数形结合思想在函数中的应用_2
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
浅淡数形结合在函数教学中的应用_曾剑华
法 。 在 数 学 教 学 中 ，它 主 要 表 现 在 把 抽 象 的数量关系，转化为适当的几何图形，从图 形的直观特征发现数量之间存在的联系， 以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的 目 的 ，使 问 题 简 捷 地 得 以 解 决 。 而 函 数 在 中 专 数 学 教 学 中 占 了 很 主 要 部 分 ，学 好 函 数对于学好数学也就至关重要了。下面主 要从两个方面来进行阐述。
的 基 础 知 识 记 忆 牢 固 ，才 能 做 到 温 故 而 知 新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学 思 维 ，提 高 数 学 能 力 。 教 学 中 运 用 形 象 记 忆 的 特 点 ，使 抽 象 的 数 学 尽 可 能 地 形 象 化 ， 对学生输入的数学信息和映象就更加深 刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以 形象地帮助学生理解和记忆。
初看题面往往被“关于坐标轴对称” 这 一 要 求 所 吸 引 ，觉 得 （１ ）（２ ）（３ ）三 个 图 满足要求，因 而 选 择（Ｂ），而事实上正确答 案 应 当 是 （Ｄ ），仔 细 审 题 发 现 题 目 中 前 边 说 的 是 “ 图 象 ”，后 面 说 的 是“ 函 数 图 象 ”，题 目 要 求 找 图 象 ：① 是 函 数 的 图 象 ② 图 象 关
图１
图３
图２ ２５４ 科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
如图 １ 所 示 是 余 弦 函 数 ｙ＝ｃｏｓｘ 的图 象 ，从 中 我 们 可 以 知 道 余 弦 函 数 的 定 义 域 是 （－ ∞ ，＋ ∞ ），值 域 是［－ １，１］，函 数 在（２ｋ π，２ｋ π ＋ π）内单调减少，在（２ｋ π ＋ π， ２ｋ π ＋２ π）内单调增加，函 数 的 周 期 是 ２ π，｜ｃｏｓｘ｜ ≤ １，函数有界，函数是偶函数，在 区间（２ｋ π－π ／２，２ｋ π ＋ π ／２）上是下凹 的 ，在 区 间 （２ｋ π ＋ π ／２，２ｋ π ＋３ π ／２）上 是 上 凹 的 。（ｋ ∈ Ｚ）
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用作者：崔丽华来源：《新课程·下旬》2018年第08期摘要：数学是一门重要的基础课程，对于学生逻辑思维的培养有着非常重要的作用。
而函数是数学教学中的重点内容，知识比较抽象，学生对此类题型解答过程中存在很大困难，因此，函数教学也是数学中的教学难点。
如何培养学生对函数问题的解答能力，提升函数教学效率，对学生今后更加深入地学习数学知识有着非常重要的作用，所以，函数教学受到了广大数学老师的普遍关注。
数形结合作为一种解决数学问题的重要思想，同时也是一种重要的解题方法，在二次函数的教学中应用数形结合的思想方法，能够使数学知识从抽象向具体转变，大大降低了问题的解答难度，对提升学生数学学习能力、提高教学效率具有非常重要的意义。
关键词：数学教学；函数；数形结合；应用在函数问题的解题过程中，通过数解形以及形助数的数形结合思想方法的运用，达到了最佳的解题效果。
数形结合不仅是一种重要的思想，同时也是解决函数数学问题的重要方法。
通过数形结合思想的有效运用，实现了形象图形与数学语言的充分融合，在解题过程中形象图形发挥了重要的辅助作用，能够将抽象的知识形象化、具体化，降低了解题的难度。
对于学生数形结合思想意识的形成，以及其认知结构中根扎数形结合思想观念，将其当成一种运用自如的思维工具，对函数问题的空间想象能力不断提升与完善有着重要的促进作用，使学生真正达到了数学语言、数学表达式和图形之间的互译，形成了良好的解题习惯。
因此，在数学教学过程中必须要对数形结合给予足够的重视，并让学生巧妙地运用数形结合的思想对函数问题进行有效解答。
一、以形示数分析：本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，大大地节约了时间，提高了解题的效率。
二、以数助形在对函数问题进行解答的过程中，让学生利用各种解析式对应地将图形示意图画出，并将其性质表示出来，存在很大难度。
教学实施过程中应当遵循循序渐进的原则，利用示意图来对其相关性质进行表示，并在教学过程中反复让学生对以前学过的二次函数的关系式、图象和性质等进行有效的复习。
数形结合思想在函数中的运用
题型四、与数形结合有关的综合问题
例 4：已知函数 f ( x) lg x ，若存在互不相等的实数 a ， b ，使得
f (a) f (b) ，求 ab 的值.
