2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷与解析word(理科)(5月份)

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[精品]2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)(5月份)

2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．（5分）以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），则事件M和N互斥．A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．136．（5分）将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数7．（5分）长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A． B．C．4 D．39．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．360011．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P 在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）14．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）•cosC=c•cosA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin2+2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．19．（12分）4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如表列联表：（Ⅰ）根据如表，能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E （ξ）．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．下列的临界值表供参考：20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，若圆x 2+y 2=a 2被直线x ﹣y ﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A 、B 为动直线y=k （x ﹣1），k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得•为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=e x （其中e 为自然对数的底数），g （x ）=x +m （m ，n ∈R ）．（1）若T （x ）=f （x ）g （x ），m=1﹣，求T （x ）在[0，1]上的最大值；（2）若m=﹣，n ∈N *，求使f （x ）的图象恒在g （x ）图象上方的最大正整数n ．[注意：7＜e 2＜]．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．23．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥﹣1}，则M∩N={x|x≥﹣1}，故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），则事件M和N互斥．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为=20，故①错；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，），故②对；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内的概率为0.5﹣0.1=0.4，可得在（2，3）内的概率为0.4，故③对；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），由P（M∪N）=P（M）+P（N）+P（M∩N），可得P（M∩N）=0，即有M，N不可能同时发生，所以事件M与N的关系是互斥的．故④对．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．6．（5分）将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．7．（5分）长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设小典到校的时间为x，小方到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x ≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小典比小方至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S=×15×15，由几何概率模型可知小典比小方至少早5分钟到校的概率△ABC为=，故选：A．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A． B．C．4 D．3【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示===3，S△ABC==2．=×=．则该三棱锥的四个面的面积中最大的是△D1AC．故选：A．9．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a 7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故选：B．10．（5分）在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．3600【解答】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选：B．11．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P 在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t=f（x）﹣xe x，则f（x）=xe x+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe x，所以f′（x）=（x+1）e x，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．14．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为2．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故答案为：2．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，即y=f′（x）在点P i（x i，f（x i））处的值相等．∵当x≤0时，f′（x）=﹣2x+2a﹣2≥2a﹣2，∴当x＞0时，f′（x）必须满足，，∴﹣1＜a＜2，故答案为（﹣1，2）三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）•cosC=c•cosA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin2+2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．【解答】解：（I）∵（2b﹣a）•cosC=c•cosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）•cosC=sinC•cosA，化为：2sinB•cosC=sin（C+A）=sinB，∵sinB≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴C=．（II）y=﹣4sin2+2sin（C﹣B）=（1﹣cosA）+2sin=sinA+cosA ﹣2=2﹣2，∵A∈，∴∈，∴当A+=，即A=时，y确定最大值2﹣2，此时B=，因此△ABC为直角三角形．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．19．（12分）4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如表列联表：（Ⅰ）根据如表，能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E （ξ）．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．下列的临界值表供参考：【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算随机变量 K 2==≈6.667＞6.635，所以能有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系；（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2，则P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==；所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，若圆x 2+y 2=a 2被直线x ﹣y ﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A 、B 为动直线y=k （x ﹣1），k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得•为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，【解答】解：∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．【解答】解：（1）T（x）=f（x）g（x）=e x（x+m）=e x（x+1﹣）；故T′（x）=e x（x+1）；则当n≥﹣2时，T′（x）≥0；故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；当n＜﹣2时，x∈[0，﹣）时，T′（x）＞0；x∈（﹣，1]时，T′（x）＜0；T（x）在[0，1]上的最大值为T（﹣）=﹣；（2）由题意，f（x）=e x，g（x）=x﹣；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0恒成立；F′（x）=e x﹣；故F（x）在（﹣∞，ln）上是减函数，在（ln，+∞）上是增函数；故可化为F（ln）＞0；即（1﹣ln）+＞0；令G（n）=（1﹣ln）+；故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的减函数，而G（2e2）=﹣e2+＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；故最大正整数n为14．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2y=0．直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t可得普通方程：x+y﹣3﹣=0．（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t2﹣3t+4=0，则t1+t2=3，t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3．23．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）=|2x+|﹣|x﹣|≤3x，等价于①；或②；或．解①求得﹣≤x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥﹣}．（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即2（|2x+|+2|x﹣|）+1＜|1﹣b|，即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集为∅，即|1﹣b|≤8恒成立，∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的实数b的取值范围为[﹣7，9]．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x b x c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

四川省绵阳市17届高三数学5月模拟试题文(含解析)

四川省绵阳市2017届高三数学5月模拟试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1. 设全集I是实数集R，与都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以又因为，所以所以阴影部分为故答案选B考点：集合的表示；集合间的运算.2. 已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由由共轭复数定义得故答案选B考点：复数的运算；共轭复数.3. 在△ABC中，若，则为A. B. C. 或 D. 或【答案】C则为或 .本题选择C选项.4. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：①当时，，情况为符合要求的只有一种；②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：...，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：考点：1.一次函数与二次函数的性质；2.古典概型.【名师点睛】本题考查一次函数与二次函数的性质、古典概型，属中档题；求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.5. 若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：抛物线的焦点为，所以椭圆中，双曲线焦点为，所以椭圆方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质6. 函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C考点：三角函数的图象和性质及运用．7. 某锥体的正视图和侧视图如下图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：选项C的体积，故选C.考点：1、三视图；2、锥体的体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的面积公式.8. 已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为（）A. B. 9 C. D. 不存在【答案】C【解析】由题意可得：，则：，数列为正项数列，则，即，且：，则：，，当且仅当时等号成立....综上，的最小值为 .本题选择C选项.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．9. 已知周期函数是定义在R上的奇函数，且的最小正周期为3，,,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的最小正周期为3，∴f（2）=f（2-3）=f（-1）=-f（1），又f（1）＜2，f（2）=m，∴m=-f（1）＞-2，∴m＞-2．10. 重庆市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中（单位：千米）为行驶里程，（单位：元）为所收费用，用表示不大于的最大整数，则图中①处应填（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合流程图可得，①处应填入当时所应收取的费用，结合收费办法可得： .本题选择B选项.11. 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与AC1所成的角为（）A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°...【答案】A【解析】试题分析：延长CA到D，使得AD=AC，则为平行四边形，∠就是异面直线与所成的角，又，则三角形为等边三角形，∴∠DA1B=60°考点：异面直线及其所成的角12. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：曲线表示的曲线为半圆，如图所示，直线可化为，过定点，若直线与曲线有两个相异交点，如图，根据直线与圆的位置关系可以求出斜率，故选C.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】首先分析曲线表示的是以为圆心，为半径的半圆，直线表示的是过定点的直线，因此问题转化为过定点的直线与半圆有两个公共点，根据图形，应先求出在第四象限相切时直线的斜率，然后逆时针转动直线到过点时为另一个临界值，就可以求出斜率的取值范围，本题考查数形结合思想.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角相等，则__________【答案】3【解析】试题分析：依题意有，根据夹角公式有，解得.考点：向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．14. 若，.则__________【答案】0.5【解析】本题考查三角函数的和角公式由得①由得②①+②得，则；②-①得，则所以即15. 设圆的弦的中点为，则直线的方程为__________.【答案】....【解析】试题分析：圆配方得，以为圆心，为半径，，因此，因此直线的方程，即考点：1、圆的性质；2、直线的方程.16. 定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为__________．【答案】（-1，1）．【解析】试题分析：设∵对任意x∈R，都有即g（x）为实数集上的减函数．不等式，即为g（x2）＞0=g（1）．则x2＜1，解得-1＜x＜1，∴的解集为（-1，1）．考点：利用导数研究函数的单调性三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列的前项和满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项，公差分别是，代入中求解；（2）先将和代入通项公式，整理，再裂项相消求解．试题解析：（1）设的公差为，则．由已知可得解得，故的通项公式为．（2）由（1）知，从而数列的前项和为．考点：1、等差数列的前项和；2、等差数列的通项公式；3、裂项相消法求和．【易错点睛】在使用裂项法求和时，要注意正负相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．有时首项不能消去，有时尾项不能消去，因此在消项时要特别小心，以免出错．18. 如图，在四棱锥中，为正三角形，, , ,平面.（Ⅰ）若为棱的中点，求证：平面;（Ⅱ）若,求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用直线与平面垂直的判定定理即可证明（Ⅱ）利用，即等体积法即可求得点到平面的距离.试题解析：（Ⅰ）因为平面，平面,所以.∵，，所以平面.而平面,∴.,是的中点，∴.又，所以平面.而平面，∴.∵底面，∴平面平面，又，...面面垂直的性质定理可得平面，.又∵，∴平面.…（Ⅱ）因为平面，所以,所以.由（Ⅰ）的证明知，平面，所以.因为,为正三角形，所以，因为，所以.7分设点到平面的距离为，则.在中，，所以.所以.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.考点：直线与平面垂直的判定，等体积法19. 人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40,45)，第2组[45,50)，第3组[50,55)，第4组[55,60)，第5组[60,65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1:3，第3组的频数为90．（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；（Ⅱ）学校为进一步了解学生的身体素质，在第1组、第2组、第3组中用分层抽样的方法抽取6人进行测试．若从这6人中随机选取2人去共同完成某项任务，求这2人来自于同一组的概率．【答案】（1）抽查总人数为240人，第2组频率为0.25（2）【解析】试题分析：(1)由频率分布直方图可得抽查总人数为240人，第2组频率为0.25；(2)由题意列出所有的事件，结合古典概型公式可得2人来自于同一组的概率为 .试题解析：（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第 2组、第3组的频率分别为，，则，所以，由，解得，所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25 （Ⅱ）前3组的频率之比是1 : 2 : 3，则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A），第2组2人（不妨设为），第3组3人（不妨设为），从这6人中任选两人有，共15个结果，而这2人来自同一组的情况有，共4个结果，所以这2人来自同一组的概率．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20. 已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）（2）x-y-1=0或x+y-1=0【解析】试题分析：（1）由已知条件，先求点的坐标，再由及抛物线的焦半径公式列方程可求得的值，从而可得抛物线C的方程；（2）由已知条件可知直线与坐标轴不垂直，故可设直线的点参式方程：，代入消元得．设由韦达定理及弦长公式表示的中点的坐标及长，同理可得的中点的坐标及的长．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，由此列方程可求得的值，进而可得直线的方程．试题解析：（1）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（2）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则...．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．考点：1．抛物线的几何性质；2．抛物线方程的求法；3．直线与抛物线的位置关系．21. 已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）令，求函数的极值；【答案】（1）（2）无极值【解析】试题分析：(1)首先利用导函数求得斜率，然后利用点斜式可得切线方程为；(2)利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数g(x)没有极值.试题解析：（1）当时，，则，所以切点为，又，则切线斜率，故切线方程为，即．（2），则，当时，∵，∴．∴在上是递增函数，函数无极值点当时，，令得，∴当时，；当时，，因此在上是增函数，在上是减函数，∴时，有极大值，综上，当时，函数无极值；22. 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线的参数方程为为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）曲线的直角坐标方程为，，根据直角坐标与极坐标互化公式，曲线的极坐标方程为；（2）由得，即，圆心到直线的距离为，则弦长.试题解析：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，...曲线表示以为圆心，为半径的圆，将代入并化简：．（2）直角坐标方程为，∴圆心到直线的距离为，∴弦长为．考点：1、坐标系与参数方程；2、直线与圆的位置关系.23. 已知（1）求的取值范围；（2）若对任意的实数恒成立，求实数a的值。

