流体运动学
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 在拉格朗日描述中，流体质点所具有的任一物理量B（如速度、压力、 密度、温度等）都将表示为
• 给出或者求得式（3−1）～式（3−3）这样的表达式是拉格朗日描述 法的关键所在。
• 3.1.2 欧拉描述法
• 这是一种着眼于流场空间点的描述方法。通过在流场中各个固定空间 点上对流动的观察来确定流体质点经过该空间点时其物理量的变化规 律。
• 另一方面它又代表t时刻某个流体质点的空间位置。根据随体导数的 定义，从跟踪流体质点的角度看，x, y, z 应视为时间t的函数。因此， 物理量B 随时间的变化率为
• 结合式（3−10），上式可变为
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−12）可以写成与坐标系无关的矢量表达式
• 式中，
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 在同一个空间点上，虽然在不同的时刻被不同的流体质点所占据，且 空间点上的物理量随时间变化，但所观察到的物理量总是与该空间点 位置相联系。如果在所有不同的空间点上进行同样的观察，就可以获 得整个流体物理量的空间分布及变化规律。显然，采用欧拉描述法时， 流体质点的物理量B 都可表示为空间坐标和时间的函数，即
第三章 流体运动学
• 3.1 流体运动的两种描述方法及互相转换 • 3.2 质点的随体导数 • 3.3 迹线与流线、流管与流量 • 3.4 运动流体的应变率张量 • 3.5 流体中的作用力与应力张量
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 通常把充满运动流体的空间称为流场。根据流体的连续介质假设，在 流场中，任一时刻、任一空间点上，有且只有一个流体质点存在，即 一个空间点对应一个流体质点。因此，描述流体运动就有两种不同着 眼点的方法，分别称为拉格朗日（Lagrange）描述法和欧拉（Euler） 描述法。
• 3.1.1 拉格朗日描述法
• 这是一种着眼于流体质点的描述方法。通过对各流体质点的运动规律 （也就是它们的位置随时间变化的规律）的观察来确定整个流场的运 动规律。由于整个流场是由无数密集分布的流体质点所组成的，因此， 采用这种描述法时，首先必须用某种标号方法来区别不同的流体质点。
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−14）说明，在流场的欧拉描述中，流体质点的加速度由两部
分组成：第一部分
称为局部加速度或当地加速度，
• 它表示在同一空间点上流体速度随时间的变化率，对于定常速度场，
有
;
• 第二部分(V ·∇)V 称为迁移加速度或位变加速度，它表示在同一时刻 由于不同空间点的流体速度差异而产生的速度变化率。对均匀的速度 场，有(V ·∇)V = 0。
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3.2 质点的随体导数
• 在直角坐标系中，加速度a 可表示为 • 或写成分量形式
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−14）也可在柱坐标系和球坐标系中进行展开，得到相应的表 达式。
• 因为每一时刻，每一个流体质点都占有唯一确定的流场空间位置，因 此通常利用初始时刻t = t0时流体质点所处的空间坐标（a, b, c）作为 区分不同流体质点的标号参数。在认为选定的某种空间坐标系中，一 个流体质点只有一组固定不变的（a, b, c ）值，即不同的（a, b, c） 值代表不同的流体质点。有了流体质点的标号参数后，其运动规律若 用矢量形式给出，则为
称为随体导数或全导数； 称为局部
• 导数或当地导数，表示流场的非定常性，如果流动是定常的，则有
•
；
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3.2 质点的随体导数
• (V ·∇)称为迁移导数或位变导数，表示流场的非均匀性，如果∇B = 0，则表示场 B 是均匀的。∇称为哈密顿（Hamilton）算子，它具有 矢量和微分的双重性质，在直角坐标系中，
• 式中， (q 1,q2 ,q 3)称为欧拉变数或空间坐标，r 是空间坐标点的矢径。 在直角坐标系中， r = xi + yj + zk, (q 1, q2 , q3 ) = (x, y, z)，于是，
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 式（3-4）或式（3-5）表示了t 时刻流场各物理量的分布函数，它们 所构成的是一个物理量的场，例如，速度场、加速度场、压力场和密 度场等。
• 两种描述法只是着眼点不同，实质上是等价的。如果标号参数为 (a,b,c)的流体质点在 t时刻正好达到(x, y, z)这个空间点上，则有
