新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第四章指数函数与对数函数
4.1.1根式 (1)
4.1.2指数幂及其运算 (4)
4.2.1指数函数及其图象性质 (8)
4.2.2指数函数的性质及其应用 (11)
4.3.1对数的概念 (16)
4.3.2对数的运算 (18)
4.4.1对数函数及其图象 (22)
4.4.2对数函数的性质及其应用 (26)
4.4.3不同函数增长的差异 (30)
4.5.1函数的零点与方程的解 (34)
4.5.2用二分法求方程的近似解 (38)
4.5.3函数模型的应用 (42)
4.1.1根式
要点整理
1．根式的概念
一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负
数，这时，a的n次方根用符号n
a表示．
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±n
a，负数没有偶次方
根．
(3)0的任何次方根都是0，记作n
0＝0.
式子n
a叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)(n
a)n＝a.
(2)当n是奇数时，n
a n＝a；当n是偶数时，
n
a n＝|a|＝
⎩
⎨
⎧a，a≥0，
－a，a<0.
温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(n
a n )中a ∈R .
题型一根式的意义
【典例1】 下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②4
16的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，
n
a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，n
a 只有当a ≥0时才有意
义．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102
B ．－102 C.210
D ．±
102
[思路导引] 利用n 次方根的概念求解．
[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②4
16＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝±
102.
[答案] (1)B (2)D
n (n >1)次方根的个数及符号的确定
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式n
a 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数；
②当n 为奇数时，n
a 的符号与a 的符号一致． 题型二简单根式的化简与求值
【典例2】化简下列各式：
(1) 5
(－2)5；(2)
4
(－10)4；(3)
4
(－9)2；
(4) 4
(a－b)4.
[思路导引] 利用n
a n的性质进行化简．
[解] (1) 5
(－2)5＝－2.
(2) 4
(－10)4＝|－10|＝10.
(3) 4
(－9)2＝
4
34＝3.
(4) 4
(a－b)4＝|a－b|＝
⎩
⎨
⎧a－b(a≥b)，
b－a(a<b).
根式的化简求值注意以下2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
题型三有限制条件的根式化简
【典例3】设x∈[1,2]，化简(4
x－1)4＋
6
(x2－4x＋4)3.
[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．
[解] (4
x－1)4＋
6
(x2－4x＋4)3
＝(4
x－1)4＋
6
(x－2)6
∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．
[解] (4
(x－1))4＋
6
(x2－4x＋4)3＝(
4
x－1)4＋
6
(x－2)6
∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，
∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
4.1.2指数幂及其运算
要点整理
1．分数指数幂的意义
温馨提示：(1)分数指数幂a m
n
不可以理解为
m
n
个a相乘．
(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
(2)a －b ＝1
a
b (a >0，b 是正无理数)．
(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
题型一根式与分数指数幂的互化
【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)
1
3a 2
；(2)a 3
·3
a 2
；(3)
3
b －a 2
.
根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
题型二指数幂的运算
【典例2】 计算：
[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
题型三条件求值问题
[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.
[答案] (1)±3 5 (2)－
3 3
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
4.2.1指数函数及其图象性质
要点整理
1．指数函数的定义
一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1. 2．指数函数的图象和性质
温馨提示：(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．
(2)指数函数y ＝a x
(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝
⎛⎭⎪⎫－1，1a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的大致图象．
题型一指数函数的概念 【典例1】 (1)下列函数：。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识点大全
(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识点大全单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301） A ．5790m /s B ．6219m /s C ．6442m /s D ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果. v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．4、已知函数f(x)=11+2x ，则对任意实数x ，有（ ） A ．f(−x)+f(x)=0B ．f(−x)−f(x)=0 C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=13 答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误． f (−x )+f (x )=11+2−x +11+2x =2x1+2x +11+2x =1，故A 错误，C 正确；f (−x )−f (x )=11+2−x −11+2x =2x1+2x −11+2x =2x −12x +1=1−22x +1，不是常数，故BD 错误； 故选：C ．5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案.由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a)13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.6、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果. 原式=|m +n|−|m −n|，∵n <m <0，∴m +n <0，m −n >0， ∴原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ． 故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可. 7、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43，所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.8、设log74=a,log73=b，则log4936=（）A．12a−b B．12b+a C．12a+b D．12b−a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log4936=log7262=log76=log72+log73=12log74+log73=12a+b.故选：C.9、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得t1即可得结果.因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)=e rt=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.10、若2x−2y<3−x−3−y，则（）A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0答案：A分析：将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据f(t)=2t−3−t的单调性知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.11、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.12、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．双空题13、已知定义为R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )+g (x )=e x ，则f (x )=______，若2f (x )−e x −m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：e x +e −x2(−∞,1e2]分析：根据函数的奇偶性由f (x )+g (x )=e x得到f (x )−g (x )=e −x，两式联立即可求出f (x )=e x +e −x2；根据分离参数把问题转化为m ≤e −x 在x ∈[1,2]上恒成立，从而只需求函数y =e −x 在[1,2]上的最小值即可. 因为f (x )+g (x )=e x ，——① 所以f (−x )+g (−x )=e −x ，又因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (x )−g (x )=e −x ，——② 由①②，解得f (x )=e x +e −x2．因为2f (x )−e x −m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，所以m ≤2f (x )−e x 在x ∈[1,2]上恒成立，即m ≤e −x 在x ∈[1,2]上恒成立， 因为函数y =e −x 在[1,2]上单调递减，所以y min =e −2，所以m ≤e −2=1e 2，即实数m 的取值范围为(−∞,1e 2]．所以答案是：e x +e −x2；(−∞,1e 2].14、已知函数f (x )={−x +3,x ≤21,x >2.．（1）不等式f (3x −1)<f (x 2)的解集为____________； （2）若关于x 的方程f (e x +1e x−a)=2有两个不等实数根，则实数a 的取值范围为________．答案： (3−√52,√2) (1,+∞)分析：由图像可知函数f(x)为“不增”函数，利用函数的单调性即可解出不等式；根据函数图像可得e x +1e x −a =1，由换元法可得一元二次方程在(0,+∞)上有两个不等实数根， 结合二次函数的性质即可得出结果. 