2021年学业水平测试数学综合模拟测试卷及其详细解析(十一)
2021年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷及参考答案
姓名考生号（在此卷上答题无效）机密2021年6月21日启用前2021年福建省普通高中学业水平合格性考试模拟卷数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差锥体体积公式Sh V 31=，])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数球的表面积公式24R S π=，柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高球的体积公式334R V π=，台体体积公式h S S S S V )(31+'+'=，其中R 为球的半径其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高第Ⅰ卷（选择题45分）一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分．每小题只有一个选项符合题意）1．若集合{}4,2,0=A ，{}2,1=B ，则=B A A．{}4,2,1,0B．{}4,2,1C．{}2D．φ2．右图是一个圆柱的侧面水平放置时的三视图，则该圆柱底面圆的半径长是A．3B．5.1C．2D．13．若三个数3，6，m 成等差数列，则实数=m A．2B．3C．9D．124．一组数据1，2，5，7，7，8的中位数是A．7B．6C．5D．25．如图，CD AB ,是圆O 的两条互相垂直的直径，在圆内随机撒一粒小黄豆，则它落在阴影部分的概率是A．43B．41C．31D．216．函数x y 2sin =的最小正周期是A．1B．2C．πD．π232正视图俯视图左视图(第2题)(第5题)7．函数)1lg(-=x y 的定义域为A．),0(∞+B．),1(∞+C．)1,(-∞D．),1()1,(∞+-∞ 8．不等式022≥+-y x 表示的平面区域是A．B．C．D．9．已知直线1l :12+-=x y ，2l :2-=kx y ，且21l l ⊥，则实数=k A．1-B．2-C．21D．110．化简MP MN PQ -+=A．M Q B．N Q C．Q P D．Q N 11．不等式22x x ≤的解集是A．{}0x x ≤B．{}2x x ≤C．{}02x x ≤≤D．{0x x ≤，或}2x ≥12．化简tan(2)πα-=A．tan α-B．tan αC．sin α-D．cos α13．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是A．1y x =-+B．1y x=-C．1y x =D．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭14．已知4log 3a =，0.5log 3b =，213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A．c a b <<B．c b a <<C．b a c <<D．b c a<<15．函数⎩⎨⎧≥<+=1211)(x x x x f x ，，，的图象大致为A．B．C．D．00x1O1Oy 11x1Ox1y Oy 11xy第Ⅱ卷（非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）16．已知向量(31)(01)a b ==-，，，，则a b +=．17．执行右边的程序框图，当输入x 的值为2-时，则输出y 的值是．18．函数])123[)(2lg()(，∈-=x x x f 的最大值是．19．函数3()f x x x =-的零点个数为．20．设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ，，，若6=a ，2=c ，41cos =A ，则=b ．三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分)已知1312cos =α，α是第一象限角．（Ⅰ）求αsin 的值；（Ⅱ）求)4sin(απ-的值．22．（本小题满分8分)如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，BC AD //，2==DC AD ，4==BC PA ,且090=∠BCD ．（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -的体积；（Ⅱ）若N 为PC 的中点，则DN 与平面PAB 的位置关系是．在下面三个中选取一个序号补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并给予证明.①DN ⊂平面PAB ；②//DN 平面PAB ；③DN 与平面PAB 相交．(第17题)PABCDN23．（本小题满分8分)新冠病毒“德尔塔”（Delta ）变异毒株传染性比普通株高很多。
2021年辽宁省沈阳市中考数学学业水平模拟试卷(含解析)
2021年辽宁省沈阳市中考数学学业水平模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104 3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2 6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．57．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝．12．不等式组的解集是．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π解：显然﹣3＜1，0＜1．∵1＜＜2，∴＜＜1．∵3＜π＜4，∴π＞1．故选：D．2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104解：13000用科学记数法表示为：1.3×104．故选：D．3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：C．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：不等式解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示，．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．5解：∵2x+3y﹣（x+4y）＝x﹣y＝14﹣12＝2，∴x﹣y＝2，故选：B．7．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°解：∵∠1＝36°，∴∠3＝90°﹣36°＝54°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°，故选：A．8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限解：∵y＝﹣x+5中k＜0，∴一次函数图像经过第二四象限，∵b＞0，∴一次函数图像经过二四一象限．故选：B．10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝a（a+1）2．解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．12．不等式组的解集是﹣4≤x＜2．解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式2x+8≥0，得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x＜2．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为2．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG＝60°，∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝4×＝2故答案为：2．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为27．解：∵点B的坐标为（﹣3，1）．∴OB＝＝，∵∠AOB＝90°，AB＝10，∴OA＝＝＝3，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵∠BOE+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠OAD，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝＝＝＝3，∴OD＝3BE＝3，AD＝3OE＝9，∴A（3，9），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，∴k＝3×9＝27，故答案为27．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为5．解：连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又∵E是AC的中点，∴EF＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴AC＝2EF，∵EF＝2.5，∴AC＝5．故答案为：5．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为或13．解：如图1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵∠AEB＝∠BEN，∴△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，设DM＝x，∴4＝，解得：x＝，如图2，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵∠BAE＝∠NAB，∴△BNA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，设DM＝x，∴，解得：x＝13，综上所述，可知DM的长为或13．故答案为：或13．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．解：原式＝3×+9﹣1+2﹣＝+9﹣1+2﹣＝10．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有3个，∴抽取的两名学生性别相同的概率为＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了120名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．解：（1）本次调查的学生总人数为12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）“其他”人数为120×15%＝18（人），“乒乓球”人数为120﹣（36+30+12+18）＝24（人），补全图形如下：（3）篮球对应的百分比m%＝×100%＝30%，即m＝30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：30、72；（4）估计该校最喜爱乒乓球项目的学生人数为1200×＝240（名）．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+8）元，依题意得：＝，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝40．答：文学类图书平均每本的价格为32元，科普类图书平均每本的价格为40元．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线EC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，∵AD＝4，cos∠CAB＝，设AC＝4x，AB＝5x，∴，∴x＝，∴AB＝，即⊙O的半径的长为．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）①∵B（0，），∴OB＝，在Rt△AOB中，AO＝＝＝，∵AC＝5，∴OC＝OA＝AC＝﹣5＝，∴C（﹣，0）．②∵△CPQ是等腰三角形，∠PCQ是钝角，∴只有CQ＝CP，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝60°，∴∠CBO＝30°，∴BC＝2OC＝3，∵CQ＝5﹣3t，CP＝3﹣t，∴5﹣3t＝3﹣t，∴t＝1．（2）如图，过点P作PJ⊥OA于J．∵PQ⊥AB，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠QPJ＝90°，∴∠PQJ＝∠ABO，∴tan∠PQJ＝tan∠ABO，∴＝，∴＝，∴t＝1.96．