• 可见两者描述的是同一种流动，这说明两种描述法之间存在联系，可 以互相转换。
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3.2 质点的随体导数
• 3.2.1 拉格朗日描述中的随体导数
• 在拉格朗日描述中，流体质点的物理量表示为B = B(a,b,c,t)，其随体
• 给出或者求得各物理量的分布函数是欧拉描述法的关键所在。对于运 动流体来说，最关键的物理量是速度场V =V(r,t)。在直角坐标系中， 习惯将 V 写成 V=ui+vj+wk，于是V =V(x, y, z,t)，或者
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 3.1.3 拉格朗日描述法与欧拉描述法之间的联系
导数很直观，就是B 对时间的偏导数： 因为(a,b,c)与时间t无关，
所以 ，
。
• 3.2.2 欧拉描述中的随体导数
• 在欧拉描述中，任一流体物理量 B 在直角坐标系中均可表示为B = B(x, y, z,t)。这里的(x, y, z)可以有双重意义：一方面它代表流场的空 间坐标；
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3.2 质点的随体导数
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 式中，r是流体质点的位置矢径；（a, b, c）称为拉格朗日变数或随 体坐标。式（3−1）可在选定的空间坐标系中写成标量形式，例如， 在直角坐标系中有
• 式中，（a, b, c）指 t = t0 时，(x, y, z) = (a,b,c)。
3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 在拉格朗日描述中，流体质点所具有的任一物理量B（如速度、压力、 密度、温度等）都将表示为
• 给出或者求得式（3−1）～式（3−3）这样的表达式是拉格朗日描述 法的关键所在。
• 3.1.2 欧拉描述法
• 这是一种着眼于流场空间点的描述方法。通过在流场中各个固定空间 点上对流动的观察来确定流体质点经过该空间点时其物理量的变化规 律。
• 另一方面它又代表t时刻某个流体质点的空间位置。根据随体导数的 定义，从跟踪流体质点的角度看，x, y, z 应视为时间t的函数。因此， 物理量B 随时间的变化率为
• 结合式（3−10），上式可变为
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−12）可以写成与坐标系无关的矢量表达式
• 式中，
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 在同一个空间点上，虽然在不同的时刻被不同的流体质点所占据，且 空间点上的物理量随时间变化，但所观察到的物理量总是与该空间点 位置相联系。如果在所有不同的空间点上进行同样的观察，就可以获 得整个流体物理量的空间分布及变化规律。显然，采用欧拉描述法时， 流体质点的物理量B 都可表示为空间坐标和时间的函数，即
第三章 流体运动学
• 3.1 流体运动的两种描述方法及互相转换 • 3.2 质点的随体导数 • 3.3 迹线与流线、流管与流量 • 3.4 运动流体的应变率张量 • 3.5 流体中的作用力与应力张量
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 通常把充满运动流体的空间称为流场。根据流体的连续介质假设，在 流场中，任一时刻、任一空间点上，有且只有一个流体质点存在，即 一个空间点对应一个流体质点。因此，描述流体运动就有两种不同着 眼点的方法，分别称为拉格朗日（Lagrange）描述法和欧拉（Euler） 描述法。
• 3.1.1 拉格朗日描述法
• 这是一种着眼于流体质点的描述方法。通过对各流体质点的运动规律 （也就是它们的位置随时间变化的规律）的观察来确定整个流场的运 动规律。由于整个流场是由无数密集分布的流体质点所组成的，因此， 采用这种描述法时，首先必须用某种标号方法来区别不同的流体质点。
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−14）说明，在流场的欧拉描述中，流体质点的加速度由两部
分组成：第一部分
称为局部加速度或当地加速度，
• 它表示在同一空间点上流体速度随时间的变化率，对于定常速度场，
有
;
• 第二部分(V ·∇)V 称为迁移加速度或位变加速度，它表示在同一时刻 由于不同空间点的流体速度差异而产生的速度变化率。对均匀的速度 场，有(V ·∇)V = 0。
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3.2 质点的随体导数
• 在直角坐标系中，加速度a 可表示为 • 或写成分量形式
