积的乘方与幂的乘方 PPT优秀课件
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1.2.幂的乘方与积的乘方(共37张PPT)
0
m为奇数
=
2(x-y)3m m为偶数
例4.解方程： 9 x 3x1
本节课你的收获是什么？
积的乘方的运算性质：
(am)n = amn ( m,n 都是正整数 ).
幂
底数 不变 ， 指数 相乘 .
的
意
义
同底数幂乘法的运算性质：
am ·an= am+n ( m,n 都是正整数 )
底数 不变 ， 指数 相加 .
随堂练习：1、计算：
(6)(x4)3·(x2)8
(7)(a2)3·(a3)4
(8)(am+3)2 (9)[(x-3y)m]3 (10)9m·27n
注1：幂的底数和指数不仅仅是单独字母 或数字，也可以是某个单项式和多项式.
下列各式是真是假：
(1)(a5)2=a7 (4)x3m+1=(x3)m+1 (2)a5·a2=a10 (5)a6·a4=a24 (3)(x3)3=x6 (6)4m·4n=22(m+n)
积的乘方 乘方的积 法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把 所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
公式的拓展
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的 性质? 怎样用公式表示?
计算
(9)3 ( 2)6 (1 1)3
3
3
(3 1)2003 ( 5 )2004
5
16
课堂小结
n个a
同底数幂的乘法运算法则：
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方：底数不变，指数相乘
(a^n)^m=a^(m·n)，m个a^n相乘
(a^n)^(1/m)=a^(n/m)，1/m个a^n相乘
2、积的乘方：
(a·b)^n=a^n·b^n
(m^a·n^b)^c=m^(a·c)·n^(b·c)
2、同底数幂的乘法：既然底数相同，指数就可以相加
a^m·a^n=a^(m+n)
扩展资料
数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。
幂不符合结合律和交换律。
因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。
幂的乘方和积的乘方课件
微积分学
幂的乘方和积的乘方是微积分学中解 决复杂函数求导和积分问题的基础， 特别是在处理幂函数、指数函数和三 角函数的导数和积分时。
科学计算领域
数值分析
幂的乘方和积的乘方在数值分析 中用于提高数值计算的精度和稳 定性，例如在求解方程、插值、
拟合、积分和微分中。
统计学
幂的乘方和积的乘方在统计学中可 用于建立数学模型，特别是对于幂 分布、指数分布和正态分布等。
量子力学
在量子力学中，幂的乘方和积的乘 方可用于描述微观粒子的波函数和 能量层级。
工程领域
电气工程
幂的乘方和积的乘方在电气工程 中用于计算电流、电压和电阻等 电气参数，特别是在电力系统和
电路设计中。
机械工程
幂的乘方和积的乘方在机械工程 中用于计算力学性能，如压力、 应力和应变等，特别是在材料力
学和结构力学中。
性质
当底数a不为0且m为正整 数时，幂的乘方是同底数 幂的乘法的逆运算。
幂的运算规则
底数不变，指数相乘。即 (a^m)^n = a^(m*n)。
负数的偶次幂是正数，奇次幂是 负数。即 (a^m)^(-n) =
1/a^(m*n)，其中m, n为正整数 。
零的任何正整数次幂都是0。即 a^0 = 1，其中a不等于0。
幂的运算应用
在物理学中，幂的乘方可以用 来计算物理量的大小，例如速 度、加速度等。
在化学中，幂的乘方可以用来 计算化学反应中物质的质量和 体积的变化。
在工程学中，幂的乘方可以用 来计算机械零件的强度和刚度 等。
02
积的乘方
定义与性质
定义
积的乘方是指将几个数相乘，再 将所得的幂相乘。
性质
积的乘方的性质与幂的乘方的性 质相似，但需要注意符号和系数 的处理。
人教版八年级上册课件 14.1.2 幂的乘方和积的乘方 (共48张PPT)
2018/8/1
温故知新
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 ( a ) a
m n
m n
(m、n都是正整数） .
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等 .
