截交线与相贯线
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第四章 截交线和相贯线
4"●
8" ●
●
●
3"
●
7"
●
1'●
6"
● ●
2"
1"
5"
6● 1●
4
8
●
3
●
8
4 6
●
3
7 2 1 5
5
●
●
2
●
7
★比较不同角度的正垂面截交 圆柱所得的截交线的投影。
﹥45°
﹤45°
=45°
平面与圆柱相交
例题2：求圆柱体的截交线
1'
2'3'
4'5' 6'7' 5"
3"
1"
解题步骤
2" 4" 6"
第三章 截交线和相贯线
●截交线
●相贯线
第一节
截交线
截断面 截交线 截断体
截断体：形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。
截平面 —— 用来截断形体的平面。 截交线 —— 截平面与立体表面的交线。 截断面 —— 由交线围成的平面图形。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
一、平面立体的截交线
3′(4′)
1′(2′)
●
同一立体被多 2″ 1″ 个平面截切，要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。
● ● ● ●
4″
3″
4(2)
●
解题步骤：
★空间及投影分析 3 2 截平面与体的相对位置 1 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线
●
4 ●
●
●
截交线和相贯线课件
• 6"
1'（2'）
•
• 2" • • 3'（4'） 4"
• 5" • • 1" 3"
2 •
•64
• •5 13
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。
•3" • a" • 1"
b • 4• • d
1•
•2
a• • •c 3
截交线和相线
作图过程：
➢ 求特殊点 即找最高、最低、 最左、最右、最前、最后点可确 定出椭圆长、短轴的端点。 ➢ 求一般点 从正面投影上选取 A、B、C、D四点分别求出水平 面和侧面投影。 ➢ 光滑地连接各点。
截交线和相贯线
截平面与圆锥轴线
平行或倾角θ<α，
截交线为双曲线。
截交线和相贯线
截平面过锥顶截 交线为三角形。
例1：已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆 锥体的水平投影和侧面投影。
c'(d ')• b' a' • k•'l'•
l•d• •
a•
•
•k•c•
b
d"
l"
••
•
b• "
•
c"
••k"
a•"
圆锥体的轴线为铅 垂线，截平面与圆锥 轴线的倾角大于圆锥 母线与轴线的夹角， 截交线为椭圆。截平 面是正垂面，截交线 的正面投影为直线。
截交线与相贯线
面交线。
二、特性：
共有性 截平面与形体表面所共有。
截
交
表面性
截交线的点都在形体的表面上。
线
封闭性
形体有一定大小，截交线多构成封闭的平面或 空间图形。
共有性
相贯线为参加相交的两形体共有点的连线。
相
贯
表面性 相贯线上的点为相交两形体的表面上的点。
线
封闭性
形体的体积有一定大小，故相贯线多为封闭 的平面或空间图形。
§7－2 截交线
平面体上的截交线 曲面体上的截交线
一、平面体被截
1、棱锥上的截交线
截交线形状：多为封
闭的折线图形，转折
S
点为平面体的棱线与
Ⅰ P
A
Ⅱ
Ⅲ B
截交线
截平面的交点；截交 线所围图形的形状随 截平面的位置、数量、 形体种类及其各表面 的相交情况而变化。
C
实质：求交点的连线。
分析；见下页图。
了解视图中“线”的含义：①代表积聚的面；②表示平面与平面的 交线（形体棱线）；③代表曲面的转向轮廓素线，见下图。
了解视图中“线框”的含义：视图中某一封闭图形称为线 框。视图中每一线框，一般代表形体的一个表面，可能是平 面，也可能是曲面，还可能是相切的组合面，特殊情况下是 空洞。
非孔
通孔
作业：P58-64。
例4.