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，∵∠EAD＝∠EAG﹣∠DAG，∠GAB＝∠DAB﹣∠DAG，∴∠EAD＝∠GAB，∴∠BCE＝∠DCG，∴△EAD≌△GAB（SAS），∴DE＝BG；（2）①证明：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝BA，∠CBA＝90°，在Rt△ABC中，tan∠CAB＝1，∴∠CBA＝45°，∴AC＝＝AB，∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝FG，∠FGA＝90°，在Rt△AGF中，tan∠FAG＝＝1，∴∠FAG＝45°，∴AF＝＝AG，∴∠FAC＝∠FAG﹣∠CAG，∠GAB＝∠CAB﹣∠CAG，∴∠FAC＝∠GAB，，∴△CFA∽△BGA，∴，∴FC＝BG；②AD＝DF+BG．理由如下：∵FC＝BG，CD＝DF+CF，∴CD＝DF+BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴AD＝DF+BG；（3）解：①如图3，当点F在线段CD上时，设DE＝BG＝x，则FC＝x，∴DC＝AD＝x+1，过点E作EM⊥AD于点M，∵∠AEF＝∠ADF＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AFE＝∠EDM＝45°，∴EM＝x，∴S△ADE＝×x，S△ADF＝AD×DF＝x，∴＝5，解得x＝，x＝﹣3（舍去），∴BG＝；②如图4，当点F在线段CD的延长线上时，连接AC，∵S四边形AEFD＝S△AEF+S△ADF，设AD＝a，∴AF2＝DF2+AD2＝1+a2，∴S＝a＝5，解得a＝﹣1+2（负值舍去），∴AD＝﹣1+2，∴CF＝2，由（2）知△CFA∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝．综合以上可得BG的长为或．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点为（1，4）．（2）∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，EF∥x轴，∴四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，EH＝FG，∴点E，F关于对称轴x＝1对称，∴设点E（a，﹣a2+2a+3）则点F（2﹣a，﹣a2+2a+3），∴EF＝2a﹣2，EH＝﹣a2+2a+3，∴L＝2（EF+EH）＝﹣2a2+8a+2＝﹣2（a﹣2）2+10，∵﹣2＜0，∴当a＝2时，L有最大值，最大值为10．（3）①如图，连接PF，CP，OP，PE，过点P作PN⊥EF交EF的延长线于N，过点C作CM⊥PN于M，连接BM．设P（x0，y0）．由（2）可知，a＝2，∴E（2，3），F（0，3），C（1，4），∴CF＝，OE＝，∵S△PCF＝S△PCM﹣S△PMB﹣S△CMB＝（x0﹣y0+3），∴h1＝，同法h2＝，∵，且，如图，x0＞3或x0＜﹣1，y0＜0，解得：，∴P（﹣4，﹣21）．②令x＝﹣4代入l CF：y＝x+3中，y＝﹣1，∴（﹣4，﹣21）不过点P，若直线CE平移后过点P，设平移后直线解析式为：y＝﹣x+b，代入（﹣4，﹣21），得b＝﹣25，此时平移距离为，若直线EF平移后过点P，设F'（f，﹣21），代入l CF：y＝x+3中，得f＝﹣24，∴平移距离为，∴直线最后一次经过点P时，平移的距离为24．。
浙江省2021-2021年初中毕业生学业考试模拟考数学试题及答案
2021-2021年初中毕业生学业考试模拟考数学试题一、选择题（每题4分，共48分） 1．下列计算正确的是（ ）A ．164=± B. 822-=0 C.2464÷= D. 1)52)(52(=+-2．随着经济的发展，节能与环保问题越来越得到重视，据宁波环境保护局披露：2021年宁波市区节能环保支出将达到18957.74万元. 18957.74万元用科学记数法应记为（ ） A ．18957.74×104元B ．1.895774×107元C ．1.895774×108元D ．1.895774×109元 3．如图，AB ∥CD ，若∠1=45°，则∠2的度数是（ ） A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°4．若点()23P -，与点()Q a b ，关于x 轴对称，则a ，b 的值分别是（ ） A ．2-，3B ．2，3C ．2-，3-D ．2，3-5．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ） A.55B ．552C ．5D ．32 6．函数11-+=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≥－1B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≠1D ．x ≠－1且x ≠17．为了解学校九年级学生某次知识问卷的得分情况，小红随机调查了50名九年级同学，结果如下表：知识问卷得分 （单位：分）65 70 75 80 85 人数11515163则这50名同学问卷得分的众数和中位数分别是（ ） A ．75，75 B ．75，80 C ．80，75 D ．80，85（第3题图） (第5题图)(第9 题图)（第11题图）8．从长度分别为2、6、7、9的4条线段中任取3条作三角形的边，能组成三角形的概率为 （ ） A ．34B ．12C ．13D ．149．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）A ．甲>乙，乙>丙B ．甲>乙，乙<丙C ．甲<乙，乙>丙D ．甲<乙，乙<丙10．高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，司机小王刚好在19千米的A 处第一次同时经过这两种设施，那么，司机小王第二次同时经过这两种设施需要从A 处继续行驶（ ）千米．A ．36B ．37C ．55D ．9111．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙M 的圆心坐标是（4，2），将直线y =-2x +1向上平移k个单位后恰好与⊙M 相切，则k 的值是（ ）A ．51+或521+B ．521+或541+C ．529+或529-D ．5210+或5210-12．如图，水平地面上有一面积为30π cm 2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度 为6cm ，且OA 与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A 再一次接触地面，如图（乙）所示，则O 点移动了（ ）cm ．A ．11π +3B ．10π +32(第12题图)(第15题图)C ．12πD ．11π二、填空题（每题4分，共24分） 13. 31-的绝对值等于 ▲ . 14．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：13=甲x ，13=乙x ，5.72=甲S ，6.212=乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是 ▲ （填“甲”或“乙”）．15．如图，经过点B （－2，0）的直线b kx y +=与直线24+=x y 相交于点A （-1，-2），则不等式kx +b<4x +2<0 的解集为 ▲ .16. 如图A （3，0），B （0，6），BC ⊥AB 且D 为AC 中点，双曲线ky x=过点C ，则k = ▲ . 17．在一列数k x x x x 321,,中，已知,11=x 且当2≥k 时，,4241411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-k k x x k k （取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，如[][]02.0,26.2==），则2015x 等于▲ .(第16题图)xBy OACD(第18题图)18．如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧BC 的中点，连结AE 、BC 交于点F ，则AFEF的值为 ▲ ． 三、解答题（共8道大题，19—21题，每题8分,第22题、第23题9分，24题10分，25题12分，26题14分，共78分）19．（本题8分）（1）计算：1123(3)2sin 60--⨯+°（2）先化简：13x -·32269122x x x xx x x -+----，然后再取一个你喜爱的x 的值代入求值．20．（本题8分）今年我国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表． 级别 观 点频数(人数)A 大气气压低，空气不流动 80B 地面灰尘大，空气湿度低 mC 汽车尾气捧放 nD 工厂造成的污染120 E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m ＝ ▲ ，n ＝ ▲ ，扇形统计图中E 组所占的百分比为 ▲ ％； （2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D 组“观点”的市民人数.调查结果扇形统计图21．（本题8分）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，AC 为对角线． 将ACD ∆ 绕点A 逆时针旋转60°得到AC D ''∆，连结DC '． （1）求证：ADC ∆≌ADC '∆．（2）求在旋转过程中线段CD 扫过图形的面积．（结果保留π）.22．（本题9分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B =∠D =90°，AB =BC =15千米，CD =23千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积； （2）求∠ACD 的余弦值.23．（本题9分）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． （1）请说出这个几何体模型的最确切的名称是 ▲ ．（2）如图2是根据 a ，h 的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中的粗实线表示的 正方形（中间一条虚线）和粗实线表示的三角形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）在（2）的条件下，已知h =20cm, 求该几何体的表面积．A B C D C 'D '（第21题图）（第22题图）ABCD（第24题图）（图1） （图2）24．（本题10分）已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C 三点． （1）求该抛物线的解析式及顶点P 的坐标. （2）连接PA 、AC 、CP ，求△PAC 的面积；（3）过点C 作y 轴的垂线，交抛物线于点D ，连接PD 、BD ，BD交AC 于点E ，判断四边形PCED 的形状，并说明理由．25．（本题12分）某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球，已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A•超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？ （2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．26．（本题14分）如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上，同时，抛物线2C 的顶点在抛物线1C 上，那么，我们称抛物线1C 与2C 关联.（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y ；③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联，并说明理由. （2）抛物线1C :2)1(812-+=x y ，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转︒180得到抛物线2C ，若抛物线1C 与2C 关联，求抛物线2C 的解析式.（3）点A 为抛物线1C :2)1(812-+=x y 的顶点，点B 为与抛物线1C 关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角ABC Δ，使其直角顶点C 在y 轴上，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.