第14讲建立适当的坐标系描述图形的位置
用坐标系解决实际问题
用坐标系解决实际问题在解决实际问题时，坐标系是一种常用且有效的工具。
通过建立坐标系，我们可以准确地描述物体的位置、方向和运动，以及计算相应的数值。
本文将介绍通过坐标系解决实际问题的方法和应用。
一、建立坐标系建立坐标系是解决实际问题的第一步。
我们通常使用直角坐标系，即二维平面上的X轴和Y轴。
X轴和Y轴的交点处称为原点，用O表示。
X轴向右为正方向，Y轴向上为正方向。
二、描述物体的位置在坐标系中，可以用一个有序数对(x, y) 来表示物体的位置。
其中，x 表示物体在X轴上的位置，y 表示物体在Y轴上的位置。
例如，一个物体位于坐标系的第一象限内，其位置可以表示为(3, 4)。
这意味着物体在X轴上的位置为3，Y轴上的位置为4。
三、描述物体的方向坐标系也可以帮助我们描述物体的方向。
常见的表示方法为使用角度来表示方向。
在二维平面坐标系中，通常以X轴正方向为基准，逆时针旋转的角度来表示方向。
例如，一个物体运动的方向与X轴成45度的角度，即表示为45度方向。
四、计算物体的位移通过坐标系，我们还可以计算物体在空间中的位移。
位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的变化量。
在坐标系中，可以根据两个位置点的坐标差值计算出位移。
例如，物体从点A(1, 2)移动到点B(4,6)，则物体的位移可以表示为(4-1, 6-2)，即(3, 4)。
五、计算物体的距离坐标系还可以帮助我们计算物体之间的距离。
在二维平面上，可以通过两点间的距离公式来计算。
设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离可以表示为√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
六、应用实例坐标系在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用实例：1. 导航系统：通过建立地图坐标系，可以确定车辆或行人在空间中的位置，以及计算最短路径等导航信息。
2. 摄影测量学：通过建立空间坐标系，可以计算地物的三维位置和形状，进行地图制图和测量工作。
北师大版八年级数学上册3.2 平面直角坐标系 第3课时 建立适当的坐标系描述图形的位置
13. 请在所给网格中按下列要求操作： (1)请在网格中建立平面直角 坐标系，使 A 点坐标为(0，2)，B 点坐标为(－2，0)； (2)在 x 轴上找一点 C，使得 △ABC 为等腰三角形，请画出所 有符合条件的点 C，并直接写出相应的 C 点坐标.
解：(1)图略； (2)C(0，0)或(2，0)或(－2－2 0).
解：答案不唯一，由所建立坐标系的位置确定.
知识点 由已知点的坐标求其他点的坐标 3. 如图的围棋盘放置在 某个平面直角坐标系内，白棋 ②的坐标为(－7，－3)，白棋③ 的坐标为(－6，－7)，画出直角 坐标系，并写出黑棋①的坐标. 解：图略，黑棋①的坐标是(－3，－6).
4. 如图所示，建立适当的直角坐标系，使得小明家 的坐标位置为(－2，1)，并写出小刚、小红、小颖家的坐 标.
9. (中考·武威)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因 趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平 面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4， －2)，则“兵”位于点 (－1，1) .
10. 如图的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋 A 的坐标为(－1，2)，请在图中画出平面直角坐标系，并写 出白棋 B 的坐标.
坐标为(8，－4)，B 点的坐标(10，0).
12. (教材 P67 习题 T5 变式)温州一位老人制作的仿 真郑和宝船尺寸如图，已知在某一平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为(9，0).
(1)请你直接在图中 画出该坐标系；
(2)写出其余五点的坐标. (3)仿真郑和宝船图中互相平行的线段有哪些？分别 写出来.
解：(1)图略； (2)各点的坐标为：B(5，2)，C(－5，2)，D(－9，0)， E(－5，－2)，F(5，－2)； (3)EF∥BC，DE∥AB，CD∥AF.
