[原创]必修第一册第五章5.1.1 任意角
课堂练习： 1、书P5 练习 ：3，4，5. 2、书P9 A组 4
思考题：已知角是第三象限角，
则2 ， 各是第几象限角？
2
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
象限角 轴线角
终边相同角
课后作业
1. 作业本（教材P.9A组 第1、3(1)(3)(5)题） 2. 优化设计
映角的大小.
在同一直角坐标系内作出30°、390°、330°、750°,观察它们终边的关系
390°= 30°+＿1·＿36＿0° -330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0°
归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合 ｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝
5.1.1 任意角
1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条射线组成 的图形
2.初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、平角、周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
观察一组图片 1.钟表的指针旋转
2.自行车的车轮周而复始地转动
思考：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是 多大角度? 如何度量这些角度呢？
例3. 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S
中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º的元素β写出来.
解 S={β∣β= 45°+ k·360°,k∈Z} ∪
{β∣β= 225°+k·360°,k∈Z}=
S={β∣β= 45°+ k·180°,k∈Z} S中适合-360 °≤β＜ 720 °的元素是: 45 º- 2×180°= - 315 º, 45 º- 1×180°= - 135 º, 45 º- 0×180°= 45 º, 45 º+ 1×180°= 225 º, 45 º+ 2×180°= 405 º, 45 º+ 3×180°= 585 º,
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角.
练习：下列各角：-50°，405°，210°, -200°， －450°分别是第几象限的角？
y
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50° o 405°
o
o
－200°
x
o －450°
第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角
(1) k Z
(2) 是任意角； (3)终边相同的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相同，终边相同的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判断它是哪个象限的角.
(1) －120º；(2) 640º；(3) －950º12′. 解：⑴∵－120º=－360º+240º，
∴240º的角与－120º的角终边相同，第三象限角． ⑵ ∵640º=360º+280º，
∴280º的角与640º的角终边相同，第四象限角． ⑶ ∵－950º12’=－3×360º+129º48’，
∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同， 它是第二象限角．
例2 终边在x轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= k·360°,k∈Z｝ 终边在x轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 1800+k·360°,k∈Z｝ 终边在x轴上角的集合 ｛β︱β= k·180°,k∈Z｝ 变式：终边在y轴上角的集合为
写出与0°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合 S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
注意以下三点：
⑵零角的终边与始边重合，如果 是零角 = 0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正 角、负角和零角．
Hale Waihona Puke 1.从中午12点到下午3点， 时针走过的角度是＿-9＿00
2.钟表经过4小时，时针与 分针各转了__-1_2_0_º_、_-_1_4_4_0_º_
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y
B1
o
x
B2
在直角坐标系内,角的顶点与
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形
“旋转”形成角
顶点
o
终边
B
A
始边
(二)角的分类:
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角.
负角： 按顺时针方向旋转所形成的角. 如α=-150º.
零角： 没有作任何旋转的角.记作α=0º.
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
2.非象限角（轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
y
y
o
x
o
x
思考1：直角与轴线角是什么关系？ 直角一定是轴线角，轴线角不一定是直角.
思考2：锐角是第几象限角？第一象限的角一定是 锐角吗？ 锐角是第一象限角，第一象限的角不 一定是锐角
思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限，不能反
2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.1.1 任意角
反思
感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝 角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外 需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结 论不正确只需举一个反例即可.
跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120°
在的象限即可.
跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
(2)与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z
√C.260°＋k·360°，k∈Z
B.100°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°， 故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.
三、区域角的表示
例3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
12345
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是 _{_α_|k_·_3_6_0_°_＋__4_5_°_<_α_<_k_·3_6_0_°_＋__1_5_0_°_，__k_∈__Z_}__.
解析 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}.
