九升高一数学(暑假)-第3讲-命题与条件
1对3暑假-数学-九年级升高一年级-第3讲-命题与条件
主题命题与条件教学内容1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2. 理解四种命题及其相互关系；3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；（以提问的形式回顾）一、命题1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？在上面的例子中，命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题．命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题．2. 一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．3. 四种命题之间的关系如下：（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列命题的真假：（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；（2）关于x 的方程+=0(ax b a b R ∈、）有且只有一个实数根。
解：（1）真命题。
（2）假命题。
说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。
若判断为真命题，则需证明。
试一试：判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若>0x ，>0y ，则<0xy 。
（4）若A B ,A C ,≠∅≠∅则B C ≠∅。
解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题；例2. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。
解：逆命题：若+>0x y ，则>1,>-1x y 且。
高中数学《第三讲中国古代数学瑰宝二《九章算术》》45PPT课件 一等奖名师
• 第三章“衰分”：处理各种正、反比例分配问题 • • 主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及
社会制度有关。
• • 例：“今有大夫、不更、簪褭（zān niǎo）、上造、公
士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
• 第四章 “少广”：
• 已知面积、体积、求其一边长和径长等
ห้องสมุดไป่ตู้
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主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、 体积，反求其一边和径长等。
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• 而“开方术”开创了后来开更高次方和求更高次方程数 值解之先河，并且指出了存在有开不尽的情形，并给这 种不尽根数起了一个专门的名字——“面”。
• 第五章“商功”：土石工程、体积计算
中国古代数学瑰宝
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(2015·高考全国卷Ⅰ，5 分)《九章算术》 是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题：“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问：积及为米 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆 放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
根据随机抽样事件的概率得
x ＝ 28 ，得 x≈169. 1 534 254 事实上,1 534 约是 254 的 6 倍,则 x 约是 28 的 6 倍，故选 B.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它 在几何学中的研究比西方早 1 千多年．例 如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直 于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一 侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的 四面体． 如图，在堑堵 ABC-A 1B 1C1 中，AC⊥BC.
高中数学暑假初高衔接讲义 .函数的奇偶性
练习主题 函数的奇偶性观察函数f(x)=x 2和f(x)=x1-(x ≠0)的图象，我们发现，函数f(x)=x 2的图象关于y 轴对称，而函数f(x)=x1-的图象关于原点对称.对于函数f(x)=x 2，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等.例如：f(-2)=4=f(2)， f(-1)=1=f(1)，实际上，对于函数f(x)=x 2定义域R 内任意一个x ，都有f(-x)=x 2=f(x).这时我们称函数f(x)=x 2为偶函数.对于函数f(x)=x1-(x ≠0)，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数.例如： f(-2)=21=-f(2)，f(-1)=1=-f(1)，实际上，对于函数f(x)=x 1-定义域{x ∣x ∈R ，x ≠0}内任意一个x ，都有f(-x)=x1=-f(x).这时我们称函数f(x)=x1-(x ≠0)为奇函数.奇函数的的图像特征（几何意义）如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图像关于原点对称；反之，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 偶函数的图像特征（几何意义）如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图像关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数.例1、判定下列函数是否为偶函数或奇函数：（1）f(x)=x 2-1； （2）f(x)=2x ； （3）f(x)=1-x x -x 23；对应练习：1、函数f(x)=0(x ∈R)是（ ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 2、（多选）下列说法中正确的是（ ）A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B.图象关于y 轴对称的函数是偶函数C.奇函数的图象一定过坐标原点D.偶函数的图象一定与y 轴相交 3、如图，表示具有奇偶性的函数图象是（ ）A. B. C. D.4、函数f(x)=x 2+x 的奇偶性为（ ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 5、下列函数中是奇函数的是（ ）A.f(x)=x 2-2xB.f(x)=2x+1C.f(x)=x 3+xD.f(x)=x 3+1例2、（1）若函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a= ，b= .（2）若函数f(x)=xa x 1x ））（（++为奇函数，则a= .（3）已知函数f(x)= 为奇函数，则a+b= .对应练习：1、若函数y=（3x+1）（x-a ）为偶函数，则a 的值为 .2、已知函数f(x)=132x +a （a ∈R ）为奇函数，则实数a 的值是 ． 3、f （x ）=ax 2+bx-4a 是偶函数，其定义域为[a-1，-2a]，则a= ，b= .奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论：（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.如若f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f(x)在（-∞，0）上也是减函数；若f(x)是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f(x)在（-∞，0）上增减函数； （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取得最值的时候，自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的期间数十年该取得的最值互为相反数，取得最值时，自变量也互为相反数. 奇、偶函数的图象问题例3、（1）奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为 .（2）已知f(x)是定义在[-2，0）∪（0，2]上的奇函数，当x ＞0时，f(x)的图像如图所示，那么f(x)的值域是 .对应练习：1、已知f （x ）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（ ）A.f(2)=2B.f(2)=-2C.f(2)＞-2D.f(2)＜-22、已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3，3]，且它们在区间[0，3]的图像如图所示，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 .