小学数学技巧认识坐标系与形位置
小学数学技巧认识坐标系与形位置小学数学技巧-认识坐标系与形位置在小学数学中，认识坐标系和形位置是非常重要的基础知识。
通过学习和掌握这些技巧，学生们可以更好地理解和解决数学问题。
本文将为您介绍一些小学数学中关于坐标系和形位置的技巧。
一、认识坐标系坐标系是用来表示和定位平面上点的工具。
它由两条相互垂直的线段组成，一条是水平方向的x轴，一条是垂直方向的y轴。
这两条轴称为坐标轴，它们的交点称为原点O。
1. 坐标坐标是用来表示一个点在坐标系中位置的数对，通常用(x, y)表示。
其中，x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标可以表示为(2, 3)，表示它在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3。
2. 四象限根据坐标系的两个轴将平面分成四个部分，这四个部分分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在第一象限中，x轴和y轴的坐标值都是正数；在第二象限中，x轴的坐标值是负数，y轴的坐标值是正数；在第三象限中，x轴和y轴的坐标值都是负数；在第四象限中，x轴的坐标值是正数，y轴的坐标值是负数。
二、形位置形位置是指图形在平面上的相对位置关系。
通过学习形位置的技巧，学生们可以更好地理解和描述图形之间的关系。
1. 直角、钝角和锐角当两条线段相互垂直时，我们称其为直角。
直角通常用一个框住的小方块表示。
当两条线段的夹角大于90度但小于180度时，称其为钝角。
钝角通常用一个小圆角表示。
当两条线段的夹角小于90度时，称其为锐角。
锐角通常用一个小尖角表示。
2. 平行和垂直当两条线段在平面上没有交点且始终保持相同的间隔时，我们称这两条线段为平行线段。
平行线段通常用双竖线“||”表示。
当两条线段相互垂直时，我们称其为垂直线段。
垂直线段通常用一个小正方形表示。
3. 内角和外角对于一个多边形而言，内角是指任意两条边所夹的角。
外角是指一个内角的补角，即与内角相邻且不共线的角。
三、实例运用通过以下实例，我们可以更好地理解和应用坐标系和形位置的技巧。
数学七年级下册：第14讲 用坐标表示地理位置套真题
数学七年级下册：第14讲用坐标表示地理位置一、单选题1. 已知小明从点O出发，先向西走10米，再向南走20米，到达点M，如果点M的位置用表示，那么表示的位置是（）A . AB . BC . CD . D2. 红领巾公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题，如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路线上主要地点的大致分布图，这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，如果表示遵义的点的坐标为，表示腊子口的点的坐标为，那么这个平面直角坐标系原点所在位置是A . 泸定桥B . 瑞金C . 包座D . 湘江3. 如图所示是做课间操时，小明、小红、小刚三人的相对位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（）A . （0，0）B . （0，1）C . （1,0）D .4. 小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A 的坐标为（1，0），那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（）A . （3.2，1.3）B . （﹣1.9，0.7）C . （0.8，﹣1.9）D . （3.8，﹣2.6）5. “健步走”越来越受到人们的喜爱，某个“健步走”小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园，所走路线为:森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方.如图，设在奥林匹克公园设计图上玲珑塔的坐标为,森林公园的坐标为, 那么水立方的坐标为（）A .B .C .D .6. 根据下列表述，能确定位置的是（）A . 孝义市府前街B . 南偏东C . 美莱登国际影城3排D . 东经，北纬7. 如果7年2班记作，那么表示（）A . 7年4班B . 4年7班C . 4年8班D . 8年4班8. P点横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是A . （-3，5）或（-3，-5）B . （5，-3）或（-5，-3）C . （-3，5）D . （-3，-5）9. 如图，军训时七班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（）A .B .C .D .10. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为（）A . （﹣2，3）B . （0，﹣5）C . （﹣3，1）D . （﹣4，2）二、填空题11. 已知点P在第二象限，且横坐标与纵坐标的和为1，试写出一个符合条件的点P ________．12. 如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为和，则熊猫馆P用坐标表示为________.13. 如图，把“QQ”笑脸图标放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B 的坐标为，则嘴唇C点的坐标是________．14. 如下图，五间亭的位置是________，飞虹桥的位置是________，下棋亭的位置是________，碑亭的位置是________．15. 如图，射线OA表示北偏西36°，且∠AOB=154°，则射线OB表示的方向是________．16. 如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，3）→（1，3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由A到B的一条路线：（3，1）→（________）→（________）→（________）→ （1，3）.三、解答题17. 如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点向东的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，并分别写出火车站以北（包括火车站）各地点的坐标．（每个正方形边长是1）18. 某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．19. 这是一个学校的示意图，已知大门的坐标为（1，—1）,行政楼坐标为（—1，1），画出平面直角坐标系,并写出另外四个地点的坐标.20. 如图所示，求出A，B，C，D，E，F，O点的坐标．21. 如图的方格中有25个汉字，如四1表示“天”，请沿着以下路径去寻找你的礼物：（1）一1→三2→二4→四3→五1一二三四五1力习天的2 会上是学好3 帅就更棒努4 优最行了可能爱秀明哥（2）五3→二1→二3→一5→三4 （3）四5→四1→一2→三3→五2．。
