题型(35)圆锥曲线之四边形面积最大值问题
圆锥曲线中的最值问题
02பைடு நூலகம்
求解方法
设两点坐标，利用距离公式求解，再通过求导找出极值 点，确定最大最小值。
03
应用场景
通信、导航等领域，经常需要求解信号的最远和最近传 输距离等问题。
圆锥曲线上的点的最值坐标
定义
指的是在圆锥曲线上找到具有某种性质最值（如距离最值、角度最值等）的点，并求出其坐标。
求解方法
通常要根据具体性质设立目标函数，再利用求导等数学工具求出极值点，进而得到最值坐标。
求解方法
通过运用圆锥曲线与直线的 交点的坐标表达式，结合距 离公式，利用微积分工具求
解最值。
应用场景
该问题在光学、几何设计等 领域有应用，如望远镜的设 计、镜面的曲率选择等。
圆锥曲线内接多边形的最值面积
定义与背景
圆锥曲线内接多边形是指多边形的顶点都在圆锥曲线上的多边形 。在最值情况下，该多边形的面积达到最大或最小值。
最值问题在物理学中的应用
光学
在物理学中，圆锥曲线与光学有着密 切的联系。例如，利用圆锥曲线的性 质可以解决光的反射、折射等最值问 题，从而优化光学系统的设计。
力学
圆锥曲线在力学中也有应用，例如在 研究天体运动时，可以利用圆锥曲线 的性质来解决最值问题，从而预测天 体的运行轨迹和位置。
最值问题在工程实践中的应用
性质
圆锥曲线有许多重要的性质，如对称性、焦点性质、准线性质等。这些性质在 最值问题的研究中起着重要作用。
最值问题的概述
定义
最值问题是寻找函数在给定区间上的最大值和最小值的问题 。在圆锥曲线中，最值问题通常涉及到曲线上的点与特定直 线或点之间的距离、角度等的最值。
解决方法
解决最值问题的方法包括导数法、不等式法、几何法等。在 圆锥曲线的最值问题中，通常结合曲线的几何性质和代数方 法来进行求解。
2025高考数学一轮复习-圆锥曲线中的最值、范围问题-专项训练【含解析】
课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【原卷版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．2．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)求向量OA ―→与OB ―→的数量积；(2)设FB ―→＝λAF ―→，若λ∈[9,16]，求l 在y 轴上的截距的取值范围．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，E 的左顶点为A ，上顶点为B ，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的周长为4＋23．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G (1,0)，求k 的取值范围．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 21(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆E 的离心率为32，且通径长为1．(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值．课时过关检测(五十四)圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】1．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2．以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为x22b2＋y2b2＝1．又椭圆E，∴12b2＋12b2＝1，解得b2＝1．∴椭圆E的标准方程为x22＋y2＝1．(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．k(x＋2)，y2＝1，消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．由Δ＞0得0≤k2＜12，从而x1＋x2＝－8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝21＋k22－4k2(1＋2k2)2．∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝3|k|1＋k2，∴△F2MN的面积为S＝12|MN|·d＝3k2(2－4k2)(1＋2k2)2．令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，∴S＝3(t－1)(2－t)t2＝3－t2＋3t－2t2＝3－1＋3t－2t2＝3当1t＝34即t[1，S有最大值，S max＝324，此时k＝±66．∴当直线l的斜率为±66时，可使△F2MN的面积最大，其最大值324．2．已知抛物线C：y2＝4x，点F是C的焦点，O为坐标原点，过点F的直线l与C相交于A，B两点．(1)求向量OA―→与OB―→的数量积；(2)设FB―→＝λAF―→，若λ∈[9,16]，求l在y轴上的截距的取值范围．解：(1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意知直线l的斜率不可能为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1．＝my＋1，2＝4x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0，1＋y2＝4m，1y2＝－4.∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝y21y2216＋y1y2＝1616－4＝－3．∴向量OA―→与OB―→的数量积为－3．(2)由(1)1＋y2＝4m，1y2＝－4.∵FB―→＝λAF―→，∴y2＝－λy1．将y2＝－λy11＋y2＝4m，1y2＝－4，1－λ)y1＝4m，λy21＝－4，－λ)2y21＝16m2，λy21＝－4，∴(1－λ)2－λ＝－4m2，∴4m2＝(1－λ)2λ＝λ＋1λ－2．