四川省绵阳中学实验学校2017届高三5月模拟数学理试题

高2014级数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A. {（0，1）}B. {x|x≥﹣1}C. {x|x≥0}D. {x|x≥1}【答案】C【解析】由题意可得：，则M∩N={x|x≥0}.本题选择C选项.2. 实数为实数）的共轭复数为（）A. 1B. ﹣5C. ﹣1D. ﹣i【答案】C【解析】，复数为实数，则：，即，故其共轭复数为 .本题选择C选项.3. 等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A. ±81B. 81C. ﹣81D. 27【答案】A【解析】设等比数列{a n}的公比q，∵，∴243=9×q3，解得q=3.又，∴与的等比中项为 .本题选择A选项.4. 以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线恒过样本点的中心；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件和满足关系，则事件和互斥．A. 0B. 1C. 2D. 3...【答案】C【解析】①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线恒过样本点的中心；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若在(−∞,1)内取值的概率为0.1,则在(1,2)内取值的概率为0.5−0.1=0.4，则在(2,3)内的概率为在(1,2)内取值的概率为0.4；故③正确，④由互斥事件的定义可得若事件和满足关系，则事件和对立，故④错误.四个命题中其中真命题个数是2个.本题选择C选项.5. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12.本题选择C选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．6. 将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A. 在（0，）上单调递增，为奇函数B. 周期为π，图象关于（）对称C. 最大值为，图象关于直线x=对称D. 在（﹣）上单调递增，为偶函数【答案】A【解析】函数的解析式：将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则g(x)为奇函数,且在上单调递增，故A正确、D不正确；由于当时,函数g(x)取得最大值为,故它的图象不关于对称，故排除B；当时,g(x)=0,故g(x)的图象不关于直线对称，故C不正确；本题选择A选项....点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．7. 某中学早上8点开始上课,若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．考点：几何概型．【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．8. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A. 3B.C. 4D.【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体如图所示,，..则该三棱锥的四个面的面积中最大的是△D1AC.本题选择A选项.9. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设正项等比数列{a n}的公比为q，且q>0，由a7=a6+2a5得：，化简得,q2−q−2=0,解得q=2或q=−1(舍去)，因为a m a n=16a21,所(a1q m−1)(a1q n−1)=16a21，则q m+n−2=16，解得m+n=6，，当且仅当：时等号成立，因为mn取整数,所以均值不等式等号条件取不到,6，...验证可得,当m=1、n=5时,取最小值为 .本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10. 在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A. 1200 B. 2400 C. 3000 D. 3600【答案】B【解析】试题分析：若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理、排列与组合，属中档题；排列组合是高中数学的重要内容，也是高考命题的一个热点，利用排列组合解决相邻问题用捆绑法，相间问题用插空法，如有特殊元素（位置）可优先安排，如是多元问题分类安排.11. 抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l 于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过作的垂线，垂足为，则，设，则，,.，，解得λ2=10．故．故选：B．12. 定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A. （﹣1，﹣）B. （0，）C. （﹣，0）D. （）【答案】A【解析】由题意,可知f(x)−xe x是定值,不妨令t=f(x)−xe x,则f(x)=xe x+t，又f(t)=te t+t=0，解得t=0，所以有f(x)=xe x，所以f′(x)=(x+1)e x，令F(x)=f(x)−f′(x)−x=xe x−(x+1)e x−x=−e x−x，可得,即F(x)的零点在区间内∴方程f(x)−f′(x)=x的解所在的区间是，本题选择A选项....二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. (2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.14. 设F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】设点P在双曲线右支上,由题意,在Rt△F1PF2中,|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,得|PF2|=c,|PF1|=c,根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|="2a,("-1)c=2a,e===+1.15. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】【解析】由题意：，做出平面区域，结合目标函数可得，当过点的直线经过点时，斜率取得最小值，即的最小值为 .16. 已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是______．【答案】（﹣1，2）【解析】由函数的解析式可得：∴，∵曲线y=f(x)在点P i(x i,f(x i))(i=1,2,3,其中x1,x2,x3互不相等)处的切线互相平行，即y=f′(x)在点P i(x i,f(x i))处的值相等。

四川省绵阳中学(实验学校)2017年自主招生数学试卷

绵阳中学(实验学校)高2017级综合素质测评数学测试卷注意事项：1. 测试时间120分钟，满分,150分；2. 答题前，考生务必将自己的姓名、测试证号、考试科目准确填写在答题卡上；3. 选择题只能答在答题卡上。

每个选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；4. 填空题和计算题必须答在答题卷上；5. 测试结束时，将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第I 卷一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分，将所选答案填在机读卡上）1、在3.14，722，8，364，3π， 60sin 这6个数中，无理数的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42、如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是( )A. 218cmB. 220cmC. 23218cm +D.23418cm +3、当10<<x 时，x ，x1，2x 的大小顺序是( ) A. x 1<x <2x B. 2x < x <x 1 C. x <2x <x 1D. x 1<2x <x 4、初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下图：编号 1 2 3 4 5 方差平均成绩得分 38 34 37 40 37那么被遮盖的两个数据依次是( )A.35,2B. 36,4C. 35,3D. 36,55、若代数式022=++y y ，则代数式2014423+++y y y 的值为( )A.2020B.2025C. 2014D. 20156、下列命题正确的是( )A 、对角线相等的四边形是矩形。

B 、相邻两角都互补的四边形是平行四边形。

C 、平分弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的弧。

D 、三点确定一个圆。

7、已知a ,b ,c 是△ABC 的三边长，且223223ac b a b bc ab a ++=++，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形8. 如果关于x 的错误!未找到引用源。

