1元2次方程的图像与性质
一元二次函数
一元二次函数一元二次函数是数学中常见且重要的函数类型。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不为零。
在本文中，我将介绍一元二次函数的特点、图像和应用，并且探讨一些与之相关的数学概念。
特点：1. 定义域和值域：一元二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都存在函数值。
值域则取决于函数的开口方向和导数的正负性。
2. 对称性：一元二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
对称轴的横坐标可以通过满足函数为0的x解出，即x = -b / (2a)。
这一点在求解函数的最值时有重要作用。
3. 零点：一元二次函数的零点即为使函数值等于零的横坐标。
零点可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来获得，其中根的个数取决于判别式的值。
图像：一元二次函数的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向由二次项系数a的正负性决定。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中f(-b/ (2a))表示在对称轴上的函数值。
应用：1. 物理学：一元二次函数可以用来描述抛体运动、自由落体等物理现象。
例如，抛出物体的高度与时间的关系就可以建模为一元二次函数。
2. 经济学：一元二次函数可以用来建立成本、收益、利润等经济指标之间的关系模型，帮助决策者做出更准确的经济预测和决策。
3. 工程学：一元二次函数在工程领域中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用一元二次函数来确定柱状物体的最佳高度；在电路设计中，可以利用一元二次函数来描述电流、电压等变量之间的关系。
数学概念：1. 判别式：一元二次函数的判别式决定了根的情况。
判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ大于零时，方程有两个不等的实根；Δ等于零时，方程有两个相等的实根；Δ小于零时，方程没有实根。
2. 最值：由于一元二次函数的图像是一个抛物线，它在对称轴上有一个极值点。
一元二次方程有什么特点
一元二次方程有什么特点一元二次方程是数学中的一种重要方程，具有鲜明的特点。
它在各个领域中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。
接下来，我们将详细探讨一元二次方程的特点，以及它在实际问题中的应用。
一、一元二次方程的定义及形式一元二次方程是指只含有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
它的一般形式为：ax²+bx+c=0其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
二、一元二次方程的特点1.二次项系数不为零：在一元二次方程中，二次项系数a不为零，这是它与一元一次方程的主要区别。
二次项系数a的正负性决定了方程的性质。
2.图像特征：一元二次方程的解可以表示为抛物线。
通过分析二次项系数a、一次项系数b和常数项c，可以确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.根的判别式：一元二次方程的根的判别式为Δ=b²-4ac。
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：-Δ>0：方程有两个不相等的实根；-Δ=0：方程有两个相等的实根，即两个相同的实根；-Δ<0：方程无实根，但有两个共轭复根。
4.解的求法：一元二次方程有三种求解方法，分别是直接开平方法、配方法和解根公式法。
求解过程中，需要根据方程的特点和根的判别式选择合适的方法。
三、一元二次方程在实际问题中的应用1.物理学：在一元二次方程中，引力定律、简谐振动等问题中涉及到物体运动轨迹的解析，可以通过一元二次方程来描述。
2.工程学：在建筑、机械等领域，一些构件的尺寸和形状可以通过一元二次方程来表示，如抛物线、椭圆等。
3.经济学：在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本、收益等函数关系，如成本函数、收益函数等。
4.生物学：在生物学中，一元二次方程可以用来描述种群增长模型，如Logistic曲线。
总之，一元二次方程具有独特的特点，它在各个领域的应用十分广泛。
通过深入理解和掌握一元二次方程的性质，我们可以更好地解决实际问题。
一元二次方程的特点
一元二次方程的特点一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知的实数且a不等于0。
一元二次方程是高中数学中的重要内容，它具有许多特点和性质，下面将对这些特点进行详细的解释，并围绕中心扩展下的描述。
一、一元二次方程的特点1. 二次项、一次项和常数项：一元二次方程中的ax^2、bx和c分别是二次项、一次项和常数项。
其中，二次项包含了变量的平方，一次项包含了变量的一次幂，常数项没有变量。
这三项的系数和次数决定了方程的性质。
