中点模型构造
中考数学中点四大模型专题知识解读
中点四大模型专题知识解读【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】模型1 ：倍长中线法如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.模型2：平行线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.模型3：中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型4：连接直角顶点，构造斜中定理【典例分析】【模型1 倍长中线法】【典例1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE到F，使得EF＝DE；（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．【模型2 平行线夹中点】【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC ＝10，点E是CD的中点，求AE的长．【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝．【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F 处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；②求BE的长．【模型3 中位线】【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（）A．1B．2C．D．【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为．【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．（1）求证：CD＝EF；（2）四边形DEFC的面积为．【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD 的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．（1）求证：四边形AFGD为菱形；（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA ＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（）A．5B．10C．15D．20【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE 交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，CE与AB相交于点E．∵∠BCE＝∠B，∴．∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠B+∠ACE＝90°．又∵，∴∠ACE＝∠A．∴EA＝EC．∴EA＝EB＝EC，即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，∴CD＝AB．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）【专题说明】线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
中点模型
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（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2) 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
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∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BE的中点，∴BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α， ∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2， ∴∠ABC=∠ACD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=α； ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2， ∴tan∠DAG=tan(α/2)， ∴DG=AGtan（α/2）．
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模型三 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC 的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性 质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
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模型四：连接直角顶点，构造斜中定理
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模型运用
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例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E 是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.
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小试身手 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的 中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的 数量和位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样 的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. （3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样 的数量和位置关系？请直接写出结论.
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀： 中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线； 联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD， 则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
中点模型的构造.docx1
中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：。
（1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
（2）三角形中位线定理。
2 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。
3 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。
4 有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。
一倍长中线或倍长类中线1如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点。
连接BE并延长线交AC 于F，且AF=EF,求证：BE=AC.2 在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF//AD 交CA的延长线于点F ，交AB 于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证；BG=CF3 已知M为△ABC的边BC的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别与AB,AC交于点E、F,连接EF。
求证:EF<BE+CF.4 在△ABC中，D是BC的中点, DM⊥DN，如果BM²+CN²=DM²+DN²，求证AD²=¼（AB²+AC²）二直角三角形斜边中线1 如图，在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB上的高,D是BC的中点，DM⊥EF于点M,求证：FM=EM.2已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点．（1）说明：MB=MC；（2）设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论．三一题多解题，利用中点作中线，倍长中线，中位线等辅助线是常用解法。
如图，在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB至D，使BD=AB，联结CD。
求证:CD=2CE四利用三角形中位线的性质问题一如图1 在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证∠BME=∠CNE 问题二：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F 分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题三：如图3，在△AB C中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．。
2021年中考复习 第07讲—中点五大模型
