第三章 流体运动学基础
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学基础
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
第三章流体运动学和动力学基础 PPT
1786年,她接受法王路易十六得邀请,定居巴黎,直至去世。近 百余年来,数学领域得许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉 格朗日得工作。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
矢量形式
一、 Euler法(欧拉法)
质点加速度:
a dv v (v )v dt t
当地加速度
迁移加速度
第一部分:就是由于某一空间点上得流体质点得速度 随时间得变化而产生得,称为当地加速度
✓2、 欧拉变数:对于三元流动,各运动要素就是空 间点得坐标(x,y,z)与时间t得函数,不同得(x,y,z)即 表示空间中不同得点,通常称(x,y,z)为欧拉变数。
一、Euler法(欧拉法)
3、 物理量方程: 研究表征流场内流体流动得各种物理量得
矢量场与标量场。
压强、密度、温度为: p p(x, y, z, t)
(1) 在定常流动中,流线不 随时间改变其位置与形状, 流线与迹线重合。在非定 常流动中,由于各空间点上 速度随时间变化,流线得形 状与位置就是在不停地变 化得。
(2) 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线, 一般情况流线不能相交与分支。
(3) 流线不能突然折转,就是一条光滑得连续曲线。
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
水力学 第三章 流体运动学
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2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章运动学基础
第三章流体运动学基础一、学习导引1、流体的速度流体的速度是一个矢量，记作V 。
x , y , z 方向的速度分量分别记作u , v , w ,即V ui vj wk ，流场的速度分布与空间坐标 x ，y ，z 以及时间t 有关，即u v r cos v sin ,v v r sin v cos v r u cos vsin ,v usinvcos3、连续性方程工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为V 宀 V 2 A 2微分形式的连续性方程为_( u) ( V) ( w) 0t x yz对于不可压缩流体，连续性方程为V V(x,y,z,t)流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即dV V V dx V dy V dz adt t x dt y dtzdtt xyz投影形式：uuu ua x uv-w —— tx y z vv v v a y u — v- — w — tx y z www w a zuvw txy z2、流线微分方程在直角坐标中，流线方程为dx dy dzuv w在柱坐标中，流线方程为dr rddzv r vv zu —— v —— w 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为u 12i 2j从而3.1 度, 3.2u v x yw0 z二、习题详解流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为2U Umax 1—式中R 表示圆管的内半径，U max 和U 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速 R 。
求断面平均流速。
u ，则Ru 2 r dr0 r解：设管中平均速度为 R 2—Umax2流体在等截面直圆管中作湍流流动，过流断面上的流速分布为U U max式中n 为常数，R 、U max 及U 的意义与上题相同。
求平均流速；若n=7,平均流速为多少?解： U当n 7时：3.3已知速度场为U (2x 2y)i ( y x)j (x z)k求：(2,4,2 )点的速度(大小和方向)。
北航水力学第三章—流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
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第三章 流体运动学基础§3—1研究流体流动的方法一、基本概念场－设在空间的某个区域内定义了标量函数或矢量函数，则称定义了相应函数的空间区域为场。
如果研究的是标量函数则称此场为标量场；如果研究的是矢量函数，则称之为矢量场；如果同一时刻场内各点函数的值都相等，则称此场为均匀场，反之为不均匀场，如果场内函数不依于时间，即不随时间改变，则称此场为定常场，反之称为不定常场。
场的分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧密度场压力场标量场力场速度场矢量场 流场―充满运动流体的场称为流场。
二、研究流体运动的欧拉法欧拉法―欧拉法是通过下列两个方面来描述整个流场情况的：（1）在空间固定点上流体的各种物理量（如速度、压力）随时间的变化。
（2）在相邻的空间点上这些物理量的变化 1、速度表示法欧拉法是以流场中每一空间位置作为描述对象，描述在这些位置上流体的物理参数随时间的变化。