作出函数图像，该函数为“不增”函数，所以{x 2<3x −1x 2<2，解得3−√52<x <√2， 所以解集为(3−√52,√2)；由函数图像可得e x +1e x−a =1，令t =e x ，t 2−(a +1)t +1=0在区间(0,+∞)上有两个不等实数根， 则有{a +1>0,(a +1)2−4>0, 解得a >1． 所以答案是：(3−√52,√2)；(1,+∞).15、某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米． 答案： 14.59 9分析：根据条件列出关系式，分别代入求解即可. 设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝{9,0<x ≤3,8+2.15(x −3)+1,3<x ≤88+2.15×5+2.85(x −8),x >8当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9.所以答案是：14.59；9.16、设f (x )={log 2(x 2−3x +1),x <0,2−|2−x |,x ≥0,且关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则①m 的取值范围是_______；②x 1x 2x 3的取值范围是_______. 答案： 0<m <2 2(3−√21)<x 1x 2x 3<0 分析：作出函数f (x )的图象，利用数形结合法求解.当x <0时，由复合函数的单调性知：y =log 2(x 2−3x +1)单调递减，作出函数f (x )的图象，如图所示：由图可知，当0<m <2时，f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=2×2=4≥2√x 2x 3， ∴0<x 2x 3<4.令log 2(x 2−3x +1)=2， 解得x =3+√212（舍去）或x =3−√212.∴3−√212<x 1<0，∴2(3−√21)<x 1x 2x 3<0.所以答案是：0<m <2，2(3−√21)<x 1x 2x 3<017、劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足s =820−2x，每天的成本合计为600+20x元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.答案： 200 7.94分析：将利润表示为关于x的一个二次函数，求出该函数的最值即可.由题意易得日利润y=s×x−(600+20x)=x(820−2x)−(600+20x)=−2(x−200)2+79400，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，所以答案是：200，7.94.解答题18、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x <0，f(x)=1−2a |x|+1=1−2a −x +1， 若a ∈(0,1)，f(x)=1−2a −x +1，函数单调递增，f(x)max =f(0)=0，若a ∈(1,+∞)，f(x)=1−2a −x +1，函数单调递减， f(x)max =f(−1)=1−2a+1=13⇒a =2，综上，a =2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.19、已知函数f(x)=(12)x−a −b(a,b ∈R)的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，满足条件的x 的值.答案：（1）a =1，b =1；（2）x =−log 23.分析：(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.（1）由题意可得{(12)1−a −b =0(12)−a −b =1 ⇒{(12)−a −2b =0(12)−a −b =1 ⇒{b =12a =2 ，解得a =1，b =1， （2）由（1）可得f(x)=21−x −1，而g(x)=4−x −4，且f(x)=g(x)，于是有21−x −1=4−x −4，设2−x =t ，t >0，从而得t 2−2t −3=0，解得t =3，即2−x =3，解得x =−log 23，所以满足条件的x =−log 23.20、（1）求值：[(−3)2]32+0.125−13+(√23)6−(37)0（2）化简4√a 23⋅b −13÷(−23a −13b −13)答案：（1）32；（2）−6a分析：（1）根据指数幂的运算性质即可得解.（2）根据指数幂的运算性质即可得解.（1）原式=(32)32+(0.53)−13+(213)6−1=33+0.5−1+22−1=27+2+4−1=32 （2）原式=4a 23⋅b −13−23a −13b −13=4×(−32)a 23+13⋅b −13+13=−6a ⋅b 0=−6a。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。
人教高中数学必修一A版《对数函数》指数函数与对数函数说课复习(对数函数的概念、图象及性质)
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a＞1
性质
定义域 值域 定点
单调性
_(_0_，__＋__∞__) _
R
_(_1_，__0_)__，即 x＝__1__时，y＝__0__
在(0，＋∞)上是
_减__函__数___
在(0，＋∞)上是
_增__函__数___
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨
________．
解析：因为(a －4a＋4)·log x 是对数函数，则 a －4a＋4＝1，得 2 a
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2
a＝1 或 a＝3.由于 a>0，a≠1，则 a＝1 舍去，即 a＝3.
答案：3
3．若对数函数 f(x)＝logax 的图象过点(2，1)，则 f(8)＝________． 解析：依题意知 1＝loga2，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x，故 f(8) ＝log28＝3.
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(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所给
图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，
自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数
的大小．
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。
下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：一、指数函数的定义和性质：1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b等价于b=a^y。
三、指数方程和对数方程：1.指数方程：形如a^x=b的等式称为指数方程。
(1)指数方程的解法：当指数方程左右两边的底数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解；当指数方程左右两边的指数相等时，可取对数得到对数方程，再解对数方程得到解。
2. 对数方程：形如log_a^b=c的等式称为对数方程。
(1)对数方程的解法：根据对数的定义，可将对数方程化为指数方程，再解指数方程得到解。
新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数 .......................................................................................................................... - 1 - 4.2 指数函数 .................................................................................................................. - 9 -4.2.1 指数函数的概念 .......................................................................................... - 9 - 4.2.2 指数函数的图象和性质 ............................................................................ - 13 - 4.3 对数 ...................................................................................................................... - 21 -4.3.1 对数的概念................................................................................................ - 21 - 4.3.2 对数的运算................................................................................................ - 28 - 4.4 对数函数 .............................................................................................................. - 34 -4.4.1 对数函数的概念 ........................................................................................ - 34 - 4.4.2 对数函数的图象和性质 ............................................................................ - 41 - 4.4.3 不同函数增长的差异 ................................................................................ - 52 - 4.5 函数的应用(二) .................................................................................................... - 59 -4.5.1 函数的零点与方程的解 ............................................................................ - 59 - 4.5.2 用二分法求方程的近似解 ........................................................................ - 66 - 4.5.3 函数模型的应用及数学建模 .................................................................... - 72 -4.1 指数4．1.1 n 次方根与分数指数幂 4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内 容 标 准学 科 素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义． 3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一 n 次方根及根式 预习教材，思考问题如果x 2＝4，x 3＝8中的x 可以是多少？知识梳理(1)n次方根, (2)根式①定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②性质：(n＞1，且n∈N＋)(ⅰ)(na)n＝a.