，又因为a =2b =，所以在ABC ?
中，由正弦定理得：
2=sin A sin 45
，解得 1sin A 2
=，又
解决三角形问题的能力，属于中档题。
（16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的
弦长为l 垂直的直线的方程为 ．
【答案】x+y-3=0
【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：
22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为
（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直
线方程为
x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解
决直线与圆问题的能力。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
（17）（本小题满分12分）
已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x π????π??=+-+ ???
＜＜，其图象过点
（
π6,12）． （Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标不变，得到函数()g y x =的图象，求函数()g x 在[0,
π4
]上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（π6,12），所以有 1122=()21sin 2sin cos cos sin 06622πππ????π???+-+ ???
＜＜，即有
()31cos cos 02????π=
+-＜＜=sin (+)6π?，所以+62ππ?=，解得3π?=。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π
?=，所以
()()211sin 2sin cos cos sin 0233223f x x x ππππ?π??=+-+ ???
＜＜
=211cos x-424
=11+cos 2x 1sin2x+-=4224?1sin (2x+)26
π， 所以()g x =
1sin (4x+)26π，因为x ∈[0, π4]，所以4x+6π∈5[,]66
ππ， 所以当4x+62ππ=时，()g x 取最大值12；当4x+6π=566ππ或时，()g x 取最小值14。 【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及
三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。
（18）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =211
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
11
2721026a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22
?=2n +2n 。
第 7 页 共 12 页
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1
?， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1?-=11(1-)=4n+1?n 4(n+1)
， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n 4(n+1)。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟
练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
（19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P —ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC
∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB =22，BC =2AE =4，三角形
P AB 是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：因为∠ABC =45°，AB =22，BC =4，所以
在ABC ?中，由余弦定理得：222AC =(22)+4-2224cos 45=8??，解得AC=22，
所以222
AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又P A ⊥平面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，
又PA AC A ?=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB ∥CD ，所以AC CD ⊥平面P ，又因为 CD CD ?平面P ，所以平面PCD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面P AC ，所以在平面P AC 内，过点A 作AH C ⊥P 于H ，
则
AH CD ⊥平面P ，又AB ∥CD ，AB ?平面CD P 内，所以AB 平行于平面CD P ，所以点A
到平面CD P 的距离等于点B 到平面CD P 的距离，过点B 作BO ⊥平面CD P 于点O ，则
PBO ∠为所求角，且AH=BO ，又容易求得AH=2，所以1sin PBO=2
∠，即PBO ∠=30，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC CD ⊥平面P ，所以AC CD ⊥，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是
直角梯形，又容易求得DE 2=，AC=22，所以四边形ACDE 的面积为
1222232
+?=（），所以
四棱锥P —ACDE 的体积为133?=。
【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积
计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
（20）（本小题满分12分）
某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：
① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分、2分、3分、
6分，答错任一题减2分；
② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当
累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足
14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一
轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③ 每位参加者按问题,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为
3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ.
【解析】(Ⅰ)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮
的概率为1-（1111242423?+??+312423??=）1324
； （Ⅱ）ξ可能取2，3，4，则
P(=2)=ξ1142?=18
；P(=3)=ξ312423??+311423??+111423??=1024； P(=4)=ξ312+423??112423??311423??=1124
， 所以ξ的分布列为 ξ
2 3 4 ()P ξ 18 1024 1124
数学期望E ξ=128?+10324?+4?1124=103。 【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以
及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。
（21）（本小题满分12分）
第 9 页 共 12 页 如图，已知椭圆222
21(0)x y a b a b +=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为
该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·
1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不
存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =22a c =，又22a c +=21)，所以可解得22a =2c =，所以2
224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22
184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所
以该双曲线的标准方程为
22144
x y -=。 （Ⅱ）设点P （0x ，0y ），则1k =002y x +，2k =002y x -，所以12·k k =002y x ?+002
y x -= 20204
y x -，又点P （0x ，0y ）在双曲线上，所以有2200144x y -=，即22004y x =-，所以 12·k k =20204
y x -=1。
（Ⅲ）假设存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，则由（Ⅱ）知12·
1k k =，所以设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k
=+， 由方程组22(2)18
4y k x x y =+???+=??消y 得：2222(21)8880k x k x k +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则由韦达定理得：21228,21k x x k -+=+212288,21
k x x k -=+ 所以
22)21k k ++，同理可得
221)121k k +
?+
=22)2k k ++， 又因为·AB CD AB CD λ+=，所以有11||||AB CD λ=+
2
2
28=，所以存在常数
λ8=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线
的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，
(22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+
-()a R ∈. (Ⅰ)当12
a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14
a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使 12()()f x g x ≥，求实数
b 取值范围.
【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+∞），因为 '
211()-x a f x a x -=-=22-ax +x+a-1x ，所以
当0a =时，'2x-1()f x x =，令'2
x-1()>0f x x =得x>1，所以 此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；
第 11 页 共 12 页 当12a =时，'()f x =2211-x +x+-122x
?=22-x +2x-12x =22-x-102x ≤（），所以 此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数；
当<0a 时，令'
()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1x>1x<-1a 或（舍去），此时函数
f(x)在（1，+∞）
上是增函数；在（0，1）上是减函数； 当10<<2a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得11，此时函数 f(x)在（1，1-1)a 上是增函数；在（0，1）和1-1a
（，+∞）上是减函数； 当1<<12a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1-1，此时函数 f(x)在1-1a （，1）上是增函数；在（0，1-1a
）和1（，+∞）上是减函数； 当1a ≥时，由于1-10a
≤，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，可解得01x <<，此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+∞）上是减函数。
（Ⅱ）当14
a =
时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，
即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922
bx x ≥+，即9
22b x x
≥+∈1117[,]24， 所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11[,)4
+∞。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的
数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、
g x在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。利用二次函数知识或分离常数法求出()