P61第6题
§7-3 简单体的读图
什么是形体的读图? 根据形体的视图，想象出形体的空间形
状和结构，这一过程即为读图。
一、读图的基本知识
投影规律（2个对应关系）； 掌握各种位置直线和平面的投影特性，尤其是投影
面垂直面的投影特性； 掌握基本体的投影特性； 读图时，要按照投影关系，把有关的视图联系起来
二、特性：
共有性 截平面与形体表面所共有。
截
交
表面性
截交线的点都在形体的表面上。
线
封闭性
形体有一定大小，截交线多构成封闭的平面或 空间图形。
共有性
相贯线为参加相交的两形体共有点的连线。
相
贯
表面性 相贯线上的点为相交两形体的表面上的点。
线
封闭性
形体的体积有一定大小，故相贯线多为封闭 的平面或空间图形。
§7－2 截交线
平面体上的截交线 曲面体上的截交线
一、平面体被截
1、棱锥上的截交线
截交线形状：多为封
闭的折线图形，转折
S
点为平面体的棱线与
Ⅰ P
A
Ⅱ
Ⅲ B
截交线
截平面的交点；截交 线所围图形的形状随 截平面的位置、数量、 形体种类及其各表面 的相交情况而变化。
C
实质：求交点的连线。
分析；见下页图。
了解视图中“线”的含义：①代表积聚的面；②表示平面与平面的 交线（形体棱线）；③代表曲面的转向轮廓素线，见下图。
了解视图中“线框”的含义：视图中某一封闭图形称为线 框。视图中每一线框，一般代表形体的一个表面，可能是平 面，也可能是曲面，还可能是相切的组合面，特殊情况下是 空洞。
非孔
通孔
作业：P58-64。
例4.
P61第6题
§7-3 简单体的读图
什么是形体的读图? 根据形体的视图，想象出形体的空间形
状和结构，这一过程即为读图。
一、读图的基本知识
投影规律（2个对应关系）； 掌握各种位置直线和平面的投影特性，尤其是投影
面垂直面的投影特性； 掌握基本体的投影特性； 读图时，要按照投影关系，把有关的视图联系起来
第五章_截交线和相贯线
直 观 图
投
影 图
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[例5-5] 如图5-6所示，求作被正平面P截切的圆锥的截交线。 当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个圆；当截平面过锥 顶时，截交线是过顶点的两条直线；当截平面与圆锥轴线斜交时 （θ>a），截交线是一个椭圆；当截平面与圆锥轴线斜交，且平行 一条素线时（θ=a），截交线是一条抛物线；当截平面与圆锥轴线 平行（θ=0°）或θ<a时，截交线为双曲线。
（2）求一般位置点。在圆球的正面投影上任取a′、（b′）， 再通过a′、（b′）作水平圆，求其余两面投影a、b和a″、b″。 （3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆球的左、 上部分，所以截交线的水平投影和侧面投影都可见。依次连接各点 的同面投影，即得截交线的投影。
24
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[例5-6] 如图5-7所示，求作圆球的截交线。
(a)已知条件
(b)作图结果
图5-7
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求作圆球的截交线
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23
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作图： （1）求特殊位置点。点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ分别是圆球三个 方向轮廊素线圆上的点。其中点M、N是最低、最高点，同时也是最 左、最右点。根据点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面的投影m′、n′、 3′、6′、5′、6′可求出相应的水平投影m、n、3、6、5、6及侧 面投影m″、n″、3″、6″、5″、6″。 椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ。其正面投影1′、（2′）积聚成一点， 位于直线m′n′的中点。可通过1′2′作水平圆，求其余两面投影1、 2和1″、2″。