(ⅱ)na n＝⎩⎨⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.知识点二指数幂及运算知识梳理(1)分数指数幂的意义①规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．②规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s；②(a r)s＝a rs；③(ab)r＝a r b r.(3)无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x5＝6，则x等于()A.6B.5 6C．－56 D．±56答案：B2．234化成根式形式为()A.324 B.423C.432 D.243答案：B3．(0.027)－23的值是()A.1009 B.9100 C.103 D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝1(0.3)2＝10.09＝1009.答案：A4．当8<x<10时，(x－8)2＋(x－10)2＝________.解析：由8<x<10，得(x－8)2＋(x－10)2＝|x－8|＋|x－10|＝(x－8)＋(10－x)＝2.答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一利用根式的性质化简求值[例1] (1)化简a ＋4(1－a )4的结果是( ) A ．1 B ．2a －1 C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( ) A ．(6a －6b )6＝a －b B.8(a 2＋b 2)8＝a 2＋b 2 C.4a 4－4b 4＝a －b D.10(a ＋b )10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [解析] (1)a ＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C. (2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4， ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，(－3＜x ＜1)，－4，(1≤x ＜3).[答案] (1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝(m ＋n )2－(m －n )2 ＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化[例2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)： (1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3)a a ；(4)y 2xx 3y 3y 6x 3.[解析] (1)a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113. (3)a a ＝(a ·a 12)12＝(a 32)12＝a 34.(4)y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 313＝y 2xx 3y ·y 2x ＝y 2x (x 2·y )12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 1212＝y 54＝y 4y .(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的范围，以防错解．1．2－23等于( ) A.322 B.223 C ．－322 D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝ ⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6. 答案：6探究三 指数幂的运算[例3] 计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14(0.02723＋50×0.001 634)－12. [解析] (1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5； (2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12 ＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析] ∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)， 由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47， ∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322.2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析] ∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5， 且a 12＋a －12＞0， ∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题 常用指数幂的变换技巧则a k积：3k乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：2c ＝2a ＋1b . [证明] 令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c ，所以2c ＝2a ＋1b .4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念内 容 标 准学 科 素 养 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景． 数学抽象 直观想象2.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.授课提示：对应学生用书第52页[教材提炼]知识点 指数函数的概念 预习教材，思考问题函数y ＝x 2与y ＝2x 在解析式上，有什么不同？知识梳理 (1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .(2)指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)解析式的结构特征①底数：大于0且不等于1的常数． ②指数：自变量x .③系数：a x 前的系数必须是1.[自主检测]1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A ．2B ．－2C ．－22D ．2 2 答案：D2．下列各函数中，是指数函数的是 ( )A ．y ＝(－2)xB ．y ＝－3xC ．y ＝41－xD ．y ＝e x 答案：D3．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (x )＝________.答案：5x授课提示：对应学生用书第53页探究一 指数函数的概念[例1] 下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝x x ；(5)y ＝x α(α是常数)． [解析] (1)y ＝10x 符合定义，是指数函数． (2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数． (3)y ＝－4x 中系数为－1而非1，不是指数函数．(4)y ＝x x 中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ；(2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；(3)a x 的系数是1.函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1解析：由指数函数的定义知： ⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1，∴a ＝2(a ＝1舍去)． 答案：C探究二 指数函数的定义域及值域 [例2] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解析] (1)令t ＝1x －4，∵x ∈R 且x ≠4.∴t ≠0.∴y ＝2t ∈(0,1)∪(1，＋∞)，故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)， 值域为(0,1)∪(1，＋∞)．(2)令t ＝－|x |，可知x ∈R ，∴|x |≥0，t ≤0. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23t∈[1，＋∞)，故原函数的定义域为R ，值域为[1，＋∞)．函数y ＝a f (x )的定义域、值域的求法(1)函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． (2)函数y ＝a f (x )的值域的求法如下：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M .函数y ＝1－2x 的定义域为________，值域为________． 解析：令1－2x ≥0， ∴2x ≤1. 由图象知，x ≤0. 定义域为(－∞，0]． ∵2x ＞0，∴1－2x ＜1. ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． 答案：(－∞，0] [0,1)授课提示：对应学生用书第53页一、底数a 必须大于0且不等于1的理由 1．若a ＝0，则⎩⎨⎧x ＞0，a x 恒等于0，x ≤0，a x无意义. 2．若a ＜0，则对于一些函数，比如y ＝(－4)x ，当x ＝±12，±14，…时，在实数范围内函数值不存在．3．若a ＝1，则y ＝1x ＝1是常量，没有研究的必要．为了避免以上情况，所以规定a ＞0且a ≠1.[典例] 下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝(－4)x C ．y ＝5x ＋1D ．y ＝52x[解析] A 中虽然是一个幂，但自变量出现在底数上，故不是指数函数；B 中虽然是一个幂，且自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“大于0且不等于1”这个条件，故不是指数函数；C 中虽然是一个幂，x 也出现在指数上，但指数并不是自变量x ，故不是指数函数；D 中52x ＝25x 恰好符合指数函数的三个特点，故是指数函数．[答案] D二、忽视指数函数的值域致错[典例] 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的值域．[解析] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．纠错心得 此题换元后，误认为t ∈R .忽视⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的值域．求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y ＝a f (x )型函数，先求出f (x )的值域A ，再画y ＝a x (x ∈A )的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域．4.2.2 指数函数的图象和性质授课提示：对应学生用书第54页[教材提炼]知识点 指数函数的图象和性质 预习教材，思考问题y ＝2x 与y ＝(12)x 的单调性有什么不同？ 知识梳理0＜a ＜1a ＞1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 减函数增函数无奇偶性 [自主检测]1．若3x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：3x ＋1<1＝30，∵y ＝3x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1. 答案：D2．