5.1.1 任意角(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
由 = ⋅ 360 ∘ + 24 ∘ 得： =
2
⋅360 ∘
2
+ 12 ∘ ∈ ，
当 = 2 ∈ 时， 2 = ⋅ 360 ∘ + 12 ∘ ∈ ，
则 2 为第一象限角；
当 = 2 + 1 ∈ 时， 2 = ⋅ 360 ∘ + 192 ∘ ∈ ，
A．逆时针，270°
B．顺时针，270°
【答案】B
【解析】由题意可得∠ = 120°，
设∠ = ，
则∠ = ∠ + ∠ = 120° + = −150°，
解得 = −270°，
所以射线 绕端点 顺时针旋转270°，
故选：B
）
C．逆时针，30° D．顺时针，30°
【解析】（1）因为−80° = 280° − 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与−80°角终边相同的角是
280°，它是第四象限角．
（2）因为1600° = 160° + 4 × 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与1600°角终边相同的角
是160°，它是第二象限角．
（3）因为−819°36′ = 260°24′ − 3 × 360°，
所以在区间 0°, 360° 内，与−819°36′角终边相同的
角是260°24′，它是第三象限角．
典型例题
题型二：终边相同的角的表示
【对点训练3】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 −720 ∘ ≤ < 360 ∘ 的元素 写
出来：
（1）60 ∘ ；
（2）−45 ∘ ；
3 6 0 ∘ , ∈ Z )}，
高中数学必修第一册第五章课后答案
第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角P171练习1.锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.【答案】锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.2.今天是星期三，那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?【答案】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则7()k k ∈Z 天后的那一天是星期三；7()k k ∈Z 天前的那一天仍然是星期三；1007142=⨯+，所以100天后的那一天是星期五.3.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）420︒；（2）75︒-；（3）855︒；（4）510︒-.【答案】（1）如图①，是第一象限角；（2）如图②，是第四象限角；（3）如圈③，是第二象限角；（4）如图④，是第三象限角.①②③④4.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）5418-︒'；（2）3958︒'；（3）119030-︒'.【答案】【小问1】因为541836030542'-'+= ，所以在0360 范围内，与角5418-︒'终边相同的角为30542' ，是第四象限角.【小问2】因为3958360358''-= ，所以在0360 范围内，与角3958' 终边相同的角为358' ，是第一象限角.【小问3】因为119030436024930'-'=-⨯+ ，所以在0360 范围内，与角119030-' 终边相同的角为24930' ，是第三象限角.5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式720360β︒︒-<≤的元素β：（1）130318︒'；（2）225︒-.【答案】（1）{}|130318360,k k Z ββ︒︒'=+⋅∈，分别令5,4,3k =---，得49642β︒'=-，13642︒-'，22318︒'；（2）{}|225360,k k Z ββ︒︒=-+⋅∈，分别令1,0,1k =-，得585,225,135β︒︒︒=--.5.1.2弧度制P175练习1.把下列角度化成弧度：（1）2230︒'；（2）210-︒；（3）1200︒.【答案】【小问1】2.把下列弧度化成角度：（1）12π；（2）43π-；（3）310π.3.用弧度表示：（1）终边在x 轴上的角的集合；（2）终边在y 轴上的角的集合.【答案】(1){|2,}{|2,}{|,}k k k k n n ααπααππααπ=∈⋃=+∈==∈Z Z Z ；4.利用计算工具比较下列各对值的大小：（1）cos0.75︒和cos0.75；（2）tan1.2︒和tan1.2.【答案】(1)由计算器可算出cos 0.75 1.000︒≈，cos0.750.712≈所以cos0.75cos0.75︒>(2)由计算器可算出tan1.20.021︒≈，tan1.2 2.572≈所以tan1.2tan1.2︒<5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m 的圆中，60︒的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.6.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.习题5.1P175复习巩固1.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）265-︒；（2）1000-︒；（3）84310-︒'；（4）3900︒.【答案】（1）95o ，第二象限角（2）80 ，第一象限角（3）23650' ，第三象限角（4）300o ，第四象限角2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式360360β-︒<≤︒的元素β：（1）60︒；（2）75-︒；（3）82430'-︒；（4）475︒；（5）90︒；（6）270︒；（7）180︒；（8）0︒.