26
土木工程制图第七章截交线与相贯线
d
h
作图步骤：
a n
b
① 在V面投影上确定出控制
截交线的点的投影，a’、b’、
c’、d’’、e’、h’、m’、
n’。
② A、B、C、D、E、H 为特
殊点，可直接作出其另外两面 投影，如图所示。
③M、N 为棱面上的点，可 利用 BN、CM 平行于地面棱线
的性质，求出另两面投影。
土木工程制图
④ 依次连接截交线上各点的同名投影，并判断其可见性，整理如图所示。
土木工程制图
分的析截：交如线图为m 所椭示圆，，a 侧该垂椭n面圆与的圆W a柱投 mn 影积聚在c W 投影面上，其dH 投影 cd 与圆周重合，需要作的是V 面投 影。椭圆的e 投影一b 般仍f 是椭圆。 但长短轴的长度有变化。
a
m
n
c
d
e
f
b
土木工程制图
作图步骤：
① 先求特殊点，即椭圆长短
m c
1
4
② 圆柱面的W 面投影圆周，截交
线上各点的V 面投影，向右作连系线
3
68
直接可得1’’、2’’、3’’、 4’’、5’’、6’’、7’’、8’’
点。
③ 根据这8个点的V、W 投影求出
其H 面投影。
土木工程制图
④ 依次连接截交线各点的同名投影，并判断其均为可见，整理如图如图 所示。
1 3(2)
4 8(7)
7 93
5 1
6
482
1 4(5)
8(9) 2(3)
6(7)
7 93
5 1
6
482
土木工程制图
5 93 7
1 2 48
6
作图步骤：
截交线与相贯线123
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
2. 辅助平面法：作平面截两立体（截交线要简单易 求），求两截交线的交点（相贯线的点），连线， 适用于两立体表面都不积聚的情况。
例：习题集（第三版）P99：8 解：（在展示台上解答）
1）求特殊点 2）一般点 3）同面的点依次连线 讨论：由四段截交线（椭圆弧）组成的空间曲线。
第16页/共16页
2）辅助平面选取正平面，交球为正平圆，交圆（平面∥ 轴线）得直线。
解： 1）求特殊点，同时判断可见性； 2）求一般点； 3）连线。
讨论：1）特殊点往往是曲线的顶点，可见性分界点。 2）一般点使曲线的准确性提高。 3）特殊点有些情况可不用作辅助平面。
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
相贯线：P192 求相贯线的方法：
1. 求两立体的公有点（或求公有线）。 2. 判别所求点的可见性。 3. 连线。
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
一、两平面体相贯 例7-8：P192 图7-20，求交点连线（利用坡屋面的积聚投 影（W投影）） 讨论： 相贯线为封闭的空间多边形；可见与不可见重影
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
例：习题集（第三版）P100：2 分析：水平圆柱侧面投影积聚，铅垂圆柱的水平投影积聚，
只需求相贯线的V投影。 解：（在展示台上解答）
① 求特殊点； ② 求一般点； ③ 连线。 讨论：1）两圆柱孔的
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
3. 相贯线的特殊情况 1）相同轴线的两回转体相贯 P200 图7-30 例：球体开圆柱孔（轴线过球心） 解：相贯线为垂直于圆柱轴线的圆 2）两回转体公切于一球 图7-31至图-34 —— 分解为两相交平面曲线
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
2. 辅助平面法：作平面截两立体（截交线要简单易 求），求两截交线的交点（相贯线的点），连线， 适用于两立体表面都不积聚的情况。
例：习题集（第三版）P99：8 解：（在展示台上解答）
1）求特殊点 2）一般点 3）同面的点依次连线 讨论：由四段截交线（椭圆弧）组成的空间曲线。
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2）辅助平面选取正平面，交球为正平圆，交圆（平面∥ 轴线）得直线。
解： 1）求特殊点，同时判断可见性； 2）求一般点； 3）连线。
讨论：1）特殊点往往是曲线的顶点，可见性分界点。 2）一般点使曲线的准确性提高。 3）特殊点有些情况可不用作辅助平面。
