备战高考数学复习知识点讲解课件38---平面向量的概念及线性运算
高中数学-平面向量专题
第一部分：平面对量的概念及线性运算
一.基础学问 自主学习
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面对量是自由向量
零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0
单位向量 长度等于 的
向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量
的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何
意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二.难点正本 疑点清源
1．向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．
2．向量平行与直线平行的区分
向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．
高三一轮复习2021版 第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算
知识点
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平面向量的几何意义及基本概念 理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.
向量的线性运算 掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
平面向量的基本定理及坐标表示 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
平面向量的数量积及向量的应用 理解平面向量数量积的概念及其几何意义．
掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．
会用坐标表示平面向量的平行与垂直．
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
复 数 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．
了解复数的加、减运算的几何意义．
理解复数代数形式的四则运算.
第1讲 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几
何意义) 运算律 加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
2023届高考数学一轮复习讲义：第30讲 平面向量的概念及线性运算
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第30讲 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB→的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB→|.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2 / 18
➢ 考点1 平面向量的概念
[名师点睛]
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量//ABCD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
第一节 平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考
平面向量与复数
第一节 平面向量的概念
一、课程标准
1.向量概念
(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；
(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．
2.向量运算
(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；
(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；
(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；
(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；
(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．
新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．
二、知识梳理
知识点一 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的
(或称 ) 平面向量是自由向量
零向量 长度为 的向量 记作 ，其方向是任意的
单位向量 长度等于 长度的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 方向 或 的非零向量(又叫做共线向量) 0与任意向量 或共线
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
• 温馨提醒 •
1.对于平行向量易忽视两点：
(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．
2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理
平面向量是解决平面几何问题的重要工具，是高中数学中的重要内容。本文将对平面向量的基本概念、运算法则、向量的线性相关性、向量的坐标表示以及向量的数量积和向量积等知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和掌握平面向量的相关知识。
一、基本概念
平面向量是指在平面内有大小和方向的量，可以用线段来表示。平面向量有三个基本要素：模、方向和起点。模表示向量的大小，用正数表示，用符号|v|表示；方向表示向量的方向，可以用角度或方向角来表示；起点表示向量的出发点，用点表示。
二、运算法则
1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的模相加，然后根据其方向和起点的位置进行求和。向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的模相减，然后根据其方向和起点的位置进行求差。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指用一个实数乘以一个向量的模，然后保持其方向和起点不变。
4. 平行向量：平行向量是指方向相同或相反的向量。平行向量的加法和减法运算结果仍然是平行向量。
5. 共线向量：共线向量是指在同一直线上的向量。共线向量可以表示同一直线上不同位置的点。
6. 零向量：零向量是指模为0的向量，它的方向可以是任意方向。零向量加上任何一个向量等于该向量本身。
三、向量的线性相关性
1. 线性组合：设有n个向量v₁，v₂，…，vₙ和n个实数k₁，k₂，…，kₙ，则k₁v₁ + k₂v₂ + … + kₙvₙ称为向量v₁，v₂，…，vₙ的线性组合。
2. 线性相关：如果存在不全为零的实数k₁，k₂，…，kₙ，使得k₁v₁ + k₂v₂ + … + kₙvₙ = 0，则向量v₁，v₂，…，vₙ线性相关。
3. 线性无关：如果向量v₁，v₂，…，vₙ线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余n-1个向量线性表示出来。如果不存在这样的关系，则向量v₁，v₂，…，vₙ线性无关。
第一节 平面向量的概念及线性运算
第一节 平面向量的概念及线性运算 考试要求
1．了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
[知识排查·微点淘金]
知识点1 平面向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的
单位
向量 长度等于1个单位长度的向量 单位向量记作a0，
a0＝±a|a|
平行向量
(共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a，b为相反向量，则a＝－b
[微提醒] 向量概念的4个易混点
(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．
知识点2 平面向量的线性运算 向量
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差
三角形法则 (3)a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (4)|λa|＝|λ||a|.
(5)当λ＞0时，λa与a的方向相同；
当λ＜0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0 (6)结合律：λ(μ a)＝(λμ)_a＝μ(λa)；
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)
第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型
【考点分析】
考点一：向量的基本概念
①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
②向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，叫做向量的模，记作||AB．
③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
④单位向量：长度等于1个单位的向量．
⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二：向量的线性运算和向量共线定理
①向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则 ①交换律
abba
①结合律
()abc=()abc
减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 ()abab
数乘 求实数与向量a的积的运算 (1)||||||aa
(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同；
当0时，0a ()()aa
()aaa
()abab
考点三：向量共线定理
①如果ab且0b，则ab∥；反之ab∥且0b，则一定存在唯一一个实数，使ab．
推论：
①三点A，B，C共线AB，AC共线（功能：证明三点共线）；
①向量PA，PB，PC中三个向量的终点A，B，C共线存在实数，使得PAPBPC，且a+bbaa+bbabaa-b1.
①BDDC，111ADACAC．
【题型目录】
题型一： 平面向量的概念
题型二： 平面向量的加法、减法
题型三： 平面向量的线性运算与共线定理
题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状
【典型例题】
题型一： 平面向量的概念
【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
平面向量复习课件
平面向量复习基本知识点与经典结论总结
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线 ABAC、共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。
4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。