lg x , 0 x 10 变式：已知函数 f ( x) 1 ，若实数 a, b, c 互 x 6, x 10 2
题型二、比较数的大小问题
例 2：若 a 30.6 ， b log3 0.6 ， c 0.6 3 ，则 a, b, c 的大小关系为 （用“ ”连接）
变式：已知函数 f ( x) 2x x ， g ( x) x log2 x ， h( x) x3 x 的 零点分别为 a, b, c ，则 a, b, c 的大小关系为 .
镇江市实验高级中学2014届高三数学二轮复习
数形结合思想在函数中的运用
数形结合是通过“以形助数” （将所研究的代数问题转化 为研究其对应的几何图形）或“以数解形” （借助数的精确性 来阐明形的某种属性） ，把抽象的数学语言与直观的图形结合 起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来， 解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂 问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导和调节 作用.
.
题型三、求函数的最值与参变量的范围问题
1 例 3：记 min a, b 为 a , b 两数的最小值.若 t min x, ，则 2x
t 的最大值为
变式：已知函数 y
.
x 1
2
x 1
的图象与函数 y kx 2 的图象恰有两个 .
交点，则 k 的取值范围为
具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构 特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图形的特性 和规律,解决数的问题；或将图形信息全部转化为代数 信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合思想在函数中的应用
分 析 ：通 过 计 算 比较 大 小 显然 不 可 能，观 察发 现 ， 代 数 式是两个 指数相 同的 指 数式 ，同样 可以构造 指数 函数，利 用指 数 函数 的性 质来 比较 。同学们 只要将 两个
函数的图 像画在同一坐标蚕中， 画直线
ｘ ＝ Ｏ ． ２ 这 条直 线就会 发现 ８ ～＜ ５ ～ 五、 数 形结合 思想在 函数奇 偶性 方面 的应 用 函 数 的 奇 偶 性是 函数 的又 。 。 。 重 要 性 质， 掌 握 函数 的奇 偶性对 丁解题 和做 出函 数 图像 都有很 大 的用 仡 函数 奇偶性 中 要想 很好 的利 用数 彤 台 想 ， ‘ 学生必 须 掌握 ，奇函数 的 图像 关于 原点 对 称 ， 而 偶函数 的 图像关 于 ｙ 轴对称 。只有学 生 很好 的 掌握 了函数 的图像特 征 ， 才 会在应 用 的过程 中得 心应 手。 以上只是借助几道例题 ，简单阐述 了数 形结合思想在 函数 问题的几点应用，要真正 掌握数形结合思想 的精髓，学生必须在平时 学习中扎实基础 知识 ，通过大量 的练习，将 这种方法形成—种技巧。 此外 ， 教学过程 中， 教师要精讲每一节课 ，运用各种方法激发学 生 的学习兴趣，提高课堂效率 ，让学生掌握 每一种函数的图像及性质。教师要抓住数与 形 的转化 ，提高学生 的思维能力 ，挖掘数形 结合的教育价值，培养学生在高 中数学中应 用数形结合解题 的能力。
、
利用数 形结 合思 想求 函数 的定 义
域
为『 ＿ ４ ， １ ２ １ 。 这是历届学生极容易出错的地
方， 学生 习惯将 区间端 点 的值 直接 带入 求 函数 值域 ， 教 学过 程中 ， 教师要 反复 强调 ， 反 复练 习 ， 使学 生掌握 数形 结合思 想来 求
数形结合在函数教学中的应用
数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。
在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。
在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。
例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。
2、物理学科中电阻、电压、电流关系。
提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。
这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。
设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。
教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。
在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。
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数形结合思想在函数中的应用
（江苏省泰州市海军中学杨金宝 225300）
数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。
数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。
本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。
（一）数形结合的简介
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