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
相贯线：P192 求相贯线的方法：
1. 求两立体的公有点（或求公有线）。 2. 判别所求点的可见性。 3. 连线。
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
一、两平面体相贯 例7-8：P192 图7-20，求交点连线（利用坡屋面的积聚投 影（W投影）） 讨论： 相贯线为封闭的空间多边形；可见与不可见重影
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
例：习题集（第三版）P100：2 分析：水平圆柱侧面投影积聚，铅垂圆柱的水平投影积聚，
只需求相贯线的V投影。 解：（在展示台上解答）
① 求特殊点； ② 求一般点； ③ 连线。 讨论：1）两圆柱孔的
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第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
3. 相贯线的特殊情况 1）相同轴线的两回转体相贯 P200 图7-30 例：球体开圆柱孔（轴线过球心） 解：相贯线为垂直于圆柱轴线的圆 2）两回转体公切于一球 图7-31至图-34 —— 分解为两相交平面曲线
第七章 截交线和相贯线
3 、两圆柱轴线平行 两轴线平行的 圆柱相贯其相贯线 为直线。
截交线的基本性质： 1、截交线上的每一点都是截平面和立体表面上的 共有点，这些共有点的连线就是截交线。 2、立体表面占有一定的空间范围，所以截交线一 般是封闭的平面图形。 3、截交线的形状决定于立体表面的形状和截平面 与立体的相对位置。 截交线的基本画法： 求平面与立体表面共 有点的作图问题。
平面体的 截交线 曲面体的 截交线
圆锥截交线双曲线特殊位置点一般位置点大圆柱截交线两条素线小圆柱截交线两条素线判别可见性三平面与球相交平面与球相交截交线都是圆
第七章
截交线和相贯线
本 §7.1 截交线 章 内 容 §7.2 相贯线
§7.1 截交线
截交的基本概念 截交线：平面切割立体时，立体表面所产生的交线。 截平面：用以截割立体的平面。 截断面：截交线围成的平面图形称为断面。
两平面 体相贯
平面体与 曲面体相贯
两曲面 体相贯
两立体相交时的基本性质： 1.相贯线是两相交立体表面的共有线。
2.两相交立体的相贯线一般是封闭的空间曲线， 特殊情况下可以是平面曲线或直线。 决定相贯线形状的相关因素: ⒈ 取决于相交两曲面立体的几何性质。 ⒉ 当它们的大小或相对位置不同时，相贯线的形 状也随之而异。
双曲线
三角形
例：求圆锥与正垂面的截交线
中点
步骤：截交线的正面投影 求特殊位置点 求一般位置点
判可见性、连线、描深
截交线为椭 圆，可仅求出长 短轴的端点。
例： 求作侧面投影
例：画全水平投影
作图步骤： 圆锥截交线（双曲线） 特殊位置点 一般位置点 大圆柱截交线 （两条素线） 小圆柱截交线 （两条素线）
交线为平行两直线
第二章 截交线与相贯线
第二章截交线与相贯线
本章主要介绍截交线与相贯线等概念。
截交线是用于构图的重要工具,它是指空间形体及其表面上的一个线条系统，其性质
是切割体的表面使之变成块，因此它是视觉上的构件，划分出抽象的层次性，并用于确
定任何一种分割构成。
截交线主要包括垂直、水平及斜线，可以使构图近似正方体、六
面体等正式形体，从而使构图有一定的工整性。
此外，它还能实现对象的对比关系和空间
设计的层次性，以便更好地实现构图的目的。
另外，相贯线也常被用于构图。
它是一类可以线条来表达形体的构图工具，它按照其
线条特征，然后把多个小线段连接起来，从而形成一个优美的贯穿图形。
它可以使构图中
出现流动感，节奏感，而且它也融合了多种图形构成和多个形体空间搭配等技巧，通过把
线条连接在一起，凸显出一种脉络性和节奏感；它比较适用于抽象的作品或者抽象的图案。
总的来说，截交线和相贯线都是构图中的重要手段，他们可以更好地实现对空间的表达，表达极富灵性和情感的构图，使作品更能触动观众的心灵，达到完美的艺术效果。
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第六章 截交线和相贯线
§6-3