2017级绵阳三诊数学理科答案

绵阳市高中2017级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDCB BACAD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．4514．2 15．2 16．3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）由123n n a S +=，得123n n n S S S +−=，∴ 153n n S S +=，即153n n S S +=． ……………………………………………………4分 ∵ 111S a ==，∴ 数列{S n }是一个首项为1，公比为53的等比数列，故15()3n n S −=． ……………………………………………………………………8分（2）由113()5n n n b S −==， ………………………………………………………9分得1231()55355()3225215nn n n T b b b −=++⋅⋅⋅+==−<−． ……………………………12分 18．（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ．∵ 正方形ABCD ，F 为BD 中点，又E 为BS 中点， ∴ EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴ SD ∥平面AEC ．…………………………4分（2）取BC 的中点为O ，连接OF 并延长，显然OF ⊥OC ．在等边三角形SBC 中，易得SO ⊥BC ，∵ 侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD =BC ， ∴ OS ⊥平面ABCD ． ∴ OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，于是可以O 为原点，分别以OF 、OC 、OS 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O -xyz ，如图． …………………………………………………………6分得A (2，-1，0)，C (0，1，0)，1(02，E −，D (2，1，0)，S (0，0，)，∴ CD =(2，0，0)，CS =(0，-1，，1(220)(2)22，，，，，AC AE =−=−．设平面CDS 的一个法向量为m ()，，x y z =，则200，，x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩解得x =0，令1z =，则y = 所以m (01)=． ……………………………………………………………8分设平面ACE 的法向量为n 111()，，x y z =．∴1111122012022，，x y x y z −+=⎧⎪⎨−++=⎪⎩令x 1=1，则y 1=1，z 1=，所以n (11=． ……………………………………………………………10分∴cos 0||||，⋅<>===>⋅m n m n m n ．∴ 平面ACE 与平面SCD所成锐二面角的余弦值为． ……………12分 19．解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则3()8P A =，∴ 随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为2211120333335355485()()()()()88888512C C C ++=．………………………………………4分（2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[4080)，，[80120)，，[120160)，， [160200)，的概率分别为18，14，12，18． …………………………………5分设物流公司每天的营业利润为Y ．若租赁1辆车，则Y 的值为2000元；若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，其分布列为：故71()40001600370088E Y =⨯+⨯=元；…………………………………………7分若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，其分布列为：故511()6000360012004800848E Y =⨯+⨯+⨯=元； ……………………………9分若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，其分布列为：故1111()80005600320080047008248E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元； …………………11分因为4800＞4700＞3700＞2000，所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公司应租赁3辆车． ………12分 20．解：（1）当a =4时，22ln 64)(+−−=xx x x f ，x >0，得2222)1)(12(2264264)(xx x x x x x x x f −−=+−=+−='． …………………………2分 ∴ 函数)(x f 在1(0)2，和(1)，+∞上单调递增，在1(1)2，上单调递减， ∴ 当21=x 时，函数()f x 取得极大值1()6ln 22f =；当x =1时，函数()f x 取得极小值(1)4f =．……………………………………5分（2）2222)1)(2(2)2(22)(xx ax x x a ax x x a a x f −−=++−=++−='．当a ≤0时，得)(x f 在(1，e)上递减，f (x )<f (1)=a ≤0，故)(x f 在(1，e)上没有零点；当a ≥2时，得)(x f 在(1，e)上递增，f (x )>f (1)=a ≥2，故)(x f 在(1，e)上没有零点；当0<a ≤2e ，即2e ≥a时，得)(x f 在上(1，e)递减，要使)(x f 在(1，e)上有零点，则(1)02(e)e 0e ，，f a f a a =>⎧⎪⎨=−−<⎪⎩解得20e(e 1)a <<−；……………………………………………………………8分当22e a <<，即21e a <<时，得()f x 在2(1)，a 上递减，在2(e)，a上递增，由于0)1(>=a f ，2224(e)(e 1)(e 1)20e e e ef a =−−>−−=−>．令22ln )2(2)2()(+−+−==a aa a f a g =2ln 24)2ln 1(ln )2(−++−+a a a ，令=)(a h 2ln 2ln )(−+='aa a g ，则0221)(22<−=−='aa a a a h ， ∴)(a h 在2(2)e，上递减，故01)2()(>=>h a h ，即0)(>'a g ，∴ )(a g 在2(2)e，上递增，故24()()20e eg a g >=−>，即0)2(>a f ，∴ )(x f 在(1，e)上没有零点．………………………………………………………11分综上所述，当20e(e 1)a <<−时，)(x f 在(1，e)上有唯一零点；当0a ≤或2e(e 1)a −≥时，)(x f 在(1，e)上有没有零点．………12分21．解：（1）设直线l 的方程为x =ty +1，若t =0，则l 的垂直平分线与x 轴重合，与题意不合．若t ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点E (x 0，y 0)．联立方程214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，整理得y 2-4ty -4=0，由韦达定理得y 1+ y 2=4t ，y 1y 2=-4． …………………………………………2分 ∴ y 0=2t ，x 0=ty 0+1=2t 2+1，即E (2t 2+1，2t )．故线段MN 的垂直平分线的方程为y -2t =-t (x -2t 2-1)，令y =0，则Q (2t 2+3，0)． ……………………………………………………4分即|FQ |=|(2t 2+3)-1|=8，解得t=，综上所述，直线l的斜率1k t ==． ………………………………………6分（2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于0MF MP ⋅>．设M 211()4，y y ，F (1，0)， P (x 0，0)，则2211011()(1)44，，，y y MP x y MF y =−−=−−，故 224222111101103((1)(1)441644）y y y y MF MP x y y x ⋅=−−+=++−>0恒成立． ………8分令214y t =，则t >0，原式等价于203(1)0t t t x ++−>对任意的t >0恒成立，即200(3)0t x t x +−+>对任意的t >0恒成立．令200()(3)h t t x t x =+−+．①Δ=(3-x 0)2-4x 0=201090x x −+<，解得1< x 0<9；…………………………………………………………………………10分②00302(0)0≥，≤，≥，x h ∆⎧⎪−⎪⎨⎪⎪⎩ 解得0≤x 0≤1．又x 0≠1，故0≤x 0<1．综上所述，x 0的取值范围是[01)(19)，，． ……………………………………12分22．解：（1）由题意得，半圆C 1的极坐标方程为π8cos (0)2≤≤ρθθ=，圆C 2的极坐标方程为(0π)≤≤ρθθ=． …………………………………4分（2）由（1）得，∣MN ∣=∣M N ρρ−∣=ππ8cos133−=， ……………5分显然当P 点到直线MN 的距离最大时，△PMN 面积最大．此时P 点为过C 2且与直线MN 垂直的直线与圆C 2的一个交点，如图，设PC 2与直线MN 垂直于点H ，在Rt △OHC 2中，22πsin 6HC OC =，……7分 ∴ 点P 到直线MN 的最大距离为22C d HC r =+=+=………………9分 ∴ △PMN面积的最大值为11122MN d ⋅=⨯=……………………10分 23．解：（1）当x ≤-1时，()215≤f x x x =−−−，解得21≤≤x −−；当12x −<<时，()2135≤f x x x =−++=，满足题意；……………………………3分当x ≥2时，()215≤f x x x =−++，解得23≤≤x ．综上所述，不等式()5≤f x 的解集为{23}≤≤x x −． ………………………………5分（2）由()21f x x x =−++≥(2)(1)1x x −−+=，即()f x 的最小值为1，即m =3．……………………………………………………6分1111111()(49)49349a b c a b c a b c++=++++ 14499(3)34949b a b c c a a b c b a c=++++++1(33≥+ =3．当且仅当a =4b =9c =1时等号成立， …………………………………………………9分所以cb a 91411++最小值为3． ……………………………………………………10分1。

四川省绵阳市2017年高考数学二诊试卷(理科)(解析版)

