2008年专科自主招生数学B组试卷(上海地区)
08年交大自主招生试题
08年交大自主招生试题注意事项：1、本试卷共三部分，16题，满分100分。
2、考试时间为90分钟。
3、计算题的解答必须写出必要的解题过程，只有结果，没有过程的不能得分。
一、选择、填空题（共9题，每题4分）1、有一劲度系数为k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为m 的小球。
先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触。
再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球离开地面h 为止。
在此过程中外力所作的功为________________。
2、有一弹簧振子的振动曲线如右图所示，则该弹簧振子的周期为____________。
3、中国有“蜻蜓点水”的成语，如果蜻蜓在平静的湖面上由西向东飞行，并等间隔地“点水”，试在下方方框内划出在水面上可能形成的水面波动的波阵面的情况。
4、密立根油滴实验是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生。
实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，两块极板的电势差为12U 。
当电势差增加到412U 时，半径为r 2的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为： (A)2e ；(B)4e ；(C)8e ；(D)16e .选:___________5、有一足够长的铜管竖直放置，内有一截面大小与铜管的内截面相同的永久磁铁块，质量为m 。
不考虑磁铁与铜管间的摩擦因素，则磁铁的运动规律为 （A ）磁铁运动速度越来越大；（B ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时速度保持不变；（C ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时，速度又开始减小到一定值后保持不变； （D ）磁铁运动速度逐渐增大到一定值时，速度又开始减小到一定值，之后在一定区间变动。
选:____________6、电源电动势的定义是：__________________________________________________。
当导体棒在磁场中切割磁力线时，导致导体棒中产生动生电动势的非静电力是__________力。
（b ）7、如图所示，质量为m ，带电量为q 的粒子，在重力作用下由静止下落h 高度后垂直进入一高度为L 的匀强磁场区域，磁感应强度方向垂直纸面向内，大小为B 。
2008高考上海数学文科试卷含详细解答
2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（文科）一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ． 解：由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 解：由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 解：由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log fx x -=，则()f x = ．解：令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．解：2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+= 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 解：直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．解：设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．解： 由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ． 解： 2()2 4.f x x ⇒=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 解：中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小. 11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ． 解：作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10解： 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件解：“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”.14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54解：由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA 解：由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方,∴当Q 在 DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧 DA. 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC =∵11,2CF CB DF ==∴=..8分∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan 5….12分17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）． 解：【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………4分 在CDO ∆中，2222cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……6分即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………….9分解得490044511r =≈（米）. ………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H ………………..2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. …………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数()sin 2f x x =， π()cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别 交于,M N 两点．（1）当π4t =时，求MN 的值；（2）求MN 在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值． 解：（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231cos .32π=-=（2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 222t t =-26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ ｜MN .19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）()()100;0,22x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x xx-=-⋅-=即解得 21x =±…………6分∵ (220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．解：（1）所求渐近线方程为0,0y y =+= ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0xλ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ， 使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100． 解：（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+ .2分 48464, 4.r r +=∴= 4分（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. .15分 此时，293294297298,,,T T T T 为100. 18分。
2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)
线２ 与平面 内无数条直 线都垂直” 直线 ２ 是“ 与
平面 垂直” 的 【 （） 答】 （） Ａ 充要条件． （） Ｂ 充分非必要条件． （） Ｃ 必要非充分条件． （） Ｄ 既非充分又非必要条件．
１． ４若数列 ＿ 是首项为 １公 比为ａ 的 【 ） ０ ， 一
０ 的 的取值范围是 — — ． ９已知总体的各个体的值 由小到大 依次为２ ． ， ３ ３ ７ ， ， ２ １ ．， ８３ ２ ， ， ， ， ｂ １ ， ３７ １．， ０ 且总体的中位
（）ｒ ｃｎ 二．
（） 二． Ｄ兰 １
１． ３给定 空间中的直 线２ 平面 ．条件 “ 及 直
满足 ≤ 且 Ｙ≥ Ｙ， 则称 Ｐ优 于 Ｐ ． 如果Ｑ中 的点 Ｑ满足： 不存在 Ｑ中 的其它点优于 Ｑ， 那么
所有这样的点Ｑ组成的集合是劣弧 陪】 ） （
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数 学 学教．
２０ 年第 ７ ０８ 期
１．本题 满分 １ 分） ９（ ６ 本题共有 ２ 个小题， 第
１ 小题满分 ３ 分， ２ 第 小题满分 ５ 第 ３ 分， 小题满 分 ８分． ・
三、 解答题 （ 本大题 满分 ９ 分） ０ 本大题共有 ６ 解答下列各题必须写 出必要的步骤． 题， １．本题满分 １ 分） ６（ ２
如 图， 在 棱 长 为 ２的 正 方 体 ＡＢ Ｄ —
６ 数， ） ｓ ｘ ｓ （ ） 最 ． （ ＝ ｉ ＋ｉ ＋ 的 函 ｎ ｎ
大值是 — — ．
于
（ Ａ） Ｃ， １ 一 －． －
【 （） 答】 （）卅 １（ １ － Ｂ（ ） ） ． 件 ｒ ｒ Ｉ
７在平面直角坐标系中， ． 从六个点： ００、 Ａ（，） Ｂ（，） （，） ２０、 １１、Ｄ（，） ０２、Ｅ（，） ２２、Ｆ（，） ３３ 中任 取三 个，这 三 点 能 构 成三 角形 的 概率 是 （ 结果用分数表示） ． ８设函数 ， 是定义在Ｒ 的奇函数．若 ． （） 当 ∈（， ０＋∞） ｆｘ ＝ｌｘ 则满足ｆｘ ＞ 时， （） ｇ ， （）
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文)
