时间复杂度本题用二叉堆实现Onlog2n

function get():longint; //取出堆中的最小元素 var min,temp:int64; fa,son:longint; //fa和son为用于调整的下标，temp用于交换，min存取最小值 begin min:=heap[1]; //堆根的元素就是最小的元素 heap[1]:=heap[tot]; //把堆最后的元素调整到第一个 tot:=tot-1; //取出了一个元素，堆的大小减1 fa:=1; son:=2*fa; //预处理下标 while son<=tot do begin if (son<tot) and (heap[son]>heap[son+1]) then son:=son+1; //如果有两个孩子，取出较小的一个 if heap[fa]>heap[son] then //如果父亲比孩子大，则需要交换 begin temp:=heap[fa]; heap[fa]:=heap[son]; heap[son]:=temp; //交换 fa:=son; son:=fa*2; //继续判断当前元素是否符合 end else son:=tot+1; //如果符合就跳出循环 end; get:=min; end;
二、二叉堆
Get操作(三步法：取根、换根、向下调整)：
function get():longint; var fa,son,tmp:longint;stop:boolean; begin get:=heap[1];heap[1]:=heap[len];len:=len-1;fa:=1;stop:=false; while ((fa*2<=len)or(fa*2+1<=len))and(not stop) do begin if (fa*2+1>len)or(heap[fa*2]<heap[fa*2+1]) then son:=fa*2 else son:=fa*2+1; if heap[fa]>heap[son] then begin tmp:=heap[fa]; heap[fa]:=heap[son]; heap[son]:=tmp; fa:=son; end else stop:=true; end; end;
一、优先队列
二叉堆是一种常用的优先队列，它支持优先队列
的三个基本操作，且插入结点和删除最小结点的 时间复杂度都是O(log2n)，取最小结点的时间复 杂度是O(1)。而且编程简单，效率高。
二、二叉堆
二叉堆形式上是一个数组，本质上是一棵完全二叉树。
树根为A[1]，利用完全二叉树的性质，可以求出第i
优先队列的三个基本操作：插入结点(Insert)， 取最小结点(Get_Min) 和删除最小结点(Del_Min)， 在二叉堆(以小根堆为例)里变为两个基本操作：
* Put操作：往堆尾加入一个元素，并通过从下往上的 调整法，使其继续保持堆的性质； * Get操作：从堆中取出堆头元素，并删除该结点(堆 尾覆盖)，再通过从上往下的调整法，使其继续保持 堆的性质；
程序 = 算法 + 数据结构
数据结构对算法的支撑(如用队列实现宽搜) 数据结构对算法的优化(如用二叉树结构代替线性表) 数据结构本身体现出的算法思想(如堆栈与递归) 数据结构没有最好，没有高级与低级之分，只有最适
合、最恰当、最有效
例1、丑数(H数)
丑数是指素因子都在集合{2，3，5，7}的数，求第
优先队列：最早出现在操作系统中，实现对任务或进程
的调度。并不是按照任务队列简单地执行FIFO，而是 按照一定的优先级调用，这种特殊的队列就是“优先队 列”。
优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，
它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列 中的结点(node)。优先队列的结点至少要包含一种性 质：有序性，也就是说任意两个结点可以比较大小。为 了具体起见，我们假设这些结点都包含一个键值(key)， 结点的大小通过比较它们的键值而定。
丑数问题的二叉堆实现：
var heap:array[1..24000] of int64; //堆数组 i,n,tot:longint; //i为计数器，tot为堆的大小 j,k:int64; //j,k分别存储前一次与这次取出的最小值，用于判重 begin readln(n); //读入n fillchar(heap,sizeof(heap),0); heap[1]:=1; tot:=1; //预处理堆数组 i:=0; j:=0; k:=0; //重复元素如6照样存进去，取出来时判断前后两次是否一样，一样不做处理 while i<n do begin j:=k; //把前一次取出的最小值存下来 k:=get(); //取出堆中最小的元素 if k<>j then //如果两次元素不同则要加入新的元素，否则当前数的2、3、5、7倍数已在堆中 begin i:=i+1; //取出了不同的数，计数器加1 put(k*2); put(k*3); put(k*5); put(k*7); //加入新的元素 end; end; writeln(k); //输出 end.
个结点的父结点、左孩子结点、右孩子结点的下标分 别为：trunc(i/2)、2i、2i+1。
更重要的是，二叉堆具有这样一个性质：对除根以外
的每个结点i，A[parent(i)]≥A[i]，即所有结点的 值都不得超过其父结点的值，称为大根堆。 小根堆要求：A[parent(i)]≤A[i]。
二、二叉堆
一、优先队列
优先队列有三个基本操作：插入结点(Insert)，取最小
结点(Get_Min) 和删除最小结点(Delete_Min)。
优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值
问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队 列都有着广泛的应用。 优先队列有多种实现方法。比如链表，这样插入结点 (入队)操作只需要O(1)的时间，但是取最小结点、删除 最小结点 (出队)操作的时间为O(n)；也可以用二叉排 序树，这样三种操作的时间都为O(log2n)，但存在着二 叉树的退化问题；用的最多的方法还是二叉堆。
二、二叉堆
Put操作(两步法：插到尾部、向上调整)：
重复n次put操作，可建一小根堆，时间复杂度nlog2n。
procedure put(x:longint); var fa,son,tmp:longint; begin len:=len+1; heap[len]:=x; son:=len; while (son<>1)and(heap[son div 2]>heap[son]) do begin tmp:=heap[son div 2]; heap[son div 2]:=heap[son]; heap[son]:=tmp; son:=son div 2; end; end;
n大的丑数(n<6000) ，第一个丑数是1。
问题分析 穷举显然不行，我们尝试用“构造法”不断生成丑数
构造的基本思想：5个线性表，时间复杂度O(n2)
其中的关键操作：取最小结点、插入结点 想到：二叉堆(小根堆)的基本操作
下面：介绍一些优先队列、二叉堆的知识和应用
一ห้องสมุดไป่ตู้优先队列