数学参考答案及评分标准1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCACBBCBDACD13. 3114.甲 15. 10x -<< 16.227- 17. 3 18. 212-三、解答题（19—21题，每题8分，22题、23题9分，24题10分，25题12分，26题14分） 19．（本题8分）（1）原式=32……………………………………………4分（酌情给分）（2）原式=22x -- ……………………………………………………3分 （x 的值不能取0，2，3）…………………………………4分20．（本题8分）（1） 40 ， 100 ， 15 ……………………………………………(6分)（2）12010030400⨯= （万人）答：其中持D 组“观点”的市民人数30万人……………………………………(8分) 21.（本题8分）（1）证明: 略……………………………………………………………4分（2）略解：226036016=3603S πππ⨯⨯⨯⨯（4）4…………………………8分 （酌情分步给分）22.（本题9分） （1）连结AC ，∵AB =BC =15千米，∠B =90°，∴∠BAC =∠ACB =45°，AC =152千米. ………………………………………(3分) 又∵∠D =90°， ∴AD =2222)23()215(-=-CD AC =123（千米）……………(5分)∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123（千米）. ……………………………(6分)面积=S △ABC +S △ADC =21×15×15+21×123×32=2225+186（平方千米）.…(7分) （2）cos ∠ACD =5121523==AC CD . ………………………………………………(9分)23．（本题9分）（1）直三棱柱………………………………………………………………2分 （2）图略……………………………………………………………………5分（3）22a ==………………………………………………………6分2221=(102)22102202060040022S ⨯⨯+⨯⨯+=+表面积（cm ）………9分24．（本题10分）（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30039c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ……………………………2分 ∴322+--=x x y ………………………………3分 由322+--=x x y 4)1(2++-=x ∴顶点)4,1(-P ………………4分 （2）由题意可得：52=PA ，2=PC ，23=AC∵222AC PC PA +=∴090=∠PCA ………………………………5分∴11232322APC S AC PC =⨯⨯=⨯⨯= ………………………………6分（3）四边形PCED 是正方形∵点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称，点P 为抛物线的顶点∴点D 的坐标为(2,3)-，PC ＝DP∴可求得直线AC 的函数关系式是：3+=x y ，………………………………7分直线DP 的函数关系式是：5y x =+ ………………………………8分∴AC ∥DP ， 同理可得：PC ∥BD∴四边形PCED 是菱形 ………………………………9分 又∵090=∠PCA ，∴四边形PCED 是正方形………………………………10分25．（本题12分）（1）由题意，去A 超市购买n 副球拍和kn 个乒乓球的费用为0.9（20n+kn ）元，去B 超市购买n 副球拍和kn 个乒乓球的费用为[20n+n （k －3）]元．………………1分 由0.9（20n+kn ）<20n+n （k －3），解得k>10； 由0.9（20n+kn ）=20n+n （k －3），解得k=10；由0.9（20n+kn ）>20n+n （k －3），解得k<10．………………………………………4分∴当k>10时，去A 超市购买更合算；当k=10时，去A 、B 两家超市购买都一样； 当3≤k<10时，去B 超市购买更合算．……………………………………………5分 （上步结论中未写明k ≥3，不扣分）（2）当k=12时，购买n 副球拍应配12n 个乒乓球．若只在A 超市购买，则费用为0.9（20n+12n ）=28.8n （元）；若只在B 超市购买，则费用为20n+（12n －3n ）=29n （元）；………………………7分 若在B 超市购买x 副球拍，费用为W 元，则W=20x+[20（n －x ）+1×（12n －3x ）]×0.9=－0.7x+28.8n ．………………………9分 ∵0,1230.n x n x -≥⎧⎨-≥⎩ ∴0≤x ≤n ． ∴0≤x ≤n ．又W 随x 的增大而减小．…………10分∴当x=n 时，W 小=28.8n －0.7n=28.1n ．显然，28.1n<28.8n<29n ．…………………………………………………………12分 26. 解：（1）∵抛物线①2)1(1222-+=-+=x x x y ，其顶点坐标为M （-1，-2）.经验算，点M 在抛物线②上，不在抛物线③上，所以，抛物线①与抛物线③不是关联的； 抛物线②2)1(1222+--=++-=x x x y ，其顶点坐标为1N (1，2)，经验算点1N 在抛物线①上，所以抛物线①、②是关联的. ………………………………4分 （2）抛物线1C ：2)1(812-+=x y 的顶点M 的坐标为（-1，-2），因为动点p 的坐标为 （t ，2），所以点p 在直线y = 2上，作M 关于P 的对称点N ，分别过点M 、N 作直线y =2的垂线，垂足为E 、F ，则3==MF ME ，所以点N 的纵坐标为6. …………………………………………………………6分当6=y 时，62)1(812=-+x ，解之得，71=x ，92-=x .∴)6,7(N 或)6,9(-N . …………………………………………………………8分①设抛物线2C 的抛物线为6)7(2+-=x a y .因为点)2,1(--M 在抛物线2C 上，∴6)71(22+--=-a ，81-=a .∴抛物线2C 的解析式为6)7(812+--=x y ……………………………………9分②设抛物线2C 的抛物线为6)9(2++=x a y .因为点)2,1(--M 在抛物线2C 上，∴6)91(22++-=-a ，81-=a .∴抛物线2C 的解析式为6)9(812++-=x y ……………………………………10分（3）点为轴上的一动点，以为腰作等腰直角△，令的坐标为，则点B 的坐标分为两类：①当A ，B ，C 逆时针分布时，如图中B 点，过A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为H 、F ，则CAH BCF △△≅，∴CF =AH =1，BF =CH =c +2，点B 的坐标为（c +2，c -1）. 当点B 在抛物线1C ：2)1(812-+-=x y 上时，2)12(8112-++=-c c ， 解得c =1. ………………………………………………………………………………12分②当A ，B ，C 顺时针分布时，如图中B '点，过B '作y 轴的垂线，垂足为D ，同理可得点'B 的坐标为（-c -2，c +1）.当点B '在抛物线1C ：2)1(812-+=x y 上时，2)12(8112-+--=+c c ， 解得243+=c 或243-=c .综上所述，存在三个符合条件的等腰直角三角形，期中C 点的坐标分别为)1,0(1C ，)243,0(2+C ，)243,0(3-C . …………………………………………14分D'BCF BOAHxyENPFMO。
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01(解析版)
2021年山东省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01 满分100分姓名________ 班级_________一、单选题：本大题共20小题，每小题3分，共60分•在每小題给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合A={x\l<x<3}f B={x\2<x<4},则( )A.{x\2<x<3}B. {x|2*3}C. {x|l仝<4}D. {x\l<x<4}【答案】c【解析】AUB = [1,3]U(2,4) = [1,4)故选:C2.已知为实数，则“a>0且b>0"是“o + b>0且ab>0"的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，因为是实数，所以"°>0且b>0/,可推出“a + b> 0且ab>O”,“a + b> 0且ab>0"推出"。
> 0且b>0"，所以"d>0且b>0"是“a + b> 0且ab>0"的充要条件，故选C.3.已知命题p： Vxei?, e'>l+siiLr.则命题"为( )A. VxGR, e'<l+sinxB. PxWR, e'<l+sinxC. Bxo^R, e v°^l+sinx0D. HxoWR, e x° <l + sinx0【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p： VxGR,吃 1+sinx 的否定是：mxo^R，e x° < 14- sill x0.故选：D.4・已知a, b, c满足心<//,且m<0,那么下列选项中一定成立的是()A. ab>acB. c(b—a)<QC.cbr<ab zD. oc(a—c)>0【答案】A【解析】由c<b<a且acVO,知cVO且a>0.由b>c,得ab>ac—定成立，即A正确；因为c<0,b-a<0,故c(b—a)>0,故B错误；若b = 0时，显然不满足cb2 <ab\故C错误；因为ac〈O,d-c)O,故ac(a-c)<0 ,故D错误.故选：A •5.已知兀，yw(O,+8), x+y = l t则Q的最大值为()【解析】因为X，ye(0,+oo). x+y = l,1 - 4D.所以有1 = x+y》2@^=>与<当且仅当x=y =-时取等号.2故选：D.6-不等式x(4—x)v3的解集为()A. {x|xvl或x>3}B. {x|xvO或x>4}C. {x|lvxv3}D. {x|0<x<4}【答案】A【解析】由题：等式x(4-x)<3化简为：x2-4x+3 >0 (x-l)(x-3)>0解得：xvl或x>3.故选:A7.函数/(x) = >/7+i的定义域是( )A. {x|x>0}B. {x|x>0}C. {x|x*0}D. R 【答案】Ax>0【解析】要使f(x)有意义，则满足{ c，得到XX)."0故选A.8・已知函数/⑴为奇函数，且当X>0时，/(%) = 〒 +丄，则/(—1)=(X【答案】A【解析】因为/XQ 是奇函数，所以A-1) = -f(X) = -(1 + 1) = —2,故选A.9. 函数/(x) = lnr+2x-6的零点一定位于区间()A. (1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【解析】函数f (x) =lnx + 2x —6在其定义域上连续，f (2) = In 2+2*2-6 = ln2-2<o,f (3) =ln3+2・3 - 6=ln3>0；故函数f(X)= lnx + 2x-6的零点在区间(2, 3)上，故选B.10. 函数=的最大值为()-x 2+ 2,x<l【答案】B【解析】当宀1时,函数/(x)=l 在(i,g)单调递减，此时y*(x)在兀=1处取得最人值，最大值为/(i)=i ： X 当XV1时，函数/(x) = -x 2+ 2在兀二0处取得最大值，最人值为/(o) = 2.综上可得，f(x)的最大值为2.故选B.A. -2B. 0C. 1D. 22B1 -2C1 -11. 指数函数y = Q 的图像经过点（3,27）,则a 的值是（）1 1 A. 3 B. 9C. -D.-39【答案】A【解析】把点（3,27）代入指数函数的解析式，则有R=27,故d = 3,选A. 312. 已知锐角Q 满足siiia = -,则tana=（）5 3 3 一 D.-44【答案】D3【解析】二锐角a 满足sina = -, -cos a = 71 - sin 2a = Jl -f-j =- sin a 3• • tnii a = =—.cos a 4 故选:D.13. 已知函数f （x ） = 2sm 冷-彳|的最小正周期T F 下列说法正确的是（）A.函数/⑴在-令罟 上是减函数/ 5龙 、B .函数mo 的图象的对称中心为（^―.0C.函数是偶函数4 A.——3 4 B.- 3D.函数/■⑴在区间，琴 上的值域为[0,2]o 5【答案】D【解析】因为函数/(x) = 2suiLyx-|的最小正周期T =兀、手“，得3=2, 所以/(x) = 2sin(2x-—),3<\)^-2k7C+ — <2x-—<— + 2k7r , k eZ232解得：k,7T --- V x < ----- k 兀,k wZ12 12•••函数/W 在-二雲 上是增函数，故月选项错误;(2)令2x —兰= R/r, keZ3 解得：X -- -- 1 - , k 已Z6 2其对称中心的横坐标x 丰浜、所以〃选项错误；12 ⑶因为/(| = 2sin2x,所以函数f\x+^\是奇函数二故C 选项错误;故选：D.14.已知向ltd! =(2,1), S = (-l,l),若a +厶=(兀,2),则X=( )【答案】B 【解析】已知向量a =(2,1), ^ = (-1,1),则«+S = (l,2)= (x,2),因此，x = l故选：B.15. 设向量方=0,2 ,厶=(2,2),则()7C 2龙65T时, 2x-y G [0,龙], 2sinw[0,2]A. 0B. 1C. 2D. 3A.何胡B. (a-b)//bc.方与厶的夹角为专 D.(方一万)丄方【答案】D【解析】因为2= 0,2 , 1 = (2,2),所以p| = 2,円= 2jl.所以冋銅，故厦错误; 因为2= 0,2 , 5 = (2,2),所以方一方=(一2,0),所以卩-町与乙不平行，故万错误：/ CQS(a,b^ == ~^= = #•，所以&与方的夹角为扌，故 Cii'H'/h又(a-b^ a = 0-0 = 0,故选：D正确-16.已知吐■二/ (1为虚数单位，aeR\则。