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a ) ] a
已知：am=2， an=3.
m+n 求a
= ？.
=2 × 3=6
解： am+n = am · an
2018/8/1
1.( x) （ -x） ( x)
6 5
2.( y x) （ x-y）
3 4
2018/8/1
判断下面计算是否正确，如有错误请改正。
a +a a
6 6
12
(×)
2018/8/1
(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
计算： (1) (103)3; (2) (x3)2;
(3) - ( xm )5 ; ⑸ ( y 3 )2
(4) (a2 )3∙ a5;
⑹
[(a b) 3 ]4
幂的乘方法则(重点) 例 2：计算： (1)(x2)3； (3)(a3)2－(a2)3; (2)－(x9)8； (4)(a2)3· a5.
a
6
a a
6
2a
2018/8/1
6
2、
(1) [(x y) ]
3 4
⑵ (a-b)3［(a-b)3］2
⑶［(x-y)2］2［(y-x)2］3
温故知新
1.幂的乘方的法则 语言叙述 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
符号叙述 ( a ) a
m n
m n
(m、n都是正整数） .
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等 .
2.幂的乘方的法则可以逆用.即
a
mn
(a ) (a )
m n
n m
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a ) ] a
已知：am=2， an=3.
m+n 求a
= ？.
=2 × 3=6
解： am+n = am · an
2018/8/1
1.( x) （ -x） ( x)
6 5
2.( y x) （ x-y）
3 4
2018/8/1
判断下面计算是否正确，如有错误请改正。
a +a a
6 6
12
(×)
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(3) (am)2= a mΧ 2 = a 2m ; (4) -(x4)3 = - x 4Χ3 = - x12 .
计算： (1) (103)3; (2) (x3)2;
(3) - ( xm )5 ; ⑸ ( y 3 )2
(4) (a2 )3∙ a5;
⑹
[(a b) 3 ]4
幂的乘方法则(重点) 例 2：计算： (1)(x2)3； (3)(a3)2－(a2)3; (2)－(x9)8； (4)(a2)3· a5.
a
6
a a
6
2a
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6
2、
(1) [(x y) ]
3 4
⑵ (a-b)3［(a-b)3］2
⑶［(x-y)2］2［(y-x)2］3
第02讲 幂的乘方与积的乘方(解析版)
ab
2n
54
2
，
ab
n
2
202 ，
所以 abn 20 ，故答案为： 20 ．
9．已知 a 是正整数，比较大小： 23a
【答案】
32a ．（填“ ”“ ”“ ”）
【解析】 23a 23 a 8a ， 32a 32 a 9a ，
8 9 ， a 为正整数， 23a 32a ．故答案为： ．
所以 x12 x4 3 23 8，y12 y3 4 34 81 ，
因为 8 81 ，所以 x y ．
过关检测
一、选择题
1．计算
2x2
3
的结果是（
）
A． 8x6
B． 6x6
【答案】A
【解析】 2x2 3 8x6 ，故选 A．
C． 2x6
D． 2x5
2．下列运算不正确的是（ ）
（3） a3x2 y a3x a2 y ax 3 a y 2 33 32 27 9 243 ．
【变式训练】 1．（1）若10x 3 ，10y 2 ，求代数式102x3y 的值． （2）已知 3m 2n 6 0 ，求 8m 4n 的值． 【解析】（1）因为10x 3 ，10y 2 ，
(3)已知 a 244 , b 333, c 522 ，比较 a，b，c 的大小关系．