例4、（1）已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式；（2）已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)=x（x-1），求当x＞0时f(x)的解析式.对应练习：1、设函数f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x2-2x-3，求函数f(x)在R上的解析式．2、设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x3+x+1，求函数f(x)在R上的解析式．巩固练习：1、下列四个函数中为偶函数的是（ ）A.y=2xB.y=1-x x -x 45 C.y=x 2-2x D.y=∣x ∣2、函数f(x)=x -x1的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=-x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y=x 对称 3、函数f(x)=2x-94-x x ∣∣+（ ）A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 4、函数y=x ∣x ∣+px ，x ∈R 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与p 有关 5、已知f(x)为奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x-2，则f(21-)的值为（ ） A.25-B.23-C.23D.25 6、已知函数f(x)=xax 1a x 2+++）（为奇函数，则实数a=（ ）A.-1B.1C.0D.-27、已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）=x2-2x ，则f （m ）=A.-8B.8C.-24D.248、已知奇函数f （x ）在x ≥0时的图像如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ）A.（-2，-1）∪（1，2）B.（-2，-1）C.（-1，0）∪（1，2）D.（-1，0）9、已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 3+2x 2-1，则当x ＜0时，f(x)= . 10、已知函数f(x)=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12)为偶函数，则m 的值是 ．11、若函数f （x ）=（k-2）x 2+（k-1）x+3是偶函数，则f （x ）的单调递减区间是 .12、已知函数f （x ）=3x21x x 24+++，若f （a ）=1，则f （-a ）= . 13、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x 2+x-2，则f(x)= ，g(x)= .14、已知函数f （x ）为R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=1x x x7-2++. （1）求当x ＜0时，f （x ）的解析式；（2）试确定函数y=f （x ）（x ≥0）的单调区间，并证明你的结论.15、已知函数f （x ）为R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2+2x-3. （1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[t,t+2]（t ∈R ）上的最大值M （t ）.。
初升高数学暑假衔接(人教版)第04讲 充分条件与必要条件(学生版)
第04讲充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义；2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系；3．能通过充分性、必要性解决简单的问题；4．能对充分条件进行证明。
一、命题定义与表示1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．2、命题的表示：命题表示为“若p ，则q ”时，p 是命题的条件，q 是命题的结论．二、充分条件条件与必要条件1、充分条件与必要条件定义（1）一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出结论q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ¿.这时，我们就说，p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件。
2、充分条件与必要条件的关系p 是q 的充分条件反映了p q ⇒，而q 是p 的必要条件也反映了p q ⇒，所以p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。
而p 是q 的充分条件只反映了p q ⇒，与q 能否推出p 没有任何关系。
三、充要条件1、充要条件的定义如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均为真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔。
此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。
2、充要条件的含义若p 是q 的充要条件，则q 也是p 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。
3、充要条件的等价说法：p 是q 的充要条件又常说成是q 成立当且仅当p 成立，或p 与q 等价。
四、充分、必要、充要条件的证明1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习3.2.2 奇偶性(学生版)
3.2.2奇偶性【知识梳理】知识点一函数奇偶性的定义前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称知识点二用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b ，－a ]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．知识点三奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．【基础自测】1．下列函数中奇函数的个数为()①f (x )＝x 3；②f (x )＝x 5；③f (x )＝x ＋1x ；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．42．设函数f (x )2＋x ，x ≥0，(x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于()A ．6B ．－6C ．2D ．－23．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.4．函数f (x )为偶函数，若x >0时，f (x )＝x ，则x <0时，f (x )＝________.5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<fx 的取值范围是________．【例题详解】一、判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.(4)()33f x x =+-；(5)()(1f x x =-；(6)()f x (7)()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩.(8)（多选）已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，但不是奇函数，则下列函数中为偶函数的有（）A ．()y f x =B ．()=y xf xC ．()()y f x f x =+-D ．()y f x x=+跟踪训练1判断下列函数的奇偶性(1)1()f x x x=+；(2)()2||f x x =-；(3)()f x =(4)()1xf x x =-；(5)()()()2254,6154,16x x f x x x ⎧+--<≤-⎪=⎨--≤<⎪⎩.(6)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数二、由奇偶性求解析式命题角度1求对称区间上的解析式例2(1)已知()y f x =是奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-+，则当0x >时，()f x =（）A ．()1x x -B ．()1x x -+C ．()1x x --D ．()1x x +(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()(1)f x x x =-+．求当0x <时，()f x 的解析式．