电位移有电介质时的高斯定理
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有电介质的高斯定理
εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
有电介质时的高斯定理
3.电位移线起于正的自由电荷而止于负的自由电荷.
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
Processing math: 100%
问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
Processing math: 100%
问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。
电位移介质中的高斯定理复习课件
理解电位移与电场强度的关系，有助于更好地理解高斯定理的物理意义。
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
09-3-电位移
ε r1 1 σ0 (2)σ1 ' = ) ε r1 ε r2 1 σ2'= σ0 ε r2
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
�
∑
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
在有介质存在的情况下,介质在外电场的作 在有介质存在的情况下 介质在外电场的作 用下会发生极化,产生束缚电荷 产生束缚电荷.这些束缚电荷 用下会发生极化 产生束缚电荷 这些束缚电荷 也要激发电场.基于这一思想 可以预期,只要 基于这一思想, 也要激发电场 基于这一思想 可以预期 只要 我们把这些束缚电荷考虑进去,真空中的高斯 我们把这些束缚电荷考虑进去 真空中的高斯 定理将依然成立.因此有 因此有: 定理将依然成立 因此有
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
10章静电场中的导体和电介质 第10章静电场中的导体和电介质
叫电介质的电极化率, 式中 叫电介质的电极化率,它取决于介 质的性质. 相同, 质的性质.若介质中各点的 相同,就是均 匀电介质,将其代入电位移的定义式,有 匀电介质,将其代入电位移的定义式 有
(2)由上题可知
λ E= = ε 0ε r 2π ε 0ε r r
D
λ σ 1 ' = (ε r 1)ε 0 E1 = (ε r 1) 2 π ε r R1 λ σ 2 ' = (ε r 1)ε 0 E 2 = (ε r 1) 2π ε r R2
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
∑ q = ∑ q + ∑ q′
i S S S
E dS = ∫
S
1
ε0
(∑ q + ∑ qi′ )
S S
10– 10 3 电位移 有介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
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有介质的高斯定理
εE S
dS
Q0
电位移矢量
D
0r E
E
0E
P
电位移通量 SD dS
有介质时的高斯定理
n
D dS S
Q0i
i 1
D 的高斯定理：通过任意
封闭曲面的电位移通量等 于该封闭面包围的自由电
荷的代数和。
1
讨论
D
0
E
P和
D dS
S
q0内
(1)
在没有电介质的情况下，P
(r R2 )
1'
( r
1) 0E1
( r 1) 2 π r R1
2'
( r
1) 0E2
( r 1) 2 π r R2
r
R2 R1
9
r =3，
d=1 mm，
U=1 000 V
+++++++++++
例题
例2 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质.
设直导体和圆筒单位长度上的 电荷分别为+和- . 求(1)电 介质中的电场强度、电位移和 极化强度； (2)电介质内外表 面的极化电荷面密度.
-----------
4
例题
解： E0
U d
103
kV m1
E E0 r 3.33102 kV m1
P (r 1)0E 5.89106 C m-2
r =3，
d=1 mm，
U=1 000 V
+++++++++++
U εr
d
-----------
5
例题
0 0E0 8.85106 C m2 ' P 5.89106 C m2 D 0rE 0E0 0 8.85106 C m-2
0,
D的高斯定理
还原为第五章中的高斯定理。
(2)
将
P
0(r
1)E代入
D
0E
P
D 0r E
0r
D E
: 电介质的介电常数，其单位与 0的单位相同。
2
讨论
D
0
E
P和
D dS
S
q0内
(3) D的单位：C / m2
(4) D 的高斯定理是普遍成立的，在具有某种
对称性的情况下，可以首先由高斯定理出
R2 R1
7
例题
解 (1)
SD dS l
D2 π rl l D
2πr
D
E
ε0εr 2 π ε0εrr
(R1 r R2 )
P
( r
1) 0 E
r 1 2πrr
r
R2 R1
8
例题
(2)E
2 π 0 rr
E1 2 π 0 r R1 (r R1)
E2 2 π 0 r R2
发求解
即
D E P q
3
例题
例1 把一块相对电容率r =3的电介质，
放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间.
放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求
两板间电介质内的电场强度E ，电极化强
度P ，板和电介
质的电荷面密度，电
+++++++++++
介质内的电位移D. U εr
d
εE S
dS
Q0
电位移矢量
D
0r E
E
0E
P
电位移通量 SD dS
有介质时的高斯定理
n
D dS S
Q0i
i 1
D 的高斯定理：通过任意
封闭曲面的电位移通量等 于该封闭面包围的自由电
荷的代数和。
1
讨论
D
0
E
P和
D dS
S
q0内
(1)
在没有电介质的情况下，P
(r R2 )
1'
( r
1) 0E1
( r 1) 2 π r R1
2'
( r
1) 0E2
( r 1) 2 π r R2
r
R2 R1
9
r =3，
d=1 mm，
U=1 000 V
+++++++++++
例题
例2 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质.
设直导体和圆筒单位长度上的 电荷分别为+和- . 求(1)电 介质中的电场强度、电位移和 极化强度； (2)电介质内外表 面的极化电荷面密度.
-----------
4
例题
解： E0
U d
103
kV m1
E E0 r 3.33102 kV m1
P (r 1)0E 5.89106 C m-2
r =3，
d=1 mm，
U=1 000 V
+++++++++++
U εr
d
-----------
5
例题
0 0E0 8.85106 C m2 ' P 5.89106 C m2 D 0rE 0E0 0 8.85106 C m-2
0,
D的高斯定理
还原为第五章中的高斯定理。
(2)
将
P
0(r
1)E代入
D
0E
P
D 0r E
0r
D E
: 电介质的介电常数，其单位与 0的单位相同。
2
讨论
D
0
E
P和
D dS
S
q0内
(3) D的单位：C / m2
(4) D 的高斯定理是普遍成立的，在具有某种
对称性的情况下，可以首先由高斯定理出
R2 R1
7
例题
解 (1)
SD dS l
D2 π rl l D
2πr
D
E
ε0εr 2 π ε0εrr
(R1 r R2 )
P
( r
1) 0 E
r 1 2πrr
r
R2 R1
8
例题
(2)E
2 π 0 rr
E1 2 π 0 r R1 (r R1)
E2 2 π 0 r R2
发求解
即
D E P q
3
例题
例1 把一块相对电容率r =3的电介质，
放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间.
放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求
两板间电介质内的电场强度E ，电极化强
度P ，板和电介
质的电荷面密度，电
+++++++++++
介质内的电位移D. U εr
d