第14讲课题学习图案设计(5种题型)(原卷版)
第14讲课题学习图案设计（5种题型）【知识梳理】一．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．二．利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．三．作图旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．四．利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．五．几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．【考点剖析】一．利用轴对称设计图案（共4小题）1．（2023•都昌县校级模拟）如图是由全等的小等边三角形组成的网格，其中有3个小三角形被涂成了黑色（用阴影表示）．若平移其中1个阴影三角形到空白网格中，使阴影部分构成的图形为轴对称图形，则平移的方法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．（2023•常德三模）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，若按照图②所示的方法用若干个图形①玩接力游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么用2n+1个这样的图形①拼出来的图形②的总长度为（）A．a+2nb B．a+4nb C．（1﹣n）a+3nb D．3．（2023•武胜县模拟）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）4．（2023•宁波模拟）如图，方格纸上画有两条线段，请再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形（找出符合条件的所有线段）．二．利用平移设计图案（共3小题）5．（2023•郴州）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（）A．B．C．D．6．（2023•安次区二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心、吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个”方胜”图案，则点D、B′之间的距离为（）A．1cm B．2cm C．D．7．（2023春•东海县期中）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A．B．C．D．三．作图旋转变换（共11小题）8．（2023•道外区三模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2C2C2；（3）连接C1C2请直接写出C1C2的长为．9．（2023•横山区三模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（4，4）．（1）将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2（A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）10．（2023•滨湖区一模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为．11．（2023•宽城区校级模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、A、B、C、E、F、I在格点上，D、G在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出△OAB关于点O的中心对称图形；（2）在图②中，画出直线EM，使得EM∥CD；（3）在图③中，点H是线段FG上一点，画出△HGN，使得S△HGN＝S△HGI，且点N与点I不重合．12．（2023•富锦市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，5），B（2，4），C（4，2）．（1）△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（6，﹣4），画出△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．13．（2023春•禅城区月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）把△ABC向左平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，点A1的坐标是；（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，点B2的坐标是；（3）在x轴上求作点P，使PB+PC的值最小．（只需画图作出点P，不需要写作法，也不需要求点P的坐标）14．（2023•砀山县一模）如图，在12×12正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣3，5），C（﹣2，2）．（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B，C的对应点分别为点B1，C1，请画出△AB1C1；（2）将△ABC平移至△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，且点C2的坐标为（﹣2，﹣4），请画出平移后的△A2B2C2．15．（2023•朝阳区校级三模）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．（1）将AC绕着点C顺时针旋转90°，在图①中作出旋转后的对应线段CD．（2）在图②中作线段AE，使点E在边BC上，且．（3）在图③中作△ABC的角平分线BF．16．（2023•伊通县四模）如图①、图②均是4×1的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中画△BCG，使△BCG与△ABC关于某条直线对称；（2）在图②中画△ABH，使△ABH与△ABC关于某点成中心对称．17．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为．18．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°；（2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD．四．利用旋转设计图案（共14小题）19．（2022秋•宁波期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（）A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q20．（2022秋•雄县校级期末）在如图3所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有（）A．0种B．1种C．