(3)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式．跟踪训练2(1)若函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x x =+，则当0x <时，()f x =______．(2)若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()12f x x x =+-．则当0x <时，()f x =______，若()()12f m f m +<-，则实数m 的取值范围是_______.(3)已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()23f x x x =-.(i)求()f x 在(,0)-∞上的解析式；(ii)解不等式()2f x <.命题角度2构造方程组求解析式例3若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足2()()31f x g x x x +=++．则()f x =_______．跟踪训练3设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．三、由奇偶性求参数例4(1)若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩，（a ，b ∈R ）为奇函数，则()f a b +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．4(2)若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.(3)已知2()(3)f x ax b x b =+++是定义在[3,2]a a -上的偶函数，则a b +=________.跟踪训练4(1)已知定义域为[12,1]a a -+的奇函数32()(1)f x x b x x =+-+，则a b +=_______.(2)若函数21xxy a =+是偶函数，则正数a 的值为________．四、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例5(1)若偶函数()f x 在(],1∞--上是增函数，则（）A ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭C ．()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()12120,,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()2f -、()2.7f 、()3f -的大小关系为（）A ．()()()2.732f f f <-<-B ．()()()2 2.73f f f -<<-C ．()()()32 2.7f f f -<-<D ．()()()3 2.72f f f -<<-(3)定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f (a )>f (－b )；②f (－a )>f (b )；③g (a )>g (－b )；④g (－a )<g (b )；⑤g (－a )>f (－a )．跟踪训练5(1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (1)和f (－10)的大小关系为()A ．f (1)>f (－10)B ．f (1)<f (－10)C ．f (1)＝f (－10)D ．f (1)和f (－10)关系不定五、由函数奇偶性解不等式例6(1)已知函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()0x f x ⋅<的解集是（）A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{01x x <<或}1x <-D ．{}11x x -<<(2)设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+单调递增，则()()14f x f -<的解集为（）A ．(),5-∞B ．()3,5-C ．()2,4-D ．()0,4(3)已知()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()23f x x x =-，则不等式()0f x ≤的解集为______．跟踪训练6(1)已知函数()244x f x x +=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．233,,4322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()4,+∞D ．()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，若()10f =，则不等式()0xf x <的解集为________.(3)已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则不等式()()210f x f x b ++->的解集为__________.六、函数奇偶性的应用例7已知函数f (x )对∀x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，且f (1)＝－2.(1)证明函数f (x )在R 上的奇偶性；(2)证明函数f (x )在R 上的单调性；(3)当x ∈[1，2]时，不等式f (x 2－mx )＋f (x )＜4恒成立，求实数m 的取值范围.跟踪训练7已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：f (x )是奇函数；（2）求证：f (x )在R 上是减函数；（3）求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．【课堂巩固】1．下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（）A ．B ．C ．D ．2．函数()f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．若函数2()(2)23f x ax a b x a =++-+是定义在()()22,00,3a a -⋃-上的偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知()f x 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，若()3f a =，则=a （）A ．1±B ．3±C ．1-或3D ．1±或3±5．若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()f x 在(),0∞-上单调递增，()10f =，则()0xf x ≥的解集为（）A ．[][)1,01,-⋃+∞B ．[]1,1-C ．(][),11,-∞-⋃+∞D ．(][){},11,0-∞-+∞⋃ 6．若奇函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f =，则满足()02f x x <-的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()()1,01,2- 7．若()11e 1x a f x +=+-为奇函数，则实数=a ______.8．函数()f x 是偶函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+，则(1)f -=________.9．已知()f x 是偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式为______，不等式()0f x x<的解集是______．10．已知函数()211202320233x xf x x =+-+,则不等式()()12f x f x +>的解集为______．11．定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()e xf xg x +=，当()0,x ∈+∞时，()()2g x kf x ≥恒成立，则实数k 的取值范围______．12．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.求,a b 的值.13．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，2()43f x x x =-+．(1)求函数()f x 在R 上的解析式；(2)若函数()f x 在区间[]12a --，上单调递增，求实数a 的取值范围．【课时作业】1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A ．21y x =-+B ．2(1)y x =-C ．3y x =D ．1y x=2．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(21f x x =，则当0x <时，()f x 的表达式是（）A ．(21x B ．(21x -C ．(21x D ．(21x -3．()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么()f x 的最小值是（）A ．