2.振动和波考试重点和习题答案

第八章 振动和波下面重点要考试内容：1.掌握简谐振动的基本概念、简谐振动的余弦表达式2.掌握旋转矢量表示法、振幅、相位概念、掌握振动能量的公式3.掌握同方向同频率谐振动的合成4.掌握平面简谐波的表达式及其意义、掌握波的能流密度和波的干涉5.理解机械波的产生和传播、惠更斯原理、波的衰减;；理解拍、相互垂直谐振动的合成8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波阵面、波的强度。

答: ①简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。

②振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。

③频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。

④基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。

⑤频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱线，这种图称为频谱图。

⑥波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。

其中简谐振动在介质中传播所形成的波叫简谐波。

⑦横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫做横波。

⑧纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。

⑨波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。

⑩波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。

8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:①平衡位置，向正方向运动;②平衡位置，向负方向运动;③正方向的端点;④负方向的端点。

解: 设该质点的振动方程为:)cos(ϕω+=t A x将它对时间t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度v 和加速度a 的表达式:)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-==t A t A dt dx v)cos()cos(2222πϕωωϕωω++=+-==t A t A dtxd a 由此可以看出，速度的相位超前位移2π，加速度与位移的相位相反。

下面根据上面三式来回答本题中的四个问题。

①质点在平衡位置，向正方向运动时: x=0， v=A ω， a =0②质点在平衡位置，向负方向运动时: x=0， v=-A ω， a =0③质点在正方向的端点时: x=A ， v =0， a=-A ω2 ④质点在负方向的端点时: x=-A ， v =0， a=A ω28-3 一个作简谐振动的质点，在t=0时，离开平衡位置6cm 处，速度为零，振动周期为2s ，求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。

解:根据题意，t=0时，质点速度为零，离开平衡位置6cm ，这说明该振动的振幅为A=6cm ，这时质点可能位于平衡点右侧6cm 处，或位于平衡点左侧6cm 处。

下面分这两种情况进行讨论，设该振动方程为:)cos(ϕω+=t A x （a ）①第一种情况:位于平衡点右侧6cm 处，这时位移x=6cm ，将t =0，A =6cm ，x=6cm 代入（a ）式得ϕcos 66= 6解之得，ϕ =0。

已知T =2秒，则ππω==22，将A 、ω、ϕ值代入（a ）式可得第一种情况的位移表达式为t x πcos 6=（cm ） （b ）再将（b ）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式t dtdxv ππsin 6-==（cm ·s -1 ） t dtx d a ππcos 6222-==（cm ·s -2 ） ②第二种情况:位于平衡点左侧6cm 处，这时位移x=-6cm ，将t =0，A =6cm ，x=-6cm 代入（a ）式得-6=6cos φ解之得，ϕ =π。

已知ϕ=π，ω=π，A=6cm ，代入（a ）式可得第二种情况的位移表达式t t x πππcos 6)cos(6-=+= （c ）再将（c ）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式t dtdxv ππsin 6==（cm ·s -1 ） t dt x d a ππcos 6222==（cm ·s -2 ）8-4 两个物体作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是0.1m 和2s ，当t=0时，一物体的位移为0.1m ，另一物体的位移为-0.1m ，问两者的相位差是多少?当t=1s 时，它们的位移各是多少?解: ①已知A =0.1m ，T =2s ，则ω=2πT =πrad ·s -1 ，设它们的振动方程分别为)cos(11ϕω+=t A x （a ）)cos(22ϕω+=t A x （b ）已知t=0时，x 1 =0.1m ，x 2 =-0.1m ，则由（a ）式和（b ）式可得x 1 =0.1cos φ 1 =0.1 x 2 =0.1cos φ 2 =-0.1分别解上面两式得φ 1 =0，φ 2 =π，因此两者的相位差φ 2 -φ 1 =π。

