卷积定理
7.3 卷积与卷积定理
则
L f1 f2 (t) F1(s)F2(s),
或
例5: 设
f
(t )
(s2
1 4s
13)2
,
求 f (t).
解 运由行位下移面性质的MATLAB语句.
>>
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1yms t
s2
s3
4s
设13F(s)
1
3
L [f((st)],2)则2
32
e2t
sin
3t.
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
为零。它们的卷积都按上式计算。
例1: 设函数 f1 t 1, f2(t) et , 求卷积 f1(t) f2 (t).
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
如果
F1(s) L [ f1(t)], F2(s) L [ f2(t)],
例4: 求
1
(
s
2
s2
1)2
拉氏变换卷积定理
拉氏变换卷积定理拉氏变换是一种重要的数学工具，可以将一个时间域上的连续信号转换为一个复平面上的函数。
通过拉氏变换，我们可以更好地了解信号的频率特性和系统的稳定性。
在信号处理中，经常会用到拉氏变换卷积定理，下面我们就来详细介绍一下。
首先，我们先回顾一下卷积的定义。
对于两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积可以表示为：$h(t) = f(t) * g(t) = int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) dtau$其中，$h(t)$表示f(t)和g(t)的卷积函数，符号*$表示卷积运算。
上式的积分区间是$(-infty, infty)$，表示整个时间轴上的积分。
接下来，我们考虑拉氏变换下的卷积定理。
设f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，则有：$H(s) = F(s)G(s)$其中，H(s)表示f(t)和g(t)的卷积函数的拉氏变换。
这个定理表明：在拉氏变换下，卷积运算等于两个函数的拉氏变换之积。
证明如下：$h(t) = f(t) * g(t) = int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) dtau$两边同时进行拉氏变换得到：$H(s) = mathcal{L}{f(t) * g(t)} = int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} f(tau)g(t-tau) e^{-st} dtau dt$ 将积分顺序交换，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty}f(tau)g(t-tau) e^{-st} dt dtau$对内层积分进行变量代换t = t' + tau，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty}f(tau)g(t') e^{-s(t'+tau)} dt' dtau$对t'进行积分，得到：$H(s) = int_{-infty}^{infty} f(tau) int_{-infty}^{infty} g(t') e^{-st'} e^{-stau} dt' dtau$将$F(s) = mathcal{L}{f(t)}$和$G(s) = mathcal{L}{g(t)}$代入，得到：$H(s) = F(s)G(s)$这就是拉氏变换下的卷积定理的证明过程。
卷积定理
2.7 卷积
2.7 卷积
一、卷积的定义
根据前面分析，任意信号可以分解为单位冲激信号的线 性组合。
ft )
0 t 2t
kt (k 1)t
t
f (t ) f ( ) (t )d f (t ) * (t )
2.7 卷积
1
h(t ) 1
x( )
1 3 t 1 , t 2 （3）当 ，即当 1 t 时 2 2
t-2 -1/2
1 t
1 重合区间 ( ,1) 2 3 3 1 1 y (t ) 1 1 (t )d t 4 16 2 2
1 x( )
-1/2 t-2 1
首先，进行变量替换，画出 f1 ( ), f 2 ( ) 的波形
f1( )
f2 ( )
1
0
1
0
f2 ( )
1 0
对 f 2 ( ) 进行反转，画出波形
（1）当 t < 0 时
f1( ) 与 f2 (t ) 图形没有相遇
则 s(t) = 0 （2）当 t > 0 时
f2 (t )
卷积积分计算——图解方法
（1）先将x(t)和h(t)的自变量t 改成 ，即：
f1 (t) f2 ( ), f2 (t) f2 ( )
f 2 ( ) f 2 ( ) （2）将其中的一个信号反褶，即 反褶
（3）时移： 时移 f 2 ( ) f 2 (t ) f2 [( t)] ，t>0时， 图形右移，t<0时，图形左移。 （4）相乘： 相乘 f1 ( ) f2 (t ) （5）对乘积后的图形积分： 积分 f1 (t) f2 (t)
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
卷积定理和相关定理.ppt
|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
50.卷积定理
例1 设 F ( s ) L [ f ( t )], 利用卷积定理 证明Laplace变换的积分性质
t 1 L f ( )d F ( s ). 0 s
证明
设 f1 ( t ) f ( t ), f 2 ( t ) 1, 则
1 L f1 ( t ) F ( s ), L f 2 ( t ) s.
f1 ( t ) f 2 ( t ) f1 f 2 ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d .
