介质中的高斯定理
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
有介质时的高斯定理,写出其物理意义
有介质时的高斯定理，写出其物理意义
高斯定理（也称为高斯通量定理）是电磁学中的一个基本定理，描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量与在该曲面内部源的大小之间的关系。
具体表达式为：对一个任意形状的封闭曲面，电场或磁场通过该曲面的总通量等于该曲面内部电荷或磁荷的代数和。
物理意义如下：
1. 电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量是该曲面内部电荷或磁荷的性质之一，可以帮助我们了解场的发源和分布。
例如，通过测量通过一个闭合曲面的电场通量，可以推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
2. 高斯定理对于计算电场或磁场的分布以及场源的性质具有重要的应用。
通过选取适当的曲面以及利用高斯定理，可以简化计算复杂电场或磁场的过程，提高计算效率。
3. 高斯定理还有与能量和电荷守恒定律的联系。
当封闭曲面内部不存在电荷时，即电荷守恒定律成立时，通过该曲面的电场通量为零。
这可以用来推导电场能量的守恒。
总的来说，高斯定理在电磁学中具有重要的作用，它可以帮助我们理解场的分布、推断电荷或磁荷的性质，并且简化电场或磁场计算的过程。
大学物理电磁学部分07电介质的极化和介质中的高斯定理
10
总度结矢：量在P和外电电介场质E的0作形用状下决，定电了介极质化发电生荷极的化面；密极度化强，
而场各物E理又，量激而的发总关附电加场E电0又场决E定，着pE极又化影强响度电矢介量质内P部。Pn的总电
系如下：
EE0E' E'
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场 和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。
计规律。
在外电场中，在有极分子电介
质表面出现极化电荷，
E 0 F
E0
这种由分子极矩的转向而引起的极化现象称为取向极化
6
外场越大，电矩趋于外场方向一致性越好，电矩 的矢量和也越大。
说明：电子位移极化效应在任何电介质中都存在，而 分子转向极化只是由有极分子构成的电介质所特有的， 只不过在有极分子构成的电介持中，转向极化效应比 位移极化强得多，因而是主要的。
代替电介质对电 场的影响。
在外电场
E
中，介质极化产生的束
0
缚部电都荷产， 生在 附其 加周 电围 场无E论'，介称质为内退部极还化是场外。
' '
退极化场
任一点的总场强为： EE0E'
注意：决定介质极化的不是原来的场
际的 场 E。
E
而是介质内实
0
E'又总是起着减弱总场 E的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量 一起综合加以考虑。
这种连环套的关系太复杂，在实际计算中比较繁 琐。物理学追求“和谐、对称、简洁！
11
四、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
真空中的高斯定理 SE0dS
q0
真空中和介质中的高斯定理
真空中和介质中的高斯定理高斯定理，这个听上去有点复杂的名字，其实在物理界可是个大明星，简直就是“物理界的范冰冰”！说到它，大家首先想到的就是电场，没错，电场就像空气一样，围绕着我们，无时无刻不在。
想象一下，咱们周围的电荷，像小小的派对动物，互相排斥又吸引，搞得电场波动不断，真是热闹得很！高斯定理到底是什么呢？其实就是告诉我们，在一个封闭的区域内，电场的总流出量和这个区域里面的电荷量成正比。
简单来说，就是你放多少电荷在里面，电场就会“跑”多少出来。
这样一听，是不是觉得特别有趣？好了，咱们再聊聊真空和介质中的高斯定理。
这两个概念就像是两种不同风格的歌手，各有各的特点。
真空，嘿，它就像个独立的摇滚歌手，潇洒自如，不受任何干扰。
真空中的电场可以轻松发挥作用，根本不用担心周围的环境。
这时候，高斯定理变得格外简单，完全可以依靠电荷的数量来判断电场的强弱。
而介质嘛，就像是个嘈杂的聚会，环境复杂多变，电场的表现就有点“拗口”。
因为介质会影响电场的传播，咱们得考虑到介质的介电常数。
它就像是一个调音师，调整着电场的音量，让它在不同环境下表现得淋漓尽致。
想象一下，如果你把一个电荷放在真空中，它就像一个在阳光下炫耀的明星，电场四处发散，影响周围的一切。
而如果你把它放在一个充满水的泳池里，那就有点像在游泳的明星，周围的水流会干扰它的动作。
真空中电场的流动可以通过简单的公式算出，但在介质中，这个过程就要复杂得多。
介质的介电常数就像是一把调音器，让我们能更好地理解电场在不同环境中的变化。
可别小看这个常数，它可是高斯定理在介质中的关键！你要是搞不清楚，电场就会像失控的音乐节，变得乱七八糟。
再说了，咱们常常在生活中也能找到高斯定理的影子。
比如你在海滩上看着浪花拍打岸边，水流的运动就和电场有点像。
海浪涌向岸边，和电场中的电荷一样，都在不断变化着。
你要是能明白高斯定理，那你就是理解了自然界中一部分奥秘。
电场和电荷的关系，像是阳光和树影，互相依存，缺一不可。
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
6-5电介质中的高斯定理
ε ε ε ε E 2 = D 2 = σ
0r
0r
结束 返回
C
B
UA
UB =
A
E1. d l
+
C
E
.