2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)10
2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（10）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2,0,2}，则A∪B＝()A．{0,2}B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}【解析】A∪B＝{－2,0,2,4}．2．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定2．C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交．3．向量a＝(－1,3)，b＝(2，－4)，则a－b＝()A．(3,1)B．(－3,7)C．(3，－7) D．(1，－1)【解析】a－b＝(－1－2,3＋4)＝(－3,7)．4．等差数列{a n}中，a2＝4，a3＝5，则a8＝()A．7 B．8C．9 D．10【解析】公差为d＝a3－a2＝1，a8＝a2＋(8－2)d＝4＋6＝10.5．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π5.C 【解析】由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π. 6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝－xB ．y ＝cos xC ．yD ．y ＝－x 2【解析】函数y ＝－x 是奇函数，y ＝cos x 在(0，＋∞)上不具有单调性，y 在(0，＋∞)上单调递增、但不是偶函数，y ＝－x 2在(0，＋∞)上单调递减，故选D ．7．不等式x 2－9<0的解集为( )A ．{x |x <－3}B ．{x |x <3}C ．{x |x <－3或>3}D ．{x |－3<x <3}【解析】x 2－9<0，x 2<9，－3<x <3.8．数据5,7,7,8,10,11的标准差是( )A ．8B ．4C ．2D ．1 【解析】这组数据的平均数x －＝(5＋7＋7＋8＋10＋11)÷6＝8，s 2＝16[(5－8)2＋(7－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(11－8)2]＝4，s ＝2. 9．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知( )A.甲运动员的成绩好于乙运动员B ．乙运动员的成绩好于甲运动员C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D ．甲运动员的最低得分为0分9．A 【解析】由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30～50分，且高分较多．而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩．10．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2【解析】在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，可得A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 11．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ）A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年11．D 【解析】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项， 则70÷10＝7，则2019的天干为己，70÷12＝5余10，则2019的地支为亥，故选：D ．12．已知圆C 与y 轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x ＋5)2＋(y －5)2＝25C ．(x －5)2＋(y －5)2＝5或(x ＋5)2＋(y －5)2＝5D ．(x －5)2＋(y －5)2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25【解析】(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，r ＝5，又和y 轴相切于点(0,5)，a ＝5，b ＝5或a ＝－5，b ＝5，则方程为(x －5)2＋(y －5)2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.13．将函数y ＝cos x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为πB ．y ＝f (x )是偶函数C ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称D ．y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 【解析】将函数y ＝cos x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x 的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A ，B ，C 错误，D 正确．故选D ．14．求值：sin 45° cos15°＋cos 45°sin 15°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32【解析】sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32. 15．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( )A ．6B ．42C ．2 2D ．8【解析】∵2a >0,2b >0，a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝223＝4 2.二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．计算：log 21＋log 24＝___________．16．2 【解析】原式＝log 21＋log 222＝log 21＋2log 22＝0＋2×1＝2.17．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，则cos α＝___________．17．45 【解析】r，cos α＝x r ＝45. 18．已知直线l 1：ax ＋y －3＝0和直线l 2：3x －2y ＋3＝0垂直，则a ＝___________．18．23 【解析】由题意可知32×(－a )＝－1，∴a ＝23. 19．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则f (f (2))的值为___________． 19.2 【解析】f (f (2))＝f (log 3(22－1))＝f (1)＝2e 1－1＝2.三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)如图，三棱锥P ABC 中，P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，P A ＝PB ＝PC ＝2，E 是AC 的中点，点F 在线段PC 上．(1)证明：PB ⊥AC ；(2)若P A ∥平面BEF ，求四棱锥B APFE 的体积．(参考公式：锥体的体积公式为V ＝13Sh ，其中S 是底面积，h 是高．) 20. 【解析】(1)∵P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ∩P A ＝P ，∴PB ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴PB ⊥AC ．(2)∵P A ∥平面BEF ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面BEF ＝EF ，∴EF ∥P A ，∴四边形P AEF 为梯形，又∵P A ⊥PC ，∴四边形P AEF 为直角梯形，又∵E 是AC 的中点，∴F 为PC 的中点，∴PF ＝12PC ＝1，EF ＝12P A ＝1，∴直角梯形APFE 的面积S ＝AP ＋EF 2×PF ＝32. 由(1)知PB ⊥平面APFE . ∴四棱锥B APFE 的体积V ＝13S ·PB ＝1. 21．(12分)某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：(2)人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．21. 【解析】 (1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t 1、t 2，则t 1＝20×5＋25×10＋10×15＋5×2060＝10(小时)， t 2＝8×4＋16×8＋20×12＋16×1660(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：630×10＝2， 来自乙组的人数为：630×20＝4， 记来自甲组的2人为：a 、b ；来自乙组的4人为：c 、d 、e 、f ，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a ，b )，(a ，c ) ，(a ，d ) ，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f)，共9种，故所求的概率P＝915＝3 5.22．(12分)已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N*)．(1)证明数列{1a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；(2)记S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1，求S n.22. 【解析】(1)由已知，得a n＋1＝a n3a n＋1.∴1a n＋1＝1a n＋3.即1a n＋1－1a n＝3.∴数列{1a n}是首项1a1＝1，公差d＝3的等差数列．∴1a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴a n＝13n－2(n∈N*).(2)∵a n a n＋1＝13n－23n＋1＝13(13n－2－13n＋1)，∴S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n－2－13n＋1)]＝13(1－13n＋1)＝n3n＋1.。
2021年湖北省高中学业水平合格性考试数学试题及答案解析
2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学（满分100分，考试用时90分钟）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。
在试卷、草稿纸上答题无效。
4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交。
一、单项选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B = （）A ．∅B ．{}2C ．{}2,4D ．{}2,4,8【答案】.C 【解析】A B 是两集合的所有公共元素．．．．构成的集合。
