高数108期中试卷
高等数学下期中考试卷语文
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各题中，函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的极值点个数是（）。
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 设f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴方程为（）。
A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 若lim(x→0) (x^2 - 1) / (x - 1) = （）。
A. 1B. -1C. 0D. 无极限4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4在x = 1处可导，则f'(1) = （）。
A. 1B. -1C. 2D. 05. 若lim(x→0) (sinx / x)^2 = （）。
A. 1B. 0C. 无极限D. 26. 设函数f(x) = e^x在x = 0处的导数f'(0) = （）。
A. 1B. 0C. eD. e^27. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)在x = 1处可导，则f'(1) = （）。
A. 1B. -1C. 0D. 无极限8. 设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(x)的图像是（）。
A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 双曲抛物线9. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4在x = 2处取得极大值，则f(2) = （）。
A. 1B. -1C. 2D. 010. 设函数f(x) = e^x在x = 0处的导数f'(0) = （）。
A. 1B. 0C. eD. e^2二、填空题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 4的导数为__________。
2. 函数f(x) = ln(x^2 - 1)的导数为__________。
3. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(x)的图像的顶点坐标为__________。
4. 若lim(x→0) (sinx / x)^2 = 1，则x→0时，sinx与x的比值是__________。
高数下册期中试卷语文答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。
在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。
3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。
选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。
选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。
4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。
答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。
5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。
答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
高等数学期中考试试卷
高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。
3.(,)limx y →= 。
4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。
5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。
3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。
2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
2024学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点(2,2)-，倾斜角是120的直线方程是（）A.2(2)3y x -=-+ B.22)y x -=+C.32(2)3y x -=+ D.22)y x -=+2.已知方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A.()2,0- B.()0,2 C.()2,2- D.()()2,00,2-⋃3.在圆222210x y x y +---=的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（）A.1B.2C. D.44.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AC BC ===，90ACB ∠= ，点D 是线段1AA 上靠近1A 的三等分点，则直线1C D 与1B C 所成角的余弦值为（）A.510-B.10-C.510D.10105.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则13y x -+的最大值是（）A.12B.2C.34D.6.光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()2,2B ，则反射光线所在直线方程为（）A.6520x y --= B.65220x y +-=C.5620x y -+= D.56220x y +-=7.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则实数b 的取值范围是（）A.1⎡⎤-⎣⎦B.1⎡-+⎣C.)1⎡-⎣D.(1-+8.设1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若22AF BF ⊥，53aAB =，则C 的离心率为（）A.5B.35C.25D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（）A.当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B.当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线C.当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D.