t 0
卷积定理 设 f1 ( t )和 f 2 ( t ) 满足Laplace变换
存在的条件，即存在 M 0 和 s0 0, 使得
f1 ( t ) Me s0t ,
f1 (，有 t )和 f 2 ( t ) 满足 Laplace变换 f = 卷积定理 及 例题 故根据 设
t t-sin(t) 1 1 s 0, 使得 存在的条件，即存在 和 0 sin t x sin( t 2 xt)d 0 L [ F ( s )] L [ F1M (t s) F ( s )] f ) x t si ( 0 1 f 2
存在的条件，即存在 M t 1 F ( s ) L [ f ( t )], 1设 1 t 1 t 则 e d L e 0 s0 t s ( s 1) t f1 ( t ) Me at
L [e f ( t )] F ( s a ) (Re( s a ) s0 ),
这里介绍Laplace变换的卷积性质—卷积定理. Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数 的Laplace逆变换, 而且在线性系统的研究中起着重 要作用. 因为在Laplace变换中, 总认为t <0时像原函数
常用的卷积积分公式(二)
常用的卷积积分公式(二)常用的卷积积分公式1. 卷积公式卷积是一种数学运算，常用于信号处理和图像处理中。
给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)⋅g(t−τ) dτ(f∗g)(t)=∫f−∞其中，(f * g) 表示 f(x) 和 g(x) 的卷积，t 表示卷积结果的自变量。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = 2x 和 g(x) = x^2，它们的卷积为：∞(f∗g)(t)=∫2τ⋅(t−τ)2 dτ−∞2. 线性平移不变性卷积的一个重要性质是线性平移不变性。
如果函数 f(x) 和 g(x) 的卷积为 h(x) = (f * g)(x)，那么对于任意常数 a，b，有：(a⋅f+b⋅g)∗g=a⋅(f∗g)+b⋅(g∗g)=a⋅ℎ+b⋅(g∗g)这个公式表明，卷积运算对于输入函数的线性组合是满足的。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = 2x 和 g(x) = x^2，它们的卷积为 h(x) = (f * g)(x)，那么对于任意常数 a，b，有：(a⋅f+b⋅g)∗g=a⋅ℎ+b⋅(g∗g)3. 卷积定理卷积定理是卷积在频域中的表示。
给定两个函数 f(x) 和 g(x) 的傅里叶变换为 F(k) 和 G(k)，它们的卷积的傅里叶变换为：ℱ{f∗g}=F(k)⋅G(k)其中，({f * g}) 表示 f(x) 和 g(x) 的卷积的傅里叶变换。
举例说明，假设有两个函数 f(x) = e(-x2) 和 g(x) = e(-x2/2)，它们的傅里叶变换分别为 F(k) 和 G(k)，那么它们的卷积的傅里叶变换为：ℱ{f∗g}=F(k)⋅G(k)这个公式可以方便地在频域中计算卷积运算。
总结以上是常用的卷积积分公式的列举及说明。
卷积运算在信号处理和图像处理中具有广泛的应用，理解这些公式对于深入理解卷积的原理和应用非常重要。
卷积定理公式
卷积定理公式
卷积定理 (Convolution Theorem) 是用来描述两个函数之间的互相关性，通常用于数学和信号处理中。
它表明，将两个函数的乘积成分单独拆分，并用另一种方式表示，可以获得跟其他两个函数的卷积运算同等的结果。
卷积定理公式表示如下：
(F * G) (t) = ∫a-∞ b+∞ f(x)g(t-x)dx
其中，F 和 G 是两个函数，a 和 b 是两个常数。
卷积定理的优点在于，它可以分解一个复杂的问题，使之变得更容易求解。
通过将复杂函数拆分，可以减少计算时间，提高应用的效率。
此外，它也可以用于对结果进行改变，以实现特定的目的。
- 1 -。
离散傅里叶变换 卷积定理 矩阵乘法
一、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理中常用的一种变换方法。
它将离散时域信号转换为频域信号，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
离散傅里叶变换的定义如下：$f_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn}$其中，$x_n$表示输入的离散信号，$k$表示频率索引，$f_k$表示变换后的频域信号。
离散傅里叶变换可以通过快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，FFT）高效地计算，是数字信号处理中的重要工具之一。
二、卷积定理卷积定理是信号处理中的重要定理之一，它描述了两个信号在频域进行卷积操作等效于它们在时域进行乘法操作。
具体来说，如果有两个信号$f(x)$和$g(x)$，它们的傅里叶变换分别为$F(\omega)$和$G(\omega)$，那么它们在时域的卷积$f(x)*g(x)$的傅里叶变换等于$F(\omega)G(\omega)$。
卷积定理在信号处理中有着广泛的应用，例如可以用于滤波器的设计和信号的频域分析等。
利用卷积定理，可以将信号的卷积操作转换为频域的乘法操作，从而简化了信号处理的复杂度。
三、矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念，它描述了两个矩阵相乘得到的新矩阵。
具体来说，如果有两个矩阵$A$和$B$，它们的大小分别为$m\times n$和$n\times p$，那么它们的矩阵乘法$C=AB$的定义如下：$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵$C$的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示矩阵$A$和$B$的元素。
矩阵乘法在计算机图形学、优化算法等领域有着广泛的应用，例如矩阵变换、神经网络的前向传播等。
通过高效的矩阵乘法算法（如Strassen算法、Coppersmith-Winograd算法等），可以加速复杂计算的进行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
e
jn 1 t
2
2
e jn1 2 e jn1 2 jn 1T1 2E n 1T1
j n 1 t
指数形式的傅里叶级数的系数
F ( 0) 1
1 j 0.15 1.12e F 1 1 2j 1 j 0.15 1.12e F 1 1 2j
F 2 1
1 2
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
e
j
4
F 2 1
1 2
e
j
4
19
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 2 1 ) 0.5 F 2 F ( 2 1 ) 0.5