2种D．3种21．（2023•衡水模拟）在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（）A．B．C．D．22．（2022秋•龙川县校级期末）亦姝家最近买了一种如图（1）所示的瓷砖．请你用4块如图（1）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（2）、图（3）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）23．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转度形成的．24．（2023•江北区一模）如图，下列3×4网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．请将以上两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可．25．（2023•宁波模拟）如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）；（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．26．（2023春•薛城区期中）如图，在5×5的正方形网格中，有4个小正方格被涂黑成“L形”．（1）如图1，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）如图2，用2B铅笔在图中再涂黑3个小正方格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形．27．（2023•鄞州区校级一模）如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示）（1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．（2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形．28．（2023•沂水县二模）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．29．（2022秋•丰台区期末）图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是（）A．144B．120C．72D．6030．（2023•余姚市一模）图1，图2都是由边长为1的小正三角形构成的网格，每个网格图中有3个小正三角形已涂上阴影．请在余下的空白小正三角形中，分别按下列要求选取1个涂上阴影：（1）使得4个阴影小正三角形组成一个轴对称图形．（2）使得4个阴影小正三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）31．（2023•扶余市四模）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．32．（2023•五华县校级开学）有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，两位木匠工师傅通过测量可知∠B＝∠D＝90°，AD＝CD，现要将其拼成正方形，思考一段时间后，一位木工师傅说“我可以将这两块木板拼成一个正方形．”另一位木工师傅说“可以将一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形．”两位师傅把每一块木板都只分割一次，你知道他们是怎么做的吗？画出图形，并说明理由．五．几何变换的类型（共5小题）33．（2023春•舞钢市期中）如图是一张正方形的网格纸，图中4条线段的端点都在网格纸的格点上，对于这4条线段之间变换的描述不正确的是（）A．线段CD可以由线段AB平移得到B．线段EF可以由线段AB先旋转再平移得到C．线段GH可以由线段AB先旋转再平移得到D．线段GH不能通过线段EF平移和旋转变换得到34．（2023•南京模拟）如图，△A′B′C′是由△ABC经过轴对称得到的，△A′B'C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．②③C．②④D．③④35．（2023•北海二模）（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是5×5的正方形网格，A，B，C，D，E均是格点，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，请你判断△ABC是通过怎样的变换得到△DEC的？填；（2）在（1）的条件下，连接AD，BE，探究AD与BE的位置关系．36．（2022•龙岗区一模）如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接BE、CF．（1）求证：△F AC≌△BAE；（2）图中△BAE可以通过一次变换得到△F AC，请你说出变换过程．37．（2023•蚌埠模拟）如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．（1）若三角形ABC内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为．（2）若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′并求三角形P′AC的面积．（3）直接写出AC与y轴交点的坐标．【过关检测】一、单选题1．（2020秋·全国·九年级专题练习）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个2．（2022秋·全国·九年级专题练习）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（）A．②③④B．①③⑤C．①②③D．①③④3．（2021秋·全国·九年级专题练习）将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个心形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．4．（2022秋·全国·九年级专题练习）边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（）A．4040B．4044–πC．4044D．4044＋π5．（2021秋·全国·九年级专题练习）在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式( ).A．B．C．D．6．（2022·全国·九年级专题练习）关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的7．（2021秋·全国·九年级期末）如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（）A．①②B．①③C．①④D．③⑤8．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，先将该图沿着它自己的右边缘翻折，再绕着右下角的一个端点按顺时针方向旋转180 ，之后所得到的图形是（）A．