省市2017年高考数学二诊试卷(理科) (解析版)一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60 分)1.已知集合A={x€ Z|x>2} , B={x| (x— 1)(x — 3)v 0}，则A G B=( )A. ?B. {2}C. {2, 3}D. {x|2<x< 3}2．若复数z 满足( 1+i) z=i( i 是虚数单位)，则z 的虚部为( )A．B．—C．i D．—3．某校共有在职教师200 人，其中高级教师20 人，中级教师100 人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A．25 B．20 C．12 D．54. “a=1是直线l i: ax+ (a—1) y -仁0 与直线b:(a —1) x+ (2a+3) y—3=0 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A. 30 万元B. 22.5 万元C. 10 万元D. 7.5 万元6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a, b分别为5, 2，则输出的n等于( )A. 2B. 3C. 4D. 57•若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为单重数”例：112,232,则不超过200的单重数”个数是( )A. 19B. 27C. 28D. 378. 过点P (2, 1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，0为坐标原点，则=( )A. B. 2 C. 5 D. 109. 已知cos a sin是函数f (x) =«- tx+t (t € R)的两个零点，则sin2 a ( )A. 2-2B. 2-2C.- 1D. 1 -10 .设F1, F2分别为双曲线C：的两个焦点，M， N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△ AMN的面积为，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.D.11. 已知点P (- 2,)在椭圆C: +=1 (a>b>0)上，过点P作圆C: x2+y2=2 的切线，切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是( )A. 13B. 14C. 15D. 1612. 已知f (x) =e x, g (x) =lnx,若 f (t) =g (s),则当s-1 取得最小值时，f (t)所在区间是( )A.( ln2, 1)B.(, ln2)C. (,)D.(,)二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. () 5的展开式的常数项为_•14. 已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为 _____ .15. 已知直线mx - y+m+2=0 与圆C i ：( x+1) 2+ (y-2) 2=1 相交于A，B 两点，点P是圆C2：(x- 3) 2+y2=5上的动点，则△ PAB面积的最大值是_____ .16. 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F,过点P (- 1，0)作斜率为k (k>0)的直线I 与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M， N两点，若+=18，则k= .三、解答题(共5小题，满分60分)17. ( 12 分)数列｛&｝中，a n+2- 2a n+1+&=1 (n€ N*)，內=1, &=3..(1)求证：｛a n+1- a n｝是等差数列；(2)求数列｛｝的前n项和S n.18. ( 12分)已知在△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且a v bv c, C=2A(1)若c=a,求角A；(2)是否存在厶ABC恰好使a, b, c是三个连续的自然数？若存在，求△ ABC 的周长；若不存在，请说明理由.19. ( 12分)2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1, A2, A3, A4, A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A平均身高x (单位：170174176181179cm)平均得分y6264667068(1)根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；(系数精确到0.01)(2)若M队平均身高为185cm, 根据(I) 中所求得的回归方程，预测M队的平均得分(精确到0.01)注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．20. ( 12分)已知椭圆C:的右焦点F (),过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为.( 1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1, 0)的直线I交椭圆C于P, Q两点，N点在直线x=- 1上，若△ NPQ是等边三角形，求直线I的方程.21. (12 分)已知函数f (x) =+Inx- 1 (m€ R)的两个零点为x i, X2 (x i v x?).( 1 )数m 的取值围；(2)求证：+ >.[ 选修4-4:坐标系与参数方程]22. ( 10分)已知曲线C的参数方程是(a为参数)( 1 )将 C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P (0, 2),以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p cosdO p sin+2=0, Q为C上的动点，求线段PQ 的中点M到直线I的距离的最小值.[ 选修4-5:不等式选讲]23. 已知函数f (x) =|x- 1|+| x- t| (t € R)( 1)t=2 时，求不等式f( x)> 2 的解集；(2)若对于任意的t €[1 , 2] , x€ [ - 1, 3] , f (x)> a+x恒成立，数a的取值围.2017 年省市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60 分)1.已知集合A={x€ Z|x>2} , B={x| (x— 1)(x — 3)v 0}，则A G B=( )A. ?B. {2}C. {2, 3}D. {x|2<x< 3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A n B即可.【解答】解：集合A={X€ Z|x>2},B={x| (x—1)(x—3)v0}={x|1v x v3},则A n B={2}．故选：B.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.2 .若复数z满足(1+i) z=i (i是虚数单位)，则z的虚部为( )A. B.—C. i D.—【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由(1+i) z=i,得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,则答案可求.【解答】解：由( 1+i) z=i,得=,则z 的虚部为：.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算, 考查了复数的基本概念, 是基础题.3. 某校共有在职教师200 人,其中高级教师20 人,中级教师100 人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50 的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数为( )A．25 B．20 C．12 D．5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：•••初级教师80人，•••抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为，解得n=20，即初级教师人数应为20人，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4. “a=1是直线l i: ax+ (a- 1) y-仁0 与直线I2:(a- 1) x+ (2a+3) y-3=0 垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及直线的垂直关系判断即可.【解答】解：若直线l1：ax+(a- 1) y- 1=0与直线l2：(a- 1) x+ (2a+3) y-3=0 垂直，则：a(a- 1) +(a- 1)( 2a+3) =0，解得：a=1 或- 1，故“a=1是直线l i: ax+ (a- 1) y-仁0 与直线12：(a - 1) x+ (2a+3) y- 3=0 垂直”的充分不必要条件，故选: A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的垂直关系，是一道基础题.5. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A. 30 万元B. 22.5 万元C. 10 万元D. 7.5 万元【考点】离散型随机变量的期望与方差.【分析】设该公司投资成功的个数为X,则X〜B•进而得出.【解答】解：设该公司投资成功的个数为X,则X〜B.•-E( X)==.•••该公司三个投资项目获利的期望==22.5万元.故选：B.【点评】本题考查了二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6 •宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5, 2，则输出的n等于( )A. 2B. 3C. 4D. 5【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200 的“单重数”个数是( ) A．19 B．27 C．28 D．37【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“单重数”的定义，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有 2 个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18 个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各 1 个，综上所述，不超过200 的“单重数”个数是2+18+8=28，故选C．【点评】本题考查合情推理，考查计数原理的运用，正确分类讨论是关键．8•过点P(2, 1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，0为坐标原点，则=( )A．B．2 C．5 D．10 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】f (x) ==1+,可得函数f (x)=的图象关于点P (2, 1)对称，过点P (2,1)的直线I与函数f (x)=的图象交于A, B两点，A, B两点关于点P (2, 1) 对称? =即可．【解答】解：f (x) ==1+,•••函数f (x)=的图象关于点P (2, 1)对称，•••过点P (2, 1)的直线I与函数f (x)二的图象交于A, B两点，A, B两点关于点P (2, 1)对称，二，则=，|| =，.•.则=2X 5=10.故选：D．点评】本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题.9.已知cos a sin 是函数f (x))=X- tx+t (t € R)的两个零点，则sin2 a = )A. 2-2B. 2-2C.- 1D. 1 -【考点】三角函数的化简求值；函数的零点与方程根的关系.【分析】通过韦达定理可求sin a cos a =, sin a cos a,=利用sin2a+coS2a =1则可得答案.【解答】解：••• cos a sin o是函数f (x)衆-tx+t (t € R)的两个零点，. sin a+cos a =t sin a cos a =t由sin2a+cos2a =1，得(sin +cos a) 2- 2sin a COS a,=即卩t2- 2t=1，解得t=.. sin2a =2sin a cos a =.2t= 故选：A.【点评】本题考查三角函数化简求值，注意同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题.10 .设F1, F2分别为双曲线C:的两个焦点，M, N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若△ AMN的面积为，则该双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M (x，x)，由题意，| MO|=c，则x=a,. M (a，b)，利用△ AMN 的面积为，建立方程，即可求出双曲线的离心率.【解答】解：设M (x，x)，由题意，| MO| =c，则x=a，. M (a，b)，•••△ AMN的面积为，4a2 (c2- a2) =C4,e4- 4e2+4=0,••• e=.故选D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.11. 已知点P (- 2,)在椭圆C：+=1 (a>b>0)上，过点P作圆C: x2+y2=2 的切线，切点为A,B,若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F,则a2+b2的值是( )A. 13B. 14C. 15D. 16【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意，以OP为直径的圆的方程为(x+1) 2+ (y-) 2=,与圆C：x2+y2=2 相减，可得直线AB的方程，求出c,再利用点P (-2,)在椭圆C: +=1 (a> b>0) 上，求出ai2=8, b2=7,即可求出ai2+b2的值.【解答】解：由题意，以OP为直径的圆的方程为(x+1) 2+ (y-) 2=.与圆C：x2+y2=2相减，可得直线AB的方程为2x- y+2=0,令y=0,可得x=- 1 ,• c=1,T =1,. a?=8, b2=7,. a2+b2=8+7=15,故选C.【点评】本题考查椭圆的方程与性质, 考查直线与圆的位置关系, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12. 已知f (x) =e x, g (x) =lnx,若 f (t) =g (s),则当s-1 取得最小值时，f(t)所在区间是( )A.( ln2, 1)B.(, ln2)C.(,)D.(,)【考点】指数函数的图象与性质.【分析】求出s- t=e a- lna,(a>0)，令h (a) =e a-，求出h (a)的最小值，验证即可.【解答】解：令 f (t) =g (s) =a,即&=|ns=a>0,••• t=lns, s=e a,••• s- t=e a- Ina, (a>0),令h (a) =e a-,则h' (a) =e a-,••• y=e a递增，y=递减，故存在唯一a=aj使得h' (a) =0,0v a v a o时，e a v, h' (a)v0,a>a o时，e a>, h' (a)>0,--h ( a) min=h (a0),即s- t取最小值是时，f (t) =a=a j,由零点存在定理验证-=0的根的围：a0=时，-v 0,a0=ln2 时，-> 0,故a°€(, In2),故选：B.