当4r=时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+10.如图，边长均为1的两个正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45D.(a ∀∈，都有MN ，BC ，BE共面11.平面直角坐标系中，若点()11,A x y ，点()22,B x y ，则称()1212,d A B x x y y =-+-为点A 到点B的“曼哈顿距离”.已知点O 为坐标原点，点P 在圆221x y +=上，点Q 在直线20x y +-=上，则下列说法正确的是（）A.若点P 的横坐标为35-，则()7,5d O P =B.(),d O PC.(),d O Q 的最小值是2D.(),d Q P 的最小值是2Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆224x y +=与圆22+44120x y x y -+-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为____________.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．14.在对角线1||6AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是_________.四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线经过点()1,2A ，求满足下列条件的直线方程.（1）直线与直线123x y-=平行；（2）直线在两坐标轴上的截距相等.16.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，,2AD BC AD =∥，90ABC ∠=︒，且PA ⊥平面,1ABCD PA AB BC ===.求：（1）求平面PCD 与平面PBA 夹角的余弦值；（2）点A 到平面PCD 的距离.17.已知圆M 经过两点()2,2A 、()4,2B ，且圆M 的圆心在直线0x y -=上.（1）求圆M 的方程；（2）若点P 为直线：20x y +-=上的动点，过点P 作圆M 的切线PQ 、PR ，切点为Q 、R ，求四边形PQMR 面积的最小值，并出此时点P 的坐标.18.如图1，在直角ABC V 中，AB BC =，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，将ADE V 沿着DE 折起，使得点A 到达点P 的位置，如图2，且二面角P DE C --的大小为60o .（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）在棱PE 上是否存在点G ，使得BG 与平面PDE 所成角的正弦值为8？若存在，求PG PE 的值；若不存在，请说明理由.19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为22b a-，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆E ：22143x y +=.（1）已知点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标.（2）过点()作直线与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1AO 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B .当11A OB △的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由.（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T .已知点P 满足：OP OT λ=，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围.2024学年福建师大附中高二数学上学期期中考试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点(2,2)-，倾斜角是120的直线方程是（）A.2(2)3y x -=-+ B.22)y x -=+C.2(2)3y x -=+ D.22)y x -=+【答案】B 【解析】【分析】根据题意，求得直线的斜率为k =.因为所求直线的倾斜角为120 ，可得直线的斜率为tan120k == ，又因为所求直线经过点(2,2)-，可得直线的方程为22)y x -=+.故选：B2.已知方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（）A.()2,0- B.()0,2 C.()2,2- D.()()2,00,2-⋃【答案】A 【解析】【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.由方程22122x y k k+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，得220k k ->+>，解得20k -<<，所以实数k 的取值范围为()2,0-.故选：A3.在圆222210x y x y +---=的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（）A.1 B.2C. D.4【答案】B【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.由222210x y x y +---=，则圆的标准方程为()()22113x y -+-=，如下图：图中AB MO ⊥，MB MO ==，M 为圆222210x y x y +---=的圆心，,A B 为直线AB 与圆的交点，易知AB 为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，2AB ===.故选：B.4.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AC BC ===，90ACB ∠= ，点D 是线段1AA 上靠近1A 的三等分点，则直线1C D 与1B C 所成角的余弦值为（）A.510-B.1010-C.510D.1010【答案】C 【解析】【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.如图所示.取NM 的三等分点1D ,连接11B D ，根据正方体性质，知道111//B D C D .则11CB D ∠为直线1C D 与1B C 所成角或补角.连接1CD ，CM .根据正方体性质，知道1MD CM ⊥．22223332CM BM CB =+=+=2222112(32)22CD D M CM =+=+2222113332CB BC BB =+=+=222211111310D B ND NB =+=+=在11D B C △中，余弦定理知道，2221111111115cos 21021032125D B CB CD D B C D B CB +-∠====⨯⨯⨯,则直线1C D 与1B C所成角的余弦值为10.