B．C．D．9．（2020秋·九年级单元测试）如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处()A．A B．B C．C D．D10．（2018·河北·模拟预测）在由相同的小正方形组成的3×4的网格中，有3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是（）A．①或②B．③或④C．⑤或⑥D．①或⑨二、填空题11．（2021秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，若点P(x－2，x)关于原点的对称点在第四象限，则x的取值范围是______ ．12．（2021秋·湖北襄阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的直角顶点C的坐标为(1,0)，点A在x轴正半轴上，且2AC=．将ABC绕点C逆时针旋转90︒，则旋转后点A的对应点的坐标为________．13．（2021·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△A′B′O′关于原点对称，则点B′的坐标为________________．14．（2021·九年级课时练习）点A（a，2）与点B（8，b）关于原点对称，则a＝___，b＝____．15．（2022秋·九年级单元测试）△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD长度的范围是__________．16．（2022秋·九年级课时练习）把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为__________；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是__________（α为锐角）．17．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，△AEO△△ADO△△BCO△△BFO，E，O，F均在直线MN上，EF=12，AE=14，则OA长为______．18．（2022秋·九年级课时练习）如图，点P是等边△ABC外一点，AP= 2，BP= 3，则PC的最大值为_______三、解答题19．（2019秋·全国·九年级专题练习）请认真观察图（1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．(2)请在图（2）中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征（用阴影表示）．20．（2022秋·吉林·九年级校考阶段练习）如图所示是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，挍下列要求选取三个涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．21．（2023秋·吉林·九年级统考期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请你在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）22．（2022秋·广东河源·九年级校考阶段练习）亦姝家最近买了一种如图（1）所示的瓷砖．请你用4块如图（1）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（2）、图（3）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）的正方形网格，点A，B，C在格点上．23．（2022春·浙江·九年级校考阶段练习）图①、图②均为65(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．的正方形网格，每个小正方形边长均为1．按要24．（2023·吉林·统考一模）图①、图②和图③都是55求分别在图①、图②和图③中画图：(1)在图①中画等腰ABC，使其面积为3，并且点C在小正方形的顶点上；(2)在图②中画四边形ABDE，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D，E两点都在小正方形的顶点上；(3)在图③中画四边形ABFG，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F，G两点都在小正方形的顶点上；25．（2023·安徽合肥·校联考二模）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，猜想：在图（n ）中，特征点的个数为___________（用n 表示）；(2)如图，将图（n ）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心1O 的坐标为()1,2x ，则1x =___________；图（2023）的对称中心的横坐标为___________．。
高考数学二轮三轮总复习专题课件 专题4第14讲 空间向量与立体几何 理 北师大
第14讲 │ 主干知识整合
2．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角为 θ，如两直线的方向向量 分别为 a，b，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|； (2)线面角：直线与平面所成的角为 θ，如直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|； (3)面面角：两相交平面所成的角为 θ，两平面的法向量分别 为 n1 和 n2，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，其特殊情况是两个半平面 所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的 平面角是锐角还是钝角的情况以决定 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|还是 cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|.
于是 cos〈A→C，A→1B1〉＝|AA→→CC|·|AA→→11BB11|＝3×42
＝ 2
32.
所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 32.
第14讲 │ 要点热点探究
(2)易知A→A1＝(0,2 2，0)，A→1C1＝(－ 2，－ 2， 5)． 设平面 AA1C1 的法向量 m＝(x，y，z)，
第14讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 利用空间向量求空间角和距离 例 2 [2011·天津卷] 如图 14－3 所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，
H 是正方形 AA1B1B 的中心，AA1＝2 2，C1H⊥平面 AA1B1B，且 C1H ＝ 5.