【解析】（1）上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质．故选 C． （2） x30 (x5 )6 26 64 ， y30 ( y6 )5 35 243 ， 64 243 ， x y ； （3） a 244 (24 )11 1611 ， b 333 (33 )11 2711， c 522 (52 )11 2511，且16 25 27 ，
第 02 讲 幂的乘方与积的乘方
青岛版七年级数学下册《积的乘方与幂的乘方》PPT课件(3篇)
(2)(am)4 = am×4= a4m； (3)-(y3)2 =-(y3×2)=-y6； (4)(-x3)3 = -(x3)3= -(x3×3)=-x9．
练一练
1.计算（102)3
106
（b5)5 b25
（an)3 a3n
-(x2)m -x2m
2计算:
(1) ( 104 )2 (2) (x5)4 (3) -(a2)5 (4) (-23)20
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幂的乘方，底数不变，指数相乘。
am n = amn,其中m,n是正整数
注意： 1．公式中的底数a可以是具体的数，
也可以是代数式． 2．注意幂的乘方中指数相乘，
而同底数幂的乘法中是指数相加．
例 1 计算：
(1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)(-x3)3． 解：(1)(106)2 = 106×2= 1012;
问题1：体育课上，同学们使用的篮球的半径大约是 乒乓球半径的10倍，请同学们思考一下，篮球的表 面积大约是乒乓球表面积的多少倍？
PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
练一练
1.计算（102)3
106
（b5)5 b25
（an)3 a3n
-(x2)m -x2m
2计算:
(1) ( 104 )2 (2) (x5)4 (3) -(a2)5 (4) (-23)20
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幂的乘方，底数不变，指数相乘。
am n = amn,其中m,n是正整数
注意： 1．公式中的底数a可以是具体的数，
也可以是代数式． 2．注意幂的乘方中指数相乘，
而同底数幂的乘法中是指数相加．
例 1 计算：
(1)(106)2； (2)(am)4(m为正整数)； (3)-(y3)2； (4)(-x3)3． 解：(1)(106)2 = 106×2= 1012;
问题1：体育课上，同学们使用的篮球的半径大约是 乒乓球半径的10倍，请同学们思考一下，篮球的表 面积大约是乒乓球表面积的多少倍？
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幂的乘方与积的乘方课件PPT1
⑵ (a2 )3 a2 a2 a2 a6;
⑶ (am )3 am am am a3m (m是正整数）．
对于任意底数a与任意正整数m,n, (am )n ?
(am )n am am am (乘方的意义)
你能用语言叙述这个 a 结论吗？
nn个个mam mmm
公式中的a可表示一 个数、字母、式子等.
(同底数幂的乘法法则)
amn (乘法的定义)
幂的乘方的运算公式
Байду номын сангаас
(a m )n a mn （m，n都是正整数）．
幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ．
活动3
例2:计算:
(1) (103)5; (3) (am)2;
(2) (a4)4; (4) -(x4)3.
解: (1) (103)5=103Χ5 = 1015 ; (2) (a4)4=a4Χ4=a16;
37
37
1、计算:
(1) (ab)8
(2) (2m)3
(3) (-xy)5
(4) (5ab2)3
(5) (2×102)2 (6) (-3×103)3
答案： (1)a8b8 (3) –x5y5 (5) 4×104
(2)8m3 （4）125a3b6
(6) -2.7 ×1010
2、计算：
(1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4 答案 (1) -8x6y9 答案(2) 81a12b8c4
乘方的意义 乘法交换律、 乘方的意义 结合律
说出以上推导过程中每一步变形的 依据。
思考：积的乘方(ab)n =?
