四川省绵阳南山中学实验学校2019_2020学年高二数学下学期开学考试试题文含解析

四川省绵阳南山中学实验学校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 文（含解析）一、选择题：本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝是 A. :p x R ⌝∀∈，210x x ++> B. :p x R ⌝∃∈，210x x ++≠ C. :p x R ⌝∀∈，210x x ++≥ D. :p x R ⌝∃∈, 210x x ++<【答案】C 【解析】由特称命题的否定为全称命题，得命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，210x x ++≥ 故选C.2.已知:2p x >，:213q x ->，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式213x ->，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】解不等式213x ->，即213x -<-或213x ->，解得1x <-或2x >，{}2x x >{1x x <-或}2x >，因此，p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及利用集合的包含关系来判断充分条件与必要条件，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题. 3.下列关于命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题是真命题B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy =，则0x ≠”C. 命题“若6πα=，则1sin 2α=”的逆否命题是假命题 D. 命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是“若x y ≠，则cos cos x y =”【答案】A 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题，判断逆命题的真假可判断A 选项的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假一致可判断C 选项的正误；利用四种命题之间的关系可判断B 、D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，命题“若0x y +=，则x 、y 互为相反数”的逆命题为“若x 、y 互为相反数，则0x y +=”，原命题的逆命题为真命题，A 选项正确；对于B 选项，命题“若0xy =，则0x =”的否命题是“若0xy ≠，则0x ≠”，B 选项错误； 对于C 选项，命题“若6πα=，则1sin 2α=”是真命题，其逆否命题也为真命题，C 选项错误；对于D 选项，命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题是“若x y ≠，则cos cos x y ≠”，D 选项错误. 故选：A.【点睛】本题考查四种命题的关系，考查逆命题、否命题、逆否命题的改写以及原命题与逆否命题真假性一致的原则的应用，考查推理能力，属于基础题.4.已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） A. 9 B. 6 C. -9 D. -6【答案】D 【解析】 y′=4x 3+2ax由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D.5.给出两个命题:p 方程210x x --=有两个不同的实数根；:q 若10x x->，则1x >，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A. ()p q ⌝∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题p ，对于方程210x x --=，()()214150∆=--⨯-=>，该方程有两个不同的实根，命题p 为真命题； 对于命题q ，解不等式10x x->，解得0x <或1x >，命题q 为假命题. 因此，()p q ⌝∨、p q ∧、()()p q ⌝∧⌝为假命题，()()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选：D.【点睛】本题复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.6.如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④【答案】C 【解析】【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.详解：根据()()0,0f x f x ''><，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数()y f x '=的图象，可得的函数()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增， 其中3x =-的左边负右边正，所以3x =-为函数的一个极小值点，且(3,1)-上函数单调递增，所以①④是正确的；其中1x =的左右两侧都是正数，所以1x =不是函数的极值点，所以②是错误的； 由()10f >可得函数在0x =处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.7.若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ）A. 01b <<B. 1b <C. 0b >D. 12b <【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，求得极值点在(0,1)上，然后求导判断函数的单调性，找到极值点，然后求解即可.【详解】()2330,f x x b =-='解得x =因函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，所以0b >.极值点在(0,1)上,所以在(()(),,0,f x f x '-∞>递增，在(()(),0,f x f x <'递减；)()(),0,f x f x'+∞>递增；所以()f x 在x=01∴<<,01b∴<<, 故选A. 【点睛】本题考查了导函数的应用极值，判断极值点是解题的关键，属于中档题.8.若对任意的实数0,ln0x x x x a>--≥恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (,1]-∞- B. (,1]-∞ C. [1,)-+∞ D. [1,)+∞【答案】A【解析】【分析】构造函数()lnf x x x x a=--，利用导数研究函数()f x在()0,∞+单调性，并计算()minf x≥，可得结果.【详解】令()lnf x x x x a=--，()0,x∈+∞则()'lnf x x=，令()'01f x x=⇒=若01x<<时，()'0f x<若1x>时，()'0f x>所以可知函数()f x在()0,1递减，在()1,+∞递增所以()()min11f x f a==--由对任意的实数0,ln0x x x x a>--≥恒成立所以()min101f x a a=--≥⇒≤-故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.9.设0xy>，则222241x yy x⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A. 12B. 9C. 10D. 0【答案】B 【解析】 【分析】 将代数式222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后利用基本不等式可求出所求代数式的最小值.【详解】0xy >，22222222414559x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫∴++=++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当xy =222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 10.