令f(λ)＝λ＋1λ－2，易知f(λ)在[9,16]上单调递增，∴4m2∈649，22516，∴m2∈169，22564，∴m∈－158，－43∪43，158．∴l在y轴上的截距－1m的取值范围为－34，－815∪815，34．3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋23．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．解：(1)a＋2c＝4＋23，＝ca＝32，＝2，＝3，则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x24＋y2＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，kx＋m，y2＝1，消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，1＋x2＝－8km1＋4k2，1·x2＝4m2－41＋4k2，则x0＝x1＋x22＝－4km1＋4k2，y0＝kx0＋m＝m1＋4k2，所以直线DG的斜率为k DG＝y0x0－1＝－m4km＋1＋4k2，又由直线DG和直线MN垂直可得－m4km＋1＋4k2·k＝－1，则m＝－1＋4k23k，代入m2＜1＋4k2可得＜1＋4k2，即k2＞15，解得k＞55或k＜－55．故所求k∞4．已知椭圆E：x2a2＋y2b21(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为32，且通径长为1．(1)求E的方程；(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM 面积的最大值．解：(1)c2，＝2，＝1，＝3，故椭圆的方程为x24＋y2＝1．(2)假设M，N两点在x轴上侧，如图所示，延长MF1交E于点M0，由F1M∥F2N知M0与N关于原点对称，从而有|F1M0|＝|F2N|，由(1)可知F1(－3，0)，F2(3，0)，设M(x1，y1)，M0(x2，y2)，设MF1的方程为x＝my－3，由my－3，y2＝1得(m2＋4)y2－23my－1＝0，Δ＝12m2＋4(m2＋4)>0，故1＋y2＝23mm2＋4，1y2＝－1m2＋4.设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，则S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M|＋|F1M0|)d＝12|MM0|d＝S△MF2M0，又因为S△MF2M0＝12·|F1F2|·|y1－y2|＝12×23×|y1－y2|＝3(y1＋y2)2－4y1y2＝3·12m2(m2＋4)2＋4m2＋4＝43m2＋1m2＋4＝43m2＋1＋3m2＋1≤4323＝2，当且仅当m2＋1＝3m2＋1，即m＝±2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2．。
圆锥曲线中的最值问题
面积最值问题
总结词
面积最值问题主要研究圆锥曲线与其 内部区域的面积的最小或最大值。
详细描述
求解面积最值问题通常需要利用曲线 的参数方程或极坐标方程，转化为关 于角度或参数的定积分，通过求积分 得到面积表达式，再求最值。
周长最值问题
总结词
周长最值问题主要研究圆锥曲线 上的点的轨迹形成的曲线的周长 的最小或最大值。
圆锥曲线中的最值问
• 引言 • 圆锥曲线中的最值问题类型 • 解决圆锥曲线中最大值最线中的最值问题的实例分析
01
引言
圆锥曲线的定义与性质
圆锥曲线是由平面与圆锥的侧面或顶 点相交形成的几何图形，包括椭圆、 抛物线和双曲线等。
圆锥曲线具有多种性质，如对称性、 焦点、准线等，这些性质在解决最值 问题时具有重要作用。
详细描述
解决周长最值问题通常需要利用 曲线的参数方程，通过求导数找 到曲线的拐点，从而确定周长的 最大或最小值。
角度最值问题
总结词
角度最值问题主要研究圆锥曲线上的点与坐标轴形成的角度 的最小或最大值。
详细描述
解决角度最值问题通常需要利用曲线的极坐标方程，通过求 导数找到曲线的极值点，从而确定角度的最小或最大值。
在实际生活中的应用
航天器轨道设计
在航天领域，卫星和行星的轨道通常呈现为某种圆锥曲线 的形状，通过研究这些轨道的最值问题，可以优化航天器 的发射和运行轨迹。
物流运输
在物流和运输行业中，货物的运输路径通常受到多种因素 的限制，呈现出某种圆锥曲线的轨迹，通过求解最值问题， 可以找到最优的运输路径和最低的成本。
03
解决圆锥曲线中最大值最小值问题的
方法
利用导数求最值
导数可以帮助我们找到函数的极值点 ，通过求导并令导数为零，我们可以 找到可能的极值点。
圆锥曲线大题专题及答案
解析几何大题专题第一类题型 弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分） 已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型 圆过定点问题（ 包括点在圆上 点在圆外 点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。
圆锥曲线专题——面积最值问题
圆锥曲线专题——面积最值问题
编辑整理：
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圆锥曲线专题-—面积最值问题
例题8、（11陕西理）已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为短轴一个端
点到右焦点的距离为。
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B
两点,坐标原点O 到直线l 的距离为,求△AOB 面积的最大值。
练习1、（10浙江理）如图，直线与椭圆交于A 、B 两点,记的面积
为。
（Ⅰ）求在,的条件下，的最大值；
（Ⅱ）当时，求直线AB 的方程.
练习2、(山东09文)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4。