故选：C ．5.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则13y x -+的最大值是（）A.12B.2C.34D.【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为圆()()22219x y -+-=上的点与()3,1-连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.由224240x y x y +---=得：()()22219x y -+-=，∴点(),x y 的轨迹是以2,1为圆心，3为半径的圆，13y x -∴+的几何意义为该圆上的点(),x y 与()3,1-连线的斜率，当过点()3,1-的直线斜率不存在，即为3x =-时，与圆显然不相切；设过点()3,1-的圆的切线为()13y k x -=+，即310kx y k -++=，∴圆心到切线的距离3d ==，解得：34k =±，133,344y x -⎡⎤∴∈-⎢⎥+⎣⎦，则13y x -+的最大值为34.故选：C.6.光线通过点()2,3A ，在直线:10l x y ++=上反射，反射光线经过点()2,2B ，则反射光线所在直线方程为（）A.6520x y --=B.65220x y +-=C.5620x y -+=D.56220x y +-=【答案】C 【解析】【分析】先求出()2,3A 关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点()2,2B 和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.设点()2,3A 关于直线的对称点为()00,A x y '，则0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得004,3x y =-=-，故()4,3A '--.由于反射光线所在直线经过点()4,3A '--和()2,2B ，所以反射光线所在直线的方程为()232224y x +-=-+，即5620x y -+=.故选：C.7.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则实数b 的取值范围是（）A.1⎡⎤-⎣⎦B.1⎡-+⎣C.)1⎡-⎣D.(1-+【答案】A 【解析】【分析】根据曲线3y =-即为()()()222343x y y -+-=≤，利用直线与圆的位置关系求解.解：曲线3y =-即为()()()222343x y y -+-=≤，表示以()2,3为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示：由圆心到直线的2=，解得1b =+1b =-当直线过点()0,3时，3b =，因为直线y x b =+与曲线3y =有公共点，所以实数b的取值范围是1⎡⎤-⎣⎦，故选：A8.设1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若22AF BF ⊥，53aAB =，则C 的离心率为（）A.5B.35C.25D.5【答案】D 【解析】【分析】设1AF x =，1BF y =，()0x y <<，根据椭圆的定义及勾股定理求出x 、y ，即可求出2BF 、2AF ，再由余弦定理求出a 与c 的关系，即可求出离心率.不妨设1AF x =，1BF y =，()0x y <<，则22AF a x =-，22BF a y =-．又22AF BF ⊥，所以()()()22222a x a y x y -+-=+，化简得()224xy a x y a ++=，显然53a x y AB +==，所以223a xy =，解得23a x =，y a =，所以243a AF =，2BF a =，故()2221224233cos 2223a a c c AF F a a c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=-=⨯⨯，解得a =，故C的离心率为5．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆()2222212:1,:(3)(3)0C x y C x y r r +=-+-=>，则下列说法正确的是（）A.当1r =时，圆1C 与圆2C 有2条公切线B.当2r =时，1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线C.当3r =时，圆1C 与圆2C 相交D.当4r=时，圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+【答案】BD 【解析】【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC 错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B 正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为12y x =-+，即D 正确.由221:1C x y +=可知圆心为()10,0C ，半径为1；由()2222:(3)(3)0C x y rr -+-=>可知圆心为()23,3C ，半径为r ，两圆圆心距为12C C =；对于A ，当1r =时，1212r C C +=<=，圆1C 与圆2C 相离，有4条公切线，所以A 错误；对于B ，当2r =时，1y =与圆1C 相切，圆心()23,3C 到1y =的距离为2，即1y =与圆2C 也相切，所以1y =是圆1C 与圆2C 的一条公切线，即B 正确；对于C ，当3r =时，1214r C C +=<=，圆1C 与圆2C 相离，即C 错误；对于D ，当4r=时，121315r C C r -=<=<+=，此时两圆相交，圆2C 的一般方程为226620x y x y +--+=，与圆1C 的方程相减可得2210x y +-=，化简可得圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为12y x =-+，即D 正确.故选：BD10.如图，边长均为1的两个正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45D.(a ∀∈，都有MN ，BC ，BE共面【答案】AD 【解析】【分析】以,,BA BE BC 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量法判断各选项．