(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； (2)求二面角 A－A1C1－B1 的正弦值； (3)设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平 面 A1B1C1，求线段 BM 的长．
图 14－1
第14讲 │ 要点热点探究
【分析】 建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明 E→F∥A→B即可证明第一问，第二问根据向量的垂直关系证明线线 垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直，第三问使用平面法向 量的方法求解．
平面直角坐标系与几何图形的综合(解析版)
第14讲 平面直角坐标系与几何图形的综合【知识点睛】❖ 平面直角坐标系知识网络系统图各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0； 若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0； 若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0； 若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =； 若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =； 若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1； 点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3；问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”； 问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，； 若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -； 若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|； 问题七：割补法，优先分割，然后才是补全 问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样）注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（ ）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可． 【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0）， 故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m 的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P 从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB 上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D 在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A （1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q 的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．2122。
立体几何建坐标系
立体几何建坐标系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何建坐标系是描述和研究立体图形的重要工具之一。
在三维空间中，我们通常使用三维直角坐标系来描述立体图形的位置和形状。
这种坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y轴和z 轴，它们分别对应三维空间中的长度、宽度和高度。
在这个坐标系中，每个点都可以通过三个坐标值来表示，分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。
用立体几何建坐标系描述一个物体时，首先需要确定一个原点，该原点是坐标轴的交点，通常我们取它为立体图形的重心或者其特定的某一个点。
然后，可以通过在坐标轴上确定一个单位长度来建立坐标系的比例尺。
接下来，可以通过测量物体在x、y、z三个方向上的长度、宽度和高度，来确定物体各个点的坐标值，从而描述整个物体的形状和位置。
利用立体几何建坐标系可以方便地计算立体图形的体积、表面积、中心质心等属性。
通过将三维立体图形分解成一系列的立方体、长方体或圆柱体等基本的几何图形，可以利用数学方法求解各部分的体积，并将它们相加得到整个立体图形的体积。
而对于复杂的立体图形，可以将其分解成多个简单的几何图形，再逐一计算其属性，最后综合得出结果。
这样的方法虽然有时会比较繁琐，但是却是一种较为准确和可靠的计算方式。
立体几何建坐标系不仅可以用于描述静态的立体图形，还可以用于描述立体图形的运动和变形。
通过不断变化物体各个点的坐标值，可以描述其在三维空间中的移动、旋转、缩放等动作。
通过改变一个立方体各个顶点的坐标值，可以实现它在空间中的旋转或者平移。
通过计算不同时间点上各个点的坐标值，可以还原出整个立体图形的运动轨迹，从而研究它的运动规律。
利用立体几何建坐标系还可以进行三维坐标系下的几何投影。
在三维空间中，物体的形状对应着它在每个坐标轴的投影，在三维坐标系下可以进行正投影、侧视投影等操作，将三维空间中的立体图形映射到二维平面上，便于我们观察和研究。
这种投影方法在建筑设计、工程制图等领域中有着广泛的应用。
选修第14课简单图形的极坐标方程
【变式】 ：从极点作圆 2a cos 的弦,求各弦中点的轨迹方程.