函数3()3f x x x =-在区间()2,m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A.1,)-+∞（ B. 1,1]-（ C. 1,2)-（ D.1,2]-（ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间()2,m -上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】由于()()()'233311fx x x x =-=+-，故函数在(),1-∞-和()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，()()122f f -==，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间()2,m -上有最大值，根据图像可知(],B A m x x ∈，即(]1,2m ∈-，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()xe f x a x=-.若()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是（）A. [0,)eB. (0,1)C. (0,)eD. (0,1)【答案】A 【解析】 【分析】选择特殊值，当0a =时，函数很明显没有零点，排除BCD ．【详解】当0a =时，()x e f x x =，令=0x e x ，则>=00x xe e ，恒成立，=0x e x ∴无解，即()xe f x x=无零点．故选A ．【点睛】此题时一道选择题，可以代特殊值然后排除，是一道简单题． 12.设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)C. (,1)(1,0)-∞--D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f xg x x =,()()()2 'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分. 13.函数()12f x x x =-+-的最小值______________ ． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用绝对值不等式的性质即可得解． 【详解】由绝对值不等式的性质可得：()()()12121f x x x x x =-+-≥---=当且仅当12x ≤≤时，等号成立.所以函数()12f x x x =-+-的最小值为1．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，属于基础题．14.若命题“任意实数x ，使210x ax ++≥”为真命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[2,2]- 【解析】分析：开口向上的二次函数恒大于等于零，只需0≤即可. 详解：由题可得：任意实数x ，使210x ax ++≥为真命题，故0≤ 即：24022a a -≤⇒-≤≤，故答案为[]2,2- 点睛：考查二次函数的图像，属于基础题.15.若函数()22ln f x ax x x =--存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为____________. 【答案】()4,+∞ 【解析】 【分析】由题意知，存在0x >使得()0f x '>，利用参变量分离法得出14a x x>+，利用基本不等式求出14x x+在0x >时的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】()22ln f x ax x x =--，定义域为()0,∞+，()14f x a x x'=--，由题意可知，存在0x >使得()0f x '>，即14a x x>+.由基本不等式可知，当0x >时，144x x +≥=，当且仅当12x =时，等号成立.所以，4a >，因此，实数a 的取值范围是()4,+∞. 故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查利用函数单调区间的存在性求参数，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.16.已知函数21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[1,)+∞ 【解析】 【分析】 由1212()()2f x f x x x -≥-可判断函数应在()0,x ∈+∞对应的导数值()'2f x ≥恒成立【详解】由()()21()ln '02af x a x x f x x a x=+⇒=+>，要使()'2f x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，由基本不等式得()'a f x x x =+≥=2≥，[)1,a ∈+∞ 故答案为[1,)+∞【点睛】本题考查函数导数的求解，由基本不等式求解参数范围，属于基础题 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 17.已知函数()21f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >-；（2）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-的解集为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三段解不等式()2f x >-，综合可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数()y f x =的最大值()max f x ，然后解不等式()2max 2a a f x -≥，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()3,12121,123,2x f x x x x x x ≤-⎧⎪∴=--+=-+-<<⎨⎪-≥⎩.当1x ≤-时，由()2f x >-，得32>-，此时1x ≤-； 当12x -<<时，由()2f x >-，得212x -+>-，解得32x <，此时312x -<<；当2x ≥时，由()2f x >-，得32->-，该不等式不成立，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()2f x >-的解集为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）因为关于x 的不等式()22f x a a ≤-的解集为R ，则()2max 2a a f x -≥.由绝对值三角不等式可得()()()21213f x x x x x =--+≤--+=，当且仅当1x ≤-时，等号成立.所以，223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥. 因此，实数a 的取值范围是(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值不等式中参数取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.18.已知()3211232f x x x ax =++，a R ∈.（1）若()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）若1x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]22-,上的最大值． 【答案】（1）[)0,+∞；（2）103. 【解析】 【分析】（1）由题意可知()0f x '≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为()min 0f x '≥，利用二次函数的基本性质求得函数()y f x '=在区间[)0,+∞上的最小值，进而可得出实数a 的取值范围；（2）由题意可得出()10f '=，求得a 的值，然后利用导数分析函数()y f x =在区间[]22-,，求出极值，将极值与()2f -和()2f 比较大小，可得出函数()y f x =在区间[]22-,上的最大值. 【详解】（1）()3211232f x x x ax =++，()22f x x x a '∴=++，由题意可知，()0f x '≥对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，由于二次函数()22f x x x a '=++的图象开口向上，对称轴为直线12x =-，所以，函数()y f x '=在区间[)0,+∞上单调递增，则()()min 020f x f a ''==≥，解得0a ≥. 因此，实数a 的取值范围是[)0,+∞； （2）()22f x x x a '=++，由于1x =是函数()y f x =的极值点，则()1220f a '=+=，解得1a =-，()3211232f x x x x ∴=+-，()22f x x x '=+-. 令()0f x '=，得2x =-或1x =，列表如下：所以，函数()y f x =在区间[)2,1-上单调递减，在区间(]1,2上单调递增. 所以，函数()y f x =在1x =处取得极小值，且极小值为()716f =-. 