2
d
l
ε ε ε = σ
C
dl +
σ
B
dl
0A
0r C
ε ε ε σ σ =
d 1+
0
0 r d2
ε E 1= σ 0
E
2
=ε
σ
ε0
r
C
=
σ
UA
S UB
ε =
0S d1 + d2
εr
§6-5 静电场中的介质 介质中的高斯定理
一、电介质的电结构和电极化 1. 电介质的电结构
电介质：电阻率很大，导电能力很差的物质, 即绝缘体。
电结构特点：分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内
部几乎没有自由电荷。
H+
两类电介质分子结构：
+ -
无极 分子
H+
C--
H+
e+
H+
CH4
+
O--
-q
-
有极 H+
= + H+
分子
H2O
+q
电介质极化: 在外电场的作用下,介质表 面产生极化电荷的现象。
描述真空静电场性质有场强环路定律和 高斯定理，它们是：
LE .dl = 0
s
E
.
dS
=
Σq
ε0
下面来讨论有介质时环路定律和高斯定
理的形式。
介质中的高斯定理
P 0E
结论4
无介质 充满介质
充满各向同性的均匀电介质的电容器
C0
0S
C rC0
A
B
d q0 C U AB
S
q0 q S q 0 0 r 0 C U AB Ed E0 0 d d r 0 r 0S rC0 d
d
平行板电容器为例
E0线
介质球
D0线
介质球
E线
D线
E 线
D 线
概念检测 下面论述错误的是： A. 电位移线只出现在有电介质的空间 B. 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关 C. 静电场中的电位移线起自正自由电荷，止于负自 由电荷，不形成闭合线，不中断 D. 在均匀电介质中，电位移矢量与电场强度同方向
q
p
q
E0
E0 F
Байду номын сангаас
F
在介质表面产生极化电荷。
三、极化强度 描写电介质极化程度的物理量。 定义：单位体积内的电偶极矩矢量和。
p P V
E0
注意
1.真空中 P = 0 ，真空中无电介质。
2.导体内 P = 0 ，导体内不存在电偶极子。
四、电极化强度与束缚面电荷
以平行板电容器中充有各向同性均匀介质为例
S S
D 0E P
电位移矢量与场强的关系： 1）D是一个辅助量，既包含场强，又包含极 化强度，是综合反映电场和电介质两种性质的 物理量。场的基本量仍是场强 E 2）对各向同性的介质：
D 0E P
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第 2 章静电场
2.4 介质中的静电场方程
2.4.2 介质中的高斯定律
1.介质中高斯定律的微分形式
ερ
=
∙∇E 0
ερρp
+=
∙∇E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ）
∙D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。
D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P
∙-∇=p ρ)
(1
P E 0
∙∇-=∙∇ρερ
ε=+∙∇)(0P E P
E D +=0ε则有
ρ
=⋅∇D 电介质中高斯定律的微分形式
为自由电荷体密度
ρ
2. 介质中高斯定律的积分形式
⎰
∑=∙S
q
S D d 介质中高斯定律的积分形式
⎰
∑∑+=
∙S
q q )
(S E p 0
1
d
ε代入⎰∙-=S p q S
P d ⎰⎰∑∙-=∙S S q S
P S E d d 0
ε⎰∑⎰=∙+∙S
S
q
S P S E d d 0
ε⎰∑=∙+S
q
S P E d )(0
εq 为闭合面包围的自由电荷
• D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；• P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
• E 线由正电荷出发，终止于负电荷；
D 线
E 线
P 线
D 、
E 与P
三者之间的关系
图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E
⇒⎭
⎬⎫
D = ε0
E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E
= ε0εr E = εE
D = εE
介质的本构关系或组成关系
e
r 1χεε
ε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/m
εr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲
χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性
4. 介质特性
电场中，介质的特性由其介电常数确定。
E D ε=r ε⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x E E E D D D 3332
31
2322211312
11εεεεεεεεε均匀、线性、各向同性介质的介电常数是常量--简单介质。
各向异性介质的介电常数不是标量，而是矩阵-张量
晶体、地球上空电离层会显示各向异性的特点与空间位置无关，是常数----均匀介质
与空间位置有关，是函数----非均匀介质)
(r
ε与电场大小无关----线性介质与电场大小有关----非线性介质
)(E ε与方向无关----各向同性介质与方向有关----各向异性介质
介质存在时，静电场的基本方程为
总结
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧==∙=∙⎰⎰E D l E S D ε0d d c S q ⎪⎩
⎪
⎨⎧==⨯∇=∙∇E D E D ερ。