两振动的方程分别为x 1 =0.1cos （πt ） （c ） x 2 =0.1cos （πt +π） （d ）②当t=1s ，由上面的（c ）式和（d ）式可得到它们的位移分别为x 1 =0.1cos （π+0）m=-0.1m x 2 =0.1cos （π+π）m=0.1m8-5 两个同频率、同方向的简谐振动，周期为20ms ，振幅分别为1.0cm 和3.0cm ，求:①两者合振动的圆频率;②当两者的相位差分别为0、π3、π2、π时，合振动的振幅各是多少? 解: ①由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为02.014.32221⨯====T πωωωrad·s -1 =100πrad ·s -1 ≈314rad ·s -1②已知分振动的振幅A 1 =1.0cm ，A 2 =3.0cm ，合振动的振幅A 与两个分振动的振幅A 1 、A 2 及相位差φ 1 -φ 2 有以下关系:)cos(221212221ϕϕ-++=A A A A A当相位差φ 2 -φ 1 =0时，两个分振动同相位，合振动的振幅为 A =A 1 +A 2 =（1.0+3.0）cm=4.0cm 当相位差312πϕϕ=-时，合振动的振幅为)3cos(3123122π⨯⨯⨯++=A cm=13cm ≈3.6cm当相位差φ 2 -φ 1 =2π时，合振动的振幅为 )2cos(3123122π⨯⨯⨯++=A cm=10cm ≈3.2cm当相位差φ 2 -φ 1 =π时，两个分振动相位相反，合振动的振幅为A =|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm8-6 有三个同方向的简谐振动，它们的频率分别为100Hz 、200Hz 、300Hz ，问:①三者合成后是否仍为简谐振动?②合振动的周期是多少? 解: ①由于分振动的频率不同，所以它们合成后将不是简谐振动。

②合振动的频率为100Hz ，周期T=1001s=0.01s 。

8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能量怎样改变?答: 弹簧振子作简谐振动时，其能量为2221A m E ω=，若其振幅A 增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，结果能量没有改变。

8-8 什么叫阻尼振动、受迫振动、共振?在受迫振动中振子受到哪三个力的作用?受迫振动达到稳定时有什么特点?答: ①在振动中，由于各种因素的影响，能量会减少，振幅也随之减小，这种振幅随时间而减小的振动，称为阻尼振动。

②振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动，叫做受迫振动。

在受迫振动中，振子同时受到三个力的作用:弹性力、阻尼力、周期性外力。

受迫振动达到稳定状态时，振幅保持一定，如果外力是按简谐运动规律变化，则稳定后的受迫振动也是简谐振动，且振动频率等于外力变化的频率。

③在受迫振动中，当周期性外力的频率接近系统的固有频率时，振动的振幅急剧增大，这种现象叫做共振。

8-9 要产生机械波必须具备哪两个条件?当波动在通过不同介质时，它的波长、频率、速度中哪些会发生变化?哪些不会改变?答: ①要产生机械波必须具备两个条件:第一，要有作机械振动的物体，即波源;第二，要有能够传播这种机械振动的弹性介质。

②当波动通过不同的介质时，波长和波速会发生变化，而频率不会改变。

8-10 已知波动方程式y=M sin （bt -ax ），试求该波的振幅、波速、频率和波长。

解: 先将题目给的波动方程进行变换:]2)(cos[)(sin )sin(π--=-=-=b ax t b M b ax t b M ax bt M y （a ）而波动方程的通用形式为)(cos cxt A y -=ω （b ）将（a ）式和（b ）式比较可得振幅: A=M 波速:ab u =频率: π2b f = 波长: aπλ2=。

8-11 有一沿X 轴正方向传播的简谐波，在原点处质点的振动方程为t TA y π2cos=，已知A=0.02m ，T=3s ，波速u=2m ·s -1 。

求:①波动方程;②在X 轴正方向离原点5m 处质点的振动方程;③当t=2.5s 时，原点处质点的位移;④当t=2.5s 时，在X 轴正方向离原点5m 处质点的位移。

解: ①已知A=0.02m ，T=3s ，则ω=2πT=2π3，根据题意，可得原点的振动方程为t t T A y ππ32cos 02.02cos== 已知波速c=2m ·s -1 ，由上式可进一步得到波动方程为)2(32cos 02.0xt y -=π （1）②已知x=5m ，可得在X 轴正方向离原点5m 处质点的振动方程为)3532cos(02.0)25(32cos02.0πππ-=-=t t y )332cos(02.0ππ+=t③已知在（1）式中，t=2.5s ，x=0，则有)32cos(02.035cos 02.0πππ-==y m =0.01m④已知在（1）式中，t=2.5s ，x=5m ，有)255.2(32cos 02.0-=πy m =0.02m8-12 在空气中P 点声波的强度为2.0×10 5 W ·m -2 ，振动幅度为2mm ，空气的密度为1.29kg ·m -3 ，波速为344m ·s -1 。

求:①声波的波长;②P 点的平均能量密度。

解: ①求波长:已知I =2.0×10 5 W ·m -2 ，A =2mm=2×10 -3 m ，ρ=1.29kg ·m -3 ，由声波强度公式2221A u I ωρ=，可得角频率ω 2352)102(34429.1100.222-⨯⨯⨯⨯⨯==uA I ρω rad ·s -1 =1.5×10 4 rad·s -1由ω=2πf ，可得f =ω/2π=1.5×10 4 /6.28=2.39×10 3 Hz 。