（二）函数数形结合的应用
1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。
不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
请结合图像，回答下列问题：
（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
”你说可能吗？请说明理由。
分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。
根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。
代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。
利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。
解：（1）略
（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），
当x＞2时，y=-4x+88（x>2）
∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），
∴66=-4x+88，x=5.5
答：前15位同学接完水需5.5分钟。
（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。
若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水，当0＜t ≤2 则8（2-t ）+4[3-（2-t ）]=8×2，16-8t+4+4t=16，
∴t=1（分），∴（2-t ）+[3-（2-t ）]=3（分），符合。
当t ＞2时，则8×2÷4=4（分）
即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。
所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。
2、构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。
例2：利用图像解x 2－2x –１=0的一种方法是：画出抛物线y ＝x 2与直线ｙ＝2x ＋１，两图像的交点的横坐标就是方程的解。
（1）再给出一种利用图像求方程x 2－2x –１=0的解。
（2）已知函数ｙ＝x ３的图像，求x ３－x –2＝０的解（保留两个有效数）
分析：用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透。
3、中考数学压轴题中的数形结合思想。
压轴题的关系多，涉及的知识点广，关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。
例3：在直角坐标平面内，O 为坐标原点,A 点的坐标为(1,0)，点B 在x 轴上且在点A 的右侧,AB=OA,过A 、B 做x 轴的垂线，分别交二次函数y=x 2的图像于点C 、D 。
直线OC 交BD 于M ，直线CD 交y 轴于H ，记点C 、D 的横坐标分别为x C 、x D ，点H 的纵坐标为y H 。
同学们发现两个结论：1、S △CMD ∶S 四边形ABMC =2∶3； 2、数值关系：
x C ·x D =-y H
（1）请你验证两个结论是否成立。
（2）请你研究：如果将上述条件“A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t ，0)，（t>0）”其他条件不
变，S △CMD ∶S 四边形ABMC =2∶3是否成立，说明理由。
（3）进一步研究：如果将条件“A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t ，0)，（t ＞0）”，又将条件y=x 2改为y=ax 2（a ＞0），其他条件不变，
那么x C 、x D 和y H 有怎样的数值关系，写出结果并说明理由。
分析：（1）因为AB=OA ，显然几何关系是：AC 是ΔOAB 的中位线，满足代数关系BM=2AC ；根据平行线等分线段定理，点C 是线段OM 的中点，
继续则发现ΔHOC ≌ΔDMC ，OH=DM 。
显然隐含关系BM=MD ，契合点为：y D =2y M ；
（2）几何图形坐标化，把点的坐标量化为几何线段的长：数值关系：
x C ·x D =-y H ∵x C =1、DM=BM=OH 、-y H =OH 、x D =OB ，结合图形和条件A （1，0），∠COA=45o ，OB=BM ，得证。
把代数
等式化为几何对象，契合点为∠COA=45o 。
（3）“A 点的坐标为(1，0)”改为：“A 点的坐标为(t ，0)，（t>0）”，只是表示AC 、BM 、MD 时由整数变成了字母，字母代替数，范围扩大了，图形变化由数t 引起，AC 、BM 、MD 的几何图形关系完全一样，解决方法
（1）一样。
例3中（2）（3）的契合点是：数形辩证统一关系。
牢牢抓住数和形中的不变量，是解决类似问题关键。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
著名数学家华罗庚认为：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
初中数学函数是学生建立数形结合思想方法的关键时期，初中生经历感悟数和形的辨证统一思想，“直观”、“入微”的形数意识的对学生的数学能力的提升有积极的作用。