下列判断正确的是( ) A ．1.51.5＞1.52 B ．0.52＜0.53C．e2＜2eD．0.90.2＞0.90.5答案：D3．y＝3x2＋1的值域是________．解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3.答案：[3，＋∞)4．对任意实数m、n，当m＞n时，恒有a m＜a n，则a的取值范围为________．答案：(0,1)授课提示：对应学生用书第54页探究一利用指数函数单调性比较大小[例1]比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.50.3和0.81.2.[解析](1)函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.(3)由指数函数的性质知1．50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c与b d的大小，可取a d为中间量，a c与a d利用指数函数的单调性比较大小，b d与a d利用函数的图象比较大小.比较下列几组值的大小解析：探究二利用指数函数的单调性解不等式[例2][教材P12010题拓展探究](1)如果a－5x＞a x＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．[解析]①当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－7 6.②当a ＞1时，y ＝a x 为增函数， 则－5x ＞x ＋7， ∴x ＜－76，综上，当0＜a ＜1时，x ∈(－76，＋∞)， 当a ＞1时，x ∈(－∞，－76)．(2)设f (x )＝a x ，g (x )＝(1a )x (a ＞0，a ≠1)，如果对于∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )＞g (x )，求a 的取值范围．[解析] 由f (x )＞g (x )得a x＞1a x∴a 2x ＞1，∀x ∈(0，＋∞)都成立． ∴a ＞1.(3)设f (x )＝3x ，g (x )＝10－93x ，如果f (x )＜g (x )，那么x 的取值范围是多少？ [解析] 由f (x )＜g (x )得3x ＜10－93x ， 即(3x )2－10×3x ＋9＜0.设t ＝3x ＞0，故有t 2－10t ＋9＜0， 1＜t ＜9， 即1＜3x ＜9， ∴0＜x ＜2.解含指数式的不等式的策略(1)指数型不等式a f (x )＞a g (x )(a ＞0，且a ≠1)的解法： 当a ＞1时，f (x )＞g (x )； 当0＜a ＜1时，f (x )＜g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a ＞0，且a ≠1)，a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0，且a ≠1)等．探究三指数函数性质的综合应用[例3]已知f(x)＝x(12x－1＋12)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求证：f(x)>0.[解析](1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．(2)函数f(x)是偶函数．理由如下：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，∵f(x)＝x(12x－1＋12)＝x2·2x＋12x－1，∴f(－x)＝－x2·2－x＋1 2－x－1＝－x2·(2－x＋1)·2x (2－x－1)·2x＝－x2·1＋2x 1－2x＝x2·2x＋12x－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)证明：由(2)知f(x)＝x2·2x＋1 2x－1.对于任意x∈R，都有2x＋1>0若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，于是x2·2x＋12x－1>0，即f(x)>0，若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，于是x2·2x＋12x－1>0，即f(x)>0，综上知：f(x)>0.解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．(4)形如y ＝a f (x )的函数的单调性，若a ＞1，y ＝a f (x )的单调性与u ＝f (x )的单调性相同，若0＜a ＜1，y ＝a f (x )的单调性与u ＝f (x )的单调性相反.设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)＞0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f (x 2＋2x )＋f (4－x 2)＞0的解集．解析：(1)法一：∵f (－x )＝ka －x －a x ，－f (x )＝－ka x ＋a －x ， 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )恒成立， ∴⎩⎨⎧k ＝1，－1＝－k ，解得k ＝1. 法二：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.(2)∵f (1)＝a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1. ∵y ＝a x ，y ＝－a －x 都是R 上的增函数， ∴f (x )是R 上的增函数． ∵f (x 2＋2x )＋f (4－x 2)＞0， ∴f (x 2＋2x )＞－f (4－x 2)， ∴f (x 2＋2x )＞f (x 2－4)， ∴x 2＋2x ＞x 2－4， ∴x ＞－2.∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x＞－2}．授课提示：对应学生用书第56页一、“同为幂值，差别这么大”——指数函数与幂函数的区别指数函数y＝a x与幂函数y＝xα，其函数值都是幂的形式．但是自变量的位置发生了变化，其图象性质也会有变化．[典例]一个函数y＝f(x)是幂函数或指数函数，过点(－2，14)，研究这个函数的定义域、值域、单调性，如果该函数具有奇偶性，能确定f(x)是什么函数吗？[解析]若y＝f(x)为指数函数，设为y＝a x(a＞0，a≠1)．∵函数过点(－2，1 4)，∴14＝a－2，∴a＝2.f(x)＝2x，定义域为R.值域为(0，＋∞)．单调增函数，是非奇非偶函数．若y＝f(x)为幂函数，设为y＝xα，过点(－2，1 4)，∴14＝(－2)α，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2，即f(x)＝1 x2.定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞)．在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．此时f(x)是偶函数，具有奇偶性．故可确定f(x)＝x－2.二、忽视对底数的讨论致错[典例]函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为12，则a＝________.[解析](1)当a＞1时，函数f(x)＝a x在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取最小值．由题意得f(1)－f(0)＝12，即a－a0＝12，解得a＝3 2.(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝a x在[0,1]上是减函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝12，即a0－a＝12，解得a＝12.综上知a＝32或12.[答案]32或12纠错心得既要考虑当a＞1时，函数f(x)在[0,1]上是增函数的情况，也不能忽视当0＜a＜1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数的情况．4.3对数4.3.1对数的概念内容标准学科素养1.通过实际问题，理解对数的概念．数学抽象数学运算2.利用对数、指数关系，求对数值.授课提示：对应学生用书第56页[教材提炼]知识点一对数的概念预习教材，思考问题如果2＝1.11x，如何求x？知识梳理(1)如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N.(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N记作ln_N.(4)对数与指数的关系当a＞0，且a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.知识点二对数的基本性质预习教材，思考问题由a0＝1，a1＝a，可想到怎样的对数关系？知识梳理[自主检测]1．2m＝3化成对数式是()A．m＝log32B．m＝log23C．2＝log3m D．2＝log m3答案：B2．log54＝a化成指数式是()A．54＝a B．45＝aC．5a＝4 D．4a＝5答案：C3．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是()A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)答案：D4．lg 7与ln 8的底数分别是( ) A ．10,10 B ．e ，e C ．10，e D ．e,10答案：C授课提示：对应学生用书第56页探究一 指数式与对数式的互化 [例1] (1)将下列指数式化成对数式： ①⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；②3－2＝19；③43＝64；④⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝3. (2)将下列对数式写成指数式：①log 28＝3；②log 1214＝2；③log a a 2＝2(a >0，且a ≠1)；④log 3127＝－3.[解析] (1)①3＝log 1218；②－2＝log 319；③3＝log 464；④x ＝log 133.(2)①23＝8；②⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14；③a 2＝a 2(a >0，且a ≠1)；④3－3＝127.(1)log a N ＝b 与a b ＝N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)是等价的，表示a ，b ，N 三者之间的同一种关系．可以利用其中两个量表示第三个量．(2)对数式与指数式的关系如图：将下列对数式化为指数式：(1)log 216＝4；(2)log 1327＝－3；(3)log3x ＝6.解析：(1)24＝16. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27. (3)(3)6＝x .探究二 利用指数与对数的互化求变量的值[例2] [教材P 123例2拓展探究] (1)若log x 27＝32，则x ＝________. (2)log 2x ＝－23，则x ＝________. (3)若－ln e 3＝x ，则x ＝________. (4)若x log 34＝1，则4x ＋4－x ＝________. (5)若f (x )＝3x ，则f (log 32)＝________. [解析] (1)由log x 27＝32，可得＝27， ∴. (2)由log 2x ＝－23，可得.∴x ＝＝314＝322.(3)由－ln e 3＝x ，则ln e 3＝－x . ∴e －x ＝e 3，∴x ＝－3. (4)由x log 34＝1， ∴log 34＝1x ，∴31x ＝4， 4x＝3，∴4－x＝13，4x ＋4－x ＝3＋13＝103. (5)设t ＝log 32，则3t ＝2， ∴f (log 32)＝f (t )＝3t ＝2.[答案](1)9(2)322(3)－3(4)103(5)2指数与对数互化的本质指数式a b＝N(a>0，且a≠1)与对数式b＝log a N(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式.