3条独立轨中，每条轨抽出一个内点，在G图中删掉，则图不连通。
若连通图G的两两不相邻顶点间的最大独立轨数最小的P（A，B）值即为K（G）。
若G为完全图（两两点可达），则K（G）=n-1，即完全把某个点的所有边删掉后才不连通。
既然独立轨是只能经过一次的边，那么可以构造网络流模型，其中每条边的容量为1，就可以限制只经过一次。
构建网络流模型：若G为无向图：（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条弧容量为1；（2）原图G中的每条边e=UV，在N网中有两条弧e`=U``V`,e``=V``U`与之对应，e`与e``容量均为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点，求最大流。
若G为有向图（1）原G图中的每个顶点V变成N网中的两个顶点V`和V``,顶点V`至V``有一条容量为1的弧；（2）原G图中的每条弧e=UV变成一条有向轨U`U``V`V``,其中轨上的弧U``V`的容量为无穷；（3）以A``为源点，B`为汇点求最大流。
上面的模型只是求出了以A为源点B为汇点的最大流max_flow，等价于在G中只要去掉max_flow个点就会使得A与B不连通。
而图的连通度是要求去掉最少的点使得整个图不连通，做法是固定一个点为源点，枚举与源点不相邻的点为汇点，求最大流。
在所有的枚举结果中最小的max_flow值就是要求的K(G).注意如果某次枚举的汇点求出的最大流为无穷则说明此此枚举的源点与汇点是强连通的。
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一、实验目的：给定一个图(有向或无向)，求它的边连通度。
二、实验内容：
1)题目：求5阶完全图的边连通度。
2)C语言代码：
# include<stdio.h>
# define m -1
# define n 5 /*已知图的点数*/
void main()
{
int f[n+1][n+1],content[n+1][n+1],b1[n+1][n+1]; /*f表示流量，conten 表示弧上的容量，b1表示单位费用*/
int kg[n+1][n+1];/*保存任意两点间最大的内部边不交的路的条数*/
int c[n+1][n+1]={0};/*最小费用最大流中的w(f)*/
int d[n+1]={0}; /*存放权*/
int s[2*n+2]={0},s2[2*n+2]={0},s1[2*n+2]={0},r1;
int i,j,k,p,l,flag,a ,u,cta,flag1,flag2,p1;
int b,t; /*b,t分别代表路的起点和终点的角标*/
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
{
kg[i][j]=0;
}
}
for(b=1;b<=n;b++)
{
for(t=b+1;t<=n;t++)
{
for(i=0;i<=n;i++)
{
for(j=0;j<=n;j++)
{
f[i][j]=m; content[i][j]=m;b1[i][j]=m;
}
}
for(i=1;i<=2*n;i++)
{
s[i]=0;s2[i]=0;
}
for(i=1;i<n+1;i++)
d[i]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i!=j)
{
content[i][j]=1;b1[i][j]=1;f[i][j]=1; /*利用已知图构造网络*/
}
}
}
do
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(content[i][j]==1 && i<j)
{
if(f[i][j]<content[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
if(f[i][j]==content[i][j])
c[i][j]=m;
if(f[i][j]>0)
c[j][i]=m;
if(f[i][j]==0)
c[j][i]=m;
}
if(content[i][j]==1 && i>j)
{
if(f[i][j]<content[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
if(f[i][j]==content[i][j] )
{
if(c[i][j]!=b1[i][j])
c[i][j]=m;
if(c[i][j]==b1[i][j])
c[i][j]=b1[i][j];
}
if (f[i][j]>0 || f[i][j]==0)
{
if(c[j][i]!=b1[j][i])
c[j][i]=m;
if(c[j][i]==b1[j][i])
c[j][i]=b1[j][i];
}
}
}
} /*利用当前流构造图w(f)*/
for (i=1;i<n+1;i++)
c[i][b]=m;
p=0;
for(i=1;i<=2*n;i++)
{
s[i]=0;s2[i]=0;
}
for(i=1;i<n+1;i++)
d[i]=0;
s[1]=b;
do
{
p=p+1;
a=100;k=0;l=0;
for (i=1;s[i]!=0;i=i+1)
{
for (j=1;j<=n;j++)
{
if (c[s[i]][j]>0 && d[s[i]]+c[s[i]][j]<a && j!=s[i])
{
a=c[s[i]][j]+d[s[i]];
k=s[i]; l=j;
}
}
}
flag=0;
d[l]=a;
for(i=1;i<2*n+2;i++)
{
if (s[i]!=0 && s[i+1]==0)
{
if(i==1)
{
s[i]=k;s[i+1]=l;i=2*n+2;
}
else
{
s[i+1]=k; s[i+2]=l; i=2*n+2;
}
}
}
for (i=1;i<n+1;i++)
c[i][l]=m;
c[k][l]=m;
c[l][k]=m;
for (i=1;s[i]!=0;i++)
{
if(s[i]==t)
{
flag=1;
break;
}
}
}while (flag==0 && p<=n+1);
flag1=0;
if (p>n+1 )
{
flag1=1; /*此时图不存在从Vb到Vt的最短路*/ }
if (flag1==0) /*此时存在从Vb到Vt的最短路*/ {
r1=1;
for(i=2*n-1;i>=1;i--)
{
if(s[i]>0)
s1[r1++]=s[i];
}
for(i=1;s[i]!=0;i++)
s[i]=0;
for(i=1;s1[i]!=0;i++)
s[i]=s1[i];
u=1;
for (i=1;s[i]>0; )
{
j=i; p=0;
do
{
p++; flag2=0;
if(s[j+2]>0 && s[i+1]==s[j+2])
{
s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];u=u+2;
flag2=1; j=j+2;
}
else if(u>2 && s2[u-1]==s[i] && s[i+1]==b)
{
s2[u]=s[i];s2[u+1]=s[i+1];
flag2=1;j=2*n+2;
}
else
j=j+2;
}while(flag2==0 && p<n+1);
i=j;
}
}
for(i=1;i<2*n+2;i++)
s[i]=0;
r1=1;
for(i=2*n+2-1;i>=1;i--)
{
if(s2[i]>0)
s[r1++]=s2[i];
}
for(i=1;s[i]!=0;i++)
s2[i]=s[i];
cta=100;
for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2)
{
if(content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]]<cta)
cta=content[s2[i]][s2[i+1]]-f[s2[i]][s2[i+1]];
}
if(cta>0)
{
for(i=1;s2[i]!=0;i=i+2)
{
f[s2[i]][s2[i+1]]=f[s2[i]][s2[i+1]]+cta;
}
}
}while(flag1==0); /*即一直存在最短路*/
p1=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(content[b][i]==1 && f[b][i]>=0)
p1=p1+f[b][i];
}
kg[b][t]=p1;
}
}
cta=100;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
if(kg[i][j]>0 && kg[i][j]<cta )
cta=kg[i][j];
}
}
printf("The edge connectivity of the graph is %d\n",cta);
printf("\n");
getchar();
}
3)运行结果：
三、使用环境
四、调试过程
五、总结。