广西陆川县中学2018届高三9月月考数学(理科)试题(附答案) (1)

广西陆川县中学2017年秋季期高三9月月考理科数学试题第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{|60}A x x x =+-<，{2,1,0,1,2}B =--，那么A B = （ ） A ．{2,1,0,1}-- B ．{2,1,1}-- C ．{1,1,2}- D ．{1,0,1,2}-2.等差数列{}n a 满足11a =，233a a +=，则1234567a a a a a a a ++++++=（ ） A ． 7 B ．14 C ． 21 D ．283.已知(2,1)a = ，(,1)b m =- ，且()a a b ⊥-，则实数m =（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 44.设,a b 是空间中不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．//,a b b α⊂，则//a α B ．,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a b C. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβ D ．//,a αβα⊂，则//a β5.实数,x y 满足220110x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且2z x y =-，则z 的最大值为（ ）A ． -7B ． -1 C. 5 D ．7 6.若2a xdx =⎰，则二项式61()a x x+-展开式中的常数项是（ ） A ． 20 B ．-20 C. -540 D ．5407.已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的a 值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）A ．2B ． 3 C. 4 D ．58.设01a <<，0b c >>，则下列结论不正确的是（ ）A ．b c a a <B ．a a b c > C. log log a a b c < D ．a ab c> 9.函数2()(1cos2)cos ,f x x x x R =-∈，设()f x 的最大值是A ，最小正周期为T ，则()f AT 的值等于（ ）A ．14 B ．12C. 1 D ．0 10.如图，某几何体的三视图都是直角三角形，若几何体的最大棱长为2，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B ．43π C. 4π D ．6π 11.等比数列{}n a 的前n 项和1132n n S c +=+ （c 为常数），若23n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（ ）A ． 3B ．4 C. 5 D ．612.设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，(,0)F c 是右焦点，若抛物线224a y x c=-的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠=，则双曲线的离心率的范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2] C. (1,3] D ．[3,)+∞二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13.若525nx dx -=⎰，则()21nx -的二项展开式中2x 的系数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为___________．15. 已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2cos c a a B -=，则2sin sin()AB A -的取值范围是____________．16.已知函数1()2f x x =+，点O 为坐标原点, 点(,())()n A n f n n *∈N ，向量(0,1)=i ， n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得312123cos cos cos cos sin sin sin sin n nt θθθθθθθθ++++< 恒成立的实数t 的取值范围为_________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =++.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，2b =，求c 的值．18.(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、 “小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元 (不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为321,,432，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是P菱形，2=AB ，︒=∠60BAD ． （Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AB PA =，求二面角A PD B --的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆M a ＞b ＞0）的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l ：x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．21．（本小题满分12分）已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e==为自然对数的底数）． (1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；(2)是否存在正常数a ，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由． 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy 中, 过点)23,23(P 作倾斜角为α的直线l 与曲线1:22=+y x C 相交于不同的两点N M ,． (1) 写出直线l 的参数方程; (2) 求PNPM 11+ 的取值范围． 23．（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》 已知a ＋b ＝1，对a ∀，b ∈（0，＋∞），1a ＋4b≥｜2x －1｜－｜x ＋1｜恒成立， （1）求1a ＋4b的最小值；（2）求x 的取值范围。

理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：1-6 ：A B C D C C ；7-12 ： B D B B C A 13.180 14.2 15.(2221，) 16. ),[3+∞ 三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由222a b c bc =++，得222122b c a bc +-=-. .......................................3分∴1cos 2A =- ∵0A π<<， ∴23A π=. ..........................................6分（Ⅱ）由正弦定理,得1sin sin2b B A a ===. .........................................9分 ∵23A π=, 0B π<<, ∴6B π=. ∴()6C A B ππ=-+=. ............................................11分∴2c b ==. (1)2分18.(本小题满分12分)解：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为.213141，， 记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.则247213141213243)(=⨯⨯+⨯⨯=A P 答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为247.................................4分 (Ⅱ)ξ可能取值有2, 2.5， 3, 3.5， 441213243)2(=⨯⨯==ξP ； 245213241213143)5.2(=⨯⨯+⨯⨯==ξP ； 247213141213243)3(=⨯⨯+⨯⨯==ξP ； 245213241213143)5.3(=⨯⨯+⨯⨯==ξP241213141)4(=⨯⨯==ξP ................................................................................................................9分甲、乙、丙三人所付的租车费用之和ξ的分布列为....................................................................................11分 所以246724142455.324732455.2412=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .....................................12分19.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BD .又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC . 又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………6分 （Ⅱ）解：依题意,知平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，过点B 作BM AD ⊥，垂足为M ，则BM ⊥平面PAD . 在平面PAD 内过M 作MN PD ⊥，垂足为N ，连BN , 则PD ⊥平面BMN ，所以BNM ∠为二面角A PD B -- 的一个平面角 . ………………9分 ∵AB AD =，︒=∠60BAD ,PADCM N∴BM AB == 1DM =. ………………10分 又AB PA =，故2MN =所以2BN =. ………………11分∴cos MN BNM BN ∠===即二面角A PD B --. ………………12分 20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意，可得 24622+=+c a ，即3a c +=+c a =3a =，c = 2221b a c =-= 所以，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………4分（Ⅱ）由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=. ……5分 设),(11y x A ，),(22y x B ，有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ……6分 因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点(3,0)C ，所以 0CA CB ⋅=. ...............…7分由 11(3,)CA x y =- ，22(3,)CB x y =-,得 1212(3)(3)0x x y y --+=.……8分将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=, ………………………10分将 ① 代入上式，解得 125m =，或3m =………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）)0()(2)(2>-='x exea x x F ................................................................1分当0≤a 时，0)(>'x F 恒成立，)(x F 在），（∞+0上是增函数，)(x F 只有一个单调递增区间），（∞+0，没有最值.....................................................................................2分当0>a 时，)0())((2)(>-+='x exea x ea x x F若,0ea x <<则0)(<'x F ，)(x F 在），（ea 0上是减函数， 若,ea x >则0)(>'x F ，)(x F 在），（∞+ea 上是增函数， 所以当ea x =时，)(x F 有极小值，也是最小值.a a ea F x F ln -)()(min == .........................................................6分(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点…… 7分 由(Ⅰ)的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得 ………… 8分此时，2()()()2ln 0x F x f x g x x e=-=-≥，min ()0F x F ==∴1,f g ==∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为又f g ''==，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，其方程为1y x -=-，即1y x =-综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为 1.y x =-....................................................................................... 12分22.解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数................ 4分 （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）代入122=+y x ，得02)sin 3cos 3(2=+++t t αα ，36)6sin(0>+⇒>∆πα (]3,2)6sin(32sin 3cos 3-1-1-11212121∈+=+=+==+παααt t t t t t PN PM ）（…10分 23.解：（Ⅰ）∵0,0a b >>且1a b +=， ∴14144()()59b aa b a b a b a b+=++=++≥， 当且仅当4b a a b =，即13a =，23b =时，14a b +取最小值9．...........5分（Ⅱ）因为对,(0,)a b ∈+∞，使14211x x a b+≥--+恒成立，所以2119x x --+≤， ∴ x 的取值范围为711x -≤≤..............10分。