总结（题目中出现中点时）：①倍长中线（普通的一个中点时）②连出“三线合一”的线（出现底边上的中点时） ③连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） ④构造中位线（出现多个中点时） ⑤构造8字型全等（平行线夹中点）模型一：倍长中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，6,8==AC AB ，求BC 边上的中线AD 的取值范围解答：构造8字型全等，得证71<<AD【例2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，延长BE 交AC 于F ，EF AF =，求证：BE AC =解答：①方法一：倍长中线【DG AD =构造8字型全等+集散思想】 ②方法二：类倍长中线【DE DG =构造8字型全等+集散思想】 可证【例3】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，AD EF //交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若CF BG =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线解答：类倍长中线+集散思想，可证模型二：平行线夹中点模型【例1】如图，在菱形ABCD 中，110=∠A ，F E ,分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则=∠FPC （ ）A.35 B.45 C.50 D.55解答：构造8字型全等【延长EF 和DC 交于点G 】，得证D【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，AD BE AD CD ⊥=,2于点F E ,为DC 的中点，连接BF EF ,，下列结论 ①ABF ABC ∠=∠2 ②BF EF =③EFB DEBC S S ∆=2四边形 ④DEF CFE ∠=∠3 其中正确结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：双平模型+平行线夹中点模型，得证D【例3】如图，在菱形ABCD 和正三角形BGF 中，60=∠ABC ，点F 在AB 的延长线上，点P 是DF 的中点，连接PC PG ,，求证：PC PG 3=解答：①方法一：延长CP 交AB 于点E ，连接EG CG ,②方法二：延长GP 交AD 于点E ，连接CG CE , 可证模型三：三线合一模型【例1】如图，在等腰三角形ABC 中，BC AC =，D 是BC 的中点，过C 作CE DE ⊥，CF DF ⊥，且CE CF =，求证：EDA FDB ∠=∠解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，5,6AB AC BC ===，M 为BC 中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 的长度（ ） A.165 B.125 C.95 D.65解答：得证B【例3】如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BAD CAD BD BE AM BM >∠=∠==，E 为AD 延长线上一点，N 在DE 上，//MN AC ，求证：ND NE =解答：双平模型+三线合一，可证【例4】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：ADB CDF ∠=∠解答：①方法一：三线合一模型 ②方法二：十字型三垂直模型 可证模型四：斜边中线模型【例1】如图，在ABC ∆中，BD 和CE 是高，M 为BC 的中点，P 为DE 的中点，求证：PM DE ⊥解答：可证【例2】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，M 是BC 中点，10AB =，求DM 的长度解答：可证【例3】已知，ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=，如图甲，连接DE ，设M 为DE 的中点 （1）说明：MB MC =（2）设BAD CAE ∠=∠，固定ABD ∆，让Rt ACE ∆绕顶点A 在平面内旋转到图乙位置，试问：MB MC =是否还能成立？并证明其结论解答：（1）①方法一：斜边中线模型【方程思想用字母表示角】 ②方法二：平行夹中点模型③方法三：相似【作MF BC ⊥交BC 于点M 1DM BFEM CF==得证】 （2）成立，同理可证【例4】已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交,AC CB （或它们的延长线）与,E F（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=（2）当EDF ∠绕D 点旋转到和DE AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立,,DEF CEF ABC S S S ∆∆∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解答：（1）可证（2）图2成立，同理可证；图3不成立12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆-=模型五：中位线模型【例1】已知四边形ABCD 是梯形，//AD BC ，如图，,E F 是,BD AC 中点，试写出EF 与,AD BC 之间的关系解答：①方法一：中位线+三点共线，得证1()2EF BC AD =- ②方法二：平行线夹中点模型，构造8字型全等，得证1()2EF BC AD =- 【例2】如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，分别与CD BA ,的延长线交于点N M ,，证明：CNE BME ∠=∠解答：【等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例3】在ABC ∆中，AB AC >，D 点在AC 上，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，连结EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60=∠EFC ，连结GD ，判断AGD ∆的形状并证明解答：【类等对边四边形（方法连接对角线）】可证【例4】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，BD AC =，F E ,分别是CD AB ,的中点，连结EF ，分别交BD AC ,于点N M ,，判断OMN ∆的形状解答：【中点四边形（方法连接对角线）】可证。
2021中考数学必会8大几何模型与实例巩固
中考必会八大几何模型归纳模型一 中点四大模型模型1：倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形②图①图构造全等倍长类中线倍长中线DCBAF F ACABCDCA模型分析如图①，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E 使DE ＝AD ，易证：△ADC ≌△EDB （SAS ）． 如图②，D 是BC 中点，延长FD 至点E 使DE ＝FD ，易证：△FDB ≌△EDC （SAS ） 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移模型实例例题1 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，AF ＝EF ，求证：AC ＝BE ．FEA巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝20，求BC 边上中线AD 的范围．BA【解析】延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 与△EDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE AD BDE ADC CD BD ，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB ＝AC ＝20，根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE ＜20＋12， ∴4＜AD ＜16，故AD 的取值范围为4＜AD ＜16．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM ⊥DN ，如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2，求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2)． NMA【证明】如图，过点B 作AC 的平行线交ND 的延长线于E ，连ME ．∵BD ＝DC ，∴ED ＝DN ．在△BED 与△CND 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN ED CDN BDE DC BD ，∴△BED ≌△CND （SAS ）．∴BE ＝NC ．∵∠MDN ＝90°，∴MD 为EN 的中垂线．∴EM ＝MN ．∴BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2，∴△BEM 为直角三角形，∠MBE ＝90°． ∴∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°．∴∠BAC ＝90°． ∴AD 2＝(21BC )2＝41（AB 2＋AC 2）．模型2：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”．模型实例例题2 如图，在△AB C 中，AB ＝A C ＝5，B C ＝6，M 为B C 的中点，MN ⊥A C 于点N ，求MN 长度．NMC BA【解析】连接AM∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，BM ＝CM ＝21BC ＝3 ∵AB ＝5，∴AM ＝4352222=-=-BM AB∵MN ⊥AC ，∴S △ANC ＝21MC ·AM ＝21AC ·MN 即21×3×4＝21×5×MN ，∴MN ＝512巩固提升1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AE ⊥DE ，AF ⊥DF ，且AE ＝AF ，求证：∠EDB ＝∠FDC ．