猜想：(ab)n=anbn (n为正整数)
n个ab
证明： (ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
幂的乘方与积的乘方第一课时参考课件
幂的乘方：a^m * a^n = a^(m+n)
幂的乘方：a^m / a^n = a^(m-n)
幂的乘方：a^m * a^n = a^(m+n)
幂的乘方运算实例
2^3 = 2 * 2 *2=8
3^2 = 3 * 3 =9
4^3 = 4 * 4 * 4 = 64
5^2 = 5 * 5章节标题
02
幂的乘方规则
幂的乘方定义
幂的乘方：是指两个幂相乘， 结果仍然是幂，且底数不变， 指数相加
幂的乘方性质：幂的乘方具有 交换律、结合律和分配律
幂的乘方公式：a^m * a^n = a^(m+n)
幂的乘方应用：在数学、物理、 化学等领域都有广泛应用
幂的乘方运算规则
幂的乘方：(a^m)^n = a^(mn)
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
幂的乘方与积的乘方第一课时
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 幂 的 乘 方 规 则 03 积 的 乘 方 规 则 04 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 的 关 系 05 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 的 练 习
积的乘方运算实例
添加 标题
2^3 * 3^4 = (2*3)^(3+4) = 6^7
添加 标题
(a+b)^2 * (c+d)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) * (c^2 + 2cd + d^2) = a^2c^2 + 2ac^2d + 2abcd^2 + b^2c^2 + 2bcd^2 + b^2d^2
幂的乘方：a^m / a^n = a^(m-n)
幂的乘方：a^m * a^n = a^(m+n)
幂的乘方运算实例
2^3 = 2 * 2 *2=8
3^2 = 3 * 3 =9
4^3 = 4 * 4 * 4 = 64
5^2 = 5 * 5章节标题
02
幂的乘方规则
幂的乘方定义
幂的乘方：是指两个幂相乘， 结果仍然是幂，且底数不变， 指数相加
幂的乘方性质：幂的乘方具有 交换律、结合律和分配律
幂的乘方公式：a^m * a^n = a^(m+n)
幂的乘方应用：在数学、物理、 化学等领域都有广泛应用
幂的乘方运算规则
幂的乘方：(a^m)^n = a^(mn)
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 幂 的 乘 方 规 则 03 积 的 乘 方 规 则 04 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 的 关 系 05 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 的 练 习
积的乘方运算实例
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2^3 * 3^4 = (2*3)^(3+4) = 6^7
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(a+b)^2 * (c+d)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) * (c^2 + 2cd + d^2) = a^2c^2 + 2ac^2d + 2abcd^2 + b^2c^2 + 2bcd^2 + b^2d^2
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阅读 体验 ☞
【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r3。 地球的半径约为
3
6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6×103)3
3
= 4 × 63×109
3
注意 运算顺序 !
≈ 9.05×1011 (千米11)
) n个a
n个b
乘法交换律、
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (结合律
)
=an·bn．
( 幂的意义 )
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
• 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?
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答：它的体积大约是9.05×1011立方千米。
拓展训练：
1、填空： 2a5 3 _－__8_a_1_5
x2 y7 2xy3 2 y __3_x_2_y_7___
2、选择：x3m1 可以写成___C__
A、x3 m1 B、xm 31 Cx、• x3m
Dx、m 2m1
3、填空：如果 xm yn 3 x3，y12 那么 m _1____,n __4___
3. am+am=_2_a_m__,依据__合__并__同__类__项__法__则__. 4. a3·a5=_a_8__ ,依据__同__底__数__幂__乘__法__的_
法__则______. 5. 若am=8,an=30,则am+n=_2_4_0_.
二、新课：登高望远，携手同行。
议一议：
（１）23 53等于多少？与同伴交流你的做法；
一、复习：温故而知新，不亦乐乎。
同底数的幂的乘法，底数_不__变_，指数__相_加___。 幂的乘方，底数__不__变___，指数__相__乘____。
1、填空：m2 3 =__m_6__;
c c3
n
•
cห้องสมุดไป่ตู้
n2
4n2
=______
2、选择：结果为 a14 的式子是_D___
A、a7a2 B、a7 a7 C、a7 7 D、 a7 2
解： (3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4= (-2)4 x4 y4 =16x4 y4 ；
(4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。
练：
(3) (5xy)3 ;
(4) (-2y)2n ; (5) 3x2 y3z 3
点评：运算时要分清是什么运算， 不要将运算性质“张冠李戴”
4、计算： 0.752003 4 2003
3
点评：要根据具体情况灵活利用积 的乘方运算性质（正用与逆用）。
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103 (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; = [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
（2） 28 58 ， 212 512 分别等于多少？
（３）从上面的计算中，你发现了什么规律？再换一 个例子试试。
做一做： 3 57 3 • 5
3 5m 3 • 5
abn a b 你能说明理由吗？
abn
a b a b ....... PPT模板：/moban/
阅读 体验 ☞
【例2】计算： (1)(3x)2 ; (2)(-2b)5 ;
解： (1)
(3x)2
=32x2
= 9x2 ;
(2) (-2b)5= (-2)5b5 = -32b25 ;
练： (1) (- 3n)3 ;
(2) (-2y)4 ;
阅读 体验 ☞
【例2】计算： (3)(-2xy)4 ;
(4)(3a2)n .