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3.2 质点的随体导数
• 式（3−14）也可在柱坐标系和球坐标系中进行展开，得到相应的表 达式。
• 因为每一时刻，每一个流体质点都占有唯一确定的流场空间位置，因 此通常利用初始时刻t = t0时流体质点所处的空间坐标（a, b, c）作为 区分不同流体质点的标号参数。在认为选定的某种空间坐标系中，一 个流体质点只有一组固定不变的（a, b, c ）值，即不同的（a, b, c） 值代表不同的流体质点。有了流体质点的标号参数后，其运动规律若 用矢量形式给出，则为
称为随体导数或全导数； 称为局部
• 导数或当地导数，表示流场的非定常性，如果流动是定常的，则有
•
；
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3.2 质点的随体导数
• (V ·∇)称为迁移导数或位变导数，表示流场的非均匀性，如果∇B = 0，则表示场 B 是均匀的。∇称为哈密顿（Hamilton）算子，它具有 矢量和微分的双重性质，在直角坐标系中，
• 式中， (q 1,q2 ,q 3)称为欧拉变数或空间坐标，r 是空间坐标点的矢径。 在直角坐标系中， r = xi + yj + zk, (q 1, q2 , q3 ) = (x, y, z)，于是，
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 式（3-4）或式（3-5）表示了t 时刻流场各物理量的分布函数，它们 所构成的是一个物理量的场，例如，速度场、加速度场、压力场和密 度场等。
• 两种描述法只是着眼点不同，实质上是等价的。如果标号参数为 (a,b,c)的流体质点在 t时刻正好达到(x, y, z)这个空间点上，则有
• 可见两者描述的是同一种流动，这说明两种描述法之间存在联系，可 以互相转换。
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3.2 质点的随体导数
• 3.2.1 拉格朗日描述中的随体导数
• 在拉格朗日描述中，流体质点的物理量表示为B = B(a,b,c,t)，其随体
• 给出或者求得各物理量的分布函数是欧拉描述法的关键所在。对于运 动流体来说，最关键的物理量是速度场V =V(r,t)。在直角坐标系中， 习惯将 V 写成 V=ui+vj+wk，于是V =V(x, y, z,t)，或者
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 3.1.3 拉格朗日描述法与欧拉描述法之间的联系
导数很直观，就是B 对时间的偏导数： 因为(a,b,c)与时间t无关，
所以 ，
。
• 3.2.2 欧拉描述中的随体导数
• 在欧拉描述中，任一流体物理量 B 在直角坐标系中均可表示为B = B(x, y, z,t)。这里的(x, y, z)可以有双重意义：一方面它代表流场的空 间坐标；
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3.1流体运动的两种描述方法及互相转换
• 式中，r是流体质点的位置矢径；（a, b, c）称为拉格朗日变数或随 体坐标。式（3−1）可在选定的空间坐标系中写成标量形式，例如， 在直角坐标系中有
• 式中，（a, b, c）指 t = t0 时，(x, y, z) = (a,b,c)。
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流体力学第2章流体运动学基本概念
式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c） 表示不同的流体质点。
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
10
→
→
→
→
对于任一流体质点，其速度可表示为：
r x y z v i j k vx i v y j vz k t t t t 其加速度可表示为：
用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简 单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的， 往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物
理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下
使用，在本书中主要使用欧拉法。
13
2.2.2 欧拉法（也叫场法）
