信号与系统傅里叶变换性质总结
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傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换的性质
பைடு நூலகம்
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统常用变换对及性质梳理
√ √ √ √
时域周期冲激序列 δ T1 (t ) =
t − ( )2
n =−∞
∑ δ (t − nT1 ) ↔ ω1 ∑ δ (ω − nω1 ) = δω (ω ) 频域周期冲激序列
n =−∞
1
+∞
+∞
√
钟形脉冲 e
τ
钟形脉冲 πτ e
τ ⎡
2⎢ ⎣ Sa
−(
ωτ
2
)2
矩形调幅 cos ω0t ⎡u(t +τ ) −u(t −τ )⎤ ⎢ ⎥
√ √ √ √
F (t ) ↔ 2πf (−ω ) f (t )e jω0 t (− jt ) f (t ) πf (0)δ (t ) + f (t ) p(t ) f (t ) − jt F (ω − ω 0 ) F '(ω )
f (t − t 0 ) f '(t )
F (ω )e− jωt0 jω F (ω ) πF (0)δ (ω ) + F (ω ) jω
jω0 t
√ √ √ √ √
⎧ 1, t > 0 ⎪ 符号 sgn(t ) = ⎨ 0, t = 0 ⎪−1, t < 0 ⎩
冲激延时 δ (t − t 0 ) 余弦 cos(ω0 t ) 正弦 sin(ω0 t )
⎧− j, ω > 0 ⎪ F (ω ) = ⎨ 0, ω = 0 ⎪ ⎩ j, ω < 0
(n + 1)a n u (n) (n + 1)! a n u ( n) (n + k − 1)!k !
z , z > a z−a
z , z > a ( z − a) 2 z2 , z > a ( z − a) 2 z k +1 , z > a ( z − a ) k +1
信号与系统-傅里叶变换的基本性质.
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质
f (t) F ( )，则f (t) jF ( )
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
1．时域微分
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
八．时域积分性质
若f t F ，则
F 0
0时，t
f
d
π
F 0
F
j
F 0
0时，t
f
d
F
j
也可以记作：
F
(
)
1
j
π
(
)
当f t 为实函数时, F F * 共轭 R 为偶函数, X 为奇函数
F ( ) R( ) j X ( ) R( ) j X ( ) F F ( ),
则f (t t0 ) F ( )e jt0 ;
若F ( ) F ( ) ej ( ) 则f (t t0 ) F ( ) ej ( ) t0
可以得到
F f (t) f (t)ej t d t f (u)ej u d u F ( )
若f (t) F ( )，则f (t) F ( )
四．尺度变换性质
若f (t) F ( ),则f at 1 F , a为非零函数
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质
f (t) F ( )，则f (t) jF ( )
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
1．时域微分
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
八．时域积分性质
若f t F ，则
F 0
0时，t
f
d
π
F 0
F
j
F 0
0时，t
f
d
F
j
也可以记作：
F
(
)
1
j
π
(
)
当f t 为实函数时, F F * 共轭 R 为偶函数, X 为奇函数
F ( ) R( ) j X ( ) R( ) j X ( ) F F ( ),
则f (t t0 ) F ( )e jt0 ;
若F ( ) F ( ) ej ( ) 则f (t t0 ) F ( ) ej ( ) t0
可以得到
F f (t) f (t)ej t d t f (u)ej u d u F ( )
若f (t) F ( )，则f (t) F ( )
四．尺度变换性质
若f (t) F ( ),则f at 1 F , a为非零函数
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
信号与系统傅里叶变换性质总结
x[n m]u[n] z m X ( z ) z m
k m
x[k ]z
1
k
m0
dX ( s) ds
R
x(t )为因果信号
x(t )为因果信号
nx[n] z
z
dX ( z ) dz
Rx
x[n]为因果序列
x[ n]为因果序列
x(0 ) lim s X ( s )
x(at ) 1 s Χ( ) a a
R
x[ n n0 ] X ( z ) z n0
R x (*)
R Re{ s0 }
aR (a 0)
e j 0n x[n] X (e j 0 z )
n z0 x[n] X (
Rx
z 0 Rx
z ) z0
4.反转 5.时域卷积 6.单边 L(Z)变换的 时域微分 7.s(z)域微分 8.初值定理 9.终值定理
x1 (t ) x2 (t ) Χ1 () Χ 2 () 2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2* ( )
x1[n] x2 [n] X 1 (e j ) X 2 (e j )
x1[n]x2 [n] X 1 (e j ) * X 2 (e j ) 2
x() lim s X ( s )
s 0
x[0] lim X ( z )
lim x[n] lim ( z 1) X ( z )
n z 1
sX ( s )在右半平面和虚轴上无极点
X ( z )的收敛域包括单位圆
（注：收敛域后标注*表明可能会有变化，如：零极点消除（L/Z 变换） ，添加或删除原点、无穷远点（Z 变换）等情况。 ）
k m
x[k ]z
1
k
m0
dX ( s) ds
R
x(t )为因果信号
x(t )为因果信号
nx[n] z
z
dX ( z ) dz
Rx
x[n]为因果序列
x[ n]为因果序列
x(0 ) lim s X ( s )
x(at ) 1 s Χ( ) a a
R
x[ n n0 ] X ( z ) z n0
R x (*)