（Ⅰ)求椭圆的方程；
12222=+b y a x ,36323y k x b =+2
214x y +=A B C ∆S 0k =01b <<S 12==，S AB
l
（Ⅱ）直线过点P（0,2）且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示]解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＝4， 解得x 2＝－x 1＝21＋4k 2.① 由ED ―→＝6DF ―→，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝21＋2k. ∴21＋2k ＝1071＋4k2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2＝21＋44k ＋1k≤21＋424k ·1k ＝22，当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝12时，等号成立．故四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [解题师说]由于四边形AEBF 中的四个顶点中，A ，B 为已知定点，E ，F 为直线y ＝kx 与椭圆的交点，其坐标一定与k 有关，故四边形AEBF 的面积可用直线y ＝kx 的斜率k 表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值．[应用体验]1．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t ＞0)，且经过F 1，F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过点Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值． 解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意可知，2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2.又c ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5， 故椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1.设Q (x 0，y 0)，因为PM ⊥QM ，所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 20＋(y 0－t )2－t 2－1＝－14(y 0＋4t )2＋4＋4t 2. 若－4t ≤－2, 即t ≥12，当y 0＝－2时，|QM |取得最大值， |QM |max ＝4t ＋3＝322，解得t ＝38＜12(舍去)．若－4t ＞－2，即0＜t ＜12， 当y 0＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t ＝24.综上可知，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[典例] (2018·合肥质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．[思路演示]解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ， 则椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝c 2，x 4＋y 2＝1得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝⎛⎭⎫1，32， ∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54.当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2－12＝0消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 则x 1x 2＝43＋4k2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ， ∴λ＝45⎝⎛⎭⎫1＋13＋4k 2，∵k 2>14，∴45<λ<1.综上可知，实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1. [解题师说]在关系式λ|PM |2＝|PA |·|PB |中，P ，M 为已知定点，而A ，B 两点是动直线l 与椭圆的交点，故λ与直线l 的斜率有关，应考虑建立λ关于k 的函数关系式求解．[应用体验]2．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a2＝1.由⎩⎨⎧b 2＝a 29，9b4a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0， 即m 2－k 2－9<0. 则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.1．(2018·广东五校协作体诊断)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．解：(1)由题意知，c ＋b2＝3⎝⎛⎭⎫c －b 2， 所以b ＝c ，a 2＝2b 2， 所以e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝22.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，因为AC ―→＝2CB ―→，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0.