第13章 第1节 动量、动量守恒定律

【变式训练 2】如图，光滑水平直轨道上有三个质量均 为 m 的物块 A、 B、 C.B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡 板质量不计)．设 A 以速度 v0 朝 B 运动，压缩弹簧；当 AB 速度相等时，B 与 C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运 动，假设 B 和 C 碰撞过程时间极短．求从 A 开始压缩弹簧 直至与弹簧分离的过程中．
考点3：验证动量守恒定律
例 3：某同学利用打点计时器 和气垫导轨做验证动量守恒定律 的实验，气垫导轨装置如图甲所 示，所用的气垫导轨装置由导轨、 滑块、弹射架等组成．在空腔导轨 的两个工作面上均匀分布着一定数量的小孔，向导轨空腔 内不断通入压缩空气，空气会从小孔中喷出，使滑块稳定 地漂浮在导轨上，这样就大大减小了因滑块和导轨之间的 摩擦而引起的误差．
【解析】因碰撞时间极短，A 与 C 碰撞过程动量守恒，
设碰撞后瞬间 A 的速度大小为 vA，C 的速度大小为 vC，以 向右为正方向，由动量守恒定律得 mAv0＝mAvA＋mCvC，① A 与 B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为 vAB，由动量守恒定律得 mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB② A、B 达到共同速度后恰好不再与 C 碰撞，应满足：vAB ＝vC.③ 联立①②③式解得：vA＝2m/s.
3.(单选)一炮艇总质量为 M，以速度 v0 匀速行驶，从船 上以相对海岸的水平速度 v 沿前进方向射出一质量为 m 的 炮弹，发射炮弹后艇的速度为 v′，若不计水的阻力，则下 列各关系式中正确的是( A ) A．Mv0＝(M－m)v′＋mv B．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0) C．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′) D．Mv0＝Mv′＋mv
1 (m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cos θ)③ 2 m1 1 联立①②③式得 ＝ － 1④ m2 1－cosθ m1 代入已知数据得 ＝ 2－1⑤ m2
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失为 Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cos θ)⑥ 1 联立①⑥式，Q 与碰前球 b 的最大动能 Ek(Ek＝ m2v2) 2 m1＋m2 Q 之比为 ＝1－ (1－cos θ)⑦ Ek m2 Q 2 联立①⑤⑦式，并代入题给数据得 ＝1－ . 2 Ek 2 答案：(1) 2－1 (2)1－ 2
【解析】本题考查对动量守恒定律的理解．
动量守恒中，前后必须选择同一个参考系，规定船前 进的方向为正方向 (M＋m)v0＝m(－v)＋Mv1 v1＝v0＋m(v0＋v)/M 所以，C 正确．
2.(单选)两个球沿直线相向运动， 碰撞后两球都静止． 则 可以推断(
D )
A．两个球的动量一定相等 B．两个球的质量一定相等 C．两个球的速度一定相等 D面的距离为 a、B 点离水平桌面 的距离为 b，C 点与桌子边沿间的水平距离为 c. (1)还需要测量的量是 弹性球 1、2 的质量 m1、m2 、 立柱高 h 和 桌面高 H .
(2) 根据测量的数据，该实验中动量守恒的表达式为 c 2m1 a－h＝2m1 b－h＋m2 .(忽略小球的大小) H＋ h
(1)设喷出三次气体后宇航员的速度为 v3， 以宇航员和 三次喷出的气体为研究对象，据动量守恒定律得： (M－3m)v3－3mv＝0 3mv 所以 v3＝ . M－3m (2)以宇航员和喷出的 n 次气体为研究对象，则有 (M－nm)vn－nmv＝0 nmv 所以 vn＝ . M－nm
考点2：动量、能量综合问题的求解
第1节 动量、动量守恒定律
1.(2012· 福建卷)(单选)如图所示， 质量为 M 的小船在静止水面上以速 率 v0 向右匀速行驶，一质量为 m 的 救生员站在船尾，相对小船静止．若救生员以相对水面速率 v 水平向左跃入水中， 则救生员跃出后小船的速率为( C ) m A．v0＋ v M m C．v0＋ (v0＋v) M m B．v0－ v M m D．v0＋ (v0－v) M
【解析】(1)要验证动量守恒必须知道两球碰撞前后的
动量变化，根据弹性球 1 碰撞前后的高度 a 和 b，由机械 能守恒可以求出碰撞前后的速度，故只要再测量弹性球 1 的质量 m1，就能求出弹性球 1 的动量变化；根据平抛运动 的规律只要测出立柱高 h 和桌面高 H 就可以求出弹性球 2 碰撞前后的速度变化，故只要测量弹性球 2 的质量和立柱 高 h、桌面高 H 就能求出弹性球 2 的动量变化． (2)根据(1)的解析可以写出动量守恒的方程． 2m1 a－h＝2m1 b－h＋m2 c . H＋h
【解析】动量守恒定律必须相对于同一参考系．本题
中的各个速度都是相对于地面的，不需要转换．发射炮弹 前系统的总动量为 Mv0，发射炮弹后，炮弹的动量为 mv， 船的动量为(M－m)v′，所以动量守恒定律的表达式为 Mv0 ＝(M－m)v′＋mv.