由已知⊥BC 平面ABEF ，以,,BA BE BC 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)F ，(0,0,1)C ，(0,1,0)E ，在坐标平面xBy 上，直线BF 的方程为0x y -=，BN a =，则22,,0)22N a a ，在坐标平面xBz 上，直线AC 的方程为1x z +=，CM a =，则,0,1)22M a a -,)(0,1,1CE =- ，(0,,1)22MN a a =- ，易知，当2a =时，111(0,,222MN CE =-= ，A 正确；MN === ，所以2a =时，min 2MN = ，B 错；平面ABEF 的一个法向量是(0,0,1)m =，12cos ,a m MN m MN m MN-⋅==，所以CE 与平面ABEF12a -，这个值不是恒为22，因此角的大小不可能恒为45︒，C 错；(0,0,1),(0,1,0)BC BE ==，(0,,1)22MN a a =-1)22a BC aBE =-+（，所以MN ，BC ，BE共面，D 正确，故选：AD．11.平面直角坐标系中，若点()11,A x y ，点()22,B x y ，则称()1212,d A B x x y y =-+-为点A 到点B 的“曼哈顿距离”.已知点O 为坐标原点，点P 在圆221x y +=上，点Q在直线20x y +-=上，则下列说法正确的是（）A.若点P 的横坐标为35-，则()7,5d O P =B.(),d O PC.(),d O Q 的最小值是2D.(),d Q P 的最小值是52【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，求出点P 的坐标即可判断；对于B ，利用基本不等式即可判断；对于C ，D ，利用绝对值放缩和绝对值不等式性质应用即可判断.对于A ，把35x =-代入221x y +=中，可得45y =±，则()347,555d O P =-+±=，故A 正确；对于B ，设(,)P x y ，则221x y +=，于是(),d O P x y =+===≤=当且仅当||||2x y ==时等号成立，即(),d O P B 正确；对于C ，设点(,2)Q m m ，则(),2d O Q m m m m=+=+|||||m m m m ≥+-≥-=m =时，等号成立，即(),d O Q ，故C 错误；对于D ，设点(cos ,sin )P θθ，[0,2π]θ∈，(,2)Q m m -，则()sin ,cos sin 2cos 22d Q P m m m m θθθθ=-+-+=-+-sin sin sin |cos ||||cos ||cos222m m m m θθθθθθ≥-+≥-++=+sin 5(cos )|sin()22θθθϕ=-+=-+，其中sin 55ϕϕ==，故只需当sin ,cos 55θθ==时，(),d Q P 取得最小值为2，此时10m =，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“曼哈顿距离”的理解，根据新定义，写出曼哈顿距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值.Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆224x y +=与圆22+44120x y x y -+-=交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为____________.【答案】0x y +=【解析】【分析】线段AB 的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆圆心坐标，即可求出直线方程.圆224x y +=圆心坐标为0,0，圆22+44120x y x y -+-=化成标准方程为()()222+220x y -+=，圆心坐标为()2,2C -，两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线CO ，由20120CO k --==--，则直线CO 的方程为y x =-，即0x y +=.故答案为：0x y +=.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.在对角线1||6AC =的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11D C 、DC 的距离之和为4，则1PC PC ⋅的取值范围是_________.【答案】[2,1]-【解析】【分析】将点P 到直线11D C 、DC 的距离转化为1||PC 和||PC ，可得1||||4PC PC +=，结合椭圆的定义可得点P 的轨迹是以1,C C 为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系得椭圆的标准方程，根据椭圆方程和平面向量数量积坐标表示可求出结果.因为1||6AC =，所以1||CC =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11D C ⊥平面11BCC B ，DC ⊥平面11BCC B ，因为1,PC PC ⊂平面11BCC B ，所以111D C PC ⊥，DC PC ⊥，所以1||||4PC PC +=，且14||CC >=，所以点P 的轨迹是以1,C C 为焦点的椭圆，这里24a =，2c =2a =，c =，2221b a c =-=，以1CC 的中点O 为原点，1OC 为x 轴，1CC 的中垂线为y 轴建立平面直线坐标系，所以点P 的轨迹方程为2214x y +=，设(,)P x y ，因为()0C ，1(C ，则()PC x y =+，1()PC x y = ，所以221()()3PC PC x y x y x y ⋅=+⋅=-+ 222331244x x x =-+-=-，因为22x -≤≤，204x ≤≤，121PC PC -≤⋅≤.故答案为：[2,1]-四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线经过点()1,2A ，求满足下列条件的直线方程.（1）直线与直线123x y-=平行；（2）直线在两坐标轴上的截距相等.【答案】（1）3210x y -+=（2）3x y +=或20x y -=【解析】【分析】（1）由直线平行，设直线方程为23x ym -=，代入点A 可得解；（2）当直线不过坐标原点时，设直线方程为1x ya a+=，代入点A 即可，，当直线过坐标原点时，可得直线方程为21y x =.【小问1详解】由已知直线与直线123x y-=平行，则设直线():123x yl m m -=≠，又直线过点()1,2A ，即1223m -=，解得16m =-，则直线方程为1236x y -=-，即3210x y -+=；【小问2详解】当直线不过坐标原点时，设直线方程为1x ya a+=，则121a a+=，解得3a =，即直线方程为133x y+=，即3x y +=；当直线过坐标原点时，直线方程为21y x =，即20x y -=，综上所述直线方程为3x y +=或20x y -=.16.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，,2AD BC AD =∥，90ABC ∠=︒，且PA ⊥平面,1ABCD PA AB BC ===.求：（1）求平面PCD 与平面PBA 夹角的余弦值；（2）点A 到平面PCD 的距离.【答案】（1）6（2）63【解析】【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可；（2）直接用空间向量法求点到面的距离.