FECB A【证明】连结AD ，∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90° 在Rt △AED 与Rt △AFD 中，⎩⎨⎧==ADAD AFAB ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．（HL ），∴∠ADE ＝∠ADF ，∵∠ADB ＋∠ADC ＝90°，∴∠EDB ＝∠FDC2．已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．（1）当∠EDF 绕D 点旋转到DF ⊥AC 于E 时（如图①），求证：S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ； （2）当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．③图②图①图ABCDEFACDDCA【解析】（1）连接CD ；如图2所示： ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点∴∠B ＝45°，∠DCE ＝21∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝21AB ＝BD ∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠1＝∠2在△CDE 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠B DCB BD CD 21，∴△CDE ≌△BDF （ASA ）∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝21S △ABC ； （2）不成立；S △DEF −S △C EF ＝21S △ABC ；理由如下：连接CD ，如图3所示：同（1）得：△DEC ≌△DBF ，∠DCE ＝∠DBF ＝135°∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ＝S △CFE ＋S △DBC ＝S △CFE ＋21S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝21S △ABC ∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是：S △DEF －S △CEF ＝21S △ABC21ABCDE模型3：已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理构造中位线取另一边中点EDD模型分析在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理： DE ∥BC ，且DE ＝21BC 来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．模型实例例题3 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M ，N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．NM FEDBA【解析】如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ． ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴FH ＝21AB ，FH ∥AB ，HE ＝21DC ，HE ∥NC ． 又∵AB ＝CD ，∴HE ＝HF ，∴∠HFE ＝∠HEF ．∵FH ∥MB ，HE ∥NC ， ∴∠BME ＝∠HFE ，∠CNE ＝∠FEH ，∴∠BME ＝∠CNE ．模型4：已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线DCBADB A模型分析在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD =12AB ，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD 和△BCD ，该模型经常会与中位线定理一起综合应用. 模型实例例题4 如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别为AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，DM ⊥ EF 于点M ，求证：FM =EM .M FEDCBA【证明】连接DE ，DF .∵BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的高，D 为BC 的中点，∴DF =12BC ，DE =12BC∴DF =DE ，即△DEF 是等腰三角形，DM ⊥EF ，∴点M 是EF 的中点，即FM =EM .ABCEFM巩固提升1.如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10，求DM 的长度.N D CBA【解析】取AB 中点N ，连接DN ，MN .在Rt △ADB 中，N 是斜边AB 上的中点， ∴DN =12AB =BN =5.∴∠NDB =∠B .在△ABC 中，M ，N 分别是BC ，AB 的中点， ∴MN ∥AC ∴∠NMB =∠C ，又∵∠NDB 是△NDM 的外角，∴∠NDB =∠NMD +∠DNM . 即∠B =∠NMD +∠DNM =∠C +∠DNM .又∵∠B =2∠C ，∴∠DNM =∠C =∠NMD . ∴DM =DN .∴DM =5.2.已知，△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，M 为DE 的中点，连接MB ，MC ，求证：MB =MC .MDCBA【证明】延长BM 交CE 于G ，∵△ABD 和△ACE 都是直角三角形，∴CE ∥BD ，∴∠BDM =∠GEM .又∵M 是DE 中点，即DM =EM ，且∠BMD =∠GME ，∴△BMD ≌△GME ∴BM =MG ，∴M 是BG 的中点，∴在Rt △CBG 中，BM =CM .3.问题1：如图①，三角形ABC 中，点D 是AB 边的中点，AE ⊥ BC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F .AE 、BF 交于点M ，连接DE ，DF ，若DE =kDF ，则k 的值为 . 问题2：如图②，三角形ABC 中，CB =CA ，点D 是AB 边的中点，点M 在三角形ABC 内部，且∠MAC =∠MBC ，过点M 分别作ME ⊥BC ，MF ⊥ AC ，垂足分别为点E ，F ，连接DE ，DF ，求证：DE =DF .问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他 条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.图1MF E DCBA图2ABCDFM 图3ABCDF M【解析】∵（1）AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，∴△AEB 和△AFB 都是直角三角形， ∵D 是AB 的中点，∴DE =12AB ，DF =12AB .∴DE =DF .∵DE =KDF ，∴k =1. （2）∵CB =CA ，∴∠CBA =∠CAB .∵∠MAC =∠MBC ，∴∠CBA -∠MBC =∠CAB -∠MAC ，即∠ABM =∠BAM .∴AM =BM . ∵ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，∴∠MEB =∠MF A =90°.又∵∠MBE =∠MAF ，∴△MEB ≌△MF A （AAS ），∴BE =AF .∵D 是AB 的中点，即BD =AD ，又∵∠DBE =∠DAF ，∴△DBE ≌△DAF （SAS ），∴DE =DF . （3）DE =DF .如图，作AM 的中点G ，BM 的中点H ，连DG ，FG ，DH ，EH . ∵点D 是边AB 的中点，∴DG ∥BM ，DG =12BM .同理可得：DH ∥AM ，DH =12AM . ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点.∴在Rt △BEM 中，HE =12BM =BH .∴∠HBE =∠HEB ，∴∠MHE =2∠HBE .又∵DG =12BM ，HE =12BM ，∴DG =HE .同理可得：DH =FG . ∠MGF =2∠MAC .∵DG ∥BM ，DH ∥GM ，∴四边形DHMG 是平行四边形.∴∠DGM =∠DHM . ∵∠MGF =2∠MAC ， ∠MHE =2∠MBC ， ∠MBC =∠MAC ， ∴∠MGF =∠MHE . ∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .∴∠DGF =∠DHE .在△DHE与△FGD中，DG HEDGF DHEDH FG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DHE≌△FGD（SAS），∴DE=DF.模型二截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例题1 如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD.证法一，截长法：如图①，在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接DE .∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴CD ＝DE ，∠C ＝∠3 . ∵∠C ＝2∠B ，∴∠3＝2∠B ＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE ＝BE ，∴CD ＝BE . ∵AB ＝AE ＋BE ，∴AB ＝AC ＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC 到点E ，使CE ＝CD ，连接DE .