讲函数的定义域及表示方法

第二讲 函数的定义域及表示方法
【本课重点】
1．会求常见函数的定义域
2、掌握函数的三种表示方法，并会用解析法研究两个变量的函数关系。

3、掌握分段函数的概念及表示方法。

【知识梳理】
1.设B A ,是两个______的___集，如果按照某种____的对应关系f ， 对于集合A 中的_______数x ，在集合B 中都有______的数)(x f 和它对应，那么就称________为从集合A 到集合B 的一个函数，记作_________,其中，x 叫做_____,x 的取值范围叫做________; 与x 对应的y 值叫做_____, 函数值的取值范围叫做________，显然_____是______的子集.
2.函数的定义域、值域
（1）一次函数)0(≠+=a b ax y 的定义域是________，值域是________.
(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是________，0>a 时，值域是
________.
0〈a 时，值域是________.
（3）反比例函数y=x
k (k 0≠)的定义域是______________，值域是______________. 3.区间的概念
设b a ,是两个实数，而且b a <，我们规定：
（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做________，表示为________，数轴表示为______.
（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做________，表示为________,数轴表示为______.
（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做________，分别表示为__________,数轴分别表示为________________,这里，实数b a ,叫做区间的端点.
(4) “∞”读作________,“∞-”读作________,“∞+”读作________,实数集R 区间表示为__________.
(5)集合{}a x x ≥|区间表示为________,集合{}b x x <|区间表示为________.
4.求函数解析式的方法：直接法、配凑法、换元法、方程组法、待定系数法、赋值法
【开心自测】
1.已知函数2()1
x f x x =-,则f(x 2)为 ( ) A.221x x - B. 241x x - C. 4
41
x x - D. 21x x - 2.已知函数1()(1)1
x f x x x +=≠±-且,则函数f(-x)为 ( ) A.1()f x B.-f(x) C. 1()
f x - D.-f(x) 3.已知221()(2)m m f x m m x +-=+⋅,当m= ________时,f(x)为正比例函数; 当
m= ________时,f(x)为反比例函数; 当m= ________时,f(x)二次函数.
4.已知一次函数f(x)=ax+b,满足f(2)=0,f(-2)=1,则f(x)=______________
【典例练讲】
例1已知函数2
13)(+++=x x x f (1)求函数的定义域 ；(2) 求)32
(),3(f f -的值； (3) 当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.
例2.(1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=4x+3,求f(x).
(2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x).
例3.(1)已知函数f(x)满足2
(23)2f x x x -=-+,求f(x).
(2)已知函数f(x)满足22
11()f x x x x -=+
,求f(x).
例4（1）已知函数()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1x x x x x f π ，求（1）()()()1-f f f 的值，
（2）根据下图写出解析式（图是直线的一部分与抛物线的一部分组成）
例5（备选题）（1）设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x 、y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析式
（2）已知函数f(x)的定义域为{|1}x x o x ≠≠且,且满足1()2()1f x f x x
-=-,求f(x)的解析式.
练习（1）已知3f(x)-2f(-x)=-2x+1,求f(x).
（2）已知对任意实数x,y 都有f(x+y)=2f(y)+x 2+2xy-y 2+3x-3y,求f(x)的解析式
【能力提升】
1.已知函数()1x f x x
=
-,函数g(x)=f[f(x)],下列命题中正确的是 ( ) A.()1x g x x =- B.1()12x g x x -=- C. ()12x g x x =- D.以上三个均不正确
2.已知函数g(x)=1-2x,2
21[()]x f g x x
-=,则1()2f 的值是 ( ) A.1 B.3 C.15 D.30
3.已知f(x)=11x
+则f(f(x))的定义域为 ( ) A.{x|x ≠-1,x ∈R} B. {x|x ≠-1且x ≠0, x ∈R}
C.{x|x ≠0,x ∈R}
D. {x|x ≠-1且x ≠-2, x ∈R}
4.函数f(x) 满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=m,f(3)=n,则f(72)的值为____
5.已知函数2(1)()2
(11)(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩,则1{[()]}2
f f f -=_______ 6、（1）已知二次函数()x f y =的最大值等于13，且()()513=-=f f ，求()x f 的解析式
(2)已知()212,()(3)4f x x a g x x =+=
+,若g[f(x)]=21x x ++，求a 的值 （3）()
x x x f 21+=+， 求()()1+x f x f ， 7、已知函数()f x 在[]1,2-的图象如图所示，求此函数的表达式()f x
8．已知函数)(x f 的定义域是（0，2]，求函数)1(2-x f 的定义域 .
9．设A={x|02≤≤x }，B={y|01≤≤y }，从A 到B 对应法则f ，下列对应不是函数的是（ ）.
(A)f: x x y 21=→ (B) f: x x y 4
1=→ (C) f: x 2)1(-=→x y (D) f: x 2x y =→ y
x o -1
1
-1 2。