【答案】（1）{}|60360,S k k Z αα==︒+︒∈ ；300,60-︒︒.（2）{}|75360,S k k Z αα==-︒+︒∈ ；75,285-︒︒.（3）{}82430|360,S k k Z αα'-=+︒︒=∈ ；0,210543035'︒︒'-.（4）{}5|360,47S k k Z αα==+︒︒∈ ；245,115-︒︒.（5）{}0|360,9S k k Z αα==+︒︒∈ ；270,90-︒︒.（6）{}|270360,S k k Z αα==︒+︒∈ ；90,270-︒︒.（7）{}0|360,18S k k Z αα==+︒︒∈ ；180,180︒-︒.（8）{}|0360,S k k Z αα==︒+︒∈ ；0,360︒︒.3.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.【答案】第一象限角：{}|36036090,k k k ββ︒︒︒⋅<<⋅+∈Z ，第二象限角：{}|36090360180,k k k ββ︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈Z ，第三象限角：{}|360180360270,k k k ββ︒︒︒︒⋅+<<⋅+∈Z ，4.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？【答案】解：不等于1弧度，这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长.5.把下列角度化成弧度：（1）36︒；（2）150-︒；（3）1095︒；（4）1440︒.6.把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01︒）：（1）76π-（2）103π-（3）1.4；（4）23.【答案】（1）210-（2）600-o （3）80.25 （4）38.22 P176综合运用7选择题（1）.已知α是锐角，那么2α是（）．A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角其中D 选项不包括90 ，故错误.故选：C（2）若α为第一象限角，则2α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角【答案】因为α为第一象限角，8.要在半径100OA cm =的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，那么圆心角AOB ∠是多少度（可用计算工具，精确到1°）？【答案】解：设AOB α∠=.方法1：由l R α=，得112100α=，解得112 1.12()64100rad α︒==≈，方法2：由180R l πα︒=，得100112180πα︒⨯=，解得64α︒≈.9.已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200︒，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm ）.P176拓广探索10.每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积1S .（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为2S ，求1S 与2S 的比值；（2）要使1S 与2S 的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1︒）？【答案】解：（1）设半径为12,,R S S 所对圆心角分别为,αβ，且2211222122,,12R S S S R S R αααβππββ+=+=∴==.（2）设扇子的圆心角为θ.由2122120.6181(2)2R S S R θπθ==-，得0.618(2)θπθ=-,则2.40138rad θ︒≈≈.11.（1）时间经过4h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。
数学人教A版必修第一册第五章5.1.1任意角
在初中学习的角的定义是什么？角的 范围呢？
角：一点出发的两条射线所围成的图形
（静止地角度）
定义：一条射线绕一个端点从一个位置 （始边）旋转到另一个位置（终边）所 形成的图形
范围在: 0 ~ 360.
（运动地角 度）
1.角定义：一条射线绕一个端点从一 个位置（始边）旋转到另一个位置 （终边）所形成的图形
注意 ：(1) K ∈ Z , α是任意角 .
O
x
B
(2) K·360°与α 之间是“+”号， 如 K·360°－30 °应看成K·360 °+ （-
(330)k°的）两层含义： 特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角; 一般性:表示了所有与α终边重合的角的集合.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它 们相差360°的整数倍.
正角：按逆时针方向旋转形 负成角的：角按。顺时针方向旋转形 成 零的角角：射。线不 等表示
角的画法：画图时，常用带箭
头的弧表示旋转的方向
B
A o
例如：画出750 、210 、150 的角
说明
1：.角的正负由旋转方向决
定2.角可以任意大小，绝对值大小
概念辨析
y
1、锐角是第几象限 第一象限
的2、角第？一象限的角是否的都角 不是 o
x
是3、锐小角于？90°的角都是锐
角小吗于？90°的角并不都是锐角，
它也有可能是零角或负角。
4.第二象限的角一定比第一象限 的象角限大角吗只？能反应角的终边所在象 限，不能反应角的大小.