①由(1)知，a 2＝2b 2，所以椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x ，得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2k k 2＋2.②由①②知，y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4kk 2＋2.因为S △AOB ＝12|y 1|＋12|y 2|，所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k |≤3·122|k |·|k |＝324，当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号，此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1， 即x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. 2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围．解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b2a (a ＋c )a 2＝b 2＋c 2，＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △PAM S △PBN ＝12|PA |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2|PM ||PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ＞2)，所以PM ―→＝－λ2PN ―→.由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝⎛⎭⎫k ＞12， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1消去y ，化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ2x 2.将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1＜(2－λ)2λ＜4，且λ＞2，解得4＜λ＜4＋23， 所以实数λ的取值范围为(4,4＋23)．3．(2018·广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，32，∴1a 2＋94b2＝1，① ∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝⎛⎭⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎨⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m2(3m 2＋4)， ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m 4m 2＋4.①当m ＝0时，k ＝0； ②当m ≠0时，k ＝14m ＋4m，∵4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综合①②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是－18，18.4．已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA ―→·OB ―→，且23≤λ≤34. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围． 解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k 2＝1， 即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.λ＝OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，即k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，－22∪⎣⎡⎦⎤22，1. (3)|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2－2(2k 2＋1)2， 由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ， 则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23， 即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎡⎦⎤64，23。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题一般来说，题目会经常考直线与圆锥曲线相交后所围三角形或者四边形的面积。
采用的方法有两种，分割法或者二分之一底乘高。
分割法：所围图形内部有一条线段躺在x 轴或y 轴上，且长度固定。
此时用这条线段分割所围图形即可。
二分之一底乘高：则是用三角形的面积进行计算做题时，优先考虑分割法。
下面用一个引例进行说明。
而该例子中在求最值时，有一个高考常用的处理技巧，必须掌握。
引例 如下图，已知椭圆2212x y +=，左焦点为()11,0F -。
过1F 的任意直线交该椭圆于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值解析：法一分割法：三角形OAB 内部有一条线段1OF 躺在x 轴上，而且该线段的长度已知为1，因此用该线段分割非常合适。
设()()1122,,,A x y B x y ，则111112112111||||()221||()21||2OAB OAF OBF SS S OF y OF y OF y y OF =+=+-=-=接下来就是设出直线方程，运用根与系数的关系了。