1B ．43C ．427D ．04．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时()1f x x =-，则不等式()0xf x <的解集是（）A ．()()∞+⋃，10,1-B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(1,1)-6．已知函数()f x 的定义域为R ，若函数()2f x x -为偶函数，函数()2f x x -为奇函数，则()1f =（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-7．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则下列判断正确的是（）A ．311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．113422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．函数()()()2e e -=-++x x f x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0c =D ．0a =，0c =且0b ≠9．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()10f -=，则使()0f x >的x 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且是(,0)-∞上的严格减函数，若(1)0f =，则满足不等式(1)()0x f x ->的x 的取值范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,)+∞11．（多选）下列函数中是偶函数，且在(1,)+∞为增函数的是（）A ．()||f x x =B ．2()23f x x x =--C ．2()2||1f x x x =--D ．1,0()1,0x x f x x x -+<⎧=⎨+>⎩12．（多选）已知函数()f x 是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，下列结论正确的有（）A ．()()12f f <B ．()()32f f ->-C ．若()()2f x f =，则2x =或2-D ．若()()1f a f >，则1a >13．已知函数()22x x m f x m-=+是奇函数，则()f m =____________；14．已知函数()()()2223f x x x x ax b =--++是偶函数，则()f x 的值域是__________.15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．若函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，当()1,0x ∈-时，()31f x x =-，则函数()f x 的解析式为_________；若函数()f x 是定义在()1,1-上的偶函数，且在(]1,0-上为增函数．则不等式()1212f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为_________．17．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求函数()f x 的增区间；（2）求出函数()f x 在R 上的解析式；（3）若函数()()22g x f x ax =-+，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值.18．设a 为实数，函数()()20a f x x x x=+≠.(1)讨论函数()f x 的奇偶性；(2)当2a =时，证明：函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增；(3)在（2）的条件下，若[]1,5x ∃∈，使()22f x m m <-成立，求实数m 的取值范围.19．已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当03x <≤时，()212f x x x =+．(1)求()1f -．(2)求函数()f x 的解析式．(3)若()()31210f a f a ++->，求实数a 的取值范围．20．已知函数()f x 对任意实数x y ､恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时()0f x <，且()12f -=.(1)求()f x 在区间[]2,4-上的最小值；(2)若()222f x m am <-+对所有的][1,1,1,1x a ⎡⎤∈-∈-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.4 充分条件与必要条件(学生版)
1.4充分条件与必要条件【知识梳理】知识点一充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件知识点二充要条件一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .【基础自测】1．设R x ∈，则“05x <<”是“23x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合{}1A x x =>-，{}1B x x =≥，则“x A ∈且x B ∈/”成立的充要条件是（）A ．11x -<≤B ．1x ≤C ．1x >-D ．11x -<<3．已知2{|}10P x x =<<-，11{|}Q x m x m =-<<+，若P 是Q 的必要条件，则实数m 的取值范围是（）A ．19m -<≤B ．19m -≤≤C ．1m ≤-D ．9m ≥4．若“x >1”是“x >a ”的充分条件，则a 的取值范围是________．5．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．【例题详解】一、充分、必要、充要条件的判断例1(1)已知a 、b 都是实数，则“0a b >>”是“||||a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件(2)“20x x -=”是“1x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“32a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“22a b >”是“33a b >”的充分条件D ．“5a <”是“3a <”的充分条件跟踪训练1(1)“x ，y 为无理数”是“xy 为无理数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)（多选）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（）A ．若22x y >，则x y>B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y=(3)已知,,a b c ∈R ，则“22ac bc >”是“a b >”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）二、充要条件的证明例2求证：=1x 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根的充要条件是()00a b c a ++=≠.跟踪训练2求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、充分条件与必要条件的应用例3(1)若不等式11a x a -+<<+的一个充分条件为01x <<，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．0a ≥C ．1a >D ．1a ≥(2)若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．(3)设全集U =R ，集合{}15A x x =≤<，非空集合{}212B x x a =≤≤+，其中R a ∈.若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围.跟踪训练3(1)已知:12,:x x m αβ-<<,若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围为__________．(2)已知条件p ：260x x +-=，条件q ：10+=mx ，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值.(3)已知集合{|2A x x =≤或5}x >，{|21}B x m x m =-<<+．(i)若B =∅，求实数m 的取值范围；(ii)已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【课堂巩固】1．已知集合{}A x =，{}2B x=，则“1x =”是“A B =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．已知“p :一元二次方程20x bx c ++=有一正根和一负根；q :0c <.”