2. 非线性方程：一元二次方程是非线性方程，因为它的变量的次数为2。
与线性方程不同，一元二次方程的图像是一个抛物线，而不是直线。
3. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
4. 根与系数的关系：一元二次方程的根与系数之间存在着特殊的关系。
设方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为x1和x2，则有以下关系成立：x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a。
5. 对称性：一元二次方程具有对称性。
设方程ax^2 + bx + c = 0的两个根分别为x1和x2，那么方程中的二次项系数a和一次项系数b的和与乘积的关系也可以通过x1和x2来表示：a = (x1 + x2)/2，b = (x1 * x2)/2。
二、一元二次方程的中心扩展中心扩展是指围绕某个中心或核心概念对相关知识进行深入探讨和拓展。
在讨论一元二次方程的特点时，可以以根与系数之间的关系为中心进行扩展，探究这种关系在实际问题中的应用。
1. 方程的根与图像的关系：一元二次方程的图像是一个抛物线，而方程的根则是抛物线与x轴的交点。
根与图像的关系可以帮助我们更好地理解方程的解的个数和性质。
当方程有两个实数根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有一个实数根时，抛物线与x轴有一个切点；当方程没有实数根时，抛物线与x轴没有交点。
认识一元二次方程方程的形式与特征
认识一元二次方程方程的形式与特征一元二次方程，是我们在学习数学的初中阶段就会接触到的重要概念。
它不仅在数学中有着重要的地位，而且在现实生活中也有着广泛的应用。
本文将通过介绍一元二次方程的形式与特征，帮助读者更好地认识和理解这一概念。
一、方程的形式一元二次方程的一般形式可表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在这个方程中，x是未知数，而a、b、c则是已知的常数。
方程中的系数a决定着方程的开口方向，b决定着抛物线在x 方向上的平移，而c则决定了抛物线在y方向上的平移。
二、方程的特征1. 根的个数：一元二次方程的解又称为方程的根，根的个数取决于方程的判别式Δ。
Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
根据Δ的值可以分为三种情况：a) 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根，其中x1和x2的计算公式为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)。
这种情况下，方程所代表的图像是一个开口向上或向下的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点。
b) 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，即方程的解为x1 = x2 = -b / (2a)。
这种情况下，方程所代表的图像是一个对称于x轴的抛物线，与x轴有一个切点。
c) 当Δ < 0 时，方程没有实根。
这种情况下，方程所代表的图像是一个没有与x轴交点的抛物线。
2. 方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
对于开口向上的抛物线，当 a > 0时，图像的最低点在x轴上方，抛物线开口向上；当a < 0时，图像的最低点在x轴下方，抛物线开口向下。
对于开口向下的抛物线，与开口向上的情况相反。
3. 平移与对称：一元二次方程可以通过平移和拉伸等变换来改变其图像的位置以及形状。
横向平移是通过改变系数b来实现的，纵向平移则是通过改变系数c来实现的。
对称轴是x = -b / (2a)，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
一元二次方程概念
3
因数分解法
适用于形如ax²+ bx + c = 0，其中a = 1或a不等于1，可以通过因式分解法去解。
一元二次方程的图像
一次函数的图像
二次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，斜率代表了直线的倾 斜程度和函数的增长速度。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线， 顶点处为极值点。
一元二次方程的性质
1 判别式
判别式D = b²-4ac常用于判断一元二次方程的解的情况。
2 轨迹离散
当二次项系数a的值越小或越大时，抛物线的轨迹越趋向于x轴或y轴。
3 图像对称
抛物线关于顶点对称。
一元二次方程的应用
物理应用
抛物线的底部宽度可以应用于建 筑设计、设计跃高运动场地等需 要计算物体的轨迹的场合。
商业应用
二次函数的相关参数可以用于广 告投入和销售额的关系，以及生 产成本和产量的关系等商务领域 的计算。
我们为什么要学习一元二次方程？
研究一元二次方程有助于我们更深入地了解二次函数的基本概念
一元二次方程的一般形式
标准形式
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知 常数，x是未知变量。