问题探究：
在直角坐
①将角-32°按照上述方法放在直角标坐系中标可
新教材人教A版数学必修第一册课件：第五章5.1.1任意角
也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平
k·360°+225° ＜ ＜ k·360°+270°,k∈Z 分成2部分，并且依次标①②③④
所以 的终边位于第一或者第三象限. ，则标②的就是 所在的区域.
即时巩固
【5】若α是第二象限角，请确定 的终边所在的位置 【解】
这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴 正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并 且依次标上①②③④，则标③的就是 所在 的区域.
终边相同的角
【整理】轴线角的集合表示
{α|α=k·360°，k∈Z} {α|α=k·360°+180°，k∈Z} {α|α=k·360°+90°，k∈Z} {α|α=k·360°+270°，k∈Z}
{α|α=k·180°，k∈Z} {α|α=k·180°+90°，k∈Z}
{α|α=k·90°，k∈Z}
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合 S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
终边相同的角 【总结】对于S={β|β=α+k·360°，k∈Z}的理解应注意以下几点：
【1】α是任意角 【2】k∈Z有三层含义：
①特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角 ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括角α本身) ③从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数
新知学习
角的定义 【导入】现实生活中随处可见超出0°~360°范围的角.例如体操中的“前空翻转体
540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0°~360°，并 且旋转的方向也不相同.
新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册
【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.
类型二 终边相同的角的表示及应用(直观想象) 【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式360°≤β<720°的元素β写出来.
四步
理解 题意
思路 探求
内容
条件：角的终边在直线y=x上. 结论：①求角的集合； ②求适合-360°≤β<720°的角.
2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③ 475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.
【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相 等； ②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确； ③小于90°的角是锐角错误，如负角； ④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第 一象限角； ⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错 误. 其中错误的是①③④⑤.
【变式探究】 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°，k∈Z} ∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或 (2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°，k∈Z} ={α|n·180°+30°≤α<n·180°+105°，n∈Z}.
人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章5.1.1 任意角课件
整体感知
问题1 请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如 下问题： （1）本章将要学习的函数是什么？ （2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具 体例子吗？ （3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
（1）本章将要学习的函数是三角函数；
整体感知
问题1 请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如 下问题： （1）本章将要学习的函数是什么？ （2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具 体例子吗？ （3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？ （2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆 运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；
（1）
（2）
（3）
新知探究
追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？
如果α＞β，则α－β＞0°； 如果α＝β，则α－β＝0°； 如果α＜β，则α－β＜0°．
从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转 │β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β＝0°，则不作旋转），这 时终边所对应的角是α－β．
新知探究
问题2 如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，
如何刻画点P的位置变化呢？
P
通过角的变化进行刻画．
A O
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问题3 我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中 有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．
“
“
生 活 中 的 实 例
（1）
720 ”
后前 空空 翻翻 转转 体体
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问题6 在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？ 有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式 将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？
高中数学新人教A版必修第一册 第五章 5.1.1 任意角 课件(42张)
【解析】选 D.对于 A，420°＝360°＋60°，所以 60°角与 420°角的终边相同，所以 A 不正确；对于 B，α＝30°是锐角，而 2α＝60°也是锐角，所以 B 不正确；对于 C，480°＝360°＋120°，所以 480°角是第二象限角，所以 C 不正确；对于 D， －420°＝－360°－60°，又 60°角与－60°角的终边关于 x 轴对称，所以 D 正确．
【问题 1】怎样用角区分扳手顺时针旋转、逆时针旋转? 【问题 2】720°的角与我们初中所学的角有何区别? 【问题 3】如何定义生活中的这些角?