设该直线为x=ty-1 由()22221223012x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 则12122223,22t y y y y t t +==-++ 则11|2OAB S OF === 接下来求上式的最大值，有一个很重要的技巧，就是换元，把整个根式换掉。
必须掌握，处理如下：通法：令m =2m ≥且2221122m S m m m ==++又对勾函数的单调性知12m m +≥因此S ≤=法二，二分之一底乘以=高：如果我们把点O 到直线的距离设为d ，则显然1||2OAB SAB d = 直线l 仍旧设为x=ty-1|AB|又d =依旧按照联立方程，用根与系数的关系，写出OAB S 的面积公式，接下来的处理就与分割法一样。
先换元，再利用对勾函数的性质即可求出最大值。
在此略去例1 （2014全国1卷）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221x y a b+=（a>b>0），其离心率2e =，F 是椭圆的右焦点，3AF k = （1）求E 得方程（2）求过点A 的直线l 与E 交于两点P 、Q ，求OPQ S 最大值时直线l 的方程 解析：（1）由202203AF c e k a c c --=====-得到1c b ==因此E ：2214x y += （2）如下图因为OA 这条线段躺在y 轴上，且长度已知，因此运用分割法做最好。
解答圆锥曲线最值问题的几个“妙招”
圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.一、利用几何图形的性质圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.例1.设F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120°，求椭圆离心率e 的最小值.解：设P (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由椭圆的焦点弦公式得，|PF 1|=a +ex 1,|PF 2|=a -ex 1，在ΔPF 1F 2中，由余弦定理可得：cos 120°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2|PF 1|∙|PF 2|=(a +ex 1)2+(a -ex 1)2-4c 22(a +ex 1)∙(a -ex 1)=-12，可得：x 1=4c 2-3a 2e 2，由椭圆的范围可知-a ≤x 1≤a ，可得0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，解得e =c a≥，即椭圆离心率的最小值为.解答本题，关键要抓住椭圆的几何性质：椭圆的范围为-a ≤x ≤a ，-b ≤y ≤b .在根据余弦定理和焦点弦公式求得x 1后，根据椭圆的范围建立关系式0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，即可求得椭圆离心率的取值范围.例2.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m与椭圆相交于A ,B 两点，当ΔFAB 的周长最大时，求ΔFAB 的面积.解：设椭圆的右焦点为E ，连接BE ，AE，如图所示.由椭圆的定义得：AF +AE =BF +BE =2a ，则C ΔFAB =AB +AF +BF =AB +(2a -AE )+(2a -BE )=4a +AB -AE -BE .在ΔAEB 中，AE +BE ≥AB ，所以AB -AE -BE ≤0，当AB 过点E 时取等号.所以AB +BF +AF =4a +AB -BE ≤4a ，即直线x =m 过椭圆的右焦点E 时，ΔFAB 的周长最大.将x =1代入椭圆x 24+y 23=1得y =±32，即AB =3.因此，当ΔFAB 的周长最大时，S ΔFAB =3.我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF 、AE 、BF 、BE 之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大45。
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将 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 分别带入椭圆方程中，两式做差可得，
b2 a2
3 , a2 4
b2
1 a2
4, b2
3
（2）由题设可知，CD 不平行于 x 轴，设 CD: x my 1 ，与抛物线联立可得
(3m2 4) y2 6my 9 0 ，由对称性可知 ABCD 是平行四边形，其面积为 OCD 面积的
我们不妨设 M (x0 , y0 ), N (x1, y1) ，则
kMB2
y0 x0
3
k
NB2
x0 y0 3
kMB1
y0 x0
3
k
NB2
x0 y0 3
所以联立直线
NB1, NB2 x1
y02 9 x0
x0 2
, y1
3
x0 y0
3
x1
y0
0)
。当直
4
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3 线 AB 不垂直于坐标轴时，AB 与 CD 的斜率乘积为 4
（1）求椭圆 E 的方程； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值。
解：（1）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则由对称性可得 D(x2 , y2 ) ，直线 AB 与 AD 的乘积为
x0
2 x1 ,
y0
y1
N
:
2 9
x2
1 9
y2
1
（2）四边形的面积为
S
1 2
B1B2
|
x0
x1
|
1 2
6
3 2
|
x0
|
9 2
|
x0
|
| x0 | 3
2 Smax
27 2
2
