【完整版毕业论文】巴特沃斯有源低通滤波器的设计

巴特沃斯有源低通滤波器的设计

摘要

随着社会科学技术的飞速发展，各种科技产品在人类社会中随处可见，极大的丰富了人们的日常生活。物联设备、可穿戴设备以及虚拟仪器产品在各种应用和消费场合变得极为普遍。就目前而言，在几乎所有的电子产品中，各种增益、带宽以及高性能的滤波器都发挥着至关重要的作用，例如可穿戴设备的语音信号输入系统中，运用高性能的低通滤波器进行语音信号的降噪、滤波、回声消除，来提高系统的音质和语音识别精准度等。

本论文通过对各种低通滤波器的通频带、增益和截止频率的分析，采用通频带最大扁平度技术（巴特沃斯技术）来设计实现四阶高性能低通滤波器，通过Multisum仿真软件，验证了设计的正确性。在这基础上，本文还对如何提高该滤波器的响应速度进行了研究，提出了一种有效的提高响应速度的方案，并通过仿真软件得以验证。这在低通滤波器的理论以及实际工程应用中，都具有非常重要的意义。

关键词：有源低通滤波器，巴特沃斯，运算放大器

Design of Butterworth Active Low Pass Filter

ABSTRACT

With the rapid development of social science and technology, various technological products can be seen everywhere in human society, which greatly enriches people's daily lives. IoT devices, wearable devices, and virtual instrument products have become extremely common in various applications and consumer occasions. For now, in almost all electronic products, various gains, bandwidths, and high-performance filters play a vital role. For example, in the voice signal input system of wearable devices, the use of high-performance low-pass The filter performs noise reduction, filtering, and echo cancellation of the speech signal to improve the sound quality of the system and the accuracy of speech recognition.

In this paper, through the analysis of the passband, gain and cutoff frequency of various low-pass filters, the maximum flatness of the passband technology (Butterworth technology) is used to design and implement a fourth-order high-performance low-pass filter, through Multisum simulation software To verify the correctness of the design. On this basis, this paper also studies how to improve the response speed of the filter, and puts forward an effective scheme to improve the response speed, which is verified by simulation software. This is of great significance in the theory of low-pass filters and in practical engineering applications.

KEYWORDS：active low-pass filter，butterworth，amplifier

1绪论

1.1 引言

在近现代的科技发展中，滤波器作为一种必不可少的组成成分，在仪器仪表、智能控制、计算机科学、通信技术、电子应用技术和现代信号处理等领域有着十分重要的作用。滤波器作为一门学科已经有了仅一百年的历史了，自从德国的Wagner和美国的Campbell在1915年提出了滤波器的概念至今，它经历了由简单到复杂，由分立器件到单片集成，由有源到无源，由模拟到数字的发展历程[1]。

1.2 滤波器的发展历程及研究现状

早期的滤波器基本上是由分立器件电感、电阻、电容等无源器件搭建而成，这就是最原始的无源滤波器。最常应用的就是LC梯形无源滤波，因为它的性能对元器件的变化不太敏感。并且LC无源滤波器还存在着体积大、Q值低、重量大和无法集成等缺点。自60年代起由于计算机技术、集成电路技术和半导体材料技术的迅速发展，滤波器的发展上了一个新的台阶，并且朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉方向努力，其中小体积、多功能、高精度、稳定可靠已经成为了70年代以后的主攻方向，导致RC 有源滤波器、数字滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成已被研制出来并得到应用[2]。80年代，致力于各类新型滤波器的研究，努力提高性能并逐渐扩大应用范围。90年代至今主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行，对高性能低通滤波器的研究和生产历来为各国所重视，一直是国内外研究热门之一，特别是研究采用开关技术实现的高性能低通滤波器，研究的滤波级数越来越高，10级、12级等高级别开关电容低通滤波器不断涌现[3]。