探究三对数的性质及应用[例3]求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)ln[log2(lg x)]＝0.[解析](1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，∴x＝41＝4.(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(3)∵log2(lg x)＝1，∴lg x＝21＝2，∴x＝102＝100.(1)对数的性质：①在指数式中N＞0，故零和负数没有对数．②设a＞0，a≠1，则有a0＝1.∴log a1＝0.即1的对数等于0.③设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以log a a＝1，即底数的对数为1.(2)涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将1或0化成同底对数，有利于去掉log，从而最终解出x.(1)将(1)变为log 2(log 4x )＝1，求x 值． (2)将(2)式变为log 3(lg x )＝0，求x 值． 解析：(1)由题意得log 4x ＝2，∴x ＝42＝16. (2)lg x ＝1，∴x ＝10.[例4] 若对数式为log (1－2x )(3x ＋2)，求x 的取值范围．[解析]由题意得⎩⎨⎧1－2x ＞01－2x ≠13x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12x ≠0x ＞－23，∴x 的范围为{x |－23＜x ＜12且x ≠0}．log a b 中，必须⎩⎨⎧a ＞0，a ≠1b ＞0.对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞)D ．(2,3)∪(3,5)解析：∵⎩⎨⎧a －2＞0a －2≠15－a ＞0，∴⎩⎨⎧2＜a ＜5a ≠3. 故选D.答案：D授课提示：对应学生用书第58页一、“完璧归赵”——指数式与对数式的换算 由a x ＝N 得x ＝log a N ，再代回到a x ＝N 中， 可得出a log a N ＝N (a ＞0，a ≠1) [典例] 计算[解析](2)原式＝(3)原式＝.二、忽视对数式的存在条件致错[典例] 若log (x －2)(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值．[解析]由题意得⎩⎨⎧x 2－7x ＋13＝1 ①x －2＞0②x －2≠1③，由①得x 2－7x ＋12＝0. ∴x ＝3或x ＝4.又由②③得x ＞2且x ≠3. ∴x ＝4.纠错心得 在对数的定义中：a b ＝N ⇔b ＝log a N 要注意条件：a ＞0且a ≠1，N ＞0，b ∈R .对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1，做题时常因忽略此条件而出错，要特别注意底数含有字母的情况．4.3.2 对数的运算内 容 标 准学 科 素 养1.理解对数的运算性质.数学抽象、逻辑推理数学运算2.知道换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数．3.会用对数运算性质进行对数运算.授课提示：对应学生用书第59页[教材提炼]知识点一 对数的运算性质 预习教材，思考问题lg 2＋lg 5如何计算？lg 110能直接计算吗？ 知识梳理 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 对数换底公式 预习教材，思考问题lg N 与ln N 之间有联系吗？知识梳理 log a b ＝log c blog ca (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．即log a b ＝1log ba .[自主检测]1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3答案：D2．log 23·log 32的值为( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2答案：B3．ln e 2＝________. 答案：24．log 312－log 34＝________. 答案：1授课提示：对应学生用书第59页探究一 对数运算性质的应用 [例1] 求下列各式的值： (1)lg 52＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (2)log 2748＋log 212－12log 242；(3)lg 5·lg 8 000＋(lg 23)2lg 600－12lg 0.036－12lg 0.1；(4)lg(3＋5＋3－5)．[解析] (1)原式＝2lg 5＋lg 2×lg(5×10)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×lg 5＋lg 2＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2×(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.(2)原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12. (3)分子＝lg 5(3＋3lg 2)＋3(lg 2)2＝3lg 5＋3lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋3lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＝3；分母＝(lg 6＋2)－lg 361 000×110＝lg 6＋2－lg 6100＝4.∴原式＝34.(4)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg 10＝12.1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的． 3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5＋lg 2＝1”解题．计算：(1)2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)log 535＋2log 122－log 5150－log 514. 解析：(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋ (lg 2－1)2＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg 2)＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝3－1＝2. 探究二 用换底公式求对数值[例2] [教材P 126练习3变式探究](1)计算(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432. [解析] (log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39－log 23214log 212＝(12log 23＋13log 23)⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32＋14log232＝56log23×32log32＋54＝56×32×log23×log32＋54＝54＋54＝52.(2)计算(log43－log83)(log32－log92)．[解析]原式＝(lg 3lg 4－lg 3lg 8)(lg 2lg 3－lg 2lg 9)＝(lg 32lg 2－lg 33lg 2)(lg 2lg 3－lg 22lg 3)＝lg 36lg 2×lg 22lg 3＝112.(3)计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．[解析](1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28⎝⎛⎭⎪⎫log52＋log54log525＋log58log5125＝⎝⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22(log52＋2log522log55＋3log523log55)＝(3＋1＋13)log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13.换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．探究三含附加条件的对数式的求值[例3](1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.[解析]因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是法一：log3645＝log1845log1836＝log18(9×5)log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.法二：因为lg 9lg 18＝log189＝a，所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，所以log3645＝lg 45lg 36＝lg(9×5)lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.(2)设3a＝5b＝15，求1a＋1b的值．[解析]∵3a＝5b＝15，两边取常用对数，得a lg 3＝b lg 5＝12lg 15，∴a＝lg 152lg 3，b＝lg 152lg 5，∴1a＋1b＝2lg 3lg 15＋2lg 5lg 15＝2(lg 3＋lg 5)lg 15＝2lg 15lg 15＝2.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．1．将本例(1)改为：已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.解析：由已知log32＝1a，log37＝b，log1456＝log356log314＝log3(23×7)log3(2×7)＝3log32＋log37log32＋log37＝3a＋b1a＋b＝3＋ab1＋ab.2．将本例(2)变为设2x＝5y＝m，且1x＋1y＝2，则m＝()A．±10 B.10C．10 D．100解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数．得x＝log2m＝lg mlg 2，y＝log5m＝lg mlg 5，∴1x＋1y＝lg 2＋lg 5lg m＝1lg m＝2，∴lg m＝12，∴m＝1012＝10.答案：B授课提示：对应学生用书第60页一、对数运算性质及换底公式的拓展变形1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a＞0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n ∈N*)(1)log a nb n＝log a b；(2)log a mb n＝nm log a b；(3)log a b＝1log b a；(4)log a b·log b c＝log a c.[典例]已知f(3x)＝4x log23＋234，求f(2)＋f(4)＋…＋f(28)．[解析]f(3x)＝4x log23＋234，即f(3x)＝4x log23＋234，即f(3x)＝4log23x＋234，∴f(x)＝4log2x＋234.∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4log22＋234)＋(4log24＋234)＋…＋(4log228＋234)＝8×234＋4(log22＋log24＋…＋log228)＝1 872＋4(log22＋2log22＋…＋8log22)＝1 872＋144＝2 016.二、忽略对数的限制条件导致错误[典例]若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值．[解析]因为lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，所以(x－2y)(x＋y)＝0，所以xy＝2或xy＝－1.因为x＞0，y＞0，所以xy＞0，故舍去xy＝－1，所以xy＝2.