又()1023f -=，()223f =，则()()22f f ->， 因此，函数()y f x =在区间[]22-,上的最大值为103. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点()1,0P ，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为M 、N ，求PM PN ⋅的值． 【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）1213.【解析】 【分析】（1）利用伸缩变换求出曲线2C 的普通方程，再根据其标准方程可得出曲线2C 的参数方程； （2）将直线l 的参数方程与曲线2C 的普通方程联立，利用韦达定理可求得PM PN ⋅的值．【详解】（1）在曲线2C 上任取一点(),x y ''，则2x xy y =⎧'='⎪⎨⎪⎩，可得2x x y y ''=⎧⎨=⎩， 代入曲线1C 的方程得()2224x y ''+=，即2214x y ''+=，所以，曲线2C 的普通方程为2214x y +=，因此，曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）设点M 、N 在直线l 上对应参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得2134120t t +-=，121213t t ∴=-， 因此，121213PM PN t t ⋅==. 【点睛】本题考查利用伸缩变换求曲线方程，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.20.已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），射线l 的极坐标方程为()304πθρ=≥，直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，以O 极点为原点，极轴为x 的非负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值.【答案】（1）26cos 2sin 60ρρθρθ+-+=；（2）【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的方程化为普通方程，再将曲线C 的普通方程转换为极坐标方程； （2）设点M 、N 的极坐标分别为13,4πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、23,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将射线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，可得出关于ρ的二次方程，利用韦达定理可求得122OP ρρ+=的值.【详解】（1）由32cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩得32cos 12sin x y θθ+=⎧⎨-=⎩，()()22314x y ∴++-=，则曲线C 的普通方程为226260x y x y ++-+=，因此，曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ+-+=； （2）设点M 、N 的极坐标分别为13,4πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、23,4πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将射线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程得260ρ-+=，324680∆=-⨯=>，12ρρ∴+=因此，122OP ρρ+===【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了极坐标方程的实际应用，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()()()1xf x e a x a R =--∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(){}2,0e -∞.【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域与导数()xf x e a '=-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数在R 上符号的变化，进而可得出函数()y f x =的单调区间；（2）分0a =和0a ≠两种情况讨论，在0a =时验证即可，在0a ≠时，由()0f x =得出11x x a e -=，构造函数()1x x g x e-=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()1x f x e a x =--的定义域为R ，且()x f x e a '=-.当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，此时，函数()y f x =在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =.令()0f x '<，得ln x a <；令()0f x '>，得ln x a >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为R ，无单调减区间；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞，单调递增区间为()ln ,a +∞； （2）当0a =时，()0xf x e =>，此时函数()y f x =无零点；当0a ≠时，由()()10xf x e a x =--=，得11x x a e-=， 构造函数()1xx g x e -=，该函数的定义域为R，()2x xg x e -'=， 令()0g x '=，得2x =，列表如下：x(),2-∞2()2,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),2-∞，单调递减区间为()2,+∞， 该函数在2x =处取得极大值，且极大值为()212g e =， 当1x >时，()10x x g x e-=>，如下图所示：由图象可知，当211a e =或10a<时，即当2a e =或0a <时，直线1y a =与函数()y g x =的图象有且只有一个交点.因此，实数a 的取值范围是(){}2,0e -∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点，涉及参变量分离法的应用，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 22.已知函数()()()1ln 1f x x x =--. （1）求()f x 在()1,0处的切线方程；（2）若()1,x ∈+∞，不等式()f x a >恒成立，且a Z ∈，求a 的最大值. 【答案】（1）10x y +-=；（2）1-.【解析】 【分析】（1）求出()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数()y f x =的极小值，以及极小值点满足的等式，求出该函数极小值的取值范围，即可求得整数a 的最大值.【详解】（1）()()()1ln 1f x x x =--，()11ln 1ln x f x x x x x-'∴=+-=-，则()11f '=-. 所以，函数()y f x =在点()1,0处的切线方程为()1y x =--，即10x y +-=；（2）由（1）得()1ln f x x x '=-，则函数()y f x '=区间()1,+∞上单调递增， ()110f '=-<，()12ln 202f '=->，所以，存在()1,2t ∈，使得()1ln 0f t t t'=-=，则1ln t t=，且当1x t <<时，()0f x '<；当x t >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在区间()1,t 上单调递减，在区间(),t +∞上单调递增， 所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，亦即最小值，即()()()()()min 1111ln 1112,02f x f t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=--=-+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可知()()min a f x f t <=，a Z ∈，因此，整数a 的最大值为1-.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.。