无解情况
当b²-4ac小于0时，一元二次方程 没有实数根，称为无解情况。
解的总数
一元二次方程的应用？ຫໍສະໝຸດ 物理、商务和科学领域广泛 使用了一元二次方程的相关 数学概念。
一元二次方程有0、1或2个解。 具体解的数量取决于求方程的解 时一次项系数的符号和二次项系 数与常数项之间的关系。
一元二次方程的解的求法
1
配方法
适用于ax²+ bx + c = 0，通过配方将一元二次方程变为完全平方。
一元二次方程的图像表示
一元二次方程的图像表示一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知的实数系数且a ≠ 0。
这种方程在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
为了更好地理解和研究一元二次方程，我们可以通过图像表示来直观地观察其性质和特点。
1. 一元二次方程的标准形式一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
在标准形式中，a 表示二次项系数，b 表示一次项系数，c 表示常数项。
通过标准形式，我们可以清晰地看到方程中各项的系数和阶数。
2. 一元二次方程的图像表示为了绘制一元二次方程的图像，我们可以按照以下步骤进行：a) 首先，确定方程的a、b、c的值；b) 根据方程计算得出顶点的横坐标 x = -b/2a；c) 将顶点的横坐标代入方程，得到对应的纵坐标 y；d) 以顶点为中心，向左右两侧取若干个点，计算这些点的纵坐标；e) 将这些点连成平滑曲线，即为一元二次方程的图像表示。
3. 一元二次方程图像的性质一元二次方程的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
根据方程的系数和常数项的不同取值，其图像具有以下性质：a) 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下；b) 抛物线的平移：通过改变方程中的常数项 c，抛物线的图像可以在平面内上下平移；c) 抛物线的压缩和拉伸：通过改变方程中的二次项系数 a，抛物线的图像可以在平面内水平方向上压缩或拉伸；d) 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(-b/2a) 表示在顶点横坐标处的纵坐标。
4. 利用一元二次方程图像解题通过一元二次方程的图像表示，我们可以更方便地解决与方程有关的问题。
例如，我们可以利用图像判断方程的根的个数和符号，进一步研究方程的性质和解集。
总之，一元二次方程的图像表示可以帮助我们更直观地理解和研究方程的性质。
通过绘制图像，我们可以观察到方程的开口方向、顶点的坐标以及抛物线的压缩与拉伸等性质。
一元二次方程的像与性质知识点总结
一元二次方程的像与性质知识点总结一元二次方程是数学中一种重要的二次函数形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的过程中，我们可以通过图像来研究方程的性质和特点。
本文将对一元二次方程的图像、根的性质、函数性质等知识点进行总结。
1. 一元二次函数的图像一元二次函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线，常被称为抛物线。
方程的图像的开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标一元二次函数的图像是对称的，其顶点是抛物线的最高（或最低）点，也是方程的图像横坐标轴的轴线。
顶点坐标可以通过利用平移法得到，顶点的横坐标为-x轴系数的倒数，纵坐标为代入横坐标得到的y 值。
即顶点坐标为（-b/(2a), f(-b/(2a))）。
3. 根的性质一元二次方程的根是方程的解，也即满足方程等式的x值。
通过求解可以得到方程的根。
- 当一元二次方程有两个不相等实数根时，方程的图像与x轴有两个交点。
- 当一元二次方程有两个相等实数根时，方程的图像与x轴有一个交点（切线）。
- 当一元二次方程无实数根时，方程的图像与x轴无交点，即抛物线不与x轴相交。
4. 函数性质一元二次函数是定义域为实数集的函数，具有以下性质：- 当a>0时，函数是上凸函数，即图像开口向上。
- 当a<0时，函数是下凸函数，即图像开口向下。
- 当a=0时，方程退化为一元一次方程 y = bx + c，其图像为一条直线。
- 函数的最值与顶点有关，当函数开口向上时，顶点是函数的最小值点；当函数开口向下时，顶点是函数的最大值点。
总之，一元二次方程的像与性质的了解对于解题和图像分析都具有重要意义。
通过对方程图像的观察和利用相应的性质，我们可以更好地理解和应用一元二次方程，提高解题的准确性和效率。
通过深入研究和练习，我们能够更加熟练地掌握一元二次方程相关知识，为数学学习打下坚实的基础。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
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y=2x2+1
y=2x2
2.不同点: (1)它们的顶点不同:y=2x2的顶点 在原点,顶点坐标为(0,0);y=2x2+1的 顶点在y轴上,顶点坐标为(0,1). (2)最小值不同,y=2x2的最小值为 0,y=2x2+1的最小值为1.