我国广泛使用滤波器是50 年代后期的事，当时主要用于话路滤波和报路滤波。经过半个世纪的发展，我国滤波器在研制、生产和应用等方面已纳入国际发展步伐，但由于缺少专门研制机构，集成工艺和材料工业跟不上来，使得我国许多新型滤波器的研制应用及集成化与国际发展有一段距离。

1.3 选题背景及研究意义

通过前面的论述可以清楚的看到，在长期的发展中，滤波器技术已经奠定了其在信息处理等领域无法替代的地位。然而在许多的实际生产生活和科研等应用场合，需要采用低通滤波器来运载信息。低通滤波器被广泛地应用于噪声情况下的低频信号的提取与抗干扰设计，无源滤波器也有着其固有的缺点，难以集成、

器件容易老化、无法满足不同的工程需求等。但是随着集成工艺和半导体技术的发展，通信设备日益小型化，各种无感滤波器相继问世，其中最具代表性的就是有源滤波器，其最大值可以高达1000，最高频率可达MHz数量级[4]。

目前采用的直接综合，多级级联，多环反馈等方法实现的有源滤波器，由于直接串联在信道中，无一例外地会在信道中引入由有源器件而产生的附加漂移。在海洋监测，生物医学和电化学等领域的低频微弱信号传感和监测系统和高精度仪器仪表中，系统的灵敏度常达到uV和nV级别，这时附加漂移是同噪声一样严重的问题[5]。

为抑制噪声的同时又不引起新的附加漂移问题，对于滤波系统使用的放大器必然提出非常苟刻的要求，有时甚至是不可实现的。因此本文就这一问题，提出了一种面向高精度传感与检测系统的无信道附加漂移的有源低通滤波系统。对于低通滤波器而言，滤波器的频带越窄，滤除噪声的能力也就越强，但是滤波器的阶跃响应时间相应的变长，即阶跃信号通过滤波器输出达到稳定状态所需要的时问变长。然而有一些应用场合，既需要低漂移高精度的窄带低通滤波器，也需要该滤波器有尽可能快的阶跃响应速度，即要具有好的实时性[6]。本文在提出了一种低漂移窄带低通有源滤波系统之后，研究了如何提高该滤波器的阶跃响应速度，一方面，具有一定的实际工程应用价值；另一方面，这对于创新滤波器理论和抗干扰设计方法都具有普遍的意义。

2滤波器理论基础

2.1 滤波器简介

滤波，本质上是从被噪声畸变和污染了的信号中提取原始信号所携带的信息的过程。滤波器是一种能使一定频率范围内的信号顺利通过，而使其他频率的信号受到较大的衰减的电路，主要用于滤除干扰信号[7]。一般在微弱信号放大的同时附加滤波功能或在信号采样前使用滤波器。

2.2 滤波器的分类

2.2.1 按所处理的信号

按照所处理的信号不同可以分为模拟滤波器和数字滤波器。

利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器。模拟滤波器可以分成两大类即无源滤波器和有源滤波器。从20世纪20年代到20世纪60年代末，许多滤波器是由无源元件如电阻、电容和电感组成。而其中的无源LC梯形网络是一种非常有用的结构，因为它对元件的变化不太敏感。

20世纪50年代人们发现，用有源电路来代替体积大而且价格昂贵的电感可以大大地减小电路的尺寸和降低电路的成本。20世纪60年代中期高质量的有源器件如运算放大器开始出现。20世纪70年代中期有源滤波器开始流行，人们开始考虑将滤波器进行集成。

在最近二十年，有源集成滤波器在信号处理应用中幵始变得越来越重要。在这样的电路中，有源器件是单片集成的。与由分立有源元件构成的滤波器相比，这些卑片集成电路有着许多优点，减少了系统中元件的数目，由于芯片上元件的良好匹配性使得滤波器的设计简化了不少。此外，自动调谐电路能够减少工艺和温度变化所带来的误差，与分立无源滤波器相比，集成滤波器大大地减少了寄生电容。