【小问1详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，()1,1,0C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P ，所以(0,2,1)PD =-，(1,1,1)PC =- ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = ，则·20·0n PD y z n PC x y z ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩，令2z =，则1y =，1x =，所以(1,1,2)n = ，取平面PBA 法向量为(0,1,0)m =，所以6m n m n ⋅==，故面PCD 与面PBA 夹角的余弦值为66；【小问2详解】因为(0,2,0)AD = ，平面PCD 法向量为(1,1,2)n =，所以点A 到平面PCD 的距离||6||3d AD n n =⋅=uuu r r r.17.已知圆M 经过两点()2,2A 、()4,2B ，且圆M 的圆心在直线0x y -=上.（1）求圆M 的方程；（2）若点P 为直线：20x y +-=上的动点，过点P 作圆M 的切线PQ 、PR ，切点为Q 、R ，求四边形PQMR 面积的最小值，并出此时点P 的坐标.【答案】（1）()()22332x y -+-=（2）；()1,1P 【解析】【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案；（2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案.【小问1详解】由()2,2A 与()4,2B ，则直线AB 的斜率22042AB k -==-，其中点坐标为()3,2，所以,A B 的对称轴为直线3x =，易知圆心M 在直线3x =上，联立30x x y =⎧⎨-=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，则()3,3M ，半径r AM ===，所以圆M 的标准方程为()()22332x y -+-=.【小问2详解】根据题意，作图如下：由图可知：四边形PQMR 的面积为MRP MQP S S +V V ，且MRP MQP ≅V V ，MR PR ⊥，在Rt MRP V 中，222PR MP MR =-，因为MR =，所以当PR 最小时，MRP S V 最小，当MP l ⊥时，MP 最小，此时PR 最小，此时MP ==PR =，12MRP S PR MR =⋅⋅= ，所以四边形PQMR 面积的最小值为由直线:20+-=l x y ，则其斜率1k =-，直线MP 的斜率11MP k k-==，则直线MP 的方程为33y x -=-，整理可得y x =，联立20y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则()1,1P .18.如图1，在直角ABC V 中，AB BC =，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，将ADE V 沿着DE 折起，使得点A 到达点P 的位置，如图2，且二面角P DE C --的大小为60o .（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）在棱PE 上是否存在点G ，使得BG 与平面PDE 所成角的正弦值为8？若存在，求PG PE 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）16或13．理由见解析．【解析】【分析】（1）证明DE ⊥平面PBD ，由平行得证⊥BC 平面PBD ，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；（2）先证明PDB ∠是已知二面角的平面角，得60PBD ∠=︒，取BD 中点O ，证明⊥PO 平面BCED ，然后以O 为原点，,OB OP 为,x z 轴，过O 平行BC 的直线为y ，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB BC ==，得各点坐标，求出平面PDE 的一个法向量，设13(,,)(01)22PG k PE k k k k ==--≤≤ ，求得BG ，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论．【小问1详解】由题意,PD DE BD DE ⊥⊥，PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，所以DE ⊥平面PBD ，又因为图1中，,D E 分别是,AB AC 中点，所以//DE BC ，所以⊥BC 平面PBD ，而⊂BC 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ；【小问2详解】由题意,PD DE BD DE ⊥⊥，所以ADB ∠是二面角P DE C --的平面角，二面角P DE C --的大小为60o .则60PDB ∠=︒，又由已知PD BD =，所以PBD △等边三角形，取BD 中点O ，连接OP ，则PO BD ⊥，由（1）知⊥BC 平面PBD ，而PO ⊂平面PBD ，所以BC PO ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCED ，所以⊥PO 平面BCED ，以O 为原点，,OB OP 为,x z 轴，过O 平行BC 的直线为y ，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB BC ==，则112DE BC ==，1BD AD ==，2PO =,1(,0,0)2B ，32P ，1(,0,0)2D -，1(,1,0)2E -，1(,1,),(0,1,0)22PE DE =--= ，设平面PDE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则10220n PE x y z nDE y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⎪⋅==⎩，取x =1)n =- ，设13(,,)(01)22PG k PE k k k k ==--≤≤，1(,0,22BP =-，11(,,2222BG BP PG k k k =+=---+ ，BG 与平面PDE所成角的正弦值为8，则cos ,8BG n BG n n BG ⋅== ，解得16k =或13k =．所以PG PE 的值为16或13．19.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b ，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为22b a-，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆E ：22143x y +=.（1）已知点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标.（2）过点()作直线与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1AO 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B .当11A OB △的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由.（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T .已知点P 满足：OP OT λ=，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围.【答案】（1）2⎫-⎪⎪⎭和2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）直径12A A 与直径12B B 共轭，理由见解析；（3）λ>或λ<【解析】【分析】（1）设所求直线方程为：y kx =依题意可得12k =-，即可得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求出交点坐标即可；（2）设：x my =()111,A x y ､()122,B x y，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则12S y y =-，再利用基本不等式求出面积最大值，即可求出参数m 的值，即可判断；（3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，设CD l ：y kx =，则MN l ：34y x k=-，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，从而得到P 点坐标，再由P 在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可；解：（1）由题设知32AB k =，设所求直线方程为：y kx =，则34AB k k ⋅=-，则12k =-.故共轭直径所在直线方程为：12y x =-.联立椭圆与12y x =-，即2212143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：23x =，x =.故端点坐标为2⎫-⎪⎪⎭和2⎛⎫⎪⎪⎝⎭.（2）由题设知，不与x轴重合，故设：x my=，()111,A x y､()122,B x y联立方程：()22223430143x mym yx y⎧=-⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，则1226334y ym+=+，122334y ym-=+，2122121234mx xm-=+，122223434S ym m=-=⋅=++63=≤=.当且仅当2313m+=，即223m=时取等号，此时121221222123312124A AB By y bk kx x m a-⋅===-=--，故直径12A A与直径12B B共轭.（3）设点()11,C x y，()22,M x y，当CD不与坐标轴重合时，设CDl：y kx=，则MNl：34y xk=-.联立2222211221212,3434143y kxkx yx y k k=⎧⎪⇒==⎨+++=⎪⎩.同理可得：22221634kxk=+，222934yk=+.由椭圆的对称性，不妨设C在第一象限，则M必在第二象限或第四象限，则1x=，1y=若M在第二象限，则2x=，2y=，从而T⎪⎝⎭，则P ⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭.又P在椭圆外，则223412⎛⎫ ⎪ ⎪+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：22λ>，即λ>λ<.若M 在第四象限，同理可得22λ>，即λ>λ<当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C，(M ，则3,2P λλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.又P 在椭圆外，则2223341224λλλ+⋅>⇒>，即λ>，或λ<，综上：λ>或λ<.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]
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42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（ ）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为 第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到 答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.
高等数学期中考试试题 (下)
高等数学期中考试试题 2007.051. 1yx y x y x lim 22222)0,0()y ,x (-=+--→. 2. 曲面z =xy 在点 M ０( 3 ， １ ， 3 ) 处的法线垂直于 平面z =x +3ｙ-２.3. 设x)yz (u =，则dzdy |du )1,1,1(+-=.4. 函数)z y x ln(u 222++=在点)2,1,0(M 0处沿向量}1,1,2{l --= 的方向导数为654- .5． 设)y ,x ,u (f z =,其中xxe u =且f 具有二阶偏导数,则''23''13)1x (x 2f f e yx z +=∂∂∂+ 6． 曲线⎩⎨⎧=++=++1z y x 0z y x 222, 则在点)21,0,21(-处的切线的方向 向量为}21-,22,21{- . 7. 函数z =x-2y -3x ｙ 在区域D: 0y ,0x ,2y x ≥≥≤+,上的最大值为 2 , 最小值为419- ．8．⎰⎰--+200y 2y 222x d y x y d 在极坐标系中的二次积分的值为⎰⎰ππθθ22sin 02r d r d ; 经计算该二次积分值为92π.9.设Ω是由曲面4z z y x 222=++所围成的区域，则重积分⎰⎰⎰Ωdvz 化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰π-+--θ20r 42r 42222z d rz dr d ,化为球面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πϕπϕϕϕθ204sin 032r d sin cos r d d , 经计算得值36410. 设曲线0y ,2x y x :L 22≥=+的线密度为x =ρ， 则L 的质量M 用线积分表示为⎰L xds , 化为定积分为 ⎰πθθ+0)d cos (1,其值为π .11. 