1.任意角 角的分类
(1)本质:将初中的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广的任意角. (2)混淆:实际问题中容易混淆正角和负角.
正角、负角、零角是根据什么区分的? 提示:角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的,逆时针旋转时为正角,顺
本质:相差 360°的整数倍的角,终边相同.
1.一个小时过去了,时针转过的角度是 30°吗? 2.第一象限的角一定是锐角吗? 3.始边与终边相同的角一定是 0°角吗? 提示:1.不是;2.不一定;3.不一定.
观察教材图 5.1-5,你能分别表示出终边在两条射线上的角的集合吗?
提 示 : 终 边 分 别 在 两 条 射 线 上 的 角 的 集 合 为 {α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} ， {β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z} .
角所在象限的判断 (1)在 0°～360°范围内的角可以直接判断； (2)不在 0°～360°范围内的角，找到与它终边相同的角，根据在 0°～360°范围内的 角判断． 微提醒：终边在坐标轴上的角不在任何象限．
基础类型二 终边在射线(直线)上角的表示(数学运算) 【典例】写出终边在直线 y＝－ 3 x 上的角的集合． 【解析】终边在射线 y＝－ 3 x(x≤0)上的角的集合是 S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}； 终边在射线 y＝－ 3 x(x≥0)上的角的集合是 S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}． 因此，终边在直线 y＝－ 3 x 上的角的集合是 S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋ n·180°，n∈Z}．故终边在直线 y＝－ 3 x 上的角的集合是 S＝{α|α＝120°＋n·180°，n ∈Z}．
数学人教A版必修第一册5.1.1任意角
α＋k·360°
集合S＝{β|β＝____________，k∈Z}，
✓ 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数
个周角的和．
B
O
A
概念辨析
思考3.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
典例分析
例1.(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的情
(－3)×360°＋195°
(1)－120°；
(2)640°.
与－120°终边相同的角的集合为
与640°终边相同的角的集合为
M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同
的角是240°，它是第三象限的角．
的角为280°，它是第四象限的角．
2．明确象限角的概念，是判断一个角是第几象限角
或轴线角的保证．
3．理解终边相同角的含义，做到会用集合表示终边
相同的角，会求符合某种条件的角．
题型三
任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA
绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区
域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所
给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采
用连续减360°的方式，直到所得结果到达要求为止．
人教A版高中数学必修第一册第5章5-1-1任意角课件
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回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．任意角的分类有哪几种？ [提示] 按旋转方向分为：正角、负角和零角；按角的终边所在位 置可分为象限角和轴上角．
2．运用终边相同的角时应注意哪些问题？ [提示] 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意k是整数，这个条件不能 漏掉． 3．若角α与角β的终边在一条直线上，则α与β存在怎样的等量关系？ [提示] 若角α与角β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相 差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－30°是第四象限角．
()
√
(2)第二象限角是钝角．
()
×
(3)225°是第三象限角．
()
√
2 ． 下 图 中 从 OA 旋 转 到 OB ， OB1 ， OB2 时 所 成 的 角 度 分 别 是 ___3_9_0_°__、__－__1_5_0_°_、___6_0_°___．
知识点1 角的概念与分类 (1)角可以看成一条射__线__绕着它的_端__点_旋转所成的_图__形_ (2)角的分类
类型
定义
图示
正角 按_逆__时__针_方向旋转形成的角
负角 按_顺__时__针_方向旋转形成的角
射线OA没有做任何旋转，终边 零角
OB与OA重合
知识点2 角的加法与减法 设α，β是任意两个角，_－__α_为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终__边__旋转角β． (2)α－β：α－β＝_α_＋__(_－__β_)__．
√
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示 为 ： 150°≤β≤225° ， 则 所 有 满 足 条 件 的 角 β 为 {β|k·360° ＋ 150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．