2
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x2 例 3、已知椭圆 C： a2
y2 b2
两点，求四边形 APBQ 面积的最大值。
解：（1）设动圆 C 的半径为 r ，由题意可得，| CC1 | 3 r,| CC2 | 1 r | CC1 | | CC2 | 4
故轨迹 E 为以 C1, C2 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去除掉点 (2, 0)
x2 y2 1(x 2) 从而轨迹 E 的方程为 4 3
【汤老师评注：这个题目也可以由
S
1 2
|
y2
y1
||
PQ
|
2
( y1 y2 )2 4 y1.y2
进行求解】
例
5、经过坐标原点
O 的两条直线与椭圆
E：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
分别交于点
A,
C和B，D
，其中直线
AB
经过
E
的 焦点 左
(1,
0)
，直线
CD
经过
E
的右焦点
(1,
例
x2 2、已知椭圆 C：18
y2 9
1 的短轴端点为 B1, B2
，点
M
是椭圆
C
上的动点，且不与 B1, B2
重合，点 N 满足 NB1 MB1, NB2 MB2
（1）求动点 N 的轨迹方程；
（2）求四边形 MB2 NB1 面积的最大值。
解：（1）这个题目比较恶心的地方在于点太多，如果处理的不好的话，到后面会乱成一团糟。
1(a
b 0) 的上下焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 的直线交椭圆于
M , N 两点，且
e 3 的周长为 8，离心率 2
MNF2
（1）求 C 的方程；
（2）直线 l : y kx m 与 C 有且仅有一个公共点，点 M ', N ' 是直线 l 的两点，且
F1M ' l, F2 N ' l ，求四边形 F1M ' N ' F2 面积的最大值。
x2 y2 1
解：（1）C:
4
（2）联立可得， (4 k 2 )x2 2kmx m2 4 0 ，则 4k 2m2 4(4 k 2 )(m2 4) 0 m2 4 k 2 ，
设
d1
|
F1M
' |
|
3 k2
m 1
|
, d2
|
F2 N
' |
例 1、已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,点 P
是椭圆 C 上一点，
且 PF1 PF2 ， | F1F2 | 2 , PF1F2 的面积为 1.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F2 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，若 OE OA OB ，求四边
3,1 其中易得点 P(2, 0), Q(2, 0) 到直线的距离分别为 1 m2 1 m2 ，从而四边形的面积为
S
1 2
12(1 m2 ) 3m2 4
4 24 1 m2
t
1 m2 3m2 4 ，令
1
m2
,t
1, S
24 3t 1
S max
6
t
，
此时 t 1, m 0 。
形 AOBE 面积的最大值。
x2 y2 1 解：（1） 2
（2）由题意可得，四边形 AOBE 是平行四边形，所以四边形面积是三角形 AOB 面积的二
S 2SAOB | y1 y2 |
倍，则
22 m2 1 1
Smax
m2 1
2 ，当 m 0 时上式取等号。
1
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（2）避免斜率不存在的情况，我们设直线的方程为 x my 1 ， A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，联
立可得 (3m2
4) y2
6my
9
0
，则
y1
y2
6m 3m2
4
,
y1. y2
9 3m2
4
，则
| m2 3m2 4
12(1 m2 ) 3m2 4
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题型（35）圆锥曲线之四边形面积最大值问题
方法点拨：对于面积的处理，我们通常有以下几种处理方法。第一，利用已知弦（可能为 定长）作为底，定点到直线的距离作为高，列出表达式；第二，根据图形的特点，利用两个 点的横坐标只差或者说纵坐标只差作为高，利用弦长公式算出底，这个在实际过程中观察下 图像特点。对于面积的最值问题，主要利用均值不等式，对勾函数，求导来进行处理，有时 候也会涉及到将面积转化成单一变量问题。中间会涉及到换元等技巧，所以在平时过程中注 意计算积累。下文通过一些例题给大家作出分析，希望可以举一反三，触类旁通，不管方法 多么强悍，转化到个人手里，那就需要动笔去运算，体会，才能真正掌握这类题型。
3
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(x 1)2 y2 1 ，动圆 C 与圆 C1 内切 与圆 C2 外切。
且
（1）求动圆 C 的圆心 C 的轨迹 E 的方程；
（2）已知 P(2, 0), Q(2, 0) 为平面内的两个定点，过 (1, 0) 点的直线 l 与曲线 E 交于 A、B
d22
2d1d2 )
3k
2 (4k 2 (k 2
16) 1)2
,
k2
1
t(t
1)
S 2max 16 Smax 4
1 1,t 3
此时 t 3
时上式取等号。
例 4、在平面直角坐标系中，已知圆 C1 的方程为 (x 1)2 y2 9 ，圆 C2 的方程为
|
3m| k2 1
d12
d22
2(k 2 k2
7) 1
,
d1d2
|
m2 k2
3| 1
1
| M ' N ' |
| F1F2 |2 (d1 d2 )2
12k 2 k2 1
S
1 2
|
M
' N ' | (d1
d2 ) S2
1 4
.
12k 2 k2 1
.(d12
4 倍。所以
S
4SOCD
2|
y1
y2
|
24 m2 1 3m2 4
3
24 m2 1
Smax 6
1 m2 1
此时 m 0 时，上式取等号。
5