2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式|1|1x -<的解集是 ．2．若集合{|2}A x x =≤、{|}a B x x =≥满足2A B = ，则实数a = ． 3．若复数z 满足(2)z i z =-（i 是虚数单位），则z = ． 4．若函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则()f x = ． 5．若向量a 、b 满足| a |=1，| b |=2，且a 与b 的夹角为3π，则| a | + | b | = ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且||2z =，则p = ．8．在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0)A 、(2,0)B 、(1,1)C 、(0,2)D 、(2,2)E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数R ,a b ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．11．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)．如果(,)P x y 是ABC ∆围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取得最大值时，点P 的坐标是 ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10第15题图第16题图第17题图13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点(,)P x y 、点(,)P x y '''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB B ． BCC ． CD D ． DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处．小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=+，直线x t =()t R ∈与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4t π=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,2t π∈时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线22:12x C y -=． （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=⋅．求λ的取值范围；（3）已知点D 、E 、M 的坐标分别为(2,1)--、(2,1)-、(0,1)，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM ∆截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a ⋅⋅⋅+=+++． （1）若1312264a a a a ⋅⋅⋅++=++，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪第16题图4项为100．参考答案一、填空题（第1题至第11题） 1．(0,2)2． 23．1i + 4． 2x（R x ∈） 56．－1 7． 48．459．224x -+10．10.5a =，10.5b =11． 5(,5)2二、选择题（第12题至第15题） 12．D 13．C 14．B 15．D三、解答题（第16题至第21题）16．解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ． ∵ EF ⊥平面ABCD∴ EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得1112EF CC ==． ∵ 112CF CB ==，∴DF =． ∵ EF DF ⊥，∴tan 5EF EDF DF ∠==． 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan ．17．解法1：设该扇形的半径为r 米．由题意，得500CD =（米），300DA =（米），60CDO ∠=． 在CDO ∆中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=，第17题图即2221500(300)500(3020)2r r r ⨯⨯-⨯-=+-， 解得490044511r =≈（米）． 答：该扇形的半径OA 的长约为445米．解法2：连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ．由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=． 在ACD ∆中，2222cos120AC CD AD AD CD =+-⋅⋅⋅222150030500300207002=⨯⨯=+⨯+， ∴700AC =（米），22211214cos AC AD CD CAD AC CD +-∠==⋅⋅．在直角HAO ∆中，350AH =（米），1os 114c HAO ∠=， ∴ 4900445cos 11HAO AH OA =∠=≈（米）．答：该扇形的半径OA 的长约为445米．18．解：（1）)cos(24||sin(246MN πππ⨯-⨯+=．231cos32π=-=． （2）||si 2s 2n co (6t MN t π-+=3sin 22t t =)6t π=-．∵ [0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ∴ ||MN19．解：（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xx f x =-． 由条件可知1222xx -=，即222210x x -⋅-=，解得21x=∵ 20x>，∴ 2log (1x =． （2）当[1,2]t ∈时，22112(2(2202tttt tm -+≥-， 即42(21())21t t m ≥---， ∵ 220t>，∴2(21)t m ≥-+． ∵ [1,2]t ∈，∴2(12)[17,5]t -+∈--， 故m 的取值范围是[)5,-+∞．20．解：（1）所求渐近线方程为02y x -=，02y x +=． （2）设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --．0000(,1)(,)MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅--22001x y =--+20322x =-+。
2008年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)
2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将 答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 【答案】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i ii i -=-⇒===+++-.4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x => 则y R ∈且2,yx =()()2.xf x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos 73a b a b π=++= ||a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中 任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -=9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，， 则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，， 224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是A B C △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标 是 ． 【答案】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．设p 是椭圆2212516xy+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或.15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA 【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在 DA上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧 DA.三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2C C =∵11,2C F C BD F ==∴=..8分∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF ED F D F∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan5….12分17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路A D D C ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿C D 走到D 用了10分钟，从D 沿D A 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径O A 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在C D O ∆中，22022cos 60,C DOD C D OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=222222,2cos12015003002500300700,2AC D AC C D AD C D AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CDCAD AC AD+-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14H A O A H H A ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11A H O A H AO==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446M N πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26M N t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 2222t t =-……...8分s i n 26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN . ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t m f t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x xxx-=-⋅-=即解得 21x=±…………6分∵ (220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t tt t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.ttm ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],tt ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分第3小题满分7分．已知双曲线2212xC y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记M P M Q λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为D E M △截直线l 所得线段的长．试将s表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,022y y -=+= ……………...3分（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o M P M Q x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率0,.2k ⎛∈ ⎪⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,,22k s k ⎛⎫∈= ⎪ ⎪⎝⎭时 ……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.22k s k k ∈⎪=⎛∈ ⎝⎭⎩….16分第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100． 21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++484.r =+………………..2分 ∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m Tm r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
2008年 上海市春季高考数学试卷
2008年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2008•上海）已知集合A={x|x＜﹣1或2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜4}，则A∪B=．2．（4分）（2008•上海）计算：=．3．（4分）（2008•上海）函数的定义域是4．（4分）（2008•上海）方程在区间（0，π）内的解是．5．（4分）（2008•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1、若a1、a2、a5成等比数列，则a n=6．（4分）（2008•上海）化简：=．7．（4分）（2008•上海）已知P是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x﹣y=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=．8．（4分）（2008•上海）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=．9．（4分）（2008•上海）已知无穷数列{a n}前n项和，则数列{a n}的各项和为10．（4分）（2008•上海）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）．11．（4分）（2008•上海）已知a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n（n是正整数），令L1=b1+b2+…+b n，L2=b2+b3+…+b n，…，L n=b n、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+…+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+…+c k L k+…+…+c n L n，则c k=（2≤k≤n）．12．（4分）（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•上海）已知向量，若，则λ等于（）A．B．﹣2 C． D．14．（4分）（2008•上海）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．815．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f （x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件16．（4分）（2008•上海）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|=1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（共6小题，满分86分）17．（12分）（2008•上海）已知，求的值．18．（12分）（2008•上海）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y2=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．19．（14分）（2008•上海）已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；（2）记f﹣1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f﹣1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．20．（14分）（2008•上海）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．21．（16分）（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．22．（18分）（2008•上海）已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，（1）若（b，c）在直线2x+y=0上，求证：P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点（非端点），则P z在圆C 上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段）．。
2008年上海市普通高等学校春季招生考试(数学)
2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = ． 【答案】{}4x x <【详解】略 2．计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ ． 【答案】13【详解】 113131133lim lim 3232333n n n n n n n n n n n n ++→∞→∞++==++． 3．函数()1f x x =-的定义域是 ． 【答案】[2,1)(1,3]-【详解】 定义域满足22360110x x x x x -≤≤⎧-++≥⎧ ⇒⎨⎨≠-≠⎩⎩4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 ． 【答案】712x π= 【详解】 12cos 1cos 44243x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =．若125a a a 、、成等比数列，则n a =．【答案】21n a n =-【详解】设公差为d ，则251,14a d a d =+=+，则21(14)(1)2d d d ⨯+=+⇒=．6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】cos α【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解；（方法二）：cos sin sin sin 36236πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin sin 2sin cos cos 666πππαααα⎛⎫⎛⎫=-++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=．设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点．若23PF =，则1PF = ．【答案】5【详解】由双曲线的一条渐近线方程为30x y -=可得：2a =，又双曲线的定义知12112325PF PF a PF PF -=⇒-=⇒=．8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V = ．【答案】16+【详解】凸多面体为：下半部分为正方体3111V ==，上半部分为正四棱锥221132V =⨯⨯．9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 ．【答案】1-【详解】 由113n n S a =-可得：11113n n S a --=-，两式相减得并化简：112n n a a -=-， 又11113132a a a =-⇒=-．所以1lim 11n x a S q →∞==--． 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】112【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。
(精编精校)2008年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 理科数学 【word精析版】