【点评】本题考查了函数的零点问题，考查函数的单调性以及导数的应用，是一道中档题.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. (x2+1)() 5的展开式的常数项为 -11 . 【考点】二项式定理的应用.【分析】把()5按照二项式定理展开，可得(x2+1)() 5的展开式的常数项.【解答】解：由于(x2+1)() 5= («+1)(- +- +- 1),故展开式的常数项为-10-仁-11,故答案为：-11.【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题.14. 已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为 _____ .【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【分析】至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人能译出密码的概率.【解答】解：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，•••至少有1人能译出密码的概率：P=1—( 1-)( 1-)=.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用.15. 已知直线mx - y+m+2=0 与圆Ci ：(x+1) 2+ (y- 2) 2=1 相交于A，B两点，点P是圆C2：( x- 3) 2+y2=5上的动点，则△ PAB面积的最大值是3 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，直线恒过定点(-1, 2)，即卩C1圆的圆心，|AB=2,圆心C2 到直线mx-y+m+2=0的最大距离为=2,可得P到直线mx- y+m+2=0的最大距离为3,即可求出厶PAB面积的最大值.【解答】解：由题意，直线恒过定点(-1，2)，即G圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mx-y+m+2=0的最大距离为=2，•P到直线mx-y+m+2=0的最大距离为3，•△ PAB面积的最大值是3=3，故答案为3.【点评】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题.16. 已知抛物线C：y2=4x，焦点为F,过点P (- 1，0)作斜率为k (k>0)的直线I与抛物线C交于A, B两点，直线AF, BF分别交抛物线C于M , N两点，若+=18，则k= ____ .【考点】直线与抛物线的位置关系.【分析】由题意，图形关于x轴对称，A, B, P三点共线，可得=.由焦半径公式| AF| =x i+1=| NF| ,|| BF| =x2+1=| MF| , +=+=18,（y i+y2）2=20y i y2，再利用韦达定理，即可得出结论.【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A, B, P三点共线，可得=.由焦半径公式| AF =x i+1=| NF| , || BF =x2+1=| MF| ,+=+=18,.・.（y1 +y2）2=20y1y2,由，可得ky2- 4y+4k=0,.y1+y2=, y1y2=4,. =80,■/ k> 0,. k=.故答案为.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题（共5小题，满分60分）17. （12分）（2017?模拟）数列｛a n｝中，a n+2 -2a n+1+a n=1 （n € N*） , a1=1, &=3..（1）求证：｛a n+1- a n｝是等差数列；（2）求数列｛｝的前n项和S n.【考点】数列的求和.【分析】（1 ）令C n=3n+1 —a n,通过C h+1 —C n=1，说明｛ a n+1 —a n｝是以2为首项，1 为公差的等差数列.（2）由（1）知C n=n+1，求出a n,化简==2 （—）.禾U用裂项求和求解即可.【解答】解：（1）证明：令C n=a n+1 —an ,则C n+1 —C n= （a n+2 —a n+1）—（a n+1 —a n）=a n+2 —2a n+1 +a n=1 （常数），C1=a2—a1, =2,故｛a n+1 —a n｝是以2为首项，1为公差的等差数列. •••（4分）（2）由（1）知c n=n+1，即a n+1 —a n=n+1,于是a n= (a n—a n-1) — ( an-1 - a n-2) +••+ (a2 —a i) +a i ==n+(n- 1) +-+2+1=, ••• (8分)故==2(-)．••• S n=2 (1 —) +2 ( — ) +2( — ) +-+2 (—)=2(1-)=．•(12分)【点评】本题考查数列求和，等差数列的判断，考查计算能力．18. ( 12分)(2017?模拟)已知在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,b, c，且a v b v c, C=2A(1)若c=a,求角A;(2)是否存在厶ABC恰好使a, b, c是三个连续的自然数？若存在，求△ ABC 的周长；若不存在,请说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1)由正弦定理有sinC=sinA又C=2A利用倍角公式可求2sinAcosA=sinA 结合sinA z 0,可得cosA=即可得解A的值.(2)设a=n, b=n+1, c=n+2, n€ N* .由已知利用二倍角公式可求cosA=,由余弦定理得二，解得n=4,求得a, b, c的值，从而可求△ ABC的周长.【解答】 (本题满分为12 分)解：(1)v c=a,•••由正弦定理有sinC=sinA ••- (2分)又C=2A 即sin2A=sinA于是2sinAcosA=sinA …(4 分)在厶ABC中，sinA z 0,于是cosA=,•A=. …( 6 分)(2)根据已知条件可设a=n, b=n+1 , c=n+2, n € N* .由C=2A 得sinC=sin2A=2sinAcosA•cosA=. …( 8 分) 由余弦定理得=，代入a，b，c 可得：=,…（10分）解得n=4，••• a=4, b=5, c=6,从而△ ABC的周长为15,即存在满足条件的△ ABC其周长为15. •••（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.19. （12 分）（2017?模拟）2016 年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，阻值方统计了来自A1，A2, A3, A4, A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1A2A3A4A5平均身高x （单位：170174176181179 cm)平均得分y62646670681 ）根据表中数据，求y 关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01)2）若M 队平均身高为185cm，根据（I）中所求得的回归方程，预测M 队的平均得分（精确到0.01）注：回归当初中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【考点】线性回归方程.【分析】（1）求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；（2）当x=185代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分. 【解答】解：（1）由已知有=176，=66，=~0.73, =- 62.48,••• y=0.73x- 62.48.…（10 分）（2）x=185,代入回归方程得y=0.73X 185 - 62.48=72.57,即可预测M队的平均得分为72.57. •••（12分）【点评】本题考查采用最小二乘法，求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．20. ( 12分)(2017?莫拟)已知椭圆C:的右焦点F (),过点F作平行于y 轴的直线截椭圆C所得的弦长为.( 1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1, 0)的直线I交椭圆C于P, Q两点，N点在直线x=- 1上，若△ NPQ是等边三角形，求直线I的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程.【分析】(I )设椭圆C的焦半距为c,则c=，于是a2- b2=6 .把x=c代入椭圆的标准方程可得：y=,即=，联立解出即可得出.(U)设直线PQ： x=ty+1, P (X1, y1), Q (x?, y2).联立直线与椭圆方程可得：(t2+4) y2+2ty - 7=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出.【解答】解：(I)设椭圆C的焦半距为c,则c=，于是a2- b2=6. 把x=c代入椭圆的标准方程可得：=1,整理得y2=b2(1 -)=，解得y=,•••=，即a2=2b4,••• 2b4- b2- 6=0,解得b2=2,或b2=-(舍去)，进而a2=8,•椭圆C的标准方程为+=1.(U)设直线PQ: x=ty+1 , P (X1, y1), Q (X2, y2).联立直线与椭圆方程：，消去x得：(t2+4) y2+2ty - 7=0,•y1+y2=-，y1y2=.于是x1+x2=t( y1+y2) +2=，故线段PQ的中点D.设N (- 1, y0)，由| NP| =| NQ|，则k ND?k PC F- 1,即=-t，整理得y0=t+,得N.又厶NPQ是等边三角形，•| ND| =| PQ| ,即,即+=,整理得=,解得t2=10，t=，•••直线I的方程是x-仁0.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.21. (12分)(2017?模拟)已知函数f(x) =+In x- 1 ( m€ R)的两个零点为x i,X2 ( X1V x2).( 1 )数m 的取值围；(2)求证：+ >.【考点】函数零点的判定定理.【分析】(1)求导数，分类讨论，利用函数f (x) =+lnx- 1 (m€ R)的两个零点，得出In2m -v 0，即可数m的取值围；(2)由题意方程m=有两个根为t1 , t2,不妨设t1 = , t2=,要证明+>,即证明t1+t2 >，即证明h (t1)v h (- t2).令(x) =h (x)- h (- x),证明© (x)v 0对任意x€( 0,)恒成立即可.【解答】(1)解：f (x)=.①m W 0, f( x)> 0, f (幻在(0, +x)上单调递增，不可能有两个零点；②m> 0, f'( x)> 0 可解得x> 2m, f'( x)v 0 可解得0v x v 2m,• f (x)在(0, 2m)上单调递减，在(2m, +^)上单调递增，•f( x) min =f(2m) =In2m-,由题意, In2m-v 0,•0v m v；( 2)证明：令t=, f() =mt- 2Int- 1=0,由题意方程m=有两个根为t1, t2,不妨设t1=, t2=.令h (t)=，则h' (t)=-,令h'(t)>0,可得0v t v,函数单调递增；h' (t)v0,可得t>，函数单调递减.由题意, t1>> t2> 0,要证明+>,即证明t1+t2>，即证明h (t1)v h (- t2).令© (x) =h (X)—h (-x),下面证明© (x)V 0对任意x€( 0,)恒成立，© '(X)=+,••• x€( 0,),lnx- 1 >0, x2v,••• ©'(x)>> 0,••• © (x)在(0,)上是增函数，• © (x)v © () =0,.原不等式成立．【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明．难度大．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22. ( 10分)(2017?莫拟)已知曲线C的参数方程是(a为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P (0, 2),以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p cos Op sin+2=0, Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线I的距离的最小值.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.【分析】(1)消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2)将直线I的方程化为普通方程为x+y+2=0.设Q (cos a sin a , J则M (cos a,1+sin )禾U用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线I的距离的最小值.【解答】解：(1)消去参数得，曲线C的普通方程得=1. …( 2)将直线I 的方程化为普通方程为x+y+2=0.设Q (cos o, sin ),贝U M (cos o^, 1+sin ),. d==,.最小值是. …( 10 分)点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化,考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[ 选修4-5 ：不等式选讲]23. (2017?模拟)已知函数f(x) =|x—1|+|x —t| (t € R)(1)t=2时，求不等式f (x)> 2的解集；(2)若对于任意的t €[1，2]，x€ [ - 1, 3] , f (x)> a+x恒成立，数a的取值围. 【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题.【分析】(1)通过讨论x的围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题等价于a<f (x)- x，令g (x) =f (x)- x，求出g (x)的最小值，从而求出 a 的围即可.【解答】解：(1)当t=2 时，f (x) =|x- 1|+| x-2|，若x< 1，则f (x) =3- 2x，于是由f (x)>2，解得x v，综合得x v；若1 v x v 2，则f (x) =1，显然f (x)>2不成立；若x>2，则f (x) =2x- 3，于是由f (x)>2，解得x>，综合得x> •••不等式f (x)> 2的解集为{x| x v，或x>}.(2) f (x)> a+x 等价于a< f (x)- x，令g (x) =f (x)- x，当-1 < x< 1 时，g (x) =1+t - 3x，显然g (x) min=g ( 1 ) =t - 2，当1 v x v t 时，g (x) =t- 1 - X，此时g (x)>g ( 1) =t- 2，当t < x< 3 时，g (x) =x- t - 1，g (x) min=g ( 1) =t - 2，•••当x€ [1，3]时，g ( x) min=t- 2，又••• t € [1, 2]，• - g ( x) min W- 1，即a W- 1，综上，a的取值围是a w - 1.【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题.。