则p 是q 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若x a =是03x <<的充分不必要条件，则实数a 可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．（多选）下列说法正确的是（）A ．a P Q ∈⋃是a P ∈的必要不充分条件B ．QC P C U U ⊆（U 是全集）是P Q ⊆的充分不必要条件C ．a b <是22a b <的充分不必要条件D ．a b <是33a b <的充要条件6．已知p 是r 的充分非必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 的一个______条件是q ．7．若“0x =”是“x m <”的充分条件，则实数m 的取值范围是___________．8．已知:3,:x a x αβ>≤，如果αβ⇒，那么a 的取值范围是_____．9．求证：方程220x kx ++=与220x x k ++=有一个公共实数根的充要条件是3k =-.10．设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =≤<-.(1)若2a =-，求B A ⋂，U B A⋂ð(2)若x B x A ∈∈是成立的充分条件，求实数a 的取值范围.11．已知集合{}121,P x a x a a =+≤≤+∈R ，{}25Q x x =-≤≤.(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.12．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．【课时作业】1．“1x >”是“11x <”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（）A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或a<05．一元二次方程2210ax x ++=，（0a ≠）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）A ．a<0B ．0a >C ．1a <-D ．1a >6．（多选）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（）A ．如图①所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充分不必要条件B ．如图②所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件C ．如图③所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的充要条件D ．如图④所示，开关1L 闭合是灯泡M 亮的必要不充分条件7．（多选）下列各选项中，p 是q 的充要条件的是（）A ．p ：2m <-或6m >，q ：方程230x mx m +++=有两个不同的实数根B ．p ：30x -=，q ：()()230x x --=C ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等D ．p ：A B A = ，q ：A B⊆8．“集合A B =”是“集合A B ⊆”的______条件．9．已知21x a ≥-是3x ≥的充分条件，则实数a 的取值范围是__________.10．下列命题中所有真命题的序号是__________①“a b >”是“22a b >”的充分条件；②“||||a b >”是“22a b >”的必要条件；③“a b >”是“a c b c +>+”的必要条件．11．若“m a >”是3的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为_______________．12．已知ABC 的三条边为,,a b c ，求证：ABC 是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++．13．已知{|1A x x =≤-或1}x ≥，{|21}B x a x a =<<+(B 为非空集合)，记:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.14．已知集合{}{}222|560,|2(1)30A x x x B x x m x m =+-==+++-=(1)若0,m =写出A B ⋃的所有子集(2)若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.15．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-．(1)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．。
高一暑假第三讲数学知识点
高一暑假第三讲数学知识点暑假对于高一学生来说是一个难得的假期，这段时间可以好好休息放松，同时也可以利用这个时间来复习之前学过的知识，尤其是数学方面的知识点。
今天，我们就来学习一下高一暑假第三讲的数学知识点。
一、函数函数是数学中一个十分重要的概念。
我们可以将函数理解为一个输入和一个输出之间的关系。
它是一种映射关系，将自变量的值通过特定的规则转化为因变量的值。
在学习函数时，需要掌握函数的定义和性质。
函数的定义可以理解为给出一个算式或图形，规定了输入和输出之间的关系。
而函数的性质则包括可行域、值域、单调性、奇偶性等。
二、直线方程直线方程也是初中数学知识的延伸。
直线方程的常见形式有一般式、点斜式和斜截式。
通过给定的条件，我们可以确定一个直线的方程。
在学习直线方程时，我们需要了解直线的斜率和截距的概念。
斜率可以理解为一个直线的倾斜程度，而截距则表示与坐标轴的交点。
三、平面向量平面向量是一种用来表示平面上的位移和变化的量。
它包括大小和方向两个方面。
在学习平面向量时，需要掌握向量的定义、加法、数乘和模的概念。
向量的加法可以理解为将两个向量的位移效果进行叠加，数乘则表示对一个向量的放大或缩小，而模则表示一个向量的大小。
四、立体几何立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的图形。
常见的几何图形包括三角形、四边形、圆和球等。
在学习立体几何时，需要了解各种几何图形的性质和计算方法。
例如，三角形有三个内角和三条边，四边形有四个内角和四条边，圆的周长和面积的计算方法等。
通过学习以上数学知识点，我们可以更好地应用于实际问题的解决。
数学的学习不仅仅是为了应付考试，更是为了培养我们的逻辑思维和分析问题的能力。
在学习数学知识点时，我们可以结合实际生活中的例子，这样可以更好地理解和记忆知识。
例如，我们可以考虑一个购物场景，通过函数的概念来计算折扣后的价格；或者考虑一个建筑方案，通过直线方程来确定某条道路的筹建方案。
总之，在暑假期间，我们应该利用时间好好复习数学知识。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习3.2.1 单调性与最大(小)值(学生版)
3.2.1单调性与最大（小）值【知识梳理】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．知识点三函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【基础自测】1．函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为()A ．0B ．32C ．2D ．32．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则()A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)3．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．4．已知函数f (x )x ＋1，x ≥1，－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．5．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．【例题详解】一、定义法判断或证明函数的单调性例1(1)根据定义证明函数9()f x x x=+在区间[3,)+∞上单调递增.(2)已知函数()21axf x x =-(a 为常数且0a ≠)，试判断函数()f x 在(－1，1)上的单调性．跟踪训练1(1)已知函数()1f x ax x=-，且()322f -=-.(i)求函数()f x 的解析式；(ii)判断函数在区间()0,∞+上的单调性并用定义法加以证明.(2)判断并证明()221x f x x =+在()0,∞+的单调性.二、求函数的单调区间例2(1)函数1()f x x=的单调递减区间是（）A ．(,0),(0,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(,0)-∞(2)函数()|2|f x x =--的单调递减区间为（）A ．（–∞，2]B ．[2，+∞）C ．[0，2]D ．[0，+∞）跟踪训练2(1)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．(2)函数()268f x x x =-+的单调减区间是______．三、单调性的应用命题点1已知单调区间求参数例3(1)函数()12ax f x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()(),11,-∞+∞ (2)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．