2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海）数学（理工农医类） 全解全析一 填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<的解集是 . 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ . 【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝ . 【答案】1i +【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++. 4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ . 【答案】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ . 【答案】7 【解析】222||()()2||||2||||cos7||73a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+=. 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 . 【答案】2【解析】由max ()3sin cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.【答案】34【解析】已知 A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线的点生成三角形总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=； 8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0 的x 的取值范围是 . 【答案】(1,0)(1,)-+∞【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得：0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 .【答案】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须10.5,10.5a b ==时，总体方差最小；10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .【答案】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意， 12||||2MF MF a +≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,6)(6,)-∞-+∞【解析】方程的根显然0x ≠，原方程等价于34x a x +=，原方程的实根是曲线3y x a =+与曲线4y x =的交点的横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到的。
2008年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试及参考答案
2008 年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试
城隍喵
【第 6 题】 如图， 四个一样大小的正方形和七个一样的小长方形拼成一个大长方形， 如果大长方形的面积是 30 平方分 米，那么这个大长方形的周长是 _______ 分米。
【分析与解】
3 个小长方形组成的小长方形与 4 个小正方形组成的小长方形的长、宽分别相等，故面积也相等； 那么大长方形的面积相当于 10 个小长方形的面积； 小长方形的面积为 30 10 3 平方分米； 4 个小正方形的面积为 3 3 9 平方分米； 即 3 个小长方形的面积为 9 平方分米；
2008 年上海市中学生业余数学学校 预备年级招生考试
城隍喵
【第 4 题】 1 ， 2 ， 3 ，…， 2007 ， 2008 这 2008 个数中，数码 0 共有 _______ 。 【分析与解】 先考虑 0 ~ 1999 中的数； 将所有 0 ~ 1999 所有的数都看成四位数，不足四位的在前面补 0 ，即看成 0000 ~ 1999 ； 个位数字是 0 的，千位、百位、十位可以是 000 ~ 199 ，有 200 个数； 十位数字是 0 的，千位、百位、个位可以是 000 ~ 199 ，有 200 个数； 百位数字是 0 的，千位、十位、个位可以是 000 ~ 199 ，有 200 个数； 千位数字是 0 的，百位、十位、个位可以是 000 ~ 999 ，有 1000 个数； 则 0000 ~ 1999 中，一共有 200 200 200 1000 1600 个数字 0 ； 0 ~ 9 ，每个数多算了 3 个数字 0 ，一共有多算了 3 10 30 个数字 0 ； 10 ~ 99 ，每个数多算了 2 个数字 0 ，一共有多算了 2 90 180 个数字 0 ； 100 ~ 999 ，每个数多算了 1 个数字 0 ，一共有多算了 1 900 900 个数字 0 ； 0 ~ 1999 中，一共有 1600 30 180 900 490 个数字 0 ； 因为 0 有 1 个数字 0 ， 2000 ~ 2008 一共有 3 2 2 2 19 个数字 0 ；
2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷
2008年上海市普通高等学校春季高三数学招生考试试卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.11或}23x ≤<，{}24B x x =-≤<，则AB = .2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+ . 3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）.11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=11223a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函 数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,32πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分.已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分， 第2小题满分8分. 某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O 分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）. [解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方. 任取其中连续三点1k k AA +、、2k A +，判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅. [解]（1）（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分， 第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）（3）表一、的取值或表达式线段s与线段1s的关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1s长度相等线段s与线段12008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=.5. 21n a n =-.6. cos α.7. 5.8. 1+9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又 cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …… 9分2c o s4s i n 2s i n 2θθθ∴-=-. …… 12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分 19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分[解法一]1()()m f x f x-∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， …… 11分当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++，m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x xm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …… 11分22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，BH =设细钢管上下两段之比为λ. 已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分 节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即 45OBH ∠=.303,13BH OH λλ=∴=+，解得，0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63. （2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =/设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH == …… 10分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n =， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>，∴ {}n A 是T 点列. …… 3分 （2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 的右上方，1210ba a ∴=->， {}n A 为T 点列，10nb b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明]1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++-12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …… 12分由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上.…… 10分 [解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系、m r 的取值或表达式得分 s 所在直线平行于1s 所在直线1m =，1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=，1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。