数字滤波器是对数字信号进行滤波处理以得到期望的响应特性的离散时系统。与模拟滤波器相比较，数字滤波器在体积、重量、精度、稳定性、可靠性、存储功能、灵活性以及性能价格比等方面都显示明显的优点。

模拟滤波器完全工作在模拟信号域，而数字滤波器工作在数字信号域，它处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。

数字滤波器除了可以利用硬件电路实现之外，还可以借助计算机以软件编程方式实现，无论哪种方法，数字滤波器实现的基本考虑有两点：1、把数字滤波器的输入输出关系转换成一种算法。2、用一组基本运算或数字硬件（延时器，相加器和乘法器）来实现这种算法。随着技术的进步与发展，数字滤波器的性能不断提升，成本逐渐下降，其应用的领域也不断拓宽。按照数字滤波器的特性，它可以被分为线性与非线性、因果与非因果、无限脉冲响应（IIR）与有限脉冲响应（FIR）等等。与滤波器相比，滤波器易于实现，稳更加定，被广泛应用。2.2.2 按通带频率范围

通常来讲，滤波器可以按照通频带分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器、全通滤波器等。

低通滤波器是所有滤波器的设计基础，它允许低频信号通过而高频信号滤除，其他滤波器可以从低通滤波器变换而得；高通滤波器允许高频信号通过而滤除低频信号，在大于通带截止频率范围内，滤波器的增益为常数，低于截止频率时增益为零；带阻滤波器只除去特定的成分，在特定的频率范围内，滤波器的增益为零，而在其他频率范围内增益为常数。全通滤波器是允许所有的频率成分的信号通过，其类似电路中的延时电路、移相电路等。此外，不同种类的滤波器通过串、并联等构造方式来获得一些单个滤波器无法做到的频率特性，使得滤波器的各项

参数达到折中要求，从而降低单个滤波器的设计难度。

2.3 滤波器的主要技术参数

1)谐振频率

每一个滤波器都有自身固有的谐振频率。就一般而言，它并不是滤波器所专有的，在任何一个系统中都有其固有频率，只不过其不想滤波器中的谐振频率那么明确和重要，并且任何固有频率在外加激励情况下都有更强的响应，这是由于滤波器的类型、结构以及元件参数所决定的。

2)转折频率

转折频率又称为截止频率，它是指滤波器的幅频特性曲线下降3db点上的频率。

3)通带增益

滤波器的非理想特性在于其通频带内，增益实际上是不固定的，它是x，dx 的函数。

4)带宽

对于低通和带通滤波器，带宽就是指通带宽度；而对于高通和带阻滤波器，带宽就是指一个频率点或者带阻滤波器的两个频率点之间，是一个无规律且颇为多样的问题，与滤波器的种类、特性曲线的样子有关。

3无源滤波器

从提出滤波器这一概念开始，它就成为了电气工程发展中不可或缺的一部分。如果没有滤波器，许多技术成就将不可能实现。正是由于滤波器这种重要的作用，人们在滤波器的理论，设计和构造上投入了大量的精力，并且撰写了许多关于滤波器的文章和书籍。

滤波器是一种电路，其设计目的是通过所需频率的信号，并抑制或衰减其他频率的信号。作为一种频率选择装置，滤波器可用于将信号的频谱限制在某一特定频段。滤波器是用于收音机和电视接收器的电路，它能够让我们从环境中的众多广播信号中选择一个所需的信号。

滤波器是一个仅由无源元件R，L和C组成的无源滤波器。如果组成部分中除了无源元件R，L和C之外，还有有源元件(例如晶体管和运算放大器)，则称为有源滤波器。我们在本节中主要介绍无源滤波器，在下一节中介绍有源滤波器。