(3)已知函数2()31f x mx x =-++在区间()1,-+∞上是增函数，求实数m 的取值范围．跟踪训练3(1)（多选）已知函数()2bx af x x +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（）A ．1a =，32b >B ．4a >，2b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-(2)函数223y x mx =-+在区间[]1,3上具有单调性，则m 的取值范围为_______.(3)若函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则实数m 的取值范围为________．命题点2与分段函数有关的单调性问题例4(1)（多选）已知函数223,1(),1x ax x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减，则a 不可能等于（）A ．12B ．1C ．52D ．2(2)已知函数24,1()(23)45,1x ax x f x a x a x ⎧-+≤=⎨+-+>⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是___________.跟踪训练4(1)已知函数f (x )，x >1，－1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数()21,12,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩满足12,R x x ∀∈且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是__________．（用集合或区间表示）命题点3根据函数的单调性解不等式例5(1)已知函数f (x )2＋4x ，x ≥0，x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)(2)已知()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（-2，1）C ．（0D ．（0，2）(3)已知2()||1f x x x =++，若(21)(3)f m f -<，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(2,2)-跟踪训练5(1)已知()f x 是定义在[)0,∞+单调递减函数，若()1213f a f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是__________.(2)已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，且(32)(2)+<f a f ，那么实数a 的取值范围为________．(3)已知定义在[1,4]上的函数()f x 是减函数，则满足不等式(12)(3)0f a f a --->的实数a 的取值范围为____.四、图像法求函数的最值例6(1)已知函数f (x )，－1≤x ≤1，x >1.求f (x )的最大值、最小值．(2)求函数()22104103x x f x x x x +<⎧=⎨-+≤≤⎩，，在－14x <≤的最值.(3)已知函数()()1f x x x =+.完成下面两个问题：(i)画出函数()f x 的图象，并写出其单调增区间：(ii)求函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎣⎦上的最大值.(4)已知函数2()a f x x x=+，()0a >的图象如图所示，请回答：(i)当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域；(ii)当2a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域.跟踪训练6画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最小值：（1）2()1f x x =--；（2）2()21f x x x =--，[1,1]x ∈-；（3）()||f x x x =；（4）()f x =-；（5）2,0()2,x x f x x x -⎧=⎨--<⎩ ；（6）2221,[0,)()21,(,0)x x x f x x x x ⎧+-∈+∞=⎨-+-∈-∞⎩.五、利用函数的单调性求最值例7(1)函数y =_______________．(2)已知()11f x x =-，[]2,6x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值．(3)求()f x x =(4)已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]．(i )判断函数f (x )的单调性并证明；(ii)求函数f (x )的最大值和最小值．跟踪训练7已知函数2()x af x x+=，且(1)2f =(1)求实数a 的值；(2)判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，并用定义证明；(3)求函数()f x 在[)1,3上的值域．【课堂巩固】1．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是()A ．10,5B ．10,1C ．5,1D ．以上都不对2．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是()A ．2B ．－2C ．2或－2D ．03．已知函数()f x 对()12x x ∀∈-∞+∞，，，都有()()12120f x f x x x -<-，且()()221f m f m ->+，则实数m 的取值范围是（）A ．1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知函数(3)51()21a x x f x a x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，若对R 上的任意实数1212()x x x x ≠，，恒有()()2112()0x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，那么a 的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()0,2D ．(]0,25．设函数2()2xf x x =-在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m 则M m +=（）A ．4B ．6C ．10D ．246．函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．7．“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为严格增函数”的______条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）8．已知[3,1]x ∈--，则函数42y xx =++的最大值为___________，最小值为___________.9．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．（1）若函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间是(],4-∞，则实数a 的取值范围是______.（2）若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.11．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大（小）值点．(1)()()()2,0f x x x=-∈-∞；(2)()[]()36,12xf x x =-∈-；(3)()[]()2672,4f x x x x =-+∈-；(4)()[]()0,31xf x x x=∈+．12．已知函数()4f x x x =-(1)把()f x 写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数()f x 大致图像；(2)写出函数()f x 的递减区间．13．已知函数212()21f x x x =+-，求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值.14．已知()4f x x x=+．(1)证明：()f x 在（2，+∞）单调递增；(2)解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．【课时作业】1．“函数2()318f x x mx =-+在区间(0,3)上不单调”是“02m <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知()2224y x a x -+=+在[)4,+∞上为增函数，则（）A ．2a ≥-B ．2a =-C ．6a ≥-D ．6a =-3．若对于任意的0x >，不等式231x x a x++≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)5,∞+B ．