∵CE ＝CD ，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E ，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B ，∴∠E ＝∠B . ∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△BAD ，∴AE ＝AB . 又∵AE ＝AC ＋CE ，∴∴AB ＝AC ＋CD . 巩固提升1. 在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【解析】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接O F . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠O AC ＝∠O AB ＝2BAC ，∠O CA ＝∠O CB ＝2ACB， ∴∠A O E ＝∠C O D ＝∠O AC ＋∠O CA ＝2BACACB＝600，∴∠A O C ＝1800－∠A O E ＝1200 .∵AE＝AF，∠EA O＝∠F A O，A O＝A O，∴△A O E≌△A O F（S A S），∴∠A O F＝∠A O E＝600，∴∠C O F＝∠A O C－∠A O F＝600，∴∠C O F＝∠C O D.∵C O＝C O，CE平分∠ACB，∴△C O D≌△C O F（A S A），∴CD＝CF.∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，2. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【解析】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF.∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD.∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E.求证：AC－AB＝2BE .【解析】延长BE交AC于点M.∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.∵BE⊥AE，∴BM＝2BE.∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .模型三角平分线四大模型模型1：角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠M O N的平分线上一点，过点P作P A⊥O M于点A，PB⊥O N于点B，则PB＝P A模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例例题1 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6，BD＝4，那么点D到直线AB的距离是【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∵CB＝6，BD＝4，∴DE＝CD＝2即点D到直线AB的距离是2（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC【证明】如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE，∵∠3＝∠4，∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）巩固提升1.如下图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°【证明】作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC，∴∠FAD＝∠C∵∠F AD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2. 如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.【解析】如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠F AC的角平分线，∴∠CAP＝∠P AF＝50°模型2：截取构造对称全等如图，P是∠M O N的平分线上的一点，点A是射线O M上任意一点，在O N上截取O B＝O A，连接PB，则△O PB≌△O P A模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称 性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例例题2 如图①所示，在△ABC 中，AD 是△BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB ＋PC 与AB ＋AC 的大小，并说明理由解题：PB +PC ＞AB +AC【证明】在BA 的延长线上取点E ， 使AE ＝AB ，连接PE，∵AD 平分∠CAE∴∠CAD ＝∠EAD ，在△AEP 与△ACP 中，∵AE ＝AB ，∠CAD ＝∠EAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP （S A S ），∴PE ＝PC∵在△PBE 中：PB +PE ＞BE ，BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，∴PB +PC ＞AB +AC巩固提升1. 已知，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC ＝16，AD ＝8， 求线段BC 的长【解析】如图在BC 边上截取CE ＝AC ，连结DE ，在△ACD 和△ECD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC ，∴△ACD ≌△ECD (S A S)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB∴EBB＝ED，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD【证明】在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC，BE＝AB，BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(S A S)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：BC＝AB＋CE【证明】在CB上取点F，使得BF＝AB，连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE，∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°，则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE，∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠M O N的平分线上一点，AP丄O P于P点，延长AP交O N于点.B，则△A O B 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例例题3 如图，己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.【解析】如图，延长CE、BA交于点F，∵CE丄BD于E，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED ∴∠ABD=∠ACF。
八年级数学第八章 中点四大模型
第八章中点四大模型模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】模型分析如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）。
如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：△FDB≌△FDC（SAS）。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型实例例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。
求证：AC=BE。
热搜精练1．如图，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求BC 边上中线AD 的范围。
2．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DM⊥DN，如果2222B M C N D M D N +=+。
求证：()22214A D AB AC =+。
模型2【已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”】模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”。
模型实例例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。
热搜精练1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。
求证：∠EDB=∠FDC。
2．已知Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，D 为AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。
（1）当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时（如图①），求证：12DEF CEF ABC S S S += ；（2）当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S 、CEF S 、ABC S 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，
DF是直角三角形ADE斜边上的中线，∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的，∴ AD×GF= DF×AH，∴AH= = .