除了我们所研究的滤波器之外，还有其他类型的滤波器，例如数字滤波器，机电滤波器和微波滤波器，它们超出了本文的范围，这里就不详细介绍了。

（a）（b）

（c）

（d）

图3-0 四种无源或有源类型的滤波器

如图3-0所示，有四种无源或有源类型的滤波器：

1.如图3-0(a)所示，低通滤波器可使低频信号通过并抑制高频信号。

2.如图3-0(b)所示，高通滤波器可使高频信号通过并抑制低频信号。

3.如图3-0 (c)所示，带通滤波器可使特定频带内的频率通过并抑制或衰减频带以外的频率。

4.如图3-0(d)所示，带阻滤波器可使特定频带以外的频率通过并抑制或衰减频带内的频率。

表3.0总结了这些滤波器的特性。请注意，表3.0中的特性只适用于一阶或二阶滤波器，但不代表只有这些类型的滤波器。现在我们考虑实现表3.0所示滤波器的典型电路。

ωc 是低通和高通滤波器的截止频率；ω0是带通和带阻滤波器的中心频率。

3.1 低通滤波器

图3-1 低通滤波器

如图3-1所示，典型的低通滤波器通过RC 电路中电容的输出电压得到。其传递函数为

o i 1()1j C V H V R j C

ωωω==+ 1

()1H j RC ωω=+

图3-2 低通滤波器的理想与实际频率特性

注意，H(0)= 1，H(∞)=0。|H(ω)|的曲线以及理想特性如图3-2所示。半功率频率等于Bode 图上的转折频率，但在滤波器中通常称为截止频率ωc ，它是通过将H(ω)的幅值设置为1/√2得到的，从而有

c ()H ω==

或者

c 1RC

ω=

截止频率也称为下降频率。截止频率是传递函数H 下降到其最大值的70.71%

的频率。它也被认为是电路中功率损耗为其最大值的一半的频率。设计低通滤波器使得通过的频率只从直流到截止频率ωc 。低通滤波器也可以通过RL 电路中电阻的输出电压得到。当然，还有许多其他用于低通滤波器的电路。

3.2 高通滤波器

图3-3 高通滤波器

如图3-3所示，高通滤波器通过RC 电路中电阻的输出电压得到，其传递函数为

o i ()1V R H V R j C ωω==+

()1j RC H j RC ωωω=+

注意，H(0)= 0，H(∞)=1。|H(ω)|的曲线如图3-4所示。

图3-4 高通滤波器的理想与实际频率特性

同样地，转折或截止频率为

c 1

RC ω=

设计高通滤波器可以使高于其截止频率ωc 的所有频率通过，高通滤波器也可以通过RL 电路中电感的输出电压得到。

3.3 带通滤波器

图3-5 带通滤波器

如图3-5所示，带通滤波器可由RLC 串联谐振电路中电阻的输出电压得到。传递函数为

o i ()(1)V R H V R j L C ωωω==+-

可以得到H(0)= 0，H(∞)=0。|H(ω)|的曲线如图3-6所示。

图3-6 带通滤波器的理想与实际频率特性

带通滤波器使以ω0为中心的频率带(ω1<ω<ω2)通过

0ω=

由于图3-5中的带通滤波器是串联谐振电路，因此半功率频率，带宽和品质因数的确定如前一节所述。也可以将图3-1中的低通滤波器(其中ω2=ωc )与图3-3中的高通滤波器(其中ω1=ωc )通过级联组合得到带通滤波器。

3.4 带阻滤波器

图3-7 带阻滤波器

防止两个指定值(ω1和ω2)之间的频带通过的滤波器被称为带阻，或陷波滤波器。如图3-7所示，当RLC 串联谐振电路以LC 串联的电压作为输出时，会形成一个带阻滤波器。其传递函数为

o i (1)()(1)j L C V H V R j L C ωωωωω-==+-

注意，H(0)= 1，H(∞)=1。|H(ω)|的曲线如图3-8所示。同样地，中心频率由下式给出

0ω=

对于串联谐振电路而言，计算半功率频率，带宽和品质因数采用上一节中的公式，此处ω0称为抑制频率，而相应的带宽(B =ω2-ω1)被称为抑制带宽。设计带阻滤波器可以抑制或衰减ω1<ω<ω2频带内的所有频率。