显然，同一时刻，流体内部各空间点上流体质点的速度可以是不同的，即V ρ是（x, y, z ）的函数。
同一空间点上，不同时刻，流体质点的速度也是不同的。
即V ρ又是t 的函数。
另一方面x , y , z 又可以看作是流体质点的坐标，而流体质点的坐标又是时间的函数。
因此： x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )),,,(),,,(),,,(t z y x w w t z y x t z y x u u ===υυ故：V ρ=V ρ(x , y , z, t )同理：),,,(t z y x p p =),,,(t z y x ρρ=2、流体质点的加速度流体质点的加速度为：tVa d d ρρ=则：z u w y u x u u t u t z z u t y y u t x x u t u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==υd d z w y x u t t a y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υυυυυυd d zw w y w x w u t w t w a z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==υd d 用矢量表示为： V V tVt V a ρρρρϖ)(d d ∇⋅+∂∂==其中yk y j x i ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϖϖϖ 为哈密顿算式。
对于密度有： ρρρ)(d d ∇⋅+∂∂=V tt ρzw y x u t ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρυρρ显然⎪⎩⎪⎨⎧≠=0d d 0d d t t ρρ对可压缩流体对不可压流体三、研究流体运动的拉格郎日法拉格郎日法—着眼于个别流体质点运动的研究（既跟踪流体质点），研究流体内个别流体质点在不同时间，其位置、流速、压力的变化，综合所有流体质点的运动，即可得到整个流场的运动规律（在研究流体的波动与震动时用到）。
令流体质点的矢径为),,,(t c b a r r ϖϖ=，其中a 、b 、c 代表初始时刻（t=t 0时）流体质点的坐标。
显然，不同的a 、b 、c 代表不同的流体流点，则在直角坐标系中，流体质点的坐标为：x=x (a 、b 、c 、t ) y=y (a 、b 、c 、t ) z=z (a 、b 、c 、t )a 、b 、c 、t 又称为拉格朗日变数。
若固定a 、b 、c 而令t 变，得某一流体质点的运动规律；若固定t ，令a 、b 、c 变，则得到某一时刻，不同流体质点的位置分布函数。
注意，r ϖ的定义域不是场，因它不是空间坐标x 、y 、z 的函数，而是质点标号a 、b 、c 的函数。
§３—2系统与控制体一、系统系统的特点：1、从流体中取出的一定质量的流体；2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点）0d d =tm； 3、系统的体积和形状可以随时间改变，例如研究某一班同学。
4、在系统的边界上可以有能量交换。
二、控制体控制体的特点：1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。
（例如研究某教室）3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
三、欧拉法中物理量对时间的全导数设N 为t 瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η表示单位质量流体具有的这种物理量。
在流场中任选一控制体（实线）II 在t 瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为II 。
在这里用v 代表体积，V 代表速度。
t+δt 瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为III ＋II ’，则δt 时间间隔内，系统内某种物理量η的增量为：II III’It t tt t t tt v v v N N N )d ()d d (II III II ⎰⎰⎰-+=-='ηρηρηρδδ△式中v d 为微元体积，上式右边加上并减去t tt δνηρ)d (I ⎰，用δt 通除再取极限得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰'→+→t v t v t v v v t N N t tt t tt t t tt t t t t t δηρδηρδηρηρηρδδδδδδδ)d ()d ()d ()d d (lim lim 00ⅠⅢⅡⅠⅡ(a)对（a ）式左端取极限为：t N t N N t t tt t d d lim =-→δδδ (b)上式称为系统导数或系统内某种物理量对时间的变化率。
下面分析（a ）右端各项的物理意义。
其中（a ）式右端第一项的物理意义，对（a ）式右端第一项取极限为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰'→t t t tt t δνηρνηρνηρδδ)d ()d d (II I I I 0lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰→t t t tt t δνηρνηρδδ)d ()d (II II 0lim νηρd II ⎰∂∂=t νηρd cv ⎰∂∂=t(c)（c ）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。