8sin 例3：在极坐标系中，求圆锥曲线 的准线方程． 2 cos
【引导分析】 此类问题一般化为直接坐标方程求解。
五、解题反思
1．要正确理解点的极坐标的概念，曲线的极坐标方程的 概念，注意与直角坐标系的区别和联系； 2．在处理问题的过程中，要选择恰当的坐标系，也可以
题4：在极坐标系中，圆C : 10cos 和直线3 cos 4 sin 30 0 相交于A, B两点，则线段AB的长为
【分析】本题可以化为直接坐标方程求解．
．
要点归纳
(1) 强化点的极坐标的概念，尤其是与直角坐标的区别； (2) 要求学生熟悉简单图形的极坐标方程；
将题目所给坐标系进行转化，以便于问题的处理．
(3)
理解曲线极坐标方程的概念，熟悉曲线极坐标方程的求
法。
2 例1：在极坐标系中，求过点P 4, 且与极轴垂直的直线的极 3 坐标方程. 【分析】 极坐标系下，曲线极坐标方程的求法与直角坐标系下曲线 方程求法类似的，也有定义法、直译法、相关点法等．
（1）如何直接求曲线的极坐标方程？ （2）本题也可先化为直角坐标，求出直线方程再还原为直 线的极坐标方程．请你试试。
【点评】
观察两点P,Q的特征，选择题1中的两种方法之一求解．
【点评】
题3：方程 cos( )表示的曲线是以 4 1 半径为 的圆． 2
为圆心，
1、你能够直接看出圆心的极坐标吗？ 2、化为直接坐标试试．
3、对于形如： 2r cos( )(r, 为常数)的极坐标方程，你能确认 它表示圆心为（r，），半径为r的圆吗？
浙江专版中考数学第三章函数第14讲二次函数的应用精讲本课件
(1)求雕塑高 OA； (2)求落水点 C，D 之间的距离； (3)若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF，OE＝10 m， EF＝1.8 m，EF⊥OD.问：顶部 F 是否会碰到水柱？请通 过计算说明．
解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 (0－5)2＋6＝11 ，∴点 A 的坐标为
6
6
2
2
EF·EH×40 ＝ (20 ＋ 30)×5×20 ＋ (10 ＋ 20)×5×60 ＋
20×10×40＝22 000；
解：(2)E F ＝(20－2x )米，E H ＝(30－2x )米，参考(1)，由 题意得：y＝(30＋30－2x)·x·20＋(20＋20－2x)·x·60＋(30 －2x)(20－2x)·40＝－400x＋24 000(0＜x＜10)；
题 型 三 二次函数的应用——几何图形类
例 3.用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承 重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板， 实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘米)的平方成 正比，当 x＝3 时，W＝3.
பைடு நூலகம்
(1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原 来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板 的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不 必写 x 的取值范围]
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有 2 万、3 万和 2 万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙 种门票价格每下降 1 元，将有 600 人原计划购买甲种门票的 游客和 400 人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门 票． ①若丙种门票价格下降 10 元，求景区六月份的门票总收入；
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老师
姓名
学生姓名教材版本北师大版
学科
名称
数学年级八上课时间月日 _ : -- _ : 课题
名称
第十四讲建立适当的坐标系描述图形的位置
教学
目标及重难点1、建立直角坐标系求已知点的坐标
2、已知点的坐标求其它点的坐标
教学过程复习检查
知识要点
1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系（简称直角坐标系）。
正方向：数轴向右与向上的方向.
坐标轴，Ｘ轴或横轴：水平的数轴.y轴或纵轴：铅
直的数轴.
原点：两条数轴的公共原点Ｏ.
象限：两条坐标轴把平面分成如图所示的四个部分.
注：意:坐标轴上的点不属于任何象限。
2、建立直角坐标系求已知点的坐标
3、已知点的坐标求其它点的坐标
例题讲解
例1、如图，已知等腰△ABC，建立直角坐标系求各顶点坐标，你认为最合理的方法是( )
A．以BC的中点O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴
B．以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过B点作x轴的垂线为y轴
C．以A点为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，过A点作x轴的垂线为y轴
D．以C点为坐标原点，平行于BA的直线为x轴，过C点作x轴的垂线为y轴
同步练习：
1、建立两个适当的平面直角坐标系，分别表示边长为4的正方形的顶点坐标．
2、已知点A(1，0)，B(0，2)，点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为( ) A．(－4，0) B．(6，0) C．(－4，0)或(6，0) D．无法确定
例2、如图，每个小方格的边长为1，如果E点的坐标是(－2，3)，那么原点最可能在________的位置( )
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
同步练习：