ab
= aa...... abb....... b = anbn
abn a nbn （n是正整数）
积的乘方等于__每__一__个__因__数__乘__方__的__积____
♐
(ab)n = an·bn
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
( 幂的意义
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明 ?
(abc)n=[(ab)·c]n
试用第一 种方法证明:
=(ab)n·cn = an·bn·cn.
方法提示 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律
，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积
的乘方法则;
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘 方的意义、乘法的交换律与结合律.
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【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r3。 地球的半径约为
3
6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6×103)3
3
= 4 × 63×109
3
注意 运算顺序 !
≈ 9.05×1011 (千米11)
) n个a
n个b
乘法交换律、
=(a·a·……·a) (b·b·……·b) (结合律
)
=an·bn．
( 幂的意义 )
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？
• 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?
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答：它的体积大约是9.05×1011立方千米。
拓展训练：
1、填空： 2a5 3 _－__8_a_1_5
x2 y7 2xy3 2 y __3_x_2_y_7___
2、选择：x3m1 可以写成___C__
A、x3 m1 B、xm 31 Cx、• x3m
Dx、m 2m1
3、填空：如果 xm yn 3 x3，y12 那么 m _1____,n __4___
3. am+am=_2_a_m__,依据__合__并__同__类__项__法__则__. 4. a3·a5=_a_8__ ,依据__同__底__数__幂__乘__法__的_
法__则______. 5. 若am=8,an=30,则am+n=_2_4_0_.
二、新课：登高望远，携手同行。
议一议：
（１）23 53等于多少？与同伴交流你的做法；
一、复习：温故而知新，不亦乐乎。
同底数的幂的乘法，底数_不__变_，指数__相_加___。 幂的乘方，底数__不__变___，指数__相__乘____。
1、填空：m2 3 =__m_6__;
c c3
n
•
cห้องสมุดไป่ตู้
n2
4n2
=______
2、选择：结果为 a14 的式子是_D___
A、a7a2 B、a7 a7 C、a7 7 D、 a7 2
解： (3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4= (-2)4 x4 y4 =16x4 y4 ；
(4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。
练：
(3) (5xy)3 ;
(4) (-2y)2n ; (5) 3x2 y3z 3
点评：运算时要分清是什么运算， 不要将运算性质“张冠李戴”
4、计算： 0.752003 4 2003
3
点评：要根据具体情况灵活利用积 的乘方运算性质（正用与逆用）。
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103 (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; = [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
（2） 28 58 ， 212 512 分别等于多少？
（３）从上面的计算中，你发现了什么规律？再换一 个例子试试。
做一做： 3 57 3 • 5
3 5m 3 • 5
abn a b 你能说明理由吗？
abn
a b a b ....... PPT模板：/moban/
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【例2】计算： (1)(3x)2 ; (2)(-2b)5 ;
解： (1)
(3x)2
=32x2
= 9x2 ;
(2) (-2b)5= (-2)5b5 = -32b25 ;
练： (1) (- 3n)3 ;
(2) (-2y)4 ;
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【例2】计算： (3)(-2xy)4 ;
(4)(3a2)n .
ab
= aa...... abb....... b = anbn
abn a nbn （n是正整数）
积的乘方等于__每__一__个__因__数__乘__方__的__积____
♐
(ab)n = an·bn
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
( 幂的意义
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明 ?
(abc)n=[(ab)·c]n
试用第一 种方法证明:
=(ab)n·cn = an·bn·cn.
方法提示 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律
，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积
的乘方法则;
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘 方的意义、乘法的交换律与结合律.