0 0
1 0.15
sin 1 t
A 2
sin 2 1 t
直流
基波
谐波
10
其他形式 余弦形式
c0 a0 an cn cos n
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
2
1
cn
a b
2 n
2 n
bn cn sin n
§3.2
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
1
主要内容 •三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
2
一．三角函数形式的傅里叶级数 1.三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，n=0,1,.... 由积分可知
n为整数
T t
分析：狄氏条件是傅里叶级数存 在的充分条件。根据冲激信号的 定义和特性，其积分有确定值， 傅里叶级数存在。即
T
1
T
0
T
t
F n 1
1
T
F n 1
1 T
T
t e
2
2
jn 1 t
dt
1 T
O
f (t ) T (t )
1 j 1t 1 j 1t 1 j 4 j 2 1t 1 j 4 j 2 1t e e f (t ) 1 1 1 e e e e 2 j 2 j 2 2
整理
n 2
F ( n
2
1
)e
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 ( t )的实函数的性质不变。 f
25
周期单位冲激序列的频谱
T (t )
n
( t nT )
cn
c1
2.24 c2
n
0.25
c0
1
1
1
0
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15 2 1
1
0.5
1.12
1
1.12
0.25
0.5
2 1
1
0
0.15
2 1 1
0
1
2 1
0.25
21
四．总结
A
T1 2 t
a0
an
1 T1
2 T1
T1
2 T 1 2 T1
2 T 1 2
A T1
A T1
1
A ( 1)
2 T1
bn
2 T1
T1
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f t 0 A
2 T 1 2
A T1
t sin n 1 t d t
n1
n
n 1,2,3
T
2．级数形式
周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 2 T1
在满足狄氏条件时，可展成:
f ( t ) a0 a n cos n 1t bn sin n 1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量: 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度
T
1
T
0
f ( t ) cos n 1t d t j
T
1
T
0
f ( t ) sin n 1t d t
1 2
an j bn
F n1 F ( n1 ) e
j n
F ( n1 ), F ( n1 )是复数
15
幅频特性和相频特性 幅频特性 相频特性
an bn F ( n 1 )
bn n tg a n
正弦形式
d 0 a0
f ( t ) d 0 d n sin n 1 t n
n 1
dn
2 an
2 bn
bn n tg a n
1
an d n sin n
T
f ( t )e
5
13
0
说明
f (t )
n
F ( n 1 ) e
j n 1 t
4
F n 1
T
1
T1
f (t ) e
j n 1t
dt
5
1
0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号e j n t
如给出F ( n 1 )，则f t 唯一确定，)、 )式是一对 (4 (5 变换对。
bn d n cos n
11
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波
（n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合．
cn ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
n ~
可画出频谱图 周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
12
二．指数函数形式的傅里叶级数 1．复指数正交函数集 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性
T
2 T 2
cos n 1 t sin m 1 t 0
T , 2 T cos n 1 t cos m 1 t 2 2 0,
T
mn mn mn mn
3
T , 2 T sin n 1 t sin m 1 t 2 2 0,
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
22
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 三角形式
f ( t ) a 0 a n cos n 1 t bn sin n 1 t
n 1
= c0
1
1
2 1
1
0
2 1
0.15
X 18
化为指数形式
f (t ) 1
e 2j
1
j1 t
e
j1 t
2 e
2
j1 t
e
j1 t
2 j1t 2 j n1t 1 4 4 e e 2
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)来自t 0 T1
f (t ) d t
t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系 数Fn都是有限值，因为:
Fn
T
1
f t e
j n 1 t
dt
T
T
T
1
1
f t d t
T
Fn
f t d t
T
8
狄利克雷（Dirichlet）条件:例3 周期信号 f t
cn cos(n 1 t n )
n 1
j n 1 t
指数形式
f (t )
n
F ( n 1 ) e
23
(3)三个性质
收敛性： n , F n 1 谐波性： （离散性），频率只出 现在n 1处 唯一性： f ( t )的谱线唯一
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
O
c0 cn
c1
离散谱，谱线
c3
1
3 1
相位频谱
n ~ 曲线
n
O
1
3 1
17
例
2
已知f ( t ) 1 sin 1 t 2 cos 1 t cos 2 1 t ， 4
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t ) 1
5 cos( 1 t 0.15 ) cos 2 1 t 4
c0 1
c1
0.25
三角形式的傅里叶级数的谱系数