∴A B = {}2,4，故选.C 2．复数34i z =+所对应的点位于复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】.A 【解析】复数34i z =+对应点的坐标为()3,4，在第一象限，故选.A 3．已知向量()1,2=-a ，()1,1=b ，则3+=a b （）A ．()2,7B ．()2,7-C ．()2,5--D ．()2,5-【答案】.B 【解析】()()()()()331,21,13,61,12,7.+=-+=-+=-a b 4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）A ．110B ．15C ．310D ．25【答案】.B 【解析】从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数所构成的样本空间为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}3,5,3,7,3,11,3,13,5,7,5,11,5,13,7,11,7,13,11,13Ω=共有10个样本点。
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案
2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及参考答案2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，每题4分，满分24分） I组：供使用一期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．若抛物线y?(x?1)2?2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（A）（?1?2，0）；（B）（2，0）；（C）（-1，-2）；（D）（?1?2，0）． 5．若一元二次方程4x2?3x?1的两个根分别为x1、x2，则下列结论正确的是 13，x1?x2??；（B）x1?x2??3，x1?x2??1；4413（C）x1?x2?，x1?x2?；（D）x1?x2?3，x1?x2?1．446．下列结论中，正确的是（A）圆的切线必垂直于半径；（B）垂直于切线的直线必经过圆心；（C）垂直于切线的直线必经过切点；（D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．（A）x1?x2??II组：供使用二期课改教材的考生完成1．下列运算中，计算结果正确的是3332325336（A）x・x＝2x；（B）x÷x＝x；（C）（x）＝x；（D）x+x＝2x ．2．新建的北京奥运会体育场――“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为（A）91?103；（B）910?102；（C）9.1?103；（D）9.1?104． 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．4．一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是1112（A）；（B）；（C）；（D）．122335．若AB是非零向量，则下列等式正确的是（A）AB=BA；（B）AB=BA；（C）AB+BA=0；（D）AB+BA=0． 6．下列事件中，属必然事件的是（A）男生的身高一定超过女生的身高；（B）方程4x2?4?0在实数范围内无解；（C）明天数学考试，小明一定得满分；（D）两个无理数相加一定是无理数．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．不等式2-3x>0的解集是． 8．分解因式xy �Cx -y+1= ． 9．化简：12?3? ．10．方程2x?1?3的根是．x的定义域是． x?1k12．若反比例函数y?(k?0)的函数图像过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m n x（选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．13．关于x的方程mx2?mx?1?0有两个相等的实数根，那么m= ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为y （-1，6）．若点C与点A关于x轴对称，则点B与点C之间的2 距离为． P 15．如图1，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析O 1 x 式为．11．函数y?16．在�SABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD:DB= ．17．如图2，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为．18．如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30°．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线 DB的距离为．三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：a2?2ab?b2a2?b2图1A O1B 图2 E DF C O2A 11?(?)，其中a?2?1,b?2?1． ab图3B20．（本题满分10分）x?1x5A D 解方程??．xx?1221．（本题满分10分，第（1）题满分6分，第（2）题满分4分）5如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．B 13图4求（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．22．（本题满分10分，第（1）题满分3分，第（2）题满分5分，第（3）题满分2分）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．表1：土地荒漠化扩展的面积情况年代 50、60年代的20年 70、80年代的20年 90年代的10年平均每年土地荒漠化1560 2100 2460 2扩展的面积（km）表2：沙尘暴发生的次数情况 50年代的1060年代的1070年代的1080年代的1090年代的10年代年年年年年 C每十年沙尘14 23 5 8 13 暴发生次数（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；次数（2）在图5中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；25 （3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈（选择“增加”、“稳定”或“减少”）趋势． 20 1510550年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代23．（本题满分12分，每小题满分各6分） A图5 如图6，在�SABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，D 1点F是AB的中点．（1）求证：EF=AB；2F（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：�SABE≌�SAGE．EB C图624．（本题满分12分，每小题满分各4分）y 如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，-3）为圆心， 5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点． D （1）求点B、C、D的坐标；B C （2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点， O x .求这个二次函数解析式；A （3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与 x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点F，1当�SCPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．2图725．（本题满分14分，第（1）题满分3分，第（2）题满分7分，第（3）题满分4分）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC 于点G，∠BAE2的平分线交射线BC于点O．（1）如图8，当CE=时，求线段BG的长；3CE（2）当点O在线段BC上时，设?x，BO=y，求y关于x的函数解析式；ED（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．A D A DE BO 图8CG B备用图C2021年上海市初中毕业生统一学业考试数学模拟卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位一．选择题：（本大题含I、II两组，每组各6题，满分24分）I组 1、B； 2、D； 3、C; 4、D; 5、A; 6、D． II组 1、B； 2、D； 3、C; 4、C; 5、A; 6、B．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）2; 8、(x?1)(y?1)； 9、2?3； 10、x?5； 311、x?0 且x?1；12、?； 13、4； 14、32；7、x?15、y?2x?3； 16、2:1(或2)； 17、23； 18、三．解答题：（本大题共7题，满分78分）23. 3(a?b)2a?b19．解：原式＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3分) ?(a?b)(a?b)aba?bab? ? －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) a?ba?bab ?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)a?b12 当a?2?1,b?2?1时，原式＝?.－－－－－－－－－－－－－－(3分)422x?120．解: [方法一]设y?，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)x则原方程化为y?∴y1?15?，整理得2y2?5y?2?0，－－－－－－－－－－ (2分)y21， y2?2；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(2分) 21x?11? ，得 x?2，－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?时，2x2x?1?2 得 x??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 当y?2时， x 经检验 x1?2，x2??1是原方程的根；－－－－－－－－－－－－－－－－(2分)[方法二]去分母得 2(x?1)2?2x2?5x(x?1)，－－－－－－－－－－－－－－（3分）整理得 x2?x?2?0，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）解得 x1?2，x2??1，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）经检验 x1?2，x2??1是原方程的根．－－－－－－－－－－－－－－－－－－（2分）21．解：（1）在Rt△ABC中，?BAC?90，cosB=AB5?．－－－－－－－－－ (1分) BC13∵BC=26，∴AB=10．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴AC=BC2?AB2?262?102?24．－－－－－－－－－－－－－－－－ (2分) ∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) ∴cos∠DAC= cos∠ACB=AC12?；－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) BC13(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)1AC?12．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分) 2AE12?，－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分) 在Rt△ADE中，cos∠DAE=AD13∵AD=DC， AE=EC=∴AD=13．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)22．