高中数学北师大版选修2-2同步配套课件：第四章 §1 定积分的概念
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高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
最新北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用课件05301精
10.04.2021
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉
长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇：s，速
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那一把 蒲 扇 。 蒲 扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡，每 逢进入 夏 天 ， 集 市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一把， 忽闪忽 闪个不 停 ， 嘴 里 叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下，或 站着， 或随即 坐在石 头 上 ， 手 持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围跑跑 跳跳， 热得满 头大汗 ，不时 听 到 “ 强 子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子们才 不听这 一套， 跑个没 完，直 到累气 喘 吁 吁 ， 这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母亲总 是，好 似生气 的样子 ，边扇 边训， “你看
B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速
作业：
1、如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉
长6cm,需做功（A）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
略解：设 Fkx则由题可得 。
k 100
所以做功就是求定积分
0.06
100xdx0.18
0
说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，
并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=
b点，则变力F(x) 所做的功为:
10.04.2021
W＝
b
F(x)dx
a
2、物体 A 以速度 v 3t 2 1在一直线上运动， 在此直线上与物体 A 出发的同时，物体 B 在
物体 A 的正前方 5m 处以 v 10t 的速度与 A 同 向运动，问两物体何时相遇：s，速
进 入 夏 天 ，少 不了一 个热字 当头， 电扇空 调陆续 登场， 每逢此 时，总 会想起 那一把 蒲 扇 。 蒲 扇 ，是记 忆中的 农村， 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡，每 逢进入 夏 天 ， 集 市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ，不论 男女老 少，个 个手持 一把， 忽闪忽 闪个不 停 ， 嘴 里 叨 叨着“ 怎么这 么热” ，于是 三五成 群，聚 在大树 下，或 站着， 或随即 坐在石 头 上 ， 手 持 那把扇 子，边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围跑跑 跳跳， 热得满 头大汗 ，不时 听 到 “ 强 子 ，别跑 了，快 来我给 你扇扇 ”。孩 子们才 不听这 一套， 跑个没 完，直 到累气 喘 吁 吁 ， 这 才一跑 一踮地 围过了 ，这时 母亲总 是，好 似生气 的样子 ，边扇 边训， “你看
B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段速
高中数学 第四章 定积分章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大版选修2-2.pptx
知
识 核心要点
整
归纳
合
与测
测
1
2
一、定积分 1．定积分的概念：
b
af(x)dx 叫函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx 表示的是 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
3
3．定积分的性质：
5
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
4
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
6
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
识 核心要点
整
归纳
合
与测
测
1
2
一、定积分 1．定积分的概念：
b
af(x)dx 叫函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx 表示的是 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
3
3．定积分的性质：
5
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
4
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
6
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用 课件
s
2
)
，到达 C 点速度达 2 4 m
s
， 从 ，在
C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做
s
后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m
s
B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
2013-4-2
3.A、 两站相距 7 .2 k m ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动)，经过 t 2
2
度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)
t 0
( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t
变式题 以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为v
40 10t
(单位: m
s
),问多少秒后物体达到最
高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
2013-4-2
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
(t
0
2
4t 3) d t
2
4
,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3
3 1
(2)
S
1 0
( t 4 t 3) d t |
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.
2
)
，到达 C 点速度达 2 4 m
s
， 从 ，在
C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做
s
后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m
s
B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
2013-4-2
3.A、 两站相距 7 .2 k m ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动)，经过 t 2
2
度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)
t 0
( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t
变式题 以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为v
40 10t
(单位: m
s
),问多少秒后物体达到最
高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
2013-4-2
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
(t
0
2
4t 3) d t
2
4
,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3
3 1
(2)
S
1 0
( t 4 t 3) d t |
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.
北师大数学选修2-2配套课件：第四章 定积分 §2
a
通常称 F(x)是 f(x)的一个_原__函__数___．
(2)在计算定积分时，常常用符号 F(x)|ba来表示 F(b)－F(a)，牛顿—莱布尼茨 公式也可写作bf(x)dx＝F(x)|ba＝___F_(_b_)－__F__(a_)__．
a
(3)微积分基本定理表明，计算定积分bf(x)dx 的关键是找出满足 F′(x)＝f(x) a
•“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯 形”面积的计
•算，能否利用匀速直线运动的知识解决变
1．微积分基本定理的内容 设 f(x)在区间[a，b]上连续，且 F(x)是它在该区间上的一个原函数，则有bf(x)dx
a
＝__F_(_b_)_－__F_(_a_)_． 2．牛顿—莱布尼茨公式 (1)bf(x)dx＝F(b)－F(a)＝F(x)|ba.
(cos x＋ex)dx.
0
1
• [思路分析] 根据微积分基本定理，关键求 相[解析应] 被(1)∵积(x2函＋3x数)′＝的2x一＋3，个原函数．
∴1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4. 0
(2)∵(t－t44)′＝1－t3，
1
∴－2
(1－t3)dt＝(t－t44)|－1 2
＝1－14－[－2－－424]＝7－14＝247.