R Re{ s0 }
aR (a 0)
e j 0n x[n] X (e j 0 z )
n z0 x[n] X (
Rx
z 0 Rx
z ) z0
4.反转 5.时域卷积 6.单边 L(Z)变换的 时域微分 7.s(z)域微分 8.初值定理 9.终值定理
x1 (t ) x2 (t ) Χ1 () Χ 2 () 2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2* ( )
x1[n] x2 [n] X 1 (e j ) X 2 (e j )
x1[n]x2 [n] X 1 (e j ) * X 2 (e j ) 2
x() lim s X ( s )
s 0
x[0] lim X ( z )
lim x[n] lim ( z 1) X ( z )
n z 1
sX ( s )在右半平面和虚轴上无极点
X ( z )的收敛域包括单位圆
（注：收敛域后标注*表明可能会有变化，如：零极点消除（L/Z 变换） ，添加或删除原点、无穷远点（Z 变换）等情况。 ）
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
傅里叶变换的性质
1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到 其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt
信号与系统傅里叶变换总结
信号与系统傅里叶变换总结
傅里叶变换是信号与系统领域中的重要概念，它能够将一个信号在频域进行表示，使我们可以更好地理解信号的频谱特性。
在信号处理与通信工程中，傅里叶变换广泛应用于滤波、频谱分析、信号重构等方面。
首先，傅里叶变换将时域信号转换为复数函数的频域表示。
通过傅里叶变换，
我们可以将一个信号分解为一系列基频信号的和，每个基频信号都含有特定的幅度和相位信息。
这样的频域表示有助于我们更好地理解信号的频率分布以及频率成分对信号的影响。
其次，傅里叶变换提供了一种将时域信号转换为频域信号的方法。
这使得我们
可以通过滤波器来选择信号中特定频率范围的成分。
例如，我们可以使用低通滤波器来去除高频噪声，或者使用带通滤波器来选择特定频率范围内的信号成分。
此外，傅里叶变换还能够对非周期信号进行频谱分析。
通过将非周期信号用零
填充成为周期信号，并进行傅里叶变换，我们可以得到该信号在频域上的连续频谱，从而更好地了解信号的频谱特性。
傅里叶变换也具有线性性质，即两个信号的线性组合的傅里叶变换等于傅里叶
变换的线性组合。
这一性质使得傅里叶变换在信号处理中更具灵活性与应用性。
总之，傅里叶变换为我们提供了一种将信号从时域转换到频域的数学工具，使
得我们能够更深入地理解信号的频谱特性，并开发出一系列的信号处理技术。
掌握傅里叶变换对于信号与系统的研究与应用具有重要意义。
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n
x[n] Χ (e
j0
),
Χ (e
j
j
)d 2x[0]
14.帕色伐尔定理
1 x ( t ) dt 2
2 | X () | d
x[n]
2
n
1 2
2
| X (e
) |2 d
L 变换和 Z 变换的性质
x1[n] x2 [n] X 1 (e j ) X 2 (e j )
x1[n]x2 [n] X 1 (e j ) * X 2 (e j ) 2
x1[n] x2 [ n] X 1[ k ] X 2*[ k ]
x(t )dt Χ (0),
2
Χ ( )d 2x(0)
k m
x[k ]z
1
k
m0
dX ( s) ds
R
x(t )为因果信号
x(t )为因果信号
nx[n] z
z
dX ( z ) dz
Rx
x[n]为因果序列
x[ n]为因果序列
x(0 ) lim s X ( s )
x() lim s X ( s )
s 0
x[0] lim X ( z )
连续和离散时间的傅里叶变换性质
1.线性 2.共轭对称性 3.时（位）移性 4.频移性 5.尺度变换 6.反转 7.对偶性 8.时域微（差）分
ax1 (t ) bx2 (t ) x(t )为实时间函数，则Χ (ω) Χ *(ω)
x (t t0 ) Χ ( )e jt0
x(t )e j0t Χ ( 0 )
x(at )
1 Χ( ) a a
x(t ) Χ ()
X (t ) 2 x()
d n x(t ) ( j ) n Χ ( ) n dt
tx(t ) j dX ( ) d
x[n] X (e j )
—
x[n] x[n 1] X (e j )(1 e j )
aX1 () bX 2 () x[n]为实数序列，X (e j ) X * (e j )
x[n m] X (e j )e jm x[n]e j0n X (e j (0 ) )
x[n / k ], n是k的倍数 x ( k ) [ n] ，x( k ) [n] X (e jk ) 0, n不是k的倍数
1.时域平移 2.s 域平移(L)/ 频移定理(Z) 3.尺度变换
x(t t0 ) Χ ( s )e st0 x(t )e s0t Χ ( s s0 )
x(at ) 1 s Χ( ) a a
R
x[ n n0 ] X ( z ) z n0
R x (*)
R Re{ s0 }
R1 R2 (*)
x1 (t ) x2 (t ) Χ1 (s) Χ 2 (s)
dx(t ) sX ( s ) x(0 ) dt t x(t )
s
x1[n] x2 [n] X 1 ( z) X 2 ( z)
x[n m]u[n] z m X ( z ) z m
lim x[n] lim ( z 1) X ( z )
n z 1
sX ( s )在右半平面和虚轴上无极点
X ( z )的收敛域包括单位圆
（注：收敛域后标注*表明可能会有变化，如：零极点消除（L/Z 变换） ，添加或删除原点、无穷远点（Z 变换）等情况。 ）
nx[n] j dX (e j ) d
9.频域微分 10.时域卷积 11.频域卷积 12.相关定理 13.函数下面积
x1 (t ) x2 (t ) Χ1 () Χ 2 ()
x1 (t ) x2 (t ) Χ1 () Χ 2 () 2
x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2* ( )
aR (a 0)
e j 0n x[n] X (e j 0 z )
n z0 x[n] X (
Rx
z 0
z ) z0
4.反转 5.时域卷积 6.单边 L(Z)变换的 时域微分 7.s(z)域微分 8.初值定理 9.终值定理
—
1 x[n] X ( ) z
R1 R2 (*)
Rx的倒置