解：（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为次数 25 1560?20?2100?20?2460?10 （2分）20?20?10?1956（km），－－－－－－－－－(1220 分) 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956 km2；（2）右图；－－－－－－－－－－－－－ (5分) （3）增加．－－－－－－－－－－－－－－(2分)23．证明：(1) 连结BE，－－－－－－－－－－ (1分)∵DB=BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．(2分)∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF=15 10 5 50年代 60年代 70年代 80年代 90年代年代1AB； 2－－－－－－－－－－－－ (3分)(2) [方法一]在△ABG中，AF?BF，AG//EF，∴BE?EG．－－－－－－（3分）在△ABE和△AGE中，AE?AE,∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE；－－(3分) [方法二]由(1)得，EF=AF，∴∠AEF=∠FAE．－－－－－－－－－－－－－(1分) ∵EF//AG，∴∠AEF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(1分)∴∠EAF=∠EAG．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ (1分)∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，∴△ABE≌△AGE．－－－－－－－－－－－ (3分)24．解：（1）∵点A的坐标为(0 ,?3)，线段AD?5，∴点D的坐标(0 ,2)．－－－－(1分)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021届广东省高三普通高中学业质量联合测评(11月大联考)数学试题解析
绝密★启用前2021届广东省高三普通高中学业质量联合测评（11月大联考）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}05B x x =≤<，则A B =（）A ．{}13x x -≤≤ B ．{}03x x ≤≤ C ．{}15x x -≤< D ．{}35x x ≤<答案：B先求出集合A ，再根据交集定义即可求出.解：因为{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}05B x x =≤<， 所以{}03A B x x ⋂=≤≤. 故选：B.2．已知复数11z i =+，复数2z 满足123z z i =-，则2z 的虚部为（） A ．2i B ．2i -C ．2D ．2-答案：D213iz z -=，将1z 代入计算即可判断出2z 的虚部. 解：因为11z i =+，则()()()()231312111i i i z i i i i ---===-++-， 所以2z 的虚部为2-. 故选：D3．已知α是第二象限的角，4sin 5α，则tan2α=（） A ．247-B ．247C ．2425-D ．2425答案：B由题可得4tan 3α=-，再由二倍角的正切公式即可求出.解：因为α是第二象限的角，4sin 5α，则3cos 5α=-，4tan 3α=-，∴22422tan 243tan 21tan 7413ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：B.4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，23S =，415S =，则5a =（） A ．16 B ．12C ．8D ．4答案：A由前n 项和公式求出首项和公比，即可求出结果. 解：设公比为q ，由23S =，415S =，则()()21411311151a q q a qq⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，所以215q +=，得2q，11a =，∴45116a a q ==.故选：A. A ．8种 B ．12种 C ．20种 D ．24种答案：C先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊.解：当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序. 故选：C.点评：方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈10=尺）（） A ．29尺 B ．27尺C ．23尺D ．21尺答案：A根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为7321⨯=（尺），高为20尺，则葛藤的长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.解：根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为20尺，矩形的底边长为7321⨯=（尺）， 因此葛藤长22202129+=（尺）. 故选：A.点评：方法点睛：对于空间几何体中最值问题的求解方法：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解. 7．已知平行四边形ABCD 中，2EC DE =，2FC BF =，2FG GE =，则AG =（） A ．2839AB AD + B ．1334AB AD + C ．5799AB AD + D ．4193AB AD + 答案：C根据向量的运算法则，逐步计算出结果.解：如图所示，为12DE EC =，12BF FC =，所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ，又2FG GE =， 1212225733333399AG AB BF FG AB AD FE AB AD AD AB AB AD ⎛⎫=++=++=++-=+ ⎪⎝⎭.故选：C.8．已知抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，作AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，若4MF =，433NF =，则AB =（） A ．103B ．4C ．5D ．163答案：D先设出直线AB 的方程，联立直线与抛物线，得到：122y y pm +=，212y y p =-，再由4MF =，433NF =，求出p ，再根据焦点弦公式即可求出AB . 解：解：如图所示，由题意知：l ：2p x =-，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2px my =+，则1,2p M y ⎛⎫-⎪⎝⎭，2,2p N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， 得：2220y pmy p --=，122y y pm ∴+=，212y y p =-，222116MF p y =+=，2222163NF p y =+=， ()42216163p p p ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，解得：2p =，设抛物线准线l 交x 轴于K ，则2KF p ==，在Rt MFK △中，可得21cos 42MFK ∠==，3MFK π∠=，AMF ∴△是等边三角形，13tan3m π∴==，123y y +=， ()12121623AB x x p m y y p =++=++=. 故选：D.点评：方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 二、多选题9．已知01a b <<<，下列不等式成立的是（） A ．1132a b >B ．1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1133log log a b >D ．11log log 33ab > 答案：BC利用幂函数和指数函数的单调性可判断A 、B 选项的正误；利用对数函数的单调性可判断C 选项的正误；利用C 选项中的结论结合换底公式、反比例函数的单调性可判断D 选项的正误. 解：因为1122a b <，1132b b <，所以1132a b<，故A 错误；因为1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1123bb⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1123ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确：1133log log a b >，C 正确；11330log log b a <<且函数1y x=在(),0-∞上为减函数，所以，11331111log log 3log log 3ab a b =<=，D 错误.故选：BC.10．如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为（）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过日平均成交量的有2天C ．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅D ．日认购量的方差大于日成交量的方差 答案：ABC结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．解：7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276； 成交量为：8、13、16、26、32、38、166． 对于A ，日成交量的中位数是26，故A 错误； 对于B ，因为日平均成交量为8131626323816629977++++++=，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B 错误； 对于C ，10月7日认购量的增幅为276112146%112-≈，10月7日成交量的增幅为16638337%38-≈，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C 错误； 对于D ，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D 正确. 故选：ABC11．设函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)，5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 在,312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是（） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 B ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 在区间,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎣⎦D ．先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得到()f x 的图象答案：ABD 先由()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，判断5212T π>，再由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可计算得,ωϕ，得到()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断.解：因为()f x 在,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，所以5212312T πππ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，因为5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2543124T πππ=-=，所以2T ππω==，得2ω=，由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈，令1k =，得6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，令712x π=-，得26x ππ+=-，故A 项正确；令6x π=，得262x ππ+=，故B 项正确；当,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,643x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2,16x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 项错误； 先将sin y x =的图象的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移12π个单位得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，故D 项正确. 