考点1：动量守恒定律的应用
例 1：如图所示，光滑水平轨道上放置长板 A(上表面 粗糙)和滑块 C，滑块 B 置于 A 的左端，三者质量分别为 mA＝2kg，mB＝1kg，mC＝2kg.开始时 C 静止，A、B 一起以 v0＝5m/s 的速度匀速向右运动， A 与 C 发生碰撞(时间极短) 后 C 向右运动，经过一段时间，A、B 再次达到共同速度一 起向右运动，且恰好不再与 C 碰撞．求 A 与 C 发生碰撞后 瞬间 A 的速度大小．
【变式训练 1】航天员翟志刚第一次实现了中国人太空 行走的梦想．假设宇航员翟志刚进行太空行走时的总质量为 M，开始时他和飞船相对静止，为了离开飞船独自运动，翟 志刚利用所携带的氧气枪以每秒 n 次的频率向同一方向连续 喷出气体，每次喷出的气体质量为 m，气体喷出时的速度为 v，则 (1)当第三次喷出气体后，宇航员的速度达到多大？ (2)开始喷气后第 1 秒末，宇航员的速度为多大？
(3)纸带与打点计时器的限位孔之间有摩擦
【变式训练 3】如图是用来验证动 量守恒的实验装置，弹性球 1 用细线悬 挂于 O 点，O 点下方桌子的边沿有一竖 直立柱．实验时，调节悬点，使弹性球 1 静止时恰与立柱上的球 2 接触且两球 等高．将球 1 拉到 A 点，并使之静止，同时把球 2 放在立 柱上．释放球 1，当它摆到悬点正下方时与球 2 发生对心碰 撞，碰后球 1 向左最远可摆到 B 点，球 2 落到水平地面上 的 C 点．测出有关数据即可验证 1、2 两球碰撞时动量守
(1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．
【解析】(1)从 A 开始压缩弹簧到 A 与 B 具有相同速
度 v1 时，对 AB 与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得： mv0＝2mv1，① 此时 B 与 C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速 度为 v2，系统损失的机械能为 ΔE，对 BC 组成的系统，由 动量守恒定律，mv1＝2mv2，② 1 2 1 由能量守恒定律， mv1＝ (2m)v2 2＋ΔE③ 2 2 1 联立解得：ΔE＝ m v2 0. 16
(1)下面是实验的主要步骤： ①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导 轨水平； ②向气垫导轨空腔内通入压缩空气； ③把打点计时器固定在紧靠气垫导轨左端弹射架的外 侧，将纸带穿过打点计时器和弹射架并固定在滑块 1 的左 端，调节打点计时器的高度，直至滑块拖着纸带移动时， 纸带始终在水平方向； ④使滑块 1 挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；
【解析】(1)设球 b 的质量为 m2，细线长为 L，球 b 下
落至最低点，但未与球 a 相碰时的速率为 v，由机械能守恒 定律得 1 m2gL＝ m2v2① 2 式中 g 是重力加速度的大小．设球 a 的质量为 m1；在 两球相碰后的瞬间，两球共同速度为 v′，以向左为正，由 动量守恒定律得 m2v＝(m1＋m2)v′② 设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的 夹角为 θ，由机械能守恒定律得
【解析】解法一：喷出的气体的运动方向与宇航员运
动方向相反，可认为系统动量守恒 设第一次气体喷出后，宇航员速度为 v1，有(M－m)v1 －mv＝0 mv 所以 v1＝ M－ m 设第二次气体喷出后，宇航员速度为 v2，有(M－2m)v2 －mv＝(M－m)v1 2mv 所以 v2＝ M－2m
设第三次气体喷出后，宇航员速度为 v3，有(M－3m)v3 －mv＝(M－2m)v2 3mv 所以 v3＝ M－3m 依次类推，由于每秒喷气 n 次，则 1s 末宇航员的速度 为 vn，有 (M－nm)vn－mv＝[M－(n－1)m]vn－1 nmv 所以 vn＝ M－mn 解法二：选取整体为研究对象，运用动量守恒定律求 解
(2)已知打点计时器每隔 0.02s 打一个点， 两滑块相互作 用前质量与速度的乘积之和为________kg· m/s； 两滑块相互 作用以后质量与速度的乘积之和为 ________kg· m/s(保留三 位有效数字) (3)试说明(2)问中两结果不完全相等的主要原因是．
0.2 【解析】作用前滑块 1 的速度 v1＝ m/s＝2m/s，其 0.1 质量与速度的乘积为 0.310kg×2m/s＝0.620kg· m/s，作用后 0.168 滑块 1 和滑块 2 具有相同的速度 v＝ m/s＝1.2m/s，其 0.14 质 量 与 速 度 的 乘 积 之 和为 (0.310kg ＋ 0.205kg)×1.2m/s ＝ 0.618kg· m/s. 答案：(1)接通打点计时器的电源 放开滑块 1 (2)0.620 0.618
例 2：如图，小球 a、b 用等长细线悬挂于同一固定点 O.让球 a 静止下垂，将球 b 向右拉起，使细线水平．从静 止释放球 b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直 方向之间的最大偏角为 60° .忽略空气阻力，求： (1)两球 a、b 的质量之比； (2)两球在碰撞过程中损失 的机械能与球 b 在碰前的最大 动能之比．
⑤把滑块 2 放在气垫导轨的中间，已知碰后两滑块一 起运动； ⑥先________，然后________，让滑块带动纸带一起 运动； ⑦取下纸带，重复步骤④⑤⑥，选出较理想的纸带如 图乙所示； ⑧测得滑块 1(包括撞针)的质量 310g， 滑块 2(包括橡皮 泥)的质量为 205g. 试着完善实验步骤⑥的内容．