2017年四川省绵阳市高考二诊数学理

2017年四川省绵阳市高考二诊数学理一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1.已知集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|(x-1)(x-3)＜0}，则A∩B=( )A.∅B.{2}C.{2，3}D.{x|2≤x＜3}解析：集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|(x-1)(x-3)＜0}={x|1＜x＜3}，则A∩B={2}.答案：B.2.若复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位)，则z的虚部为( )A.1 2B.1 2 -C.1 2 iD.1 2i -解析：由(1+i)z=i，得()()()1111 111222i ii iz ii i i-+=+++-＝＝＝，则z的虚部为：1 2 .答案：A.3.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A.25B.20C.12D.5解析：∵初级教师80人，∴抽取一个容量为50的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为80200＝n50，解得n=20，即初级教师人数应为20人，答案：B.4.“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直，则：a(a-1)+(a-1)(2a+3)=0，解得：a=1或-1，故“a=1”是“直线l1：ax+(a-1)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y-3=0垂直”的充分不必要条件. 答案：A.5.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为12，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A.30万元B.22.5万元C.10万元D.7.5万元解析：设该公司投资成功的各数为X，则X～B(3，1 2 ).∴()13322E X=⨯=.∴该公司三个投资项目获利的期望=32×(20-5)=22.5万元.答案：B6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n等于( )A.2B.3C.4D.5解析：当n=1时，152a =，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，454a =，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，1358a =，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，40516a =，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n 值为4. 答案：C.7.若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：112，232，则不超过200的“单重数”个数是( ) A.19 B.27 C.28 D.37解析：由题意，不超过200，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18个，两个数字一样为2，122，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述，不超过200的“单重数”个数是2+18+8=28. 答案：C.8.过点P(2，1)的直线l 与函数()2324x f x x +=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OP OB OP ⋅+⋅=( )B.C.5 D.10解析：()7232=1242x f x x x +=+--，∴函数()2324x f x x +=-的图象关于点P(2，1)对称，∴过点P(2，1)的直线l 与函数()2324x f x x +=-的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2，1)对称，∴=2OA OB OP +，则()22OA OP OB OP OP OA OB OP ⋅+⋅=⋅+＝，22OP =∴则=25=10OA OP OB OP ⋅+⋅⨯.答案：D.9.已知cos α，sin α是函数f(x)=x 2-tx+t(t ∈R)的两个零点，则sin2α=( )A.2-B.21D.1解析：∵cos α，sin α是函数f(x)=x 2-tx+t(t ∈R)的两个零点， ∴sin α+cos α=t ，sin αcos α=t ，由sin 2α+cos 2α=1，得(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1，即t 2-2t=1，解得t=1，或t=1+舍).∴sin2α=2sin αcos α=2t=2-答案：A.10.设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-＝(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为212c ，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2解析：设M(x ，bx a )，由题意，|MO|=c ，则x=a ，∴M(a ，b)， ∵△AMN 的面积为212c ，∴21124a b c ⋅⋅＝， ∴4a 2(c 2-a 2)=c 4， ∴e 4-4e 2+4=0，∴. 答案：D.11.已知点P(-2，142)在椭圆C ：22221x y a b+＝(a ＞b ＞0)上，过点P 作圆C ：x 2+y 2=2的切线，切点为A ，B ，若直线AB 恰好过椭圆C 的左焦点F ，则a 2+b 2的值是( )A.13B.14C.15D.16解析：由题意，以OP 为直径的圆的方程为()2215148x y ⎛++-= ⎝⎭. 与圆C ：x 2+y 2=2相减，可得直线AB 的方程为220x y -+=，令y=0，可得x=-1，∴c=1，∵227421a b+=，∴a 2=8，b 2=7， ∴a 2+b 2=8+7=15，答案：C.12.已知f(x)=e x ，g(x)=lnx ，若f(t)=g(s)，则当s-t 取得最小值时，f(t)所在区间是( ) A.(ln2，1) B.(12，ln2) C.(113e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，)D.112e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解析：令f(t)=g(s)=a ，即e t =lns=a ＞0， ∴t=lna ，s=e a ，∴s-t=e a -lna ，(a ＞0)，令h(a)=e a -lna ，()1a h a e a'=-∵y=e a 递增，1y a=递减，故存在唯一a=a 0使得h ′(a)=0，0＜a ＜a 0时，1a e a＜，h ′(a)＜0， a ＞a 0时，1a e a＞，h ′(a)＞0， ∴h(a)min =h(a 0)，即s-t 取最小值是时，f(t)=a=a 0，由零点存在定理验证0010ae a -=的根的范围： 012a =时，0010ae a -＜，a0=ln2时，0010ae a -＞，故a 0∈(12，ln2)，答案：B.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13. ()52111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为____.解析：由于()()5225432115101051111x x x x xx x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故展开式的常数项为-10-1=-11.答案：-11.14.已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为____. 解析：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码， ∴至少有1人能译出密码的概率：112111233p ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.答案：23.15.已知直线mx-y+m+2=0与圆C 1：(x+1)2+(y-2)2=1相交于A ，B 两点，点P 是圆C 2：(x-3)2+y 2=5上的动点，则△PAB 面积的最大值是____.解析：由题意，直线恒过定点(-1，2)，即C 1圆的圆心，|AB|=2 圆心C 2到直线mx-y+m+2=0=∴P 到直线mx-y+m+2=0的最大距离为 ∴△PAB面积的最大值是1235352⨯⨯=. 答案：.16.已知抛物线C ：y 2=4x ，焦点为F ，过点P(-1，0)作斜率为k(k ＞0)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AF ，BF 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若18AF BFFM FN +=，则k=____. 解析：由题意，图形关于x 轴对称，A ，B ，P 三点共线，可得121211y yx x =++. 由焦半径公式|AF|=x 1+1=|NF|，||BF|=x 2+1=|MF|， ∴122118AF BF y yFM FN y y +=+=，∴(y 1+y 2)2=20y 1y 2，由()241y x y k x ⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，可得ky 2-4y+4k=0， ∴124y y k +=，y 1y 2=4，∴21680k=， ∵k ＞0，∴k =三、解答题(共5小题，满分60分)17.数列{a n }中，a n+2-2a n+1+a n =1(n ∈N*)，a 1=1，a 2=3. (1)求证：{a n+1-a n }是等差数列； (2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n . 解析：(1)令c n =a n+1-a n ，通过c n+1-c n =1，说明{a n+1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知c n =n+1，求出a n ，化简()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.利用裂项求和求解即可.答案：(1)证明：令c n =a n+1-a n ，则c n+1-c n =(a n+2-a n+1)-(a n+1-a n )=a n+2-2a n+1+a n =1(常数)， c 1=a 2-a 1=2，故{a n+1-a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)知c n =n+1，即a n+1-a n =n+1，于是a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1==n+(n-1)+…+2+1=()12n n +，故()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. ∴111111121222223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） =1211n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21nn +.18.