故选：ABD点评：方法点睛：对于函数()sin y A ωx φ=+的对称轴与对称中心的求解，可将x ωϕ+看成一个整体，利用正弦函数的对称轴和对称中心计算求得.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AC BC CC ===，AC BC ⊥，E ､F 分别为1BB ，11A C 的中点，过点A ､E ､F 作三棱柱的截面α，则下列结论中正确的是（）A ．三棱柱111ABC ABC -外接球的表面积为106π B ．1//BC αC ．若α交11B C 于M ，则13EM =D ．α将三棱柱111ABC A B C -分成体积较大部分和体积较小部分的体积比为13:5 答案：CD对于A ，将该三棱柱视为正方体1111ABCD A B C D -的一部分，利用正方体的对角线为外接球的直径可求得外接球的表面积为108π，故A 项错误；对于B ，延长AF 与1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM 得到截面α，可推得ME 与1BC 不平行，可知B 项错误；对于C ，在1Rt B EM △中，计算可知C 项正确； 对于D ，利用体积公式计算可知D 项正确. 解：如图所示：将该三棱柱视为正方体1111ABCD A B C D -的一部分，则三棱柱111ABC A B C -外接球的半径263R =33R =24108R ππ=，故A 项错误；延长AF 与1CC 交于点P ，连接PE 交11B C 于M ，连接FM ，则平面AEMF 即为截面α. 因为1//FC AC ，F 是中点，所以1C 是PC 的中点，由1MPC △与1MEB △相似，得11112PC MC EB MB ==，得11113B M BC =， 而E 是1BB 的中点，所以ME 与1BC 不平行且必相交，所以1BC 与截面α不平行，故B 项错误； 因为12B M =，又13B E =，所以在1Rt B EM △中，222313EM =+=故C 项正确；延长PE 交BC 于点Q ，则α将三棱柱111ABC A B C -分成体积较大部分的体积为1111111681234626378323232P ACQ P FMC A QBE V V V -----=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，所以剩余部分的体积为166678302⨯⨯⨯-=，所以体积之比为7813305=，故D 项正确. 故选：CD.点评：关键点点睛：将该三棱柱视为正方体1111ABCD A B C D -的一部分，利用正方体的对角线为外接球的直径是解题关键. 三、填空题13．已知正实数m 、n 满足111m n+=，则4m n +的最小值为______.答案：9将代数式4m n +与11m n+相乘，展开后利用基本不等式可求得4m n +的最小值.解：因为111m n +=，所以()11444559n m m n m n n m m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4n mm n=，即23m n ==时等号成立，所以4m n +的最小值为9. 故答案为：9.14．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的右焦点为F ，以OF (O 为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两渐近线分别交于A ､B 两点(不同于原点).若OAB 的面积等于18ab ，则双曲线C 的离心率为______.答案：连接AB 交x 轴于D ，可得OA a =，AF b =，由Rt AODRt FOA △，可得2a OD c=，abAD c=，则根据面积可建立关于,a c 方程，求出离心率. 解：连接AB 交x 轴于D ，连接AF ，则OA AF ⊥，OA a =，AF b =， 因为Rt AODRt FOA △，所以OD AD OA OAAFOF==，即OD ADa abc ==，所以2a OD c=，ab AD c =， 因为3211228OADa b SOD AD ab c =⨯⨯==， 所以2228c e a==，即22e .故答案为：点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15．已知函数()226,0ln ,0x x x f x x x ⎧---≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x mx =-+有四个零点，则实数m的取值范围是______. 答案：()2,e根据题意，得到()y f x =和2y mx =-有四个交点，结合函数图象，分别讨论0m ≤，0m >两种情况，结合导函数的方法，利用数形结合的方法求解即可.解：若函数()()2g x f x mx =-+有四个零点，需()y f x =和2y mx =-有四个交点， 作出函数()ln f x x =和2y mx =-的图象如下图所示，当0m ≤时，由图象可得，显然不满足题意； 当0m >时，因为直线2y mx =-恒过点()0,2-，设2y mx =-与ln y x =相切于点()00,x y ，则002y mx =-，00ln y x =，由ln y x =，得1y x '=，所以01m x =，解得01x e=，m e =，即当0m e <<时，函数()ln f x x =和2y mx =-有两个交点.当0x ≤时，若2y mx =-与226y x x =---有两个交点，需方程2226mx x x -=---有两个不相等的实根，即方程()2240x m x +++=有两个不相等的实根，所以只需()22160m ∆=+->，解得2m >或，所以2m >； 综上2m e <<时，函数()()2g x f x mx =-+有四个零点. 故答案为：()2,e点评：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、双空题 16．已知()511x ax x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的所有项的系数的和为64，则a =______，展开式中3x 项的系数为______. 答案：115令1x =可求得1a =，求出()51x +展开式的通项即可得出结果. 解：令1x =得，()52164a ⨯+=，解得1a =，()51x +的展开式的通项515r rr T C x -+=，分别取52r与54-=r ，得3r =，1r =，所以()51x +的展开式中含有2x 的项的系数为35C ，含有4x 的项的系数为15C ，所以展开式中3x 项的系数为315515C C +=.故答案为：1；15.点评：本题考查二项展开式的相关问题，解题的关键是利用赋值法求所有项的系数的和，并求出()51x +展开式中含有2x 和4x 的项的系数.五、解答题17．在条件①cos cos cos 2sin cos A B C A B +=，②sinsin 2B Cb a B +=，③225sinsin 224A B B C a c b +++=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b c =，______，求ABC 的面积.答案：选①，4ABCS=；选②，3ABCS=；选③，4ABCS =根据选择的条件，利用正余弦定理，求出边长，再利用面积公式即可求出. 解：解：选择①cos cos cos 2sin cos A B C A B +=， ()cos cos cos 2sin cos A B A B A B ∴-+=，即cos cos cos cos sin sin 2sin cos A B A B A B A B -+=， 化简得：2sin cos sin sin A B A B =， 又sin 0A ≠，tan 2B ∴=，即cos B =，sin 5B =，a ∴=2bc =，由余弦定理得:()(222225c c c =+-⨯⨯， 解得:2c =，4b =，ABC ∴的面积为1sin 42S ac B ==；选择②sinsin 2B Cb a B +=， 由正弦定理可得sin sin sin sin 2B CB A B +=， 又sin 0B ≠，sinsin 2B CA +∴=， 由180ABC ++=︒，sincos 22B C A+∴= 即cos 2sin cos 222A A A =，cos 02A≠，即1sin22A =，60A =︒，由余弦定理得(()22212222c c c c =+-⨯⨯⨯，解得：3c =，3b =，ABC ∴的面积为1sin 2S bc A ==选择③ 由225sinsin 224A B B C a c b +++=及A B C π++=， 得：225coscos 224C A a c b +=， 即1cos 1cos 5224C A ac b +++=， 由正弦定理得：5sin sin cos sin cos sin sin 2A A C C A CB +++=， 3sin sin sin 2A C B ∴+=，即32a cb +=，2b c =，2a c ∴=，由a =a b ==，c =2227cos 28b a c C ab +-∴==，sin C ==ABC ∴的面积为1sin 2S ab C ==点评：方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18．已知等差数列{}n a 满足()212n n a n n k +=++，数列{}2log n b 是以1为首项，公差为1的等差数列.（1）求n a 和n b ；（2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）1n a n =+，2n n b =；（2）12n n T n +=⋅.（1）根据题中条件，得到1k =，即可求出1n a n =+；再由{}2log n b 的等差数列，求出其通项，即可得出n b ；（2）由（1）的结果，根据错位相减法，即可得出结果. 解：（1）因为()212n n a n n k +=++，所以132ka +=，283k a +=，3154k a +=， 因为{}n a 等差数列， 所以2132a a a =+， 即()28315324k k k+++=+，解得1k =， 所以12a =，23a =，()211n a n n =+-=+．因为数列{}2log n b 是以1为首项，公差为1的等差数列，所以2log 11n b n n =+-=，2nn b =．（2）由（1）得()12nn c n =+⋅，所以()12322324212nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅，①()23412223242212n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，②①-②得()()()123411121222222212212212n n n n n n T n n n +++--=⋅++++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．点评：方法点睛：错位相减法求数列{}n n a b ⋅（其中{}n a 为等差数列，{}n b 为以q 为公比的等比数列）前n 项和n T 的一般步骤：（1）先由前n 项和的定义，得到1122...n n n T a b a b a b =⋅+⋅++⋅； （2）在等式两边同乘以公比q ，得到12231...n n n qT a b a b a b +=⋅+⋅++⋅， （3）两式作差整理，即可得出结果.19．如图所示，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，AD DC ⊥，224CD AD AB ===，6SA SB SD ===.（1）求证：BC ⊥平面SBD ；（2）若点M 是线段SC 上的动点，平面MAB 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为58，求AM .答案：（1）证明见解析；（2）1103. （1）证出BC BD ⊥，取BD 的中点O ，连接OA ，OS ，证出SO ⊥平面ABCD ，从而可得BC SO ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）以A 为原点，分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，设CM CS λ=(01λ≤≤)，求出()2,43,2M λλλ--，再求出平面SBD 的一个法向量以及平面ABM 的一个法向量，空间向量的数量积表示出二面角的余弦值求出13λ=，再由向量模的求法即可求解.