2021_2022学年高中数学第四章定积分1定积分的概念课件北师大版选修2_2
高中数学第四章定积分1定积分的概念教材习题点拨北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教材习题点拨 北师大版选修2-2
练习1(P76)
解:(1)如图所示:
（2）将区间［0，1］分成10等份，每一等份的长度为Δx=0.1.
过剩估计值S1=(1.0+2.0+3.0+„+9.0+1)×0.1
≈0.710 5,
不足估计值s1=(0+1.0+2.0+„+9.0)×0.1
≈0.610 5,
过剩估计值与不足估计值之差为S1-s1≈0.710 5-0.610 5=0.1,
所以,估计值误差不超过0.1.
练习2(P81)
解:将区间［0,5］分成10等份,每一等份的长度为0.5.
过剩估计值S1=(20×0.5+20×1+20×1.5+„20×4.5+20×5)×0.5
=275,
不足估计值s1=(20×0+20×0.5+20×1+„+20×4.5)×0.5=225,
过剩估计值与不足估计值之差为S1-s1=275-225=50,
所以,估计误差不超过50.
练习(P80)
解:(1)如图a中阴影部分所示;(2)如图b中阴影部分所示;(3)如图c中阴影部分所示.
a b c
思路分析:(1)曲边梯形面积由曲线y=x2,x=1和x轴围成;(2)曲边梯形面积由曲线y=lnx,x=2和x轴围成;(3)曲边梯形面积由曲线y=ex,x=-1和x轴、y轴围成.
习题41(P80)
A组
1.解:图中将区间[0,10]等分成10等份,每个小区间的长度为Δx=1,
过剩估计值S1=(1+2+2.6+3+2.8+2.3+2+2.5+3.5+5)×1=26.7,
不足估计值s1=(0+1+2+2.6+3+2.8+2.3+2+2.5+3.5)×1=21.7,
过剩估计值与不足估计值之差为S1-s1=26.7-21.7=5, 2 所以,估计值误差不超过5.
要得到估计误差不超过1的估计值,就需要把曲线分成更多的等份.
【K12教育学习资料】高中数学第四章定积分4.1定积分的概念曲边梯形的面积教案北师大版选修2_2
教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 1 - 曲边梯形的面积
一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点：
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
1、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()yfx在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()yfx称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2、新课探析
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例题：求图中阴影部分是由抛物线2yx，直线1x以及x轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集
专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 2 - 为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
12yxxyO0.10.20.40.60.8
把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
高中数学第四章定积分1定积分的概念例题与探究北师大版选修2-2讲义
1 高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念例题与探究 北师大版选修2-2
高手支招3综合探究
1.正确理解定积分的概念及其几何意义.
(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即abf(x)dx=abf(u)du=abf(t)dt„„(称为积分形式的不变性),另外定积分abf(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如f(x2+1)dx与03f(x2+1)dx的值就不同.
(2)abf(x)dx、ab|f(x)|dx与|abf(x)dx|在几何意义上有不同的含义,绝不能同等看待,由于被积函数f(x)在闭区间[a,b]上可正可负,也就是它的图像可以在x轴上方,也可以在x轴下方,还可以在x轴的上下两侧,所以abf(x)dx表示介于x轴,函数f(x)的曲线及直线x=a,x=b(a≠b)之间的各部分面积的代数和;而|f(x)|是非负的,所以ab|f(x)|dx表示在区间[a,b]上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面积;而|abf(x)dx|则是abf(x)dx的绝对值,三者的值一般情况下是不同的.
2.定积分性质的常用推论.
推论1.若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则
abf(x)dx≤abg(x)dx.
推论2.|abf(x)dx|≤ab|f(x)|dx.
3.估值定理及其证明.
设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值分别为m与M,则m(b-a)≤abf(x)dx≤M(b-a).
证明:因为m≤f(x)≤M,由性质推论1得 2 abmdx≤abf(x)dx≤abMdx.
即mabdx≤abf(x)dx≤Mabdx,
故m(b-a)≤abf(x)dx≤M(b-a).
利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围.