1、周日，小华做作业时，把老师布置的一个正方形忘了画下来，打电话给小云，小云在电话中答复他：“你可以这样画，正方形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(1，2)，(－2，2)，(－2，－1)，顶点D的坐标你自己想吧！”那么顶点D的坐标是________．
2、张强在某旅游景点的动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如图)，若以大门为坐标原点，其他四个景点大致用坐标表示肯定错误的是( )
A．熊猫馆(1，4) B．猴山(6，0) C．百鸟园(5，－3) D．驼峰(3，－2)
例3、在直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．[来源:
(1)(2，6)，(4，6)，(4，8)，(2，8)；(2)(3，0)，(3，3)，(3，6)；(3)(3，5)，(1，6)；(4)(3，5)，(5，6)；(5)(3，3)，(2，0)；(6)(3，3)，(4，0)．
同步练习：
1、如图，已知火车站的坐标为(2，1)，文化宫的坐标为(－1，2)．
(1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；
(2)写出体育场、市场、超市的坐标．
2、如图，长方形ABCD的两条边长分别为
3、4.请建立一个直角坐标系，使x轴与BC平行，且点C的坐标是(1，－2)，并写出其他三点的坐标．
巩固练习
一、选择题
1、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(0，0)、(3，0)、(4，
2)，则顶点D的坐标为( )
A．(7，2) B．(5，4) C．(1，2) D．(2，1)
2、如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣，﹣1），则点C的坐标是（）
A．（﹣3，） B．（，﹣3） C．（3，） D．（，3）
3、如图，将长为3cm 的矩形ABCD 放在平面直角坐标系中，若点D （6，3），则A 点的坐标为（ ） A ．（5，3）
B ．（4，3）
C ．（4，2）
D ．（3，3）
4、如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上的点M ，N 坐标分别为（0，2），（1，1），则点P 的坐标为（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（2，﹣1）
C ．（﹣2，1）
D ．（1，﹣2）
5、若以B 点为原点，建立直角坐标系，A 点坐标为(3，4)，则以A 点为原点，建立直角坐标系，B 点坐标为( )
A ．(－3，－4)
B ．(－3，4)
C ．(3，－4)
D ．(3，4)
6、如图，如果“仕”所在位置的坐标为(－1，－2)，“相”所在位置的坐标为(2，－2)，那么“炮”所在位置的坐标为( )
A ．(－3，1)
B ．(1，－1)
C ．(－2，1)
D ．(－3，3)
7、如图是小李设计的49方格扫雷游戏，“★”代表地雷(图中显示的地雷在游戏中都是隐藏的)，点A 可用(2，3)表示，如果小惠不想因点到地雷而结束游戏的话，下列选项中，她应该点( ) A ．(7，2) B ．(2，6) C ．(7，6) D ．(4，5)
8、如图，等边△ABC 的边长为4，以BC 边为x 轴，BC 边上中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为（ ）
A ．（0，4）
B ．（0，2）
C ．（0，32）
D ．（32，0） 9、如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（﹣6，3） C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）
10、在平面直角坐标系中，依次描出下列各点，并将各组内的点依次连接起来：
（1）（2，1），（2，0），（3，0），（3，4）；
（2）（3，6），（0，4），（6，4），（3，6）．
你发现所得的图形是（）
A．两个三角形 B．房子 C．雨伞 D．电灯
二、填空题
1、已知点A在x轴上，且OA＝3，则点A的坐标为__________．
2、如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别是A(－2，1)和B(－2，－3)，那么第一架轰炸机C的平面坐标是________．
3、如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点(2，2)，“炮”位于点(－1，2)，写出“兵”所在位置的坐标________．
4、已知点A、B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，则满足条件的点P的坐标为________．(只要写出一个即可)
5、已知等边△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)、B(2，0)，则点C的坐标为_______________．
6、如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为______．
三、解答题
1、写出图中多边形ABCDEF各个顶点的坐标．
2、如图，这是某市部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，分别写出各地的坐标．
3、如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，AB＝8，点A的坐标为(－3，0)，求B、C、D各点的坐标．
4、写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．
5、在直角坐标系中，有点A(3，0)，B(0，4)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有
一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标(不要求写计算过程)．
课后
小结
组长
签字。