将变力22y xj x - i y f +=沿曲线 12y x :L 22=+逆时针所做的功表示成积分为⎰+L22y x xdy-ydx , 经计算得其值为π-2二、单项选择:(每题1分,共４分）1． 设函数22y x )y ,x (f +=, 则在点)0,0(处不正确的结论是(D ）.(A)连续 (Ｂ)方向导数存在 (Ｃ)有极小值 (D ） 偏导数存在2. 设函数)y ,x (f ，)y ,x (φ有偏导数， 且)y ,x (f z =在点)y ,x (M 000处在条件0)y ,x (=φ下取得极值，则（ D ）正确． A. )y ,x (f 00x , )y ,x (f 00y 都必等于0; B. )y ,x (f 00x 必等于０, )y ,x (f 00y 可能不为0;C. )y ,x (f 00x 可能不为0， )y ,x (f 00y 必等于0；D. )y ,x (f 00x ， )y ,x (f 00y 可能都不等于0;高等数学期中考试试题 2002.０４.２０一、填空:(每空1分，共15分) 1.已知直线L １：3z z 21y 1x 0-=+=-与直线 Ｌ２：23z 34y 12x -=--=--相交，则z 0= １５ 。
浙江省宁波市慈溪市2024届第二学期高三数学试题期中考试试题
浙江省宁波市慈溪市2024届第二学期高三数学试题期中考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥2．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n C B ．21n C + C ．1n n C - D ．3112n C + 3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．54．已知集合{}1A x x =<，{}1x B x e =<，则（ ）A ．{}1AB x x ⋂=<B ．{}A B x x e ⋃=<C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<5．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c << 6．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．7．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A 5B ．35C ．79D ．358．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -= 9．已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 10．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b <<11．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥ 12．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
高等数学期中考试卷
说明：本学期的期中考试内容为第五章、第六章，在题目中题目标号是红色的是第七章的内容，本次不考！高等数学（A ）05-06-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y x y x y +≤+=⎰⎰；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y tπ=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π29． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。
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南京中医药大学[高等数学]课程试卷
姓名张莹_________ 专业年级________国贸132____学号011013209 __________得分_________肯定100___
一、 选择题（答案请按题号写在答题纸上，每题3分，计24分） 1、下列函数在给定条件下，是无穷小量的有（ C ）
A 、
21
(0)x x x
-→ B 、lg (0)x x +→ C 、cos ()x x x →∞ D 、1()x x -→-∞ 2、下列函数在给定条件下，是无穷大量的有（ A ）
A 、
2
(2)4x x x →- B 、ln (1)x x → C 、(0)sin x
x x
→ D 、()x e x →-∞ 3、0'()1f x =-，000()()
lim h f x h f x h
→--= ( D )
A 、－1
B 、0
C 、2
D 、1 4、函数3()1([0,1])f x x x x =-+∈满足罗尔定理中的数值ξ=（ B ）
A 、0 B
C 、1
D 、不存在 5、'()sin f x x =，()f x 的一个原函数为（D ）
A 、1cos x +
B 、1cos x -
C 、1sin x +
D 、1sin x - 6、
2
1
sin x d t dt dx ⎰=（ A ） A 、2
sin x B 、2
sin sin1x - C 、2
2sin x x D 、2
cos x 7、下列积分为收敛的是(B ） A 、
sin xdx +∞⎰
B
、 1
-1
dx ⎰
C 、2
(+2)x x dx +∞
⎰ D 、0
-2e x dx -∞
⎰
8、下列积分为收敛的是（ C ）
A 、
220
sec xdx π
⎰
B 、0
e x dx --∞
⎰ C
、2
-⎰
D 、 3
2
1
1
1
dx x -⎰
二、 填空题 （答案请按题号写在答题纸上，每空格3分，计24分） 9、333
12(
)lim n n n n n →∞
+++ = 0 。
10、函数229
()43
x f x x x -=-+的间断点为 埃克斯等于1或3 。
11、曲线2x y xe -=的拐点为 （已对） 。
12、7
1
6
211
x dx x x -++⎰=_____0_ _。
13、
2'()
4[()]f x dx f x =+⎰ 。
14、[()2]'()f x f x dx +=⎰
对 。
15、1
ln e
xdx =⎰
1 。
16、20
sin x e xdx π=⎰。
三、 计算证明题（答案请按题号写在答题纸上，每题6分，计36分）
17、计算极限20tan lim
sin x x x
x x
→-.
18、计算极限01
lim(cot )x x x
→-.
19、计算极限3230(1)(13)
lim 2x x x x x
→-+-+. 20、计算定积分
1
ln e
e xdx ⎰
.
21、计算定积分
1
02
2x dx e +⎰.
22、计算由曲线223y x x =--与直线0,2,5y x x ===所围图形的面积。
四、 综合应用题 （答案请按题号写在答题纸上，每题8分，计16分）
23、确定函数32
()2912f x x x x =-+在闭区间15
[,]42
-
上的最大值和最小值。
24、求由圆22
(6)16x y +-≤绕x 轴一周所得的旋转体的体积。