高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大版选修2-2资料
1 高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念同步练习 北师大版选修2-2
高手支招6体验成功
基础巩固
1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=21x,y=0围成的图形的面积.
解:在[2,3]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间[2,2+n1],[2+n1,2+n2]…[2+
nn1,3],记第i个区间为[2+ni1,2+ni](i=1,2,…,n),其长度为Δx=n1.
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS1、ΔS2、…ΔSn,显然S=niiS1,设f(x)=21x,如图所示,当n很大时,Δx很小,在区间[2+ni1,2+ni]上,可以认为函数f(x)=21x的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξi=)2)(12(nini处的函数值f(ξi)=)2)(12(1nini,这样在区间[2+ni1,2+ni]上,用小矩形面积ΔS′i近似地代替ΔSi,则有ΔSi≈ΔS′i=f(ξi)·Δx=)2)(12(nini·n1=(i=1,2,…,n).
∴Sn=ni1ΔS′i=ni1f(ξi)·n1=n1［3)12(1)22)(12(1)12(21nnnnn］
=2161312131121221121121nnnnn.
思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.
2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时2 刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.
解:s=05v(t)dt=nk1(n5·k）3·n5(n→∞)=nk1445n·k3(n→∞)
=445n［2)1(nn］2(n→∞)=454≈156.25(米）.
高中数学第四章定积分4.3.1平面图形的面积教案北师大版选修2-2(2021年整理)
陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
1 / 61 陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
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陕西省石泉县高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积教案 北师大版选修2-2
2 / 62 3。1平面图形的面积
课标要求 初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
三维目标 （一）知识与能力：
1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理;
3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。
（二)过程与方法：
借助于几何直观定积分的基本思想，感受在其数学中的渗透.
（三）情感态度与价值观：
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
教材分析 本节的主要内容是展现定积分的实际背景，形成定积分的概念。教材设计了3个实例求曲边梯形面积、根据物体运动的速度求路程、求物体拉力做的功，通过这些问题的解决，总结这些问题的解决思路即通过分割求和、加细、减小误差,然后再研究提高精确度的过程，这个过程是定积分思想的核心,为定积分概念的引人奠定了背景和方法的基础。
高中数学第四章定积分1定积分的概念例题与探究北师大版选修2-2讲义 2
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念例题与
探究 北师大版选修2-2
高手支招3综合探究
1.正确理解定积分的概念及其几何意义.
(1)定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分上、下
限,而与积分变量用什么字母表示无关,即f(x)dx=f(u)du=f(t)dt……(称为积
分形式的不变性),另外定积分f(x)dx与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分
区间,定积分的积分限不同,所得的值也不同,例如f(x2+1)dx与f(x2+1)dx的
值就不同.
(2)f(x)dx、|f(x)|dx与|f(x)dx|在几何意义上有不同的含义,绝不能同等看待,
由于被积函数f(x)在闭区间[a,b]上可正可负,也就是它的图像可以在x轴上
方,也可以在x轴下方,还可以在x轴的上下两侧,所以f(x)dx表示介于x轴,函
数f(x)的曲线及直线x=a,x=b(a≠b)之间的各部分面积的代数和;而|f(x)|是非
负的,所以|f(x)|dx表示在区间[a,b]上所有以|f(x)|为曲边的正曲边梯形的面
积;而|f(x)dx|则是f(x)dx的绝对值,三者的值一般情况下是不同的.
2.定积分性质的常用推论.
推论1.若在区间[a,b]上,f(x)≤g(x),则
f(x)dx≤g(x)dx.
推论2.|f(x)dx|≤|f(x)|dx.
3.估值定理及其证明.
设函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值分别为m与M,则m(b-
a)≤f(x)dx≤M(b-a).
证明:因为m≤f(x)≤M,由性质推论1得
mdx≤f(x)dx≤Mdx.
即mdx≤f(x)dx≤Mdx,
故m(b-a)≤f(x)dx≤M(b-a).
利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出
积分值的大致范围.
4.利用定积分的定义求变速直线运动的路程.
运动的物体做变速直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),欲求物体在t=0
到t=t0这段时间内所经过的路程s,可以采用先分割,再近似代替,然后作和,