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，C=2A.(1)若c =，求角A ；(2)是否存在△ABC 恰好使a ，b ，c 是三个连续的自然数？若存在，求△ABC 的周长；若不存在，请说明理由.解析：(1)由正弦定理有s i n 2s i n C A =，又C=2A ，利用倍角公式可求2s i nc o 2s i n A A A =，结合sinA ≠0，可得cos 2A =，即可得解A 的值. (2)设a=n ，b=n+1，c=n+2，n ∈N*.由已知利用二倍角公式可求sin cos 2sin 2C cA A a=＝，由余弦定理得()()()()2221222122n n n n n n n+++-+=++，解得n=4，求得a ，b ，c 的值，从而可求△ABC 的周长.答案：(1)∵c =，∴由正弦定理有sin C A =.又C=2A ，即sin 2A A =，于是2sin cos A A A =，在△ABC 中，sinA ≠0，于是cos A =， ∴4A π=.(2)根据已知条件可设a=n ，b=n+1，c=n+2，n ∈N*. 由C=2A ，得sinC=sin2A=2sinAcosA ， ∴sin cos 2sin 2C cA A a=＝.由余弦定理得22222b c a cbc a+-=，代入a ，b ，c 可得：()()()()2221222122n n n n n n n+++-+=++，解得n=4，∴a=4，b=5，c=6，从而△ABC 的周长为15，即存在满足条件的△ABC ，其周长为15.19. 2016年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A 1，A 2，A 3，A 4，A 5等5个直属单位的男子篮球队的(1)根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程；(系数精确到0.01)(2)若M 队平均身高为185cm ，根据(1)中所求得的回归方程，预测M 队的平均得分(精确到0.01)注：回归当初y bx a +＝中斜率和截距最小二乘估计公式分别为()()()121ni ni xi x yi y b xi x ---∑∑＝＝＝，a y bx -＝.解析：(1)求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程； (2)当x=185代入回归直线方程，即可预测M 队的平均得分. 答案：(1)由已知有x =176，y =66，()()()121270.7337ni ni xi x yi y b xi x--=≈-∑∑＝＝＝，62.48a y bx -=＝， ∴y=0.73x-62.48.(2)x=185，代入回归方程得y=0.73×185-62.48=72.57，即可预测M 队的平均得分为72.57.20.已知椭圆C ：22221x y a b+＝(a ＞b ＞0)的右焦点，0)，过点F 作平行于y 轴的直线截椭圆C .(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(1，0)的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，N 点在直线x=-1上，若△NPQ 是等边三角形，求直线l 的方程.解析：(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ，则c=6，于是a 2-b 2=6.把x=c 代入椭圆的标准方程可得：2b y a =±，即222b a=，联立解出即可得出. (Ⅱ)设直线PQ ：x=ty+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).联立直线与椭圆方程可得：(t 2+4)y 2+2ty-7=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出. 答案：(Ⅰ)设椭圆C 的焦半距为c ，则，于是a 2-b 2=6.把x=c 代入椭圆的标准方程可得：22221c y a b +＝，整理得2422221c b y b a a⎛⎫⎪⎭= ⎝=-，解得2b y a=±，∴22b a=，即a 2=2b 4， ∴2b 4-b 2-6=0，解得b 2=2，或232b =-(舍去)，进而a 2=8， ∴椭圆C 的标准方程为22182x y +=. (Ⅱ)设直线PQ ：x=ty+1，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2). 联立直线与椭圆方程：22148x ty x y +⎧⎨+⎩＝＝，消去x 得：(t 2+4)y 2+2ty-7=0，∴12224t y y t +=-+，12274y y t -=+. 于是()12122824x x t y y t +=++=+，故线段PQ 的中点22444t D t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 设N(-1，y 0)，由|NP|=|NQ|，则k ND ·k PQ =-1，即0224414ty t t t ++=---+，整理得0234t y t t =++，得N(-1，234t t t ++). 又△NPQ 是等边三角形，∴ND =，即2234ND PQ ＝，即()222222224432711444444[]t t t t t t t t --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+⎝⎭，整理得()2222228248444t t t t ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=++，解得t 2=10，t=∴直线l 的方程是x21.已知函数()1ln 12m f x x x =+-(m ∈R)的两个零点为x 1，x 2(x 1＜x 2). (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：12112x x e+＞. 解析：(1)求导数，分类讨论，利用函数()1ln 12m f x x x =+-(m ∈R)的两个零点，得出112022ln m -＜，即可求实数m 的取值范围； (2)由题意方程ln 22t m t+=有两个根为t 1，t 2，不妨设111t x =，221t x =，要证明12112x x e +＞，即证明122t t e +＞，即证明h(t 1)＜h(2e -t 2).令φ(x)=h(x)-h(2e-x)，证明φ(x)＜0对任意x ∈(0，1e)恒成立即可.答案：(1)()222x m f x x -'=. ①m ≤0，f ′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，不可能有两个零点；②m ＞0，f ′(x)＞0可解得x ＞2m ，f ′(x)＜0可解得0＜x ＜2m ，∴f(x)在(0，2m)上单调递减，在(2m ，+∞)上单调递增，∴()()min 112ln 222f x f m m ==-，由题意，112022ln m -＜， ∴0＜m ＜2e ； (2)证明：令t=1x ，11ln 102f mt t x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，由题意方程ln 22t m t+=有两个根为t 1，t 2，不妨设111t x =，221t x =. 令h(t)=ln 22t t +，则h ′(t)=212lnt t+-，令h ′(t)＞0，可得0＜t ＜1e ，函数单调递增；h ′(t)＜0，可得t ＞1e，函数单调递减. 由题意，t 1＞1e ＞t 2＞0，要证明12112x x e +＞，即证明122t t e +＞，即证明h(t 1)＜h(2e-t 2). 令φ(x)=h(x)-h(2e-x)，下面证明φ(x)＜0对任意x ∈(0，1e )恒成立， ()222ln 1ln 1222x x e x x x e ϕ-----'=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵x ∈(0，1e)， ∴-lnx-1＞0，222x x e ⎛-⎫ ⎪⎝⎭＜， ∴()22ln 2022x x e x x e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ --+⎝--⎪⎭'＞＞，∴φ(x)在(0，1e)上是增函数，∴φ(x)＜φ(1e)=0，∴原不等式成立.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C的参数方程是sinxyαα⎧⎪⎨⎪⎩＝(α为参数)(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy中，P(0，2)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin0ρθθ+=，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.解析：(1)消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2)将直线l的方程化为普通方程为0x++=.设Q(cosα，sinα)，则M11sin22αα⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.答案：(1)消去参数得，曲线C的普通方程得2213xy+=.(2)将直线l的方程化为普通方程为0x++=.设cosα，sinα)，则M11sin2αα⎫+⎪⎪⎝⎭，，∴d==，∴最小值是6364-.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-1|+|x-t|(t∈R)(1)t=2时，求不等式f(x)＞2的解集；(2)若对于任意的t∈[1，2]，x∈[-1，3]，f(x)≥a+x恒成立，求实数a的取值范围.解析：(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2)问题等价于a≤f(x)-x，令g(x)=f(x)-x，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可.答案：(1)当t=2时，f(x)=|x-1|+|x-2|，若x≤1，则f(x)=3-2x，于是由f(x)＞2，解得x＜12，综合得x＜12；若1＜x＜2，则f(x)=1，显然f(x)＞2不成立；若x≥2，则f(x)=2x-3，于是由f(x)＞2，解得x＞52，综合得x＞52∴不等式f(x)＞2的解集为{x|x＜12，或x＞52}.(2)f(x)≥a+x等价于a≤f(x)-x，令g(x)=f(x)-x，当-1≤x≤1时，g(x)=1+t-3x，显然g(x)min=g(1)=t-2，当1＜x＜t时，g(x)=t-1-x，此时g(x)＞g(1)=t-2，当t≤x≤3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1)=t-2，∴当x∈[1，3]时，g(x)min=t-2，又∵t∈[1，2]，∴g(x)min≤-1，即a≤-1，综上，a的取值范围是a≤-1.。

