第7章 方差分析
EXCEL_应用版_第7章__方差分析
（5）在单元格D11中输入“=B11/C11”，并将 其复制到D12和D13。 （6）在单元格E11中输入“=D11/D12”，计算 F值。 （7）在单元格F11中输入公式 “=FDIST(E11,C11,C12)”，回车后显示 0.078425，即为P值。计算结果如图7-4所示。
图7-4 方差分析表
图7-3 各离差平方和的计算 返回本节
7.1.3 方差分析表
下面用Excel建立方差分析表。
（1）打开“方差分析”工作表和“计算表”工作表。
（2）在“方差分析”工作表的单元格B10~F10中分别 输入“平方和”、“自由度”、“均方差”、“F值”、 “P值”；分别在单元格A11~A13中输入“组间方差”、 “组内方差”和“总方差”。 （3）将“计算表”工作表单元格E17、F17、G17中的 数据“粘贴链接”到“方差分析”工作表的B12、B11 和B13单元格中。 （4）确定各方差的自由度。总方差的自由度是样本容 量数之和减1，因此应为5＋5＋5-1＝14，在单元格C13 中输入14。
图7-5 “方差分析：单因素方差分析”对话框
图7-6 单因素方差分析输出结果
图7-6 单因素方差分析输出结果
用Excel进行方差分析。
（1）输入原始数据。
（2）实现自动计算，得出方差分析结果。
图7-7 “增重试验分析”工作表
图7-8 单因素方差分析输出结果 返回本节
7.3 双因素方差分析
（1）建立“方差分析”工作表，如图7-1所示。
（2）在单元格A7中输入“样本均值”，在单元格A8 中输入“总体均值”。
（ 3 ） 选 择 单 元 格 B7， 输 入 公 式 “=AVERAGE(B2:B6)”，计算样本均值，并将其复制 到 C7 和 D7 单 元 格 中 ， 得 到 的 值 分 别 是 2 2 2 8 . 8 0 、 2928.00和1951.60。 （4）在单元格D8中输入公式“=AVERAGE(B2:D6)”， 回重复方差分析”工作表，输入相 关数据，如图7-12所示。
第七章方差分析与F检验
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
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7
8
6
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8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第7章 方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。
一、数学模型
假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )
第七章方差分析与F检验
• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
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7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
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7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析第一节单因素)
一、各处理重复数相等的方差分析
【例1】 某水产研究所为了比较四种不同 配合饲料对鱼的饲喂效果， 配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基 本相同的鱼20尾，随机分成四组， 随机分成四组，投喂不 同饲料， 同饲料，经一个月试验以后， 经一个月试验以后，各组鱼的增 重结果列于下表。 重结果列于下表。
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型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效 应αi、试验误差εij之和。尽管各总体的均数可 以不等或相等，σ2则必须是相等的。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这也是进行其它类型方差分
F=MSt/MSe =46.5×20/38.84×4=5.99**
3.统计推断： 统计推断： F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，F＞ F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品种间差异极显著。 表明品种间差异极显著。
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退 出
SS MS e = e = df e =
t
t
1 = n
∑
T
∑
e
= SS
ni ≠ n
Ti2 − C ni
j
总自由度的剖分
总自由度
dfT = kn −1 = N −1
处理自由度 dft = k −1 误差自由度 dfe = dfT − dft = kn − k = N − K
MSt = SSt / df t MSe = SS e / df e MSt F= MS e
析的前提或基本假定。
xij = µ + α i + ε ij = µ + ( µi − µ ) + ( xij − µi )
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
第7章 方差分析
第7章 方差分析7.2单因素方差分析（单因变量单因素方差分析）基本描述：设影响某个指标的因素只有一个A ，相应的水平为A 1, A 2, …,A k ，假设各个水平所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因素方差分析的目的之一就是检验012:k H μμμ=== .若拒绝原假设,则认为至少有两个水平间存在着差异,到底是那些水平间存在差异呢?这时可以进行多重比较,一致性子集检验(把均值间不存在差异的水平划分为一类).若不知方差是否相等,还可以进行方差齐性检验.方差分析是对总平方和进行分解,分解为因素的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个因素的各个水平之间是否存在差异；进行多重比较，一致性子集检验；进行方差齐性检验。
方法：Analyze →Compare Means →ANOV A注1：在数据文件时,因变量(即指标)只有一个,各个水平下的观测量通过分类变量来区分.注2：因变量一般要求服从正态分布。
对照：12342μμμμ++= 例：data07-01.sav 例：data07-02.sav7.3单因变量多因素方差分析基本描述：设影响某个指标的因素有多个，假设各个水平组合所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因变量多因素方差分析的目的之一就是检验0:H某个因素的各个水平之间无差异。
或0:H某些因素间不存在交互作用。
主效应: 反映一个因素对指标的影响性的一个度量.主效应的作用可通过相应的平方和来体现.交互效应: 两个以上因素间的相互作用对指标的影响性的一个度量.方差分析是对总平方和进行分解,分解为各个因素的平方和,交互作用的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个变量是否受多个因素影响？检验因素之间是否存在交互作用；进行协方差分析。
要求：（1）因变量和协变量（或伴随变量）：数值型变量。
二者之间存在线性关系。
（2）因子变量：分类变量。
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方差分析及其有关术语
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1.检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类型自变量 两个或多个 (k 个) 处理水平或分类 一个数值型因变量
ý Î Ê ß ´ ¶ Ë ±Í »
40 20 0 0
零售业 1 旅游业 2 航空公司 3 家电制造 4
5 Ð Ò µ
» Í ² ¬ Ð Ò µ ± » Í ¶ Ë ß ´ Î Ê ý µ Ä É ¢ µ ã Í ¼
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—Mean/SD/1.96*SD箱线图)
Box & Whisker Plot 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
2 k 2 k ni i 1 i 1 j 1
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
(均方—MS)
1. 平方和除以相应的自由度 2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应 该很接近，它们的比值就会接近1 3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它 们之间的比值就会大于1 4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投