纠错心得对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略x－y＞0，x＋2y＞0，x＞0，y＞0，而出现增解xy＝－1.4.4对数函数4.4.1对数函数的概念内容标准学科素养1.通过实例，理解对数函数的概念．数学抽象数学运算2.会求对数函数的定义域、函数值.授课提示：对应学生用书第61页[教材提炼]知识点对数函数的概念预习教材，思考问题我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？知识梳理(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数(logarithmic function)，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数概念的注意点①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2log2x，y＝log5x5都不是对数函数，可称其为对数型函数．②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．③底数：对数函数对底数的限制：a＞0，且a≠1.[自主检测]1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝log13x B．y＝log3(x＋1)C．y＝log x2 D．y＝log3x＋2答案：A2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为()A．(－∞，1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案：C3．若对数函数y＝f(x)过点(4,1)，则f(x)＝________.答案：log4x4．已知f(x)＝log25x，则f(5)＝________.答案：1 2授课提示：对应学生用书第61页探究一对数函数的概念[例1]指出下列函数中哪些是对数函数？(1)y＝log a x2(a＞0且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log7x；(4)y＝log x a(x＞0且x≠1)；(5)y＝log5x.[解析]只有(5)为对数函数．(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log7x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.判断下列给出的函数是否是对数函数：(1)y＝log a x(a＞0，a≠1)；(2)y＝log(x＋1)x；(3)y＝log(－2)2x；(4)y＝log2(x－3)；(5)y＝3log2x＋1.解析：(1)中的真数是x，而不是x，故不是对数函数．(2)中的底数是x＋1，而不是常数，故不是对数函数．(3)中的底数是(－2)2＝4＞0，符合对数函数的定义，是对数函数．(4)中的真数是(x－3)，而不是x，故不是对数函数．(5)中log2x的系数是3而不是1，后边的常数是1而不是0，故不是对数函数．探究二对数函数的定义域[例2][教材P130例1的拓展探究](1)①y＝log2|x|的定义域为________．②y＝log a(4－x)＋lg(x－2)的定义域为________．③y＝log a(4－x)＋1x－3的定义域为________．④y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域为________．⑤y＝6－5x－x2lg(x＋3)的定义域为________．[解析]①|x|>0，∴x≠0.②由{4－x>0x－2>0得2＜x＜4.③由{4－x>0x－3≠0得x＜4且x≠3.④由{16－4x>0x＋1>0x＋1≠1得{x＜4，x＞－1，x≠0.⑤要使函数有意义，则有{6－5x－x2≥0，x＋3>0，lg(x＋3)≠0，即{－6≤x≤1，x>－3，x＋3≠1，即{－6≤x≤1，x>－3，x≠－2.∴－3<x<－2或－2＜x≤1，故函数的定义域为(－3，－2)∪(－2,1]．[答案]①(－∞，0)∪(0，＋∞)②(2,4)③(－∞，3)∪(3,4)④(－1,0)∪(0,4)⑤(－3，－2)∪(－2,1](2)①若函数f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，则a的范围为________．②若函数f(x)＝log2(4x－a)的定义域为R，则a的范围为________．③若函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R，则a的范围为________．[解析]①f(x)＝log2(a－4x)的定义域为(－∞，1)，即a－4x＞0的解集为(－∞，1)，即x＝1是a－4x＝0的根，∴a ＝4.②由题意得4x －a ＞0对∀x ∈R 都成立， ∴a ＜4x 恒成立， ∴a ≤0.③只要u ＝x 2＋ax ＋1与x 轴无交点，即u ＞0恒成立， ∴Δ＝a 2－4＜0， ∴－2＜a ＜2.[答案] ①{4} ②(－∞，0] ③(－2,2) 探究三 对数函数值的求解[例3] (1)设函数f (x )＝{ 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.[答案] C (2)已知f (x )＝log 31－x1＋x. ①求f (12)，f (－12)； ②求f (12 019)＋f (－12 019)； ③求f (a )＋f (－a )的值，a ∈(－1,1)． [解析] ①f (12)＝log 31－121＋12＝log 313＝－1. f (－12)＝log 31＋121－12＝log 33＝1.②f (12 019)＝log 31－12 0191＋12 019＝log 32 0182 020， f (－12 019)＝log 31＋12 0191－12 019＝log 32 0202 018， ∴f (12 019)＋f (－12 019)＝log 32 0182 020＋log 32 0202 018＝0. ③f (a )＋f (－a )＝log 31－a 1＋a ＋log 31＋a 1－a ＝log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a ·1＋a 1－a ＝0.计算对数函数的函数值，主要依据对数的运算性质．1．已知函数f (x )＝{ 3x (x ≤0)，log 2x (x >0)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27D ．－127解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.答案：B2．已知函数f (x )＝{ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：因为f (x )＝{ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，f (a )＝－3，所以{ a >1，－log 2(a ＋1)＝－3或{ a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2(－1－1)－2＝－74.答案：A授课提示：对应学生用书第62页一、对数函数在哪里——对数函数与其他函数的综合问题对数函数与其他函数的综合，一种是以对数函数“log a x ”为基本量成为f (log a x )型，二是以对数函数为外型，为“log a f (x )”型，无论哪种形式，首先要分清，哪一部分相当于对数函数．[典例] 已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k ，a >0且a ≠1. (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，y ＝f (log 2x )有最小值？求出该最小值． [解析] (1)由题意得{ log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k ，即{ a 2－a ＋k ＝22，(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ， 解得{ k ＝4＋a －a 2，log 2a ＝0或log 2a ＝1，因为a ≠1，所以{ k ＝2，a ＝2.(2)y ＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74，所以当log 2x ＝12，即当x ＝2时，f (log 2x )有最小值，最小值为74. 二、忽视对数函数的定义域致错[典例] 已知函数y ＝f (x )，且lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )． (1)求f (x )的表达式及定义域； (2)求f (x )的值域．[解析] (1)因为lg(lg y )＝lg 3x ＋lg(3－x )， 所以{ x >0，3－x >0，lg y >0，解得{ 0<x <3，y >1.因为lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，所以lg y ＝3x ·(3－x )，所以y ＝f (x )＝103x (3－x )＝10－3x 2＋9x ，其中0<x <3，即定义域为(0,3)．(2)因为－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，0<x <3，所以0<－3x 2＋9x ≤274，所以1<y ≤10274，即f (x )的值域为(1,10274]．纠错心得 忽略所给式子的限制条件误认为x ∈R ，所求的函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号后的解析式去确定函数的定义域．研究函数的有关性质时，我们不仅要关注转化、变形后的函数解析式有意义，更要关注题目中提供的原始条件的有关式子有意义．4.4.2 对数函数的图象和性质内 容 标 准学 科 素 养1.借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象．直观想象 数学抽象 逻辑推理2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点．3.根据对数函数的性质解决一些问题．4.理解反函数.授课提示：对应学生用书第63页[教材提炼]知识点一 对数函数的图象和性质 预习教材，思考问题利用列表描点作y ＝log 2x 的图象，单调性如何？y ＝log 12x 图象与y ＝log 2x 图象有什么关系？y ＝log 2x 在表中对应的y 值是多少？x y 0.5 －1 1。
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点二 比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析 由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln
第四章指数函数与对数函数课件高一数学上学期人教A版
【典例 1】（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函
数的是
．（填序号）
①
y
2 3x
﹔②
y
；③ 3x1
y
3x
；④
y
(2a
1)x（a
为常数，a
1 2
，a
1 ）；
⑤ y x3 ；⑥ y 4x ﹔⑦ y (4)x ．
【答案】③④
【详解】对①：指数式的系数为 2，不是 1，故不是指数函数；
2 知识回归
知识点 04：指数函数的图象变换
已知函数 y ax (a 0且a 1)
1、平移变换
① y a x 向上平移k个单位长 度（k 0) y a x k ② y a x 向下平移k个单位长 度（k 0) y a x k ③ y a x 向左平移h个单位长 度（h0) y a x+h ④ y a x 向右平移h个单位长 度（h0) y a xh
3 典型例题讲与练
考点05：指数函数的图象
【期末热考题型1】指数函数的图象过定点
【典例 2】（2022 下·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）函数 y a1x a 0,a 1的
图象恒过定点 A ，若点A 在直线mx ny 1 0mn 0 上，则 1 1 的最小值为
．
2m n
【答案】 3 2 2 2
x
log
N a
知识点 07：对数的性质
①负数和零没有对数.