图3-8 带阻滤波器的理想和实际频率特性

请注意，将带通和带阻的传递函数相加，可以使R ，L 和C 值在任何频率下保持一致。当然，通常情况并非如此，但对于这里讨论的电路而言是正确的。这是因为一个特征值是另一个特征值的倒数。

4有源滤波器

上一节中讨论的无源滤波器主要有三个限制条件。首先，它们不能产生大于1的增益，无源元件无法为电路增加能量；其次，它们可能需要体积庞大且价格

昂贵的电感；第三，它们在音频频率(300Hz

管如此，无源滤波器在高频条件下仍具有广泛的应用。

有源滤波器由电阻，电容和运算放大器组成。与无源RLC滤波器相比，它

们具有以下优点：首先，它们通常体积更小，更便宜，因为它们不需要电感，这使得滤波器的集成电路的实现成为了可能。其次，它们除了提供与RLC滤波器

相同的频率特性外，还可以提供放大增益。第三，有源滤波器可以与缓冲放大器(电压跟随器)结合使用，以将滤波器的每个部分与源阻抗和负载阻抗效应隔离开。这种隔离允许各部分独立设计，然后通过级联以实现所需的传递函数(将传递函

数级联时，可以添加对数形式的Bode图)。然而，有源滤波器的可靠性和稳定性较差，大多数有源滤波器的实际极限约为100 kHz，其工作频率远低于该频率。滤波器通常根据其顺序(或极点的数量)或它们的特定设计类型进行分类。

4.1一阶低通滤波器

图4-1 通用有源一阶滤波器

一种类型的一阶滤波器如图4-1所示。为Z i和Z f选择的组件确定滤波器是

低通还是高通，但是其中一个组件必须是电抗性质的。

图4-2 有源一阶低通滤波器

典型的有源低通滤波器如图4-2所示。此滤波器的传递函数为

o i ()f i V Z H V Z ω=

=-

当Z i =R i 时得到 111f f f f f

f f f f f R j C R Z R j C R j C j C R ωωωω===++

因此， 1

()1f i f f R H R j C R ωω=-+

我们注意到上两个式子相似，除了一个低频增益(ω→0)或直流增益-R f /R i 。其转折频率为

c 1

f f R C ω=

该转折频率与R i 无关。这意味着，如果需要，可以对几个具有不同R i 的输入进行求和，并且每个输入的转折频率将保持相同。

4.2一阶高通滤波器

图4-3 有源一阶高通滤波器

一个典型的高通滤波器如图4-3所示。与上述相同，

o i ()f i V Z H V Z ω==-

当1/i i i Z R j C ω=+以及i f Z R =时，得到

()1/1f i f i i i i j C R R H R j C j C R ωωωω=-

=-++

通过上式可知，除了在非常高的频率(ω→∞)时，增益趋于-R f /R i 。其转折频率为

c 1i i

R C ω= 4.3带通滤波器

(a)

(b)

图4-4 有源带通滤波器：(a)框图 (b)频率特性

图4-5 有源带通滤波器

一个带通滤波器可以由图4-2中的电路与图4-3中的电路组合得到，该带通滤波器在所需的频率范围内具有增益K 。如图4-4(a)的框图所示，将单位增益低通滤波器，单位增益高通滤波器和增益为-Rf /Ri 的反相器串联起来，可以构造一个频率特性与图4-4(b)相同的带通滤波器。带通滤波器的实际结构如图4-5所示。

