初中数学中点模型的构造及应用

初中数学中点模型的构造及应用TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：➢任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段➢出现两个或三个中点考虑三角形中线定理➢已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线➢已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”➢有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型➢三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，ACB 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD?，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

如图，在∆ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2=。

三、练习（一）倍长中线法1.（2014秋津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．2. （2017?湘潭）如图，在ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ；（2）若AB ＝2BC ，∠F ＝36°．求∠B 的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，E 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）求证：CF ＝AD ；（2）若CA ＝CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由．4.（2014?鄂尔多斯）如图1，在ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．且∠AEC＝2∠ABE．连接BF、AC．（1）求证：四边形ABFC的是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠△ABM，使点B恰好落在线段DF 上的点B′处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．5.（2017贵阳,24）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC 的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为____________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC＝2：3，点D在线段AE上，且∠EDF＝∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．（二）倍长类中线法1.（2016秋江都区期中）已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．2.（2017重庆，24）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM 延长线上一点，连接AC．，BC＝5，求AC的长；（1）如图1，若AB32（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．3.（2017?山西，17）已知：如图，在ABCD 中，延长AB 至点E ，延长CD 至点F ，使得BE ＝DF ．连接EF ，与对角线AC 交于点O ．求证：OE ＝OF ．（三）直角三角形斜边中线法1.（2016乌鲁木齐，9）如上图，在Rt △ABC 中，点E 在AB 上，把这个直角三角形沿CE 折叠后，使点B 恰好落到斜边AC 的中点O 处，若BC ＝3，则折痕CE 的长为（ ）A. 3B. 23C. 332. （2015乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（ ）A ．31-（，） B. 3（1，-）C. 32-（2，）D. 3（2，-2）3.（2017新疆，22）如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB ＝30°，延长CB 至点D ，使得CB ＝BD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）当BE ＝3时，求图中阴影部分的面积4. （2017北京，22）如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∠ABD ＝90°，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．5.（2015北京东城，23）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值（四）等腰三角形三线合一1.（2017荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为（）°°°°2.（2017陕西，9）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（）B. 53 2C. 52D. 533.（2017呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD＝CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．（五）中位线法1.（2015郑州）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）2.（2013乌鲁木齐，15）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．3.（2017遵义）如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）4.（2017天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．5.（2014春硚口区期末）如图，已知△ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N分别为OB、OC的中点．（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若BD⊥AC，EM＝22，OD＋CD＝7，求△OCB的面积．6.（2017云南，20）如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．7.（2017长春）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且1DE BC2（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：__________．（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为______.8.（2015巴东县模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝54，则当∠ABC＋∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．。