基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动， 将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的 函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流 动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k
15
2.2.3 质点导数
定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。
拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达 式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。
B B(a, b, c, t ) t t
如速度的质点导数（即加速度）为：
v ( a , b, c , t ) a ( a , b, c , t ) t
v v v vy vz 又由矢量运算公式：v v vx x y z
其中矢量算子 i j k 叫哈密顿算子 x y z
18
于是质点的速度增量可以表示为：
v v ( v v )t t
第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
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折点
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强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体运动学(课件)
由于流线不会相交，根据流管的定 义可以知道，在各个时刻，流体质点不 可能通过流管壁流出或流入，只能在流 管内部或沿流管表面流动。
因此，流管仿佛就是一条实际的管 道，其周界可以视为像固壁一样，日常 生活中的自来水管的内表面就是流管的 实例之一。
图3-13 流管
3.2流体运动的若干基本概念
2. 流束
流管内所有流体质点所形成的流动称为流束，如图3-14所示。流 束可大可小，根据流管的性质，流束中任何流体质点均不能离开流束。 恒定流中流束的形状和位置均不随时间而发生变化。
3.2流体运动的若干基本概念
3.2. 6.2非均匀流
流场中，在给定的某一时刻，各点流速都随位置而变化的流动称 为非均匀流，如图3-21所示。 非均匀流具有以下性质：
1）流线弯曲或者不平行。 2）各点都有位变加速度，位变加速度不为零。 3）过流断面不是一平面，其大小和形状沿流程改变。 4）各过流断面上点速度分布情况不完全相同，断面平均流速沿程 变化。
3.2流体运动的若干基本概念
控制体是指相对于某个坐标系来说，有流体流过的固定不变的空 间区域。
换句话说，控制体是流场中划定的空间，其形状、位置固定不变， 流体可不受影响地通过。
站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗 日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量 的变化是欧拉方法的特征。
图3-1 拉格朗日法
3.1流体运动的描述方法
同理，流体质点的其他物理量如密度ρ、压强p等也可以用拉格朗p=p(a,b,c,t)。
从上面的分析可以看到：拉格朗日法实质上是应用理论力学中的 质点运动学方法来研究流体的运动。
它的优点是：物理概念清晰，直观性强，理论上可以求出每个流 体质点的运动轨迹及其运动参数在运动过程中的变化。
流体力学——3 流体运动学
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
流体力学 3-1-2流体运动学
v y y 1
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
，
v x 1 x v y 1 t
其余各项的偏导数为零，所以加速度分布为：
ax x t 1
ay y t 1
az 0
（2）根据拉格朗日方法：
ax dvx dx 1 vx 1 x t 1 dt dt
dy ay 1 v y 1 y t 1 dt dt
dy
z z
dz
dz
ax
d x x x x y x z x dt t x y z
x y z dt t x y z d az z z x z y z z z dt t x y z ay
x ae2t , y bet , z cet
试求：用欧拉方法描述该流动的速度场是怎样的。
a xe2t , b yet , c zet
三、拉格朗日法和欧拉法的转化
（A）由拉格朗日法到欧拉法的转化思路
二、欧拉法
用欧拉法描述流体的运动时，运动要素是空间坐标x，y， z和时间变量t的连续可微函数。x，y，z，t 称为欧拉变量， t 时刻（ x，y，z ）处的速度场表示为：
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