这种构造带通滤波器的方法不一定是最好的，但可能是最容易理解的。 带通滤波器的分析相对简单。它的传递函数是通过低通滤波器增益和高通滤

波器增益相乘加上反向器的增益得到的，即

2122121()()()()11/1111/1o f i i

f i R j C R V H V j C R j C R R R j C R R j C R j C R

ωωωωωωω==---++=-++ 低通部分将上转折频率设置为

211RC ω=

而高通部分将下转折频率设置为 121

RC ω=

通过得到ω1和ω2的值，可以进一步得到中心频率，带宽和品质因数如下所示：

0ω=21B ωω=-

0Q B ω=

121212()(1)(1)()()Kj Kj H j j j j ωωωωωωωωωωωωω--==++++

在中心频率0ω=

022*******

()()()Kj K H j j ωωωωωωωωωω-==+++ 我们将其设置为反相放大器的增益，如下

212f i K R R ωωω=+

从而可以确定增益K 。

4.4带阻(陷波)滤波器

(a)

(b)

图4-6 有源带阻滤波器：(a)框图 (b)频率特性

如图4-6(a)的框图所示，带阻滤波器可以由低通滤波器和高通滤波器以及加法放大器组合而成。该电路可设计为下截止频率ω1由低通滤波器设置，而上截止频率ω2由高通滤波器设置。ω1和ω2之间的差值是滤波器的带宽。如图4-6(b)所示，滤波器通过低于ω1和高于ω2的频率。图4-6(a)中框图的实际结构如图4-7所示。

图4-7 有源带阻滤波器

其传递函数为

2121()()11o f i i R j C R V H V R j C R j C R

ωωωω==---++ ω1，ω2，中心频率，带宽和品质因数的计算公式与带通滤波器相同。为了确定滤波器的通带增益K ，我们可以将上式的上下转折频率表示为

211112121(12())1()()11(1)(1)f f i i j j j R R H R j j R j j ωωωωωωωωωωωωωωωω++=+=++++

f

i R K R =

我们还可以通过在0ω= 2010111020112(12())2()(1)(1)f f i i j j R R H R j j R ωωωωωωωωωωωωω+++==++

同样，本节中处理的仅是典型的滤波器。还有许多其他更加复杂的有源滤波器。

尽管有源滤波器技术的开发和应用有了很大的发展，但仍存在着几个有待解决的问题。

(1)器件容量的增大和开关频率的提高 为实现电流的快速控制，提高补偿效果，开关频率是关键，要求器件以高频率工作。此外，应用多重化技术也能提高器件的等效开关频率。从经济的角度考虑，应使 用高容量、大功率的器件，但这与使用高频率产生矛盾，因为大容量受到频率的限制。如何从两者中找到一个折衷，获得最佳效果，是一个值得研究的问题。

(2)降低装置的价格并使其多功能化有源滤波器能消除高次谐波，还能提高电力系统稳定性，抑制闪变和补偿无功等功能，一机多用显然最为经济，也符合当今电力系统发展的需要。然而有源滤波器造价较高，与LC 滤波是不可比拟的，如何提高装置的性能价格比，是电力电子器件制造技术面临的课题。

(3)降低损耗，提高系统可靠性这方面的主要工作包括：采用合理的开关频率，选择适当的吸收回路，以提高装置的使用效率；采用过流、过压保护技术，故障诊断技术以使系统可靠工作等等。

模拟低通滤波器一般是用电路元件(如电阻、电容、电感)来构成我们所需要的频率特性电路。模拟低通滤波器的原理是通过对电容、电阻和电感参数的配置，使得模拟滤波器对基波呈现很小的阻抗，而对谐波呈现很大的阻抗，这样当负载电流信号通过该模拟低通滤波器的时候就可以把基波信号提取出来。目前，有些有源滤波器利用模拟电路实现低通滤波器测负载电流的基波分量，并且在实际中得到了应用。

但是，模拟低通滤波器也有一些自身的缺点。这是由于模拟滤波器的中心频率对电路元件(如电容，电阻，电感)的参数十分敏感，较难设计出合适的参数，而且电路元件的参数会随外界环境的干扰发生变化，这会导致中心频率的偏移，影响滤波结果的准确性。