构造检验的统计量
(计算组间平方和 SSA)
1. 各组平均值 xi (i 1,2,, k ) 与总平均值 x 的离 差平方和 2. 反映各总体的样本均值之间的差异程度 3. 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 4. 计算公式为
SSA xi x ni xi x
2 i 1 j 1 i 1
k
ni
k
2
前例的计算结果 SSA = 1456.608696
构造检验的统计量
(计算组内平方和 SSE )
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差 平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况 3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为
SSE xij xi
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值)
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数 2. 计算公式为
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk
3.有单因素方差分析和双因素方差分析
单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
什么是方差分析?(例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会 在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消 费者对总共23家企业投诉的次数如下表
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
n x
i 1
k
i i
构造检验的统计量
(例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x ij与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充 分
方差分析中的基本假定(2)
◆如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4
4个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正 态总体
f(X)
m1 m2 m3 m4
X
方差分析中的基本假定
方差分析的基本思想和原理
◆散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被
投诉的次数之间有显著差异
这种差异可能是由于抽样的随机性造成的
◆需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，
也就是进行方差分析
所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方 差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分 析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方 差分析时，需要考察数据误差的来源
统计学
STATISTICS (第二版)
◆ 设 m 1 为零售业被投诉次数的均值， m 2 为
旅游业被投诉次数的均值， m 3 为航空公 司被投诉次数的均值， m 4 为家电制造业 被投诉次数的均值，提出的假设为 H0 ： m 1 m 2 m 3 m 4 H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等
至少有一个总体的均值是不同的 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
X
问题的一般提法
问题的一般提法
◆设因素有 k 个水平，每个水平的均值分别用 m1 , m2, , mk 表示 ◆要检验 k 个水平 ( 总体 ) 的均值是否相等，需 要提出如下假设： H 0 ： m1 m2 „ mk H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等
方差分析的基本思想和原理
(两类误差)
1. 随机误差
因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 系统误差 因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异
比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能 是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系 统性因素造成的，称为系统误差
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor) 所要检验的对象 分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子 2. 水平或处理(treatment) 因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 3 观察值 在每个因素水平下得到的样本数据 每个行业被投诉的次数
方差分析中的有关术语
警惕过多地假设检验。你对数据越 苛求，数据会越多地向你供认，但 在威逼下得到的供词，在科学询查 的法庭上是不容许的。
Stephen M.Stigler
第 7 章 方差分析
7.1 方差分析引论 7.2 单因素方差分析 7.3 双因素方差分析
学习目标
1 .解释方差分析的概念 2. 解释方差分析的基本思想和原理 3. 掌握单因素方差分析的方法及应用 4. 理解多重比较的意义 5. 掌握双因素方差分析的方法及应用
x21 x22 : : x2n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
提出假设
1. 一般提法
• •
H0 ：m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
自变量对因变量有显著影响
2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
单因素方差分析
数据结构 分析步骤 关系强度的测量 方差分析中的多重比较
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值 ( j ) 因素(A) i 水平A1 水平A2 … 水平Ak
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
?.96*Std. Dev. ?.00*Std. Dev. Mean
方差分析的基本思想和原理
(图形分析)
◆从散点图上可以看出
不同行业被投诉的次数有明显差异 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉 的次数较低
◆行业与被投诉次数之间有一定的关系
如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它 们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上 所呈现的模式也就应该很接近
◆试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的试 验 ◆总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 是4个总体 ◆样本数据 被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样本 数据
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理
(图形分析—散点图)
80 60
构造检验的统计量
构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS)
构造检验的统计量
(计算水平的均值)
1. 假定从第 i个总体中抽取一个容量为 ni 的简单 随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 2. 计算公式为
xi
x
j 1
次数独立 分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布
方差分析中的基本假定(1)
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 4个正态总体的均值是否相等 2.如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的 均值也会很接近 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等的证