点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.
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例10. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、 MC。求证：MB=MC。
考点 3：已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”
例11. 如图，在矩形ABCD中E为CB延长线上一点且AC=CE，F为AE的中点。求证：BF⊥FD。
巩固练习： 1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗？
为什么？
2. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF。
3. 如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。
例20. 在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF。
例21. 如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，点E在AB边上，点F在AC边的延长线上，连接EF交BC于点M， 交AD于点N，∠AEF=2∠F，EM=FM。 （1）求证：∠B= 3 ∠F。 2 （2）如图2，过点A作AH⊥EF于H，若AH=5，△AEN的面积为15，求线段CF的长。
6. 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°。连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC。 求证：MB=MC。 A
C
E
M
D
B
7. 已知，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，AF为∠BAC的平分线，交BD于E点，BC于F点，求证： OE = 1 FC 。 2
A
A
DM
B
C
F
例18. 如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求 证：∠ACB＝2∠B。 A
D M
C E
B
例19. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC与BD交于点O，∠AOB=60°，P、Q、R分别是OA、BC、OD 的中点，求证：△PQR是正三角形。
A
D
F
EB
C
例12. 如图：梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，CD=3，E为AB中点，求证：DE⊥EC。
A
D
E
B
C
考点 4：三角形中位线定理 例13. 如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、
AB于点M、N，判断△OMN的形状并证明。
D
O
E
B
F
C
8. 在△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于 点F。 （1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当 AB ≠ AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由。
考点 5：中点构造的综合应用 例16. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6，AC=14，求
DE的长。
A
D
B
E
C
例17. 如图，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证： MF = 1 (AC − AB) 。 2
A
B
C
D
4. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP、BP分别是∠BAC，∠CBA的角平分线，并且交BC、AC于P、
Q两点。求证：AQ+BQ=AB+BP。
A
B Q
P
C
5. 已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF.求证：BE+CF>EF。
A
B
D
E
C
例3. 如图，已知△ABC中，延长AC边上的中线BE到G，使EG=BE，延长AB边上的中线CD到F，使DF=CD，连接AF， AG。
（1）补全图形； （2）AF与AG的大小关系如何？证明你的结论； （3）F、A、G三点的位置关系如何？证明你的结论。
例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD。求证：CD=2EC。 A
E
B
C
D
例5. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE。
例6. 如图，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证AM⊥CD。
考点 2：已知直角三角形斜边中点，可考虑构造斜边中线 例7. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点。
三角形之中点模型
学习目标： 1．通过中点的性质，了解中点在三角形中的各类作用。 2．掌握题目条件中的中点作用，能够灵活结合题目分析出中点使用的各类方法。
知识点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中
例14. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于 点M、N，求证：∠BME=∠CNE。
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例15. 如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延 长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明。
位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
考点 1：倍长中线或类中线（与中线有关的线段）构造全等三角形 例1. 如图，在△ABC中，AB=10，AC=22，求BC边上的中线AD的范围。
例2. 在△ABC中，D、E是BC边上的三等分点，求证：AB＋AC＞AD＋AE。
（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长； （2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠MFE的度数。
例8. 已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M。求证：FM=EM。
例9. 如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边的中点。求证：AB＝2DE。