2016-2017学年四川省绵阳中学高三(上)入学数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省绵阳中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a＝（）A．﹣2B．4C．﹣6D．63．（5分）设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）＝P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（）A．1B．C．5D．94．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e5．（5分）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k＝（）A．2B．﹣4C．﹣2D．46．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则ω＝4x•2y的最大值是（）A．100B．240C．500D．5128．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）9．（5分）把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（）A．B．C．D．10．（5分）8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有（）A．C83B．C83A83C．C83A22D．3C8311．（5分）如图，正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．12．（5分）过点A（2，1）做曲线f（x）＝x3﹣3x的切线，最多有（）A．3条B．2条C．1条D．0条二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．14．（4分）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为．15．（4分）已知复数z＝x+yi，且|z﹣2|＝，则的最大值为．16．（4分）已知实数x，y满足x﹣＝﹣y，则x+y的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（Ⅰ）求证：PD⊥平面P AB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱P A上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．2016-2017学年四川省绵阳中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝（0，+∞），B＝{x|x2﹣1＜0}＝（﹣1，1），∴A∪B＝（0，+∞）∪（﹣1，1）＝（﹣1，+∞）．故选：C．2．【解答】解：化简可得复数＝＝，由纯虚数的定义可得a﹣6＝0，2a+3≠0，解得a＝6故选：D．3．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ＝2，P（ξ＞a+2）＝P（ξ＜2a﹣3），则：，解得a＝．故选：B．4．【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．5．【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k＝4．故选：D．6．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图所示，ω＝4x•2y＝22x•2y＝22x+y，设z＝2x+y，即y＝2x﹣z，由图象可知当直线经过点C时，直线y＝2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得：，即C（3，3），此时z的最大值为z＝6+3＝9，则ω＝4x•2y的最大值是29＝512，故选：D．8．【解答】解：∵若命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0．命题p是假命题，则¬p是真命题，说明方程x2+ax+a≥0恒成立，∴△＝a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，故选：A．9．【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P（A）＝，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝，故选：A．10．【解答】解：从8人中任选3人有C83种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C83A22种．故选：C．11．【解答】解：∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，连接BD，A1C，相交于O，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD∴AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设正方形的棱长为1，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0），＝（0，0，）是平面BCD的一个法向量．＝（，0，﹣），＝（，，0），＝（﹣，，0）设平面ACD的法向量＝（x，y，z），则，即，即，令x＝1，则y＝1，z＝1，解得＝（1，1，1）．从而|cos＜，＞|＝＝＝，二面角A﹣CD﹣B的余弦值为，故选：B．12．【解答】解：设切点为P（x0，x03﹣3x0），f′（x0）＝3x02﹣3，则切线方程y﹣x03+3x0＝（3x02﹣3）（x﹣x0），代入A（2，1）得，2x03﹣6x02+7＝0．令y＝2x03﹣6x02+7＝0，则由y′＝0，得x0＝0或x0＝2，且当x0＝0时，y＝7＞0，x0＝2时，y＝﹣1＜0．所以方程2x03﹣6x02+7＝0有3个解，则过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3﹣3x的切线的条数是3条．故选：A．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ•＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．14．【解答】解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x＝1，得3n＝729，解得n＝6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1＝＝，由6﹣＝2，得r＝3．∴该展开式中x2的系数为＝8×＝160．故答案为：160．15．【解答】解：，即（x﹣2）2+y2＝3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．16．【解答】解：∵，∴x+y＝+≤2则（x+y）2≤2（x+y+4）解得：﹣2≤x+y≤4∴x+y的最大值为4故答案为：4三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝10）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝20）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝＝，P（ξ＝30）＝××＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝0×+10×+20×+30×＝．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）＝＝，P（B）＝××＝，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）＝P（A）+P（B）＝＝．18．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ＝2a cosθ，可得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2＝2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2＝0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）＝0 （*）△＝8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2＝|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2＝|t1t2|．由（*）得t1+t2＝2（4+a），t1t2＝8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）＝0，得a＝1，或a＝﹣4．因为a＞0，所以a＝1．10分19．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD，又PD⊥P A，且P A∩AB＝A，∴PD⊥平面P AB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD＝AC＝，∴CO⊥AD，又∵P A＝PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则＝；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．。

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2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．（5分）以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），则事件M和N互斥．A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．136．（5分）将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数7．（5分）长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A． B．C．4 D．39．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．360011．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P 在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）14．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）•cosC=c•cosA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin2+2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．19．（12分）4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如表列联表：（Ⅰ）根据如表，能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E （ξ）．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．下列的临界值表供参考：20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，若圆x 2+y 2=a 2被直线x ﹣y ﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A 、B 为动直线y=k （x ﹣1），k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得•为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=e x （其中e 为自然对数的底数），g （x ）=x +m （m ，n ∈R ）．（1）若T （x ）=f （x ）g （x ），m=1﹣，求T （x ）在[0，1]上的最大值；（2）若m=﹣，n ∈N *，求使f （x ）的图象恒在g （x ）图象上方的最大正整数n ．[注意：7＜e 2＜]．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．23．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．2017年四川省绵阳中学实验学校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥﹣1}，则M∩N={x|x≥﹣1}，故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），则事件M和N互斥．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为=20，故①错；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，），故②对；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内的概率为0.5﹣0.1=0.4，可得在（2，3）内的概率为0.4，故③对；④若事件M和N满足关系P（M∪N）=P（M）+P（N），由P（M∪N）=P（M）+P（N）+P（M∩N），可得P（M∩N）=0，即有M，N不可能同时发生，所以事件M与N的关系是互斥的．故④对．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．6．（5分）将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．7．（5分）长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设小典到校的时间为x，小方到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x ≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小典比小方至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S=×15×15，由几何概率模型可知小典比小方至少早5分钟到校的概率△ABC为=，故选：A．8．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A． B．C．4 D．3【解答】解：由三视图可知：该几何体如图所示===3，S△ABC==2．=×=．则该三棱锥的四个面的面积中最大的是△D1AC．故选：A．9．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故选：B．10．（5分）在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．3600【解答】解：由题意，甲电台记者选1名，乙电视台记者选3人，不同的提问方式的种数为=1200；甲电台记者选2名，乙电视台记者选2人，不同的提问方式的种数为=1200，总共不同的提问方式的种数为2400，故选：B．11．（5分）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P 在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t=f（x）﹣xe x，则f（x）=xe x+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe x，所以f′（x）=（x+1）e x，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．14．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为2．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故答案为：2．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，即y=f′（x）在点P i（x i，f（x i））处的值相等．∵当x≤0时，f′（x）=﹣2x+2a﹣2≥2a﹣2，∴当x＞0时，f′（x）必须满足，，∴﹣1＜a＜2，故答案为（﹣1，2）三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）•cosC=c•cosA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin2+2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．【解答】解：（I）∵（2b﹣a）•cosC=c•cosA，由正弦定理可得：（2sinB﹣sinA）•cosC=sinC•cosA，化为：2sinB•cosC=sin（C+A）=sinB，∵sinB≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴C=．（II）y=﹣4sin2+2sin（C﹣B）=（1﹣cosA）+2sin=sinA+cosA ﹣2=2﹣2，∵A∈，∴∈，∴当A+=，即A=时，y确定最大值2﹣2，此时B=，因此△ABC为直角三角形．18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．19．（12分）4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如表列联表：（Ⅰ）根据如表，能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E （ξ）．参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．下列的临界值表供参考：【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算随机变量 K 2==≈6.667＞6.635，所以能有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系；（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2，则P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==；所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，若圆x 2+y 2=a 2被直线x ﹣y ﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点A 、B 为动直线y=k （x ﹣1），k ≠0与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得•为定值？若存在，试求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x﹣y﹣=0的距离d==1，【解答】解：∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x 1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣1）（x2﹣1）=（1+k2）x1•x2﹣（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•﹣（m+k2）+m2+k2=，令2m2﹣4m+1=2（m2﹣2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．21．（12分）已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．【解答】解：（1）T（x）=f（x）g（x）=e x（x+m）=e x（x+1﹣）；故T′（x）=e x（x+1）；则当n≥﹣2时，T′（x）≥0；故T（x）在[0，1]上的最大值为T（1）=e；当n＜﹣2时，x∈[0，﹣）时，T′（x）＞0；x∈（﹣，1]时，T′（x）＜0；T（x）在[0，1]上的最大值为T（﹣）=﹣；（2）由题意，f（x）=e x，g（x）=x﹣；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0恒成立；F′（x）=e x﹣；故F（x）在（﹣∞，ln）上是减函数，在（ln，+∞）上是增函数；故可化为F（ln）＞0；即（1﹣ln）+＞0；令G（n）=（1﹣ln）+；故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的减函数，而G（2e2）=﹣e2+＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；故最大正整数n为14．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2y=0．直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t可得普通方程：x+y﹣3﹣=0．（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t2﹣3t+4=0，则t1+t2=3，t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3．23．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式f（x）=|2x+|﹣|x﹣|≤3x，等价于①；或②；或．解①求得﹣≤x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥﹣}．（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|，即2（|2x+|+2|x﹣|）+1＜|1﹣b|，即|4x+1|+|4x﹣6|+1＜|1﹣b|．由于|4x+1|+|4x﹣6|≥|（4x+1）﹣（4x﹣6）|=7，∴|1﹣b|＞7+1的解集为∅，即|1﹣b|≤8恒成立，∴﹣8≤b﹣1≤8，即﹣7≤b≤9，即要求的实数b的取值范围为[﹣7，9]．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。