解：解：（1）证明：因为//AB CD ，AD DC ⊥，2AB AD ==， 所以22BD =，22BC =，又因为4CD =，所以222CD BD BC =+， 故BC BD ⊥，取BD 的中点O ，连接OA ，OS ， 因为6SA SB SD ===，所以SO BD ⊥，SOB SOA ≌△△， 所以SO OA ⊥， 因为OAOB O =，所以SO ⊥平面ABCD ，所以BC SO ⊥，又因为SO BD O ⋂=，所以BC ⊥平面SBD .（2）如图，以A 为原点，分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (2，4，0)，D (2，0，0)，S (1，1，2)， 设CM CS λ=(01λ≤≤)，则()2,43,2M λλλ--， 由（1）得平面SBD 的一个法向量为()2,2,0BC =， 设(),,n x y z =为平面ABM 的一个法向量，()0,2,0AB =，()2,43,2AM λλλ=-- 由0,0,n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()()20,24320,y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩不妨取()2,0,2n λλ=-.设平面SBD 与平面ABM 所成的二面角为θ，所以()224cos 2242n BC n BCλθλλ⋅==⨯+-2258544λλλ==-+， 整体得2610λλ+-=，解得13λ=或12λ=-(舍去)， 所以52,3,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，254110999AM =++=. 点评：方法点睛：证明线面垂直的常用方法. （1）利用线面垂直的判定定理，它是最常用的思路.（2）利用线面垂直的性质，若两条平行线之一垂直于平面，则另一条必垂直平面. （3）利用面面垂直的性质.解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A 型和B 型设备各100台，得到如下频率分布直方图：（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表： 超过2500小时 不超过2500小时 总计 A 型 B 型 总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A 型和B 型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A 型设备为X 台，求X 的分布列和数学期望；（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A 型和B 型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A 型和B 型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828答案：（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：98；（3）选择A 型设备，理由见解析. （1）根据频率分布直方图即可完善列联表，计算出卡方值，和6.635比较即可判断；（2）可得X 的取值可能为0，1，2，3，求出X 取不同值时的概率，即可得出分布列，求出数学期望；（3）分别计算出选择A 和选择B 需要更换的设备台数，即可计算出总费用，得出结果. 解：解：（1）由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有()1000.00060.00050.000350070⨯++⨯=台，则A 型不超过2500小时的有30台，同理，B 型超过2500小时的有()1000.00060.00030.000150050⨯++⨯=台，则B 型不超过2500小时的有50台. 列联表如下：因为()22200705030508.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关. （2）由（1）和分层抽样的定义可知A 型设备有3台，B 型设备有5台， 所以X 的取值可能为0，1，2，3，()35385028C P X C ===，()12353815128C C P X C ===，()21353815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===，所以X 的分布列为所以()15190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：A 型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A 型设备估计要更换3台；B 型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B 型设备估计要更换5台， 选择A 型设备的总费用()410311020.7525001016.75y -=+⨯+⨯⨯⨯⨯=1(万元)，选择B 型设备的总费用()421050.61060.7525001020.25y -=+⨯+⨯⨯⨯⨯=(万元)，所以选择A 型设备.点评：本题考查由频率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.21．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的焦距为的直线和以椭圆的右顶点A 为圆心，短半轴为半径的圆相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作两条互相垂直的直线AM 和AN ，分别交椭圆C 于M ，N 两点，问x 轴上是否存在一定点Q ，使得MQA NQA ∠=∠成立，若存在，则求出该定点Q ，若不存在，请说明理由.答案：（1）2214x y +=；（2）存在，定点为10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）设右焦点(),0c ，右顶点(),0A a ，求出c =出方程，求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）由（1）可知右顶点()2,0A ，且过点A 的直线AM 和AN 的斜率存在且不为0， 设直线AM 和AN 的方程分别为()2y k x =-和()12y x k=--，设(),M M M x y ，(),N N N x y ，联立直线与椭圆方程，表示出M ，N 两点坐标，设x 轴上存在一定点(),0Q t ，使得MQA NQA ∠=∠成立，根据斜率公式，由韦达定理，列出方程求解，得出t ，即可得出结果.解：（1）设右焦点(),0c ，右顶点(),0A a ，因为2c =c =因为椭圆的左顶点(),0a -，故直线方程为)y x a =+，即0x a +=，b =，223a b -=，解得2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）由（1）可知右顶点()2,0A ，且过点A 的直线AM 和AN 的斜率存在且不为0， 设直线AM 和AN 的方程分别为()2y k x =-和()12y x k=--，设(),M M M x y ，(),N N N x y ， 联立()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()222214161640k x k x k +-+-=， 因为直线AM 和椭圆C 交于A ，M 两点，所以22164214M k x k-=+，即228214M k x k -=+， 即()24214M M ky k x k -=-=+，222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理222824,44k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.设x 轴上存在一定点(),0Q t ，使得MQA NQA ∠=∠成立， 则0QM QN k k +=，即0N MQM QN M N y y k k x t x t+=+=--，即()M M N N M N y x y x y y t ⋅+⋅=+⋅， 因为()()()22222222241010482824144144414M M N Nk k k k k ky x y x k k k k k k ----⋅+⋅=⋅+⋅=++++++， ()()()2222243344144414M N k k k ky y k k k k --+=+=++++，即()()()()()()22222241010433414414k k k k t kk kk--=⋅++++，解得103t =. 因此x 轴上存在一定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭，使得MQA NQA ∠=∠成立. 点评：关键点点睛：求解本题的关键在于，根据MQA NQA ∠=∠，得到0QM QN k k +=，得出M ，N 坐标之间关系，再由直线与椭圆联立后的结果，结合韦达定理，由斜率之和为0，列出方程求解，即可求解.22．已知函数()()()2ln 12f x x a x x =++++.（1）当1a =时，求()f x 在点(0，()0f )处的切线方程；（2）当0a >时，若()f x 的极大值点为1x ，求证：()112ln 22f x <-+. 答案：（1）22y x =+；（2）证明见解析.（1）求出()f x 在0x =处的导数值，即切线斜率，求出()0f ，即可得出切线方程；（2）求出()f x 的导数，由判别式讨论()f x '的正负以确定单调性，可得出()f x 有唯一的极大值点为1x ，且1314x -<<-，即2111231a x x =-++，构造函数()()3ln 121214t t t t t ϕ⎛⎫=+-+-<<- ⎪+⎝⎭，利用导数求出单调性可得()312ln 242t ϕϕ⎛⎫<-=-+ ⎪⎝⎭，即得证. 解：解：（1）当1a =时，()()2ln 12f x x x x =++++，因为()1211f x x x '=+++，所以()02f '=， 因为()02f =，所以()f x 在点(0，()0f )处的切线方程为22y x =+. （2）()()()2ln 12f x x a x x =++++的定义域为()1,-+∞，()()212312111ax ax a f x a x x x +++'=++=++， 令()2231g x ax ax a =+++，28a a ∆=-，①当0∆≤，即08a <≤时，()0g x ≥，故()0f x '≥， 所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.此时()f x 无极大值. ②当0∆>，即当8a >时，()g x 的对称轴34x =-， 因为()11102g g ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，31048a g ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在区间11,2⎛⎫--⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ， 不妨设12x x <，其中131,4x ⎛⎫--⎪⎝⎭∈，231,42x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∈. 所以当11x x -<<时，()0g x >，()0f x '>，所以()f x 在()11,x -上单调递增； 当12x x x <<时，()0g x <，()0f x '<，所以()f x 在(1x ，2x )上单调递减； 当2x x >时，()0g x >，()0f x '>，所以()f x 在()2,x +∞上单调递增. 此时函数()f x 有唯一的极大值点为1x ，且1314x -<<-，又因为()10g x =，所以2111231a x x =-++，所以()()()()2111112111112ln 12231ln 121f x x x x x x x x x -++=+-++++=++， 记()()3ln 121214t t t t t ϕ⎛⎫=+-+-<<- ⎪+⎝⎭， ()()()()()224312120121121t t t tt t t t t ϕ++-'=-=>++++， 所以()t ϕ单调递增，()312ln 242t ϕϕ⎛⎫<-=-+ ⎪⎝⎭，即()112ln 22f x <-+. 点评：关键点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题的关键是讨论()f x 的单调性以确定()f x 有唯一的极大值点为1x ，且1314x -<<-，得出2111231a x x =-++，再根据单调性求出最值即可证明.。