u x A. t
ux ux B. ux t x
ux ux ux C .ux uy uz x y z
ux ux ux ux D. ux uy uz t x y z
C 的变化情况 2.欧拉法研究_____ (A) 每个质点的速度 (C) 流经每个空间点的流速 (B) 每个质点的轨迹 (D) 流经每个空间点的质点轨迹
流体力学3-3-4流体运动学
流体运动学的应用领域和发展趋势
能源
风力发电、水力发电等领域涉及到流体运动学的知识 ，用于提高能源转换效率和稳定性。
环境
流体运动学在气候变化研究、污染物扩散等领域有广 泛应用。
流体运动学的应用领域和发展趋势
1 2 3
跨学科融合
流体运动学与数学、物理、工程学等多个学科的 交叉融合，推动流体力学理论的创新与发展。
流体机械工作原理
泵的工作原理
通过叶轮旋转产生的离心力将流体吸入，在 叶轮出口处将流体以更高的压力排出。
风机的原理
利用叶轮旋转产生的空气动力学效应，将机 械能转换为空气的压力能和动能。
流体动力学在交通工程中的应用
要点一
车辆空气动力学
要点二
道路排水设计
车辆的外形设计、车速等都会影响空气对车辆的作用力， 进而影响车辆的行驶稳定性、燃油经济性等。
加强跨学科合作与交流是推动流体运动学发展的重要途径。
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流体力学3-3-4流体运动学
• 流体运动学概述 • 流体运动的分类与描述 • 流体运动的物理性质 • 流体动力学方程 • 流体运动的实例分析 • 总结与展望
01
流体运动学概述
流体运动学的定义与重要性
定义
流体运动学是研究流体运动的学科， 主要关注流体速度、方向和加速度等 物理量的变化规律。
重要性
层流与湍流
层流
流体在运动过程中，流层之间互不掺混，呈规则的层次流动 。
湍流
流体在运动过程中，流层之间相互掺混，流动呈现无规则的 紊乱状态。
定常流动与非定常流动
定常流动
流体在运动过程中，流场参数不随时 间变化而变化的流动。
非定常流动
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
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3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
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例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
流体的运动学基础
流体的运动学基础流体的运动学是研究流体在没有外力作用下的运动规律和特性的学科。
它广泛应用于物理学、力学、航空航天工程、水利工程等领域。
本文将介绍流体运动学的基本概念和我们对流体运动的理解。
一、流体的运动学基本概念流体是一种特殊物质形态，它具有没有固定形状和可变容积的特点。
流体的运动学主要研究宏观量，比如流体的速度、加速度、流速等。
下面我们将介绍一些流体运动学的基本概念。
1. 流动性流动性是流体运动学的基本特性之一。
流体分为液体和气体两种，液体的分子间作用力较大，分子难以突破内聚力，因此具有较小的可压缩性；而气体的分子间距离较大，分子间作用力相对较小，因此具有较大的可压缩性。
流动性使得流体能够运动和在容器或管道中传输。
2. 流速与流量流速是指单位时间内通过某一截面的流体的体积。
在流动过程中，流体的流速可能是不均匀的，因此为了描述整个流体的流动情况，我们引入了流量的概念。
流量是指单位时间内通过某一截面的流体的质量或体积。
在实际应用中，我们通常更关注流量而不是流速。
3. 流线与流管流线是指在不同时刻，流体质点所通过的路径连成的曲线。
流线能够直观地表达出流体运动的路径和轨迹。
当流体运动具有稳定性和不可压缩性时，流线也是连续的。
流管是由流线围成的管道，它能够将流体流动的区域划分出来。
二、流体的运动学方程流体的运动学方程是描述流体在运动过程中物理量变化规律的方程。
常见的流体的运动学方程包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
1. 欧拉方程欧拉方程描述的是连续介质中的流体运动，它是基于质点的视角建立的。
欧拉方程可表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的流速，∇是偏微分运算符。
2. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程描述的是流体在宏观尺度上的运动规律，它是基于控制体的视角建立的。
纳维-斯托克斯方程可表达为：∂v/∂t + v·∇v = -∇p/ρ + ν∇^2v + f其中，∂v/∂t是流体的加速度，v是流体的流速，p是压强，ρ是密度，ν是运动黏度，f是外力项。