νηρd II ⎰这一项既是时间的函数，又是所取积分体积的函数，所以用偏导数。
并且cv=Ⅱ，而cv 表示对控制体的积分。
（a ）式右端第二项的物理意义νρd ⎰Ⅲ是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体质量，νηρd ⎰Ⅲ是δt 时间内从控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量。
tttt δνηρδ)d (⎰Ⅲ则表示单位时间内从控ρ如上图，在面积A 2上取微元面积A ϖd ，其上流速为V ρ，单位时间从微元面积上流出的流体质量为A V ϖρd ⋅ρ，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种物理量为A V ϖρd ⋅ηρ，则单位时间为从A 2流出的物理量应是⎰⋅2d A A V ϖρηρ。
而⎰⎰⋅=→2d )d (limA ttt t AV tv ϖρηρδηρδδⅢ（a ）右端第三项的物理意义：t tt dv δηρ)(⎰Ⅰ表示δt 时间间隔内流进控制体的流体具有的某种物理量。
同理，单位时间内从A 1流进的这种物理量应是：⎰→ttt t tv ϖρ)d (lim 0δηρδδⅠ“－”号是因为在流入条件下，A V ϖρd ⋅或（cos α）为负值。
其中A ϖd 表示控制面的微元面积矢量，n A A ϖϖd d =，n ϖ为d Ａ的法向单位矢量，垂直于控制面，规定向外为“＋”。
经过整个控制面的某种物理量的通量为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰→t v t v A V A V t tt t tt t A A δηρδηρηρηρδδδ)d ()d (d d III 0lim 12Ⅰϖρϖρ 而： A V A V A V cs A A ϖρϖρϖρd d d 12⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰ηρηρηρ(d)其中A 1+A 2 =CS （控制面），对(1)取极限，将 (b)、(c)、(d)代入(a)则；⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰'→→t v t v t v v v t N N t t tt t t tt t t t tt t δηρδηρδηρηρηρδδδδδδ)d ()d ()d ()d d (lim lim 00ⅠⅢⅡⅠⅡ A V v t t N cs cv ϖρd d d d ⋅+∂∂=⎰⎰ηρηρ (e)或A V v t t N n cs cv d d d d ⋅+∂∂=⎰⎰ηρηρ (f)式中：V n ―为控制面法线方向的分速度。
式(e)表明：控制体内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单位时间经过控制面的Ｎ的净通量对定常流动 0d =∂∂⎰v t cv ηρ 则： A V t Nn cs d d d ⋅=⎰ηρ(g)即在定常流动的条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化只与通过控制面的流动有关。
§３—3流体流动的几个基本概念一、迹线、流线1、迹线―某一流体质点在一段时间内运动的轨迹。
对应拉格朗日方法。
2、流线―流线是这样一条空间曲线，在某一瞬时，此曲线上每一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。
下面推导流线微分方程：设流线上某点Ｍ（x 、y 、z ）处的速度为V ρ，在坐标轴上的投影为u 、υ、w ，而ds 为过Ｍ点的微元流线段，在三个坐标轴的分量为d x 、d y 、d z 。
根据流线定义。
V ρ与d s 相切则：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⇒===⇒===⇒==w z V s s V w z V y V s s V y V ux V s s x V u x V d d d d )ˆ,cos(d d d d )ˆ,cos(d d d d )ˆ,cos(ωυυυρρρ 得流线微分方程：Vs w z y u x d d d d ===υ或由 0d d 0d d 0d d d d d =-=-=-⇒=⨯z u y w y w z x y u z y x w u k j i s d V υυυϖϖϖϖρ在定常流动中，由于流场中任意点速度的大小、方向均不随时间而变。
所以，流线也不随时间变化。
换言之，流线的形状始终不变。
此外在定常流动条件下，任意一流体质点总有自己确定的轨迹，且流线上质点的迹线与流线重合，或者说，流线上的质点沿流线运动。
流线不能相交，因为在同一瞬时，同一空间点上不可能有几个流动方向。
但对驻点（υ＝0）、奇点（υ=∞）例外。
总结上述归纳为：1．常流动时，流线与迹线重合，且流线形状及位置始终不变。
而在非定常流动时，流线要随时间变化。
2．一般情况下，流线不能相交。
3．实际管道的边界线以及潜体的边界，也就是一系列的流线，在固体边界上，不存在与该边界正交的速度分量。
二、流管、流束、流量流管―在流场内任取一不是流线的封闭周线（曲线），通过封闭曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流管。