②对于任意的
a
0且a
1,都有 log1a
0
，
log
a a
，1
1
log
a a
1 ；
③对数恒等式: alogaN N （ a 0 且 a 1）
人教高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳
(名师选题)人教高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果. v =v 0 ln M m =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．3、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13 答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．4、已知a =ln 13，b =30.3，c =1og 54，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <a <b 答案：C解析：分别将a,b,c 与0,1比较大小，从而得到a,b,c 的大小关系.因为a =ln 13<ln1=0，b =30.3>30=1，0=log 51<c =1og 54<log 55=1，所以可知b >c >a 故选：C5、若2x −2y <3−x −3−y ，则（ ）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<0 答案：A分析：将不等式变为2x −3−x <2y −3−y ，根据f (t )=2t −3−t 的单调性知x <y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.6、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，f(−6)=（）A．−2B．2C．−4D．4答案：A分析：因f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，从而可求t，再由奇函数的定义即可求出f(−6)的值. 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，又当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，∴f(0)=log2(0+2)+t=0，∴t=−1，∴当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，∴f(−6)=−f(6)=−[log2(6+2)−1]=−(log223−1)=−2，故选：A.7、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.8、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f(x)=log a(x−b)为减函数，所以0<a<1又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>−1又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−1<b<0，故选：D9、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A10、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（）（附：lg2≈0.3010）A．20%B．23%C．28%D．50%答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比SN 从1000提升至5000时，C大约增加了Wlog2(1+5000)−Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)=log25001−log21001log21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B. 填空题11、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，≥1，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.12、已知函数f(x)是指数函数，且f(2)=9，则f(1)=______．2答案：√3分析：依题意设f(x)=a x（a>0且a≠1），根据f(2)=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设f(x)=a x（a>0且a≠1），因为f(2)=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(1)=√3．2所以答案是：√313、函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图像是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)=f(−x)；③当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，f(x1)−f(x2)>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析x1−x2式________答案：f(x)=x2−1（答案不唯一）分析：由题意可得函数f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上为增函数，函数图象与x轴只有2个交点，由此可得函数解析式因为∀x∈R，f(x)=f(−x)，所以f(x)是偶函数，因为当x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，所以f(x)在(0,+∞)上为增函数， 因为f(x)恰有两个零点，所以f(x)图象与x 轴只有2个交点，所以函数f(x)的一个解析式可以为f(x)=x 2−1， 所以答案是：f(x)=x 2−1 （答案不唯一） 14、计算：e ln2+(log 23)⋅(log 34)=________. 答案：4分析：根据换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. e ln2+(log 23)⋅(log 34)=2+lg3lg2×lg4lg3=2+log 24=2+2=4， 所以答案是：415、已知定义域为R 的函数f (x )=−12+12x +1则关于t 的不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－1)<0的解集为________.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞).分析：先判断出f (x )是奇函数且在R 上为减函数，利用单调性解不等式. 函数f (x )=−12+12x +1的定义域为R. 因为f (−x )=−12+12−x +1=−12+2x2x +1，所以f (−x )+f (x )=(−12+12−x +1)+(−12+12x +1)=−1+1=0，所以f (−x )=−f (x )， 即f (x )是奇函数.因为y =2x 为增函数，所以y =12x +1为减函数，所以f (x )=−12+12x +1在R 上为减函数. 所以f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)＜0可化为f(t 2－2t)＜－f(2t 2－1)＝f(1－2t 2). 所以t 2－2t ＞1－2t 2，解得：t ＞1或t ＜－13. 所以答案是：(−∞,−13)∪(1,+∞). 解答题16、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB的长为x米．(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则BC=(50−2x)m，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S=x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则BC=(50−2x)m，由题意得，x(50−2x)=300，解得x1=15,x2=10，∵50−2x≤25，∴x≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．17、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0 }；（2）[log 213,log 235].分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−22x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0 } （2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−22x +1)，当1≤x ≤2时，25≤22x +1≤23，13≤1−22x +1≤35，m ∈[log 213，log 235]18、已知函数f (x )=log 12x +12x −172．(1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是减函数； (2)证明：f (x )有零点； (3)设f (x )的零点在区间(1n+1,1n)内，求正整数n ．答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)10分析：（1）设0<x 1<x 2，则结合对数的运算法则可证得f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)>0，则f (x 1)>f (x 2)，由此可得证.（2）结合函数的解析式有f (1)=−8<0，f (116)=72>0，且f (x )在区间(116 ， 1)上连续不断，由零点存在定理可得证.（3）结合函数的解析式可得f (110)f (111)<0，由此可得答案.（1）因为f (x )的定义域为(0,+∞)，设x 1，x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(log 12x 1−log 12x 2)+(12x 1−12x 2)，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0， 所以log 12x 1−log 12x 2>0，12x 1−12x 2=x 2−x 12x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在定义域(0,+∞)上是减函数． （2）因为f (1)=0+12−172=−8<0，f (116)=4+8−172=72>0，所以f (1)⋅f (116)<0，所以f (x )有零点． （3）f (111)=log 12111+112−172=log 211−3>log 28−3=0，f (110)=log 12110+5−172=log 210−72=log 25−52=log 2√25−log 2√32<0，所以f (110)f (111)<0，又f (x )在(0,+∞)上为减函数，所以f (x )的零点在区间(111,110)内，故n ＝10．。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 知识点考点汇总及解题方法规律提炼
第四章指数函数与对数函数4.1.1根式 (1)4.1.2指数幂及其运算 (4)4.2.1指数函数及其图象性质 (8)4.2.2指数函数的性质及其应用 (11)4.3.1对数的概念 (16)4.3.2对数的运算 (18)4.4.1对数函数及其图象 (22)4.4.2对数函数的性质及其应用 (26)4.4.3不同函数增长的差异 (30)4.5.1函数的零点与方程的解 (34)4.5.2用二分法求方程的近似解 (38)4.5.3函数模型的应用 (42)4.1.1根式要点整理1．根式的概念一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R .题型一根式的意义【典例1】 下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102[思路导引] 利用n 次方根的概念求解．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝±102.[答案] (1)B (2)Dn (n >1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) 5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(－9)2；(4) 4(a－b)4.[思路导引] 利用na n的性质进行化简．[解] (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3) 4(－9)2＝434＝3.(4) 4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎨⎧a－b(a≥b)，b－a(a<b).根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3.[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．[解] (4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解] (4(x－1))4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．4.1.2指数幂及其运算要点整理1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a －b ＝1ab (a >0，b 是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2.根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．题型二指数幂的运算【典例2】 计算：[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．题型三条件求值问题[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.[答案] (1)±3 5 (2)－3 3解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：4.2.1指数函数及其图象性质要点整理1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1. 2．指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．(2)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的大致图象．题型一指数函数的概念 【典例1】 (1)下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[思路导引] 形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数．[解析] (1)形如“y ＝a x(a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.(2)由指数函数的概念可知，⎩⎨⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.[答案] (1)B (2)C判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征． (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．题型二指数函数的图象【典例2】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析] (1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．[答案] (1)D (2)(3,4)处理指数函数图象问题的3个策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．题型三指数函数的定义域与值域【典例3】求下列函数的定义域和值域：[思路导引] 利用整体换元的方法求解．[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．“y＝a f(x)”型函数定义域、值域的求法(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝a f(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝a u的单调性求得此函数的值域．4.2.2指数函数的性质及其应用要点整理1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.题型一利用指数函数的单调性比较大小【典例1】比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．题型二解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5； ②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5. 综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5； 当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．题型三指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x.(1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断．[解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．(2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1. ∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过f (u )和φ(x )的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y ＝f [φ(x )]的单调性，即若y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同(同增或同减)，则y ＝f [φ(x )]为增函数，若y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反(一增一减)，则y ＝f [φ(x )]为减函数．题型四指数函数的实际应用【典例4】 某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并写出此函数的定义域．[解] 现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x 年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x 万立方米． 故y ＝f (x )＝200×(1＋5%)x ，x ∈N *.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．4.3.1对数的概念要点整理 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lg N .