一、两平面体相贯 例7-8：P192 图7-20，求交点连线（利用坡屋面的积聚投 影（W投影）） 讨论： 相贯线为封闭的空间多边形；可见与不可见重影
相贯线
例7-9：P194 图7-21 讨论： 相贯线在两形体重叠部分，棱柱的三棱边均不与 棱锥相交，其实由两个截交线构成；注意不可见 相贯线的判断。
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
3. 相贯线的特殊情况 1）相同轴线的两回转体相贯 P200 图7-30 例：球体开圆柱孔（轴线过球心） 解：相贯线为垂直于圆柱轴线的圆 2）两回转体公切于一球 图7-31至图-34 —— 分解为两相交平面曲线
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
三、两曲面体相贯 相贯线：封闭的空间曲线（高次曲线） 求相贯线的方法：表面取点、辅助平面、辅助球面 求相贯线的步骤：特殊点、一般点、连线
பைடு நூலகம்
1. 表面取点法：适用于其中一曲面具有积聚性的情况 例7-12：P197 图7-26 （在展示台上解答）
第六章 截交线和相贯线
2. 辅助平面法：适用于两曲面体无积聚情况（有积 聚也适用） 辅助平面的选取：交两曲面体的截交线要简单易 求（如圆、直线），如P199 图7-28
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
例：习题集P76：4 分析：1）球与正平面的圆柱相贯，投影均无积聚性。 2）辅助平面选取正平面，交球为正平圆，交圆（平 面∥轴线）得直线。 解： 1）求特殊点，同时判断可见性； 2）求一般点； 3）连线。 讨论：1）特殊点往往是曲线的顶点，可见性分界点。 2）一般点使曲线的准确性提高。 3）特殊点有些情况可不用作辅助平面。
第六章 截交线和相贯线
§6-2 截交线
3. 球上的截交线 截交线的空间形状 —— 圆，P190 图7-16 例7-6：P190 图7-17 例：习题集P66：4
第六章 截交线和相贯线
§6-3
相贯线：P192
相贯线
求相贯线的方法： 1. 求两立体的公有点（或求公有线）。 2. 判别所求点的可见性。 3. 连线。
第六章 截交线和相贯线
§6-2 截交线
分析：PV为正垂面，形体的多数平面的侧 面投影积聚，截交线主要求H投影 解： 求P与相交棱的交点，同平面上的交点连线（在展示台 上解答）。
第六章 截交线和相贯线
§6-2 截交线
2. 棱锥上的截交线 例7-2：P185 图7-8 讨论：截平面与多少平面相交，则对应有多少段截交线段 二、曲面体的截交线 求截交线的步骤： 1）求特殊点：转向轮廓线与截平面的交点最高、低、前后、 左右等。 2）求一般点：特殊点之间的插补点。 3）连线：光滑曲线（一般情况）
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
二、平面体与曲面体相贯 由若干段截交线组成（平面曲线或直线） 1. 表面取点法：适用于其中一立体的表面具有积聚性 例7-10：P195图7-24，求特殊点、一般点，连线。
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
2. 辅助平面法：作平面截两立体（截交线要简单易 求），求两截交线的交点（相贯线的点），连线， 适用于两立体表面都不积聚的情况。 例：习题集（第三版）P99：8 解：（在展示台上解答） 1）求特殊点 2）一般点 3）同面的点依次连线 讨论：由四段截交线（椭圆弧）组成的空间曲线。
§6-3 相贯线
例：习题集（第三版）P100：2 分析：水平圆柱侧面投影积聚，铅垂圆柱的水平投影积 聚，只需求相贯线的V投影。 解：（在展示台上解答） ① 求特殊点； ② 求一般点； ③ 连线。 讨论：1）两圆柱孔的相贯（不可见）。 2）对称性，V投影可见与不可见重影
第六章 截交线和相贯线
§6-3 相贯线
第六章 截交线和相贯线
§6-2 截交线
1. 圆柱上的截交线：P187 表7-1 例7-4：P188 图7-12 例：习题集P62：1 解：先分析截平面与轴线的相互位置， 确定截交线的形成。 注意避免如图的结果 （不符合原题意）。
第六章 截交线和相贯线
§6-2 截交线
2. 圆锥上的截交线：P189 表7-2 例7-5：P189 图7-14，素线法、纬圆法 例：截交线的特殊情况