()5,∞+C ．(],5-∞D ．(),5-∞4．已知函数2()()()()32,()2,()()()()g x f x g x f x x g x x x F x f x g x f x ≥⎧=-=-=⎨>⎩，则（）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2-C ．()F x的最大值为7-D ．()F x 的最大值为3，最小值为1-5．已知()(),11331,1ax g x x a x x ⎧-≤-⎪=-⎨⎪-+>-⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（）A ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()0,1C ．51,4⎛⎤ ⎝⎦D ．()1,+∞6．已知函数()222,193,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩的最小值为(1)f ，则a 的取值范围是（）A ．[]1,3B ．[)3,+∞C ．(]0,3D ．(][),13,-∞⋃+∞7．函数()|1||2|f x x x =-+-的单调递增区间是（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．[]1,2D ．[2,)+∞8．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若对任意的22(4,)x t t ∈-，不等式()4()f x t f x +<恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．⎝⎭D ．⎣⎦9．（多选）若二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，则a 可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．210．（多选）下列函数中，在(,0)-∞上为增函数的是（）A ．||1y x =+B ．||x y x=C ．2||x y x =-D ．||x y x x =+11．（多选）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，当()f x 为增函数时，实数a 的值可能是（）A ．2B ．1-C ．12D ．112．（多选）已知函数，关于函数()22,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，f (x )的结论正确的是()A ．f (x )的最大值为3B ．f (0)＝2C ．若f (x )＝－1，则x ＝2D ．f (x )在定义域上是减函数13．已知()272,11,1x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为______．14．函数221y x x =-++的单调递增区间是______．15．已知函数y ＝ax 2－2x ＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．16．已知函数f (x )＝25,1,1x mx x m x x⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩，对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________.17．已知函数()1ax bf x x +=+，且()14f =-，()22f =-．(1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 在()1,-+∞上的单调性，并用定义证明．18．已知函数()22f x x x =-.（1）在平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象；（不用列表，直接画出草图．)（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；（3）若关于x 的方程()0f x m -=有四个解，求m 的取值范围．19．已知函数()|21|f x x x =-+.(1)根据绝对值和分段函数知识，将()f x 写成分段函数；(2)在下面的直角坐标系中画出函数()f x 的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域．（不要求证明）；(3)若在区间1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上，满足()(32)f a f a >-，求实数a 的取值范围.20．已知函数()372x f x x +=+，[]1,1x ∈-(1)证明：()f x 在[1,1]-上单调递减，并求出其最大值与最小值：(2)若()f x 在[1,1]-上的最大值为m ，且(0,0)a b m a b +=>>，求11a b+的最小值.。
高一数学第24面阅读与恩考几何命题与充分条件、必要条件
高一数学第24面阅读与恩考几何命题与充分条件、必要条件摘要：一、几何命题的基本概念1.命题的定义2.命题的分类二、充分条件和必要条件的定义1.充分条件的定义2.必要条件的定义3.充分条件和必要条件的联系与区别三、几何命题中的充分条件和必要条件1.平行线的性质2.垂直线的性质3.三角形的性质四、几何命题的证明方法1.直接证明法2.反证法3.综合法4.分析法五、几何命题在实际问题中的应用1.在测量中的应用2.在建筑中的应用3.在生活中的应用正文：几何命题是数学中的一个基本概念，对于理解和掌握几何学有着重要的意义。
本文将围绕几何命题的基本概念、充分条件和必要条件的定义以及几何命题在实际问题中的应用展开讨论。
首先，我们需要了解几何命题的基本概念。
命题是能够判断真假的陈述句，而几何命题则是关于几何图形的命题。
根据命题的内容和形式，几何命题可以分为定理、公理、定义和命题等。
接着，我们来了解充分条件和必要条件的定义。
充分条件是指如果某个命题成立，那么另一个命题也一定成立；必要条件则是指只有当某个命题成立时，另一个命题才能成立。
充分条件和必要条件是相互关联的，它们共同构成了一个命题的充要条件。
在几何命题中，充分条件和必要条件有着广泛的应用。
例如，在平行线的性质中，如果两条直线被一条横截线所截，同侧的内角和小于180度，那么这两条直线就是平行的，这就是充分条件。
而在垂直线的性质中，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线就是垂直的，这就是必要条件。
在几何命题的证明中，有多种方法可以采用。
直接证明法是最基本的方法，它通过作图和测量来证明命题。
反证法则是一种间接证明法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明命题成立。
综合法和分析法则是基于逻辑推理的方法，它们分别从已知条件和结论入手，通过逻辑演绎来证明命题。
最后，几何命题在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在测量中，我们可以通过测量角度和边长来判断几何图形是否满足某种性质；在建筑中，几何命题可以帮助我们设计和规划建筑物的结构和布局；在生活中，几何命题的应用更是无处不在，如地图的绘制、物品的包装和摆放等。
高中数学暑假初高衔接讲义11 命题、定理、定义
练习主题命题、定理、定义在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题。
例如：（1）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等；（2）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；（3）如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；（4）对顶角相等；（5）若x2=1，则x=1；（6）若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余.其中语句（1）（2）（4）（6）判断为真，语句（3）（5）判断为假.因而它们都是命题.观察上述命题中的（1）（3）（5）（6）这些命题具有怎样的表示形式?观察上述命题中的（1）（3）（5）（6），可以发现，这些命题都具有“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，例如：命题（1）中：p是“两条平行直线被第三条直线所截”，q是“同位角相等”；命题（3）中：p是“两个三角形的面积相等”，q是“这两个三角形全等”；命题（5）中：p是“x2=1”,q是“x=1”;等等.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q 叫作命题的结论.例1、指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若ab=0，则a=0；（2）若a＜0，则∣a∣＞0；（3）如果二次函数y=x2+k的图象经过坐标原点，那么k=0；（4）如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等.例2、将下列命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式：（1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；（2）对顶角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.