总结：二次函数y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象之间的关系:二次函数 y=2x2,y=2x2+1,y=2x2-1的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度,就得到函数y=2x2+1的图象;将 函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度,就得到函数y=2x2-1的图象.
(1)完成下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 18 8 2 0 2 8 18
(2)在课本图2 - 4中画出y=2x2
的图象.
y=2x2
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的 图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.
2.二次函数y=2x2的图象与二次函数 y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相 同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4) 在y轴左侧,y值随x值的增大而减小； 在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5) 都有最低点,即原点.函数都有最小值.
y=2x2 y=x2
x
5.在同一个直角坐标系中作出y= 1 x2,y= 1 x2-1的图象,比较
它们的异同,并找出它们的关系. 2
2
解:列表:
x
… -2 -1 0 1 2 …
y= 1 x2
2
x
…2
-1
2
0
1 2
[知识拓展]
1.二次函数图象的平移规律:y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图象
整体上下移动得到的,当c>0时,向上移动|c|个单位长度;当c<0时,向下移动
|c|个单位长度.简记为:“上加下减”.
2.二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质:
检测反馈
1.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( B )
A.y=-x+1
1
C.y= x
B.y=x2-1 D.y=-x2+1
解析:A,y=-x+1,一次函数,k<0,故y随着x的增大而减小,错
误;B,y=x2-1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增
大,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而减小,正 确.C,y= 1 ,k=1>0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错
1
2.不同点：y= 2 x2 的图象在y=2x2 和y= x2 的图象的外侧，开口较 大.y= 1 x2中函数值的增长速度较慢.
2
y=2x2 y=1 x2
2
y=x2
强调：二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线 的开口方向:①a>0时,开口向上；②a<0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的 开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快；②︱a︱越小,开口 越大,函数值变化得越慢.
x
误;D,y=-x2+1(x>0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而
减小,而在对称轴左侧(x<0),y随着x的增大而增大,错误.故
选B.
2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是
A.直线x= 1 B.直线x=- 1
2
2
C.y轴
D.直线x=2
(C )
解析:抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴(或直线x=0).故选C.
九年级数学·下 新课标[北师]
第二章 二次函数
学习新知
检测反馈
观察思考
学习新知
观察下面的二次函数表达式:
(1)y=x2 ；(2)y=-x2 ；(3)y=-2x2 ；(4)y=3x2 ；
1
(5)y= 2
x2.
它们有什么共同点和不同点? (3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什 么不同点?
二次函数y=ax2的图象与性质 探究活动一:画二次函数y=2x2的图象
3.二次函数y=2x2的图象与二次函 数y=x2的图象的不同点:两个函数图 象的开口大小不同,y=2x2的图象在 y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函 数值的增长速度较快.
【想一想】 在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=2x2的图象,会是什么样?
探究活动二:画出y=
1 2
x2的图象
【想一想】 在课本图2 - 4中画出y= 1 x2的图象. 2
【问题】 它与二次函数 y=x2，y=2x2的图象有什么相同 和不同?
小结: 1.相同点:(1)开口方向相同,都向 上.(2)对称轴都是y轴(或直线 x=0).(3)顶点都是原点,坐标为 (0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大 而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大 而增大.(5)都有最低点,即原点.函数 都有最小值.
[知识拓展] 二次函数y=ax2的图象和性质: 1.当a>0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x 值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0. 2.当a<0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原 点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x 值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.
3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是 a>2 .
解析:因为抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,所以2-a<0,即a>2.故填a>2.
4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于 x 轴对称.
解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点 坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.
二次函数y=ax2+c的图象与性质
二次函数y=2x2&1.相同点:(1)它们的图象都是抛 物线,且形状相同,开口方向都向 上.(2)它们都是轴对称图形,且对称 轴都是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增 大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而 增大.(4)都有最低点,y都有最小值.