在科学技术中常使用以无理数e ＝2.71828…为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并记为ln N .3．指数与对数的互化当a >0，a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . 4．对数的性质 (1)log a 1＝0； (2)log a a ＝1；(3)零和负数没有对数． 题型一指数式与对数式的互化【典例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3；(4)log x64＝－6.[思路导引] 借助a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)转化． [解] (1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵log13 27＝－3，∴⎝⎛⎭⎪⎫13－3＝27.(4)∵logx64＝－6，∴(x)－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．题型二对数的计算【典例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)log x8＝6；(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.[思路导引] 把对数式化为指数式求解．求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值．(2)把对数式转化为指数式．(3)解有关方程，求得结果．题型三对数的性质[思路导引] 首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值． [解] (1)由log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1得⎩⎨⎧3x 2＋2x －1＝2x 2－1，3x 2＋2x －1>0，2x 2－1>0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)由log 2[log 3(log 4x )]＝0可得log 3(log 4x )＝1，故log 4x ＝3，所以x ＝43＝64.对数性质的应用要点(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式a log a N ＝N 及其格式．4.3.2对数的运算要点整理 1．对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)log a (M·N)＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝nlog a M(n ∈R )．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c>0，且c≠1，则loga b＝logcblogca(a>0，且a≠1，b>0)．3．由换底公式推导的重要结论(1)logan b n＝logab.(2)logan b m＝mnlogab.(3)loga b·logba＝1.(4)loga b·logbc·logcd＝logad.题型一对数运算性质的应用【典例1】求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引] 解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．[解](1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2.(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.(4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 题型二对数换底公式的应用【典例2】 (1)计算：①log 29·log 34； ②log 52×log 79log 513×log 734.(2)证明：①log a b·log b a ＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)； ②log an b n ＝log a b(a>0，且a≠1，n≠0)． [思路导引] 利用换底公式计算、证明． [解] (1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log 52log 513·log 79log 734＝log 132·log 349 ＝lg 2lg 13·lg9lg 34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①log a b·log b a ＝lgb lga ·lgalgb＝1. ②log an b n ＝lgb nlga n ＝nlgb nlga ＝lgblga＝log a b.[变式] (1)若本例(2)①改为“loga b·logbc·logcd＝logad”如何证明？(2)若本例(2)②改为“logan b m＝mnlogab”如何证明？[证明](1)loga b·logbc·logcd＝lgblga·lgclgb·lgdlgc＝lgdlga＝logad.(2)logan b m＝lgb mlga n＝mlgbnlga＝mnlogab.应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．题型三对数的综合应用【典例3】(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.[思路导引] 应用换底公式化简求值．[解](1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；…经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝1 3，∴x＝log0.7513＝lg13lg34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的1 3 .(2)解法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝log1845log1836＝log18(9×5)log1818×2×99＝log189＋log185log18182－log189＝a＋b2－a.解法二：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185. 所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝a＋b2－a，即log3645＝a＋b2－a.解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．4.4.1对数函数及其图象要点整理1．对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.题型一对数函数的概念【典例1】指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx 3；(4)y＝log2x＋1.[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．依据3个形式特点判断对数函数判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x.题型二对数型函数的定义域 【典例2】 求下列函数的定义域． (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解] (1)定义域为(0，＋∞)． (2)由⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x≤1，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1.(3)由⎩⎨⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x≤78，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，78.(4)由⎩⎨⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．求对数函数定义域的注意事项求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.题型三对数函数的图象【典例3】(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝a x与y＝loga(－x)的图象只能是( )(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[思路导引] 利用对数函数的图象特征求解．[解析](1)解法一：若0<a<1，则函数y＝a x的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a>1，则函数y＝a x的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．解法二：首先指数函数y＝a x的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝a x与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．(2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga (x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．[答案](1)B (2)(0，－2)[变式] 若本例(2)的函数改为“y＝loga 2x＋1x－1＋2”，则图象恒过定点坐标是________．[解析]令2x＋1x－1＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y ＝log a2x ＋1x －1＋2过定点(－2,2)． [答案] (－2,2)处理对数函数图象问题的3个注意点(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.4.4.2对数函数的性质及其应用要点整理1．对数函数值的符号规律(1)a>1时，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0. (2)0<a<1时，当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0.可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.2．对称关系 (1)函数y ＝与y ＝log a x 的图象关于x 轴对称．(2)函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称． 3．反函数指数函数y ＝a x (a>0，且a≠1)和对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．题型一比较对数值的大小【典例1】 比较下列各组中两个值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)loga 3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．[思路导引] 利用对数单调性比较大小．[解](1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)解法一：因为0>log0.23>log0.24，所以1log0.23<1log0.24，即log30.2<log40.2.解法二：如图所示，由图可知log40.2>log30.2.(3)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.因为函数y＝logπx是增函数，且π>3，所以logπ3<logππ＝1.所以log3π>logπ3.(4)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以loga 3.1<loga5.2；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以loga 3.1>loga5.2.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性，如典例1(1)．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化，如典例1(2)．(3)底数和真数都不同，找中间量，如典例1(3)．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论，如典例1(4)．题型二求解对数不等式【典例2】 (1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x)<log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12>1得log a 12>log a a.①当a>1时，有a<12，此时无解．②当0<a<1时，有12<a ，从而12<a<1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x<log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x>0，x －1>0，2x>x －1，解得x>1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x>log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论．(2)形如log a x>b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解.题型三形如y ＝log a f(x)的函数的单调性【典例3】 求函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调区间． [思路导引] 先求定义域，再根据复合函数的单调性求解．[解] 因为x 2－3x ＋2>0，所以x<1或x>2.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)，令t ＝x 2－3x ＋2，则y ＝log 0.7t ，显然y ＝log 0.7t 在(0，＋∞)上是单调递减的，而t ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)，(2，＋∞)上分别是单调递减和单调递增的，所以函数y ＝log 0.7(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．求对数型函数单调区间的方法(1)求形如y ＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)>0，先求定义域．(2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数t ＝f(x)和y ＝log a t 在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定y ＝log a f(x)的单调性．题型四与对数函数有关的值域问题 【典例4】 求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log 2(－x 2－4x ＋12)．[思路导引] 求出真数的范围，利用对数函数的单调性求解．[解] (1)因为|x|＋4≥4，所以log 2(|x|＋4)≥log 24＝2，所以函数的值域为[2，＋∞)．(2)因为－x 2－4x ＋12＝－(x ＋2)2＋16≤16，所以0<－x 2－4x ＋12≤16，故log 2(－x 2－4x ＋12)≤log 216＝4，函数的值域为(－∞，4]．[变式] 若本例(2)函数改为“f(x)＝－3x ，x ∈[2,4]”，如何求解？[解] 令t ＝x ，则y ＝t 2－3t ＝⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94， ∵2≤x≤4，即－2≤t≤－1.可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－94在[－2，－1]上单调递减．∴当t ＝－2时，y 取最大值为10； 当t ＝－1时，y 取最小值为4. ∴原函数的值域为[4,10]．对数型函数值域的求解技巧(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)形如y ＝log a f(x)，y ＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c 型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧．4.4.3不同函数增长的差异要点整理1．指数函数、对数函数、一次函数的性质2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝kx(k>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝kx(k>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x 0，使得当x>x 0时，有log a x<kx<a x (a>1，k>0)．题型一不同函数增长的差异【典例1】 (1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( ) A ．y ＝10000x B ．y ＝log 2x C ．y ＝x 1000 D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是________．[思路导引] 借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断． [解析] (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．[答案] (1)D (2)y 2常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．题型2函数模型的选择问题【典例2】 芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系的函数式：①Q ＝at ＋b ，②Q ＝at 2＋bt ＋c ，③Q ＝a·b t ，④Q ＝alog b t ；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本． [思路导引] 要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．[解] (1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a·b t ，Q ＝alog b t 中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，得⎩⎨⎧15.0＝2500a ＋50b ＋c ，10.8＝12100a ＋110b ＋c ，15.0＝62500a ＋250b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12000，b ＝－320，c ＝854.所以反映芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的。