例3、判断下列命题的真假：（1）若a=b，则a2=b2；（2）若a2=b2，则a=b；（3）全等三角形的面积相等；（4）面积相等的三角形全等.在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.在数学中，我们经常遇到定义.定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”.定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的.对应练习：1、下列语句不是命题的是（）A.3＞4B.0.3是整数C.a＞3D.4是3的约数2、下列语句中不是命题的有（）①x2-3=0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3+1=5；④5x-3＞6.A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④3、下列语句是命题的有，其中是假命题的有 .（只填序号）①等边三角形是等腰三角形吗? ②作三角形的一个内角平分线.③若x+y为有理数，则x，y也都是有理数. ④x＞8.4、下列命题中，属于真命题的是（）A.各边相等的多边形是正多边形B.矩形的对角线互相垂直C.三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分D.对顶角相等5、下列命题中，为假命题的是（）A.2不是有理数B.方程2x2+3x+21=0没有实数根C.π≠3.14D.等腰三角形不可能有120°的角6、命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（）A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线7、命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是（）A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形8、命题：若x+y＞0，则x＞0且y＞0，条件p：，结论q： .9、给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（）A. 4B. 2C. 0D. -310、若“对任意x∈R，都有（a-2）x+1＞0”是真命题，则实数a的取值集合是 .11、已知A：5x-4＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.。
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9升高一数学（暑假）辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题命题与条件
教学内容
1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；
2. 理解四种命题及其相互关系；
3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；
（以提问的形式回顾）
一、命题
1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，
（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；
（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；
（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；
（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？
在上面的例子中，
命题（2）的条件和结论分别是命题（1）的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题．
命题（3）的条件和结论分别是命题（1）的条件的否定和结论的否定，这两个命题称为互否命题．
命题（4）的条件和结论分别是命题（1）的结论的否定和条件的否定，这两个命题称为互为逆否命题．2. 一般地，设“若p则q”为原命题，那么
“若q则p”就叫做原命题的逆命题；
充分也不必要条件。
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 判断下列命题的真假：
（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；
（2）关于x 的方程+=0(ax b a b R ∈、）有且只有一个实数根。
解：（1）真命题。
（2）假命题。
说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。
若判断为真命题，则需证明。
试一试：判断下列命题的真假：
（1）质数都是奇数；
（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；
（3）若>0x ，>0y ，则<0xy 。
（4）若A B ,A C ,≠∅≠∅I I 则B C ≠∅I 。
解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题；
例2. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。
解：逆命题：若+>0x y ，则>1,>-1x y 且。
假命题。
否命题： 若1,-1x ≤≤或y ，则+0x y ≤。
假命题。
逆否命题：若+0x y ≤，则1,-1x ≤≤或y 。
真命题。
试一试：写出命题“已知a b c d R ∈、、、，若==a b c d ，，则=ac bd ”的其他三种形式。
解：逆命题：已知a b c d R ∈、、、，若=ac bd ，则==a b c d ，。
假命题
否命题：已知a b c d R ∈、、、，若a b ≠或c d ≠，则ac bd ≠。
假命题
逆否命题：已知a b c d R ∈、、、，若ac bd ≠，则a b ≠或c d ≠。
真命题
例3. 已知R x y ∈、，“+=+x y x y ”是“>0xy ”的什么条件？
解：必要非充分。
说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。
例4. 证明：<0ac 是关于x 的一元二次方程2
++=0ax bx c 有两个不同的实数根的充分非必要条件。
解：充分性：若<0ac ，则方程的>0∆，方程有两个不同的实数根。
非必要性：当方程有两个不同的实数根，则>0∆，而不仅仅是<0ac 。
说明：证明非必要性，只需证明βα⇒不成立即可。
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） A
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“()2
00ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________； 必要不充分条件 （2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________． 充分不必要条件
3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）若0a =,则0ab =；
（2）若b a =，则b a =．
解：逆命题：若0ab =，则0a =。
否命题：若0a ≠,则0ab ≠。
逆否命题：若0ab ≠，则0a ≠。
4. 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
（1）对顶角相等；
（2）四条边相等的四边形是正方形．
解：（1）若两个角是对顶角，则它们相等. 真命题
逆命题：若两个角相等，它们是对顶角. 假命题
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 假命题
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角. 真命题
（2）若四边形的四条边都相等，则这个四边形是正方形。
假命题
逆命题：若四边形是正方形，则四条边相等。
真命题
否命题：若四边形的四条边不相等，则这个四条边不是正方形。
真命题
逆否命题：若四边形不是正方形，则四条边不相等。
假命题
5. 已知a b R ∈、，求证：44221a b b --=成立的充分条件是22
1a b -=。
证明：由221a b -=，得：2210a b --= 2222(1)(1)0a b a b ++--=， 442210a b b ---=，即44221a b b --=
所以221a b -=是442
21a b b --=的充分条件
本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必要条件的判定
【巩固练习】
1. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的 ；
（2）“A =∅”是“A B B =U ”的 ；
（3）设1O e ，2O e 的半径为1r ，2r ，则“1212O O r r =+”是“两圆外切”的
．
（1）必要不充分条件 （2）充要不必要条件 （3）充要条件．。