5巴特沃斯有源低通滤波器

5.1简介

巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，

而在阻频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。

5.2巴特沃斯的工作原理

滤波器是一种对信号有处理作用的器件或电路。滤波器是给出规定响应的一个网络，是用一组激励——响应关系表征的系统，如图5-1所示。

滤波器的主要作用是让有用信号尽可能无衰减的通过，对无用信号尽可能大的反射。按处理信号的不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。模拟滤波器可处理模拟的或连续时间信号，数字滤波器可处理数字信号；按输出信号的不同频率，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。其中模拟滤波器，按构成元件的不同又可分为有源滤波器和无源滤波器两种。

图 5-1 通常用滤波器的转移函数表征滤波器的特性，设响应的象函数为Uo(s)，激励的象函数为Ui(s)则转移函数为

()

()()o i U s H s U s =

在正弦情况下，s=jw ，相应地，上式的频域响应函数可写为

1()

()()H jw H jw H jw e =

其中，()H jw 为幅频函数。 归一化处理包括阻抗归一化和频率归一化两种。如果将网络的全部阻抗除以常数kz ，相当于所有的电阻值、电感值除以kz ，电容值乘以kz ，这一过程称为阻抗归一化，kz 称为阻抗归一化系数。同理，可将角频率除以常数 kw ，这一变换称为频率归一化，kw 称为频率归一化系数。为使网络函数不受频率变换的影响，变换前后各元件的阻抗值应保持不变，因此，电阻值R 不受变换的影响，电感值L 和电容值C 应乘以kw 。

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为

2221()1N

H j C λλ=+ 其中C 为一常数参数，N 为滤波器阶数，λ为归一化低通截止频率

/p λ=ΩΩ

设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为λ，归一化传递函数为()H p ，其中p j λ=，则

2221()

1(1)p N N j H j C p λλ==+-

由于 221

()()()1()a a js N c H s H s A s j Ω=--=Ω=+Ω

所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。常用设计巴特沃斯低通滤波器指标 p λ：通带截止频率；p α：通带衰减，单位：dB ；s λ：阻带起始频率；s α：阻带衰减，单位：dB 。

5.3巴特沃斯的设计过程

根据设计指标要求p λ，p α，s λ，s α确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C 以及滤波器的阶数N ；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯的传递函数H(s)。

a) 将实际频率Ω归一化得1p p p λΩ=

=Ω，s s p λΩ=Ω，再根据已知的p α，s α，幅度平方函数2221()1N

H j C λλ=

+确定C 和N 。 b) 求C 和N 由2221()10lg 10lg(1)()N C H j αλλλ==+并带入p λ，p α，s λ，s α得

222210lg(1)10lg(1)N p p N s s C C λαλα?+=??+=??

即

1022102210110

1p s N p N s C C ααλλ?=-??=-??

因为p λ=1，所以

210101p

C α=- 由10102210101101101

s s

p N s C αααλ--==-两边取对数得： lg lg s

a N λ= 这样可以求出C 和N 。

注意：当p α=3dB 时，2

10101p

C α=-=1，即C=1,此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N 。

c) 确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)

由于 2

2211()()()1(1)1()p

N N N j H p H p G j p p j

λλ=-===+-+ 由21(1)0N N p +-=，解得极点为：

212,1,2,,2k N j N k p e k N π+-==

为了便于设计，工程上已经将当p λ=1时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查询。

d) 去掉归一化影响，上面设计中采用归一化频率即p λ=1，而实际中截止频率为

Ωp ，所以要进行如下的变量代换：

p p p j s j λΩ==ΩΩ=

即

()()p

s

p H s H p =Ω= 综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下： 计算归一化频率1p

p p

λΩ==Ω，s s p λΩ=Ω。 根据实际要求按照210101p C α=-和lg lg s a N λ=

计算巴特沃斯滤波器的参数C 和