(4)1x的原函数＝____l_n_|x_|_＋__c_____ (x≠0)；
(5)ex 的原函数＝__e_x_＋__c__；
• (6)ax的原函lanxa数＋c＝_______；
• (7)cosx的原函sin数x＋c＝ ________ ；
• (8)sinx的原函－co数sx＋＝c __________. • 4．求定积分的方法主要有：定①义利用定积分 几何的意_义_____；微积②分基利本定用理定积分的_________；③
通常称 F(x)是 f(x)的一个_原__函__数___．
(2)在计算定积分时，常常用符号 F(x)|ba来表示 F(b)－F(a)，牛顿—莱布尼茨 公式也可写作bf(x)dx＝F(x)|ba＝___F_(_b_)－__F__(a_)__．
a
(3)微积分基本定理表明，计算定积分bf(x)dx 的关键是找出满足 F′(x)＝f(x) a
•“曲边梯形”面积的计算转化为“直边梯 形”面积的计
•算，能否利用匀速直线运动的知识解决变
1．微积分基本定理的内容 设 f(x)在区间[a，b]上连续，且 F(x)是它在该区间上的一个原函数，则有bf(x)dx
a
＝__F_(_b_)_－__F_(_a_)_． 2．牛顿—莱布尼茨公式 (1)bf(x)dx＝F(b)－F(a)＝F(x)|ba.
(cos x＋ex)dx.
0
1
• [思路分析] 根据微积分基本定理，关键求 相[解析应] 被(1)∵积(x2函＋3x数)′＝的2x一＋3，个原函数．
∴1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4. 0
(2)∵(t－t44)′＝1－t3，
1
∴－2
(1－t3)dt＝(t－t44)|－1 2
＝1－14－[－2－－424]＝7－14＝247.
(4)1x的原函数＝____l_n_|x_|_＋__c_____ (x≠0)；
(5)ex 的原函数＝__e_x_＋__c__；
• (6)ax的原函lanxa数＋c＝_______；
• (7)cosx的原函sin数x＋c＝ ________ ；
• (8)sinx的原函－co数sx＋＝c __________. • 4．求定积分的方法主要有：定①义利用定积分 几何的意_义_____；微积②分基利本定用理定积分的_________；③
高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体 积V= ������ π[f(x)]2dx .
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取逼近 化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2
b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b
a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第四章 定积分的简单应用
[双基自测]
1．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b(a<b)和 x 轴围成的曲边梯
形的面积 S 等于( )
A.bf(x)dx a
C.b[f(x)－a]dx a
B．－bf(x)dx a
D.b[f(x)－b]dx a
解析：画示意图(图略)，利用定积分表示面积．
b
[f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)＞
a
f2(x))．
1．函数y＝sin x，y＝cos x在区间π4，54π内围成的面积为________． 解析：在x∈ π4，54π 内，y＝sin x，y＝ cos x围成一封闭图形，如图所示．
5
S＝4 (sin x－cos x)dx 4
[解析]
根据题意，得 f(x)＝1100x－，100≤ x，x12≤＜12x，≤1，
从而得 y＝xf(x)＝1100xx2－，100≤x2， x≤12＜ 12，x≤1，
1
2 0
10x2dx＋
1 1
(10x－10x2)dx
2
＝130x3
1 2
0
＋(5x2－130x3)
1 1 2
探究一 计算简单平面图形的面积
[例 1] 试求曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成的图形的面
积． [解析]
由yy＝＝xx2＋－32x＋3 解得xy＝＝30 或xy＝＝63 .曲线y＝x2－2x＋3及
直线y＝x＋3的交点为(0,3)和(3,6)．因此所围成的图形的面积是
5
＝(－cos
x－sin
x)
4
4
＝－cos54π－sin54π －－cosπ4－sinπ4 ＝ 2－(－ 2)
(推荐)北师大版高中数学选修22第四章《定积分》定积分的概念
b
S=a[-f(x)]dx
b
S=a[-f(x)]dx
=-
b
f
(x)d
x．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x == - a S f ( x ) d x c f ( x
b f ( x ) d x == -c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。 aa c y=f (x)
性质2.
b
b
b
[f(x)g(x)]dx= f(x)dx g(x)dx
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
y=f (x)
b
b
S=S1-S2=af(x)dx-ag(x)dx
S1
b
=y = a
fg((xx))dx
b
S2 =
g(x)dx
a
O aa
bx
（三）、定积分的基本性质 性质1.
b
b
a
kf( x )dx =k a
f( x)dx
a
n n i=1
i)
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
y
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
y= f (x)
a
bx
积分上限
n
